Grupa euklidesowa - Euclidean group

W matematyce , A euklidesowa grupą jest grupa (euklidesowa) izometryczne o euklidesowej przestrzeni ; to znaczy transformacje tej przestrzeni, które zachowują odległość euklidesową między dowolnymi dwoma punktami (zwane również transformacjami euklidesowymi ). Grupa zależy tylko od wymiaru n przestrzeni i jest powszechnie oznaczana jako E( n ) lub ISO( n ). ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Euklidesowa grupy E ( n ) obejmuje wszystkie tłumaczenia , rotacji i odbicia z ; i ich arbitralne skończone kombinacje. Grupa euklidesowa może być postrzegana jako grupa symetrii samej przestrzeni i zawiera grupę symetrii dowolnej figury (podzbioru) tej przestrzeni. ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Izometria euklidesowa może być bezpośrednia lub pośrednia , w zależności od tego, czy zachowuje ręczność figur. Bezpośrednie izometrie euklidesowe tworzą podgrupę, specjalną grupę euklidesową , której elementy nazywane są ruchami sztywnymi lub ruchami euklidesowymi. Zawierają dowolne kombinacje przesunięć i rotacji, ale nie odbicia.

Te grupy są jednymi z najstarszych i najbardziej studiował, przynajmniej w sprawach o wymiarze 2 i 3 - w sposób dorozumiany, na długo przed pojęcie grupy został wymyślony.

Przegląd

Wymiarowość

Liczba stopni swobody dla E( n ) wynosi n ( n + 1)/2 , co daje 3 w przypadku n = 2 , a 6 dla n = 3 . Wśród nich, n może być przypisana do dostępnego symetrii translacyjnej i pozostałe N ( N - 1) / 2 do symetrii obrotowej .

Izometrie bezpośrednie i pośrednie

Bezpośrednie izometrie (tj izometrie zachowując skrętów na chiralnych podzbiory) zawierają podgrupę E ( n ), zwany specjalnej grupy euklidesowa i zwykle oznaczony przez E ⁺ ( n ) lub SE ( n ). Obejmują one tłumaczenia i rotacje oraz ich kombinacje; włączając w to transformację tożsamości, ale wykluczając jakiekolwiek refleksje.

Izometrie odwracające ręczność nazywane są pośrednimi lub przeciwstawnymi . Dla dowolnej ustalonej pośredniej izometrii R , takiej jak odbicie wokół pewnej hiperpłaszczyzny, każda inna pośrednia izometria może być uzyskana przez złożenie R z pewną bezpośrednią izometrią. Dlatego też pośrednie izometrie są zbiorem E ⁺ ( n ), który może być oznaczony przez E ^- ( n ). Wynika z tego, że podgrupa E ⁺ ( n ) ma indeks 2 w E ( n ).

Topologia grupy

Naturalna topologia przestrzeni euklidesowej implikuje topologię dla grupy euklidesowej E( n ). Mianowicie, sekwencja f _I z izometrii ( I ∈ ) określa się, by zbiegały się wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu P z sekwencja punktów P _i jest zbieżna. ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Z tej definicji wynika, że funkcja jest ciągła tylko wtedy, gdy, dla dowolnego punktu P z , oblicza się funkcję określa f _P ( t ) = ( f (t)) ( p ) jest ciągły. Taka funkcja jest nazywana „ciągłą trajektorią” w E( n ). $f:[0,1]\rightarrow E(n)$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle f_ {p}: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {E} ^ {n}}$

Okazuje się, że w tej topologii jest połączona specjalna grupa euklidesowa SE( n ) = E ⁺ ( n ). To znaczy, biorąc pod uwagę dowolne dwa bezpośrednie izometrycznych A i B z istnieje ciągły tor F w E ⁺ ( N ) w taki sposób, że f (0) = i F (1) = B . To samo dotyczy izometrii pośrednich E ^- ( n ). Z drugiej strony, grupa E( n ) jako całość nie jest połączona: nie ma ciągłej trajektorii, która zaczyna się w E ⁺ ( n ) i kończy w E ⁻ ( n ). ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Ciągłe trajektorie w E(3) odgrywają ważną rolę w mechanice klasycznej , ponieważ opisują fizycznie możliwe ruchy ciała sztywnego w trójwymiarowej przestrzeni w czasie. Bierze f (0), aby być przekształcenie identyczności I o , który opisuje położenie początkowe ciała. Pozycja i orientacja ciała w dowolnym późniejszym czasie t zostanie opisana przez transformację f (t). Ponieważ f (0)= I jest w E ⁺ (3), to samo musi dotyczyć f (t) w dowolnym późniejszym czasie. Z tego powodu bezpośrednie izometrie euklidesowe są również nazywane „ruchami sztywnymi”. ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {3}}$

Struktura kłamstwa

Grupy euklidesowe są nie tylko grupami topologicznymi , są to grupy Liego , tak więc pojęcia rachunku różniczkowego mogą być natychmiast zaadaptowane do tego ustawienia.

Związek z grupą afiniczną

Grupa euklidesowa E( n ) jest podgrupą grupy afinicznej dla n wymiarów iw taki sposób, aby respektować półbezpośrednią strukturę produktu obu grup. Daje to a fortiori dwa sposoby zapisywania elementów w wyraźnym zapisie. To są:

przez parę ( A , b ) , z macierzą ortogonalną A an n × n , a b rzeczywistym wektorem kolumnowym o rozmiarze n ; lub
przez pojedynczą macierz kwadratową o rozmiarze n + 1 , jak wyjaśniono dla grupy afinicznej .

Szczegóły dotyczące pierwszej reprezentacji podano w następnej sekcji.

W warunkach Felix Klein „s programu Erlangen , możemy odczytać z tego, że geometrii euklidesowej , geometrii euklidesowej grupy symetrii, jest zatem specjalizację z geometrii afinicznej . Obowiązują wszystkie twierdzenia afiniczne. Geneza geometrii euklidesowej pozwala na zdefiniowanie pojęcia odległości , z którego można następnie wywnioskować kąt .

Szczegółowa dyskusja

Struktura podgrupy, reprezentacja macierzowa i wektorowa

Grupa euklidesowa jest podgrupą grupy przekształceń afinicznych .

Ma jako podgrupy grupę translacyjną T( n ) i grupę ortogonalną O( n ). Każdy element E( n ) jest translacją, po której następuje transformacja ortogonalna (liniowa część izometrii), w unikalny sposób:

{\ Displaystyle x \ mapsto A (x + b)}

gdzie A jest macierzą ortogonalną

lub to samo przekształcenie ortogonalne, po którym następuje translacja:

x\mapsto Axe+c

gdzie $c = Ab$

T( n ) jest normalną podgrupą E( n ): dla każdego translacji t i każdej izometrii u , skład

u ^-1tu

to znowu tłumaczenie.

Razem te fakty sugerują, że E( n ) jest półbezpośrednim iloczynem O( n ) rozszerzonym przez T( n ), który jest zapisany jako . Innymi słowy, O( n ) jest (w naturalny sposób) także grupą ilorazową E( n ) przez T( n ): ${\ Displaystyle {\ tekst {E}} (n) = {\ tekst {T}} (n) \ rrazy {\ tekst {O}} (n)}$

{\ Displaystyle {\ tekst {O}} (n) \ cong {\ tekst {E}} (n) / {\ tekst {T}} (n)}

Teraz SO( n ), specjalna grupa ortogonalna , jest podgrupą O( n ) indeksu drugiego. Dlatego E( n ) ma podgrupę E ⁺ ( n ), również o indeksie dwa, składającą się z izometrii bezpośrednich . W takich przypadkach wyznacznikiem A jest 1.

Są one reprezentowane jako translacja, po której następuje obrót , a nie jako translacja, po której następuje jakieś odbicie (w wymiarach 2 i 3 są to znane odbicia w linii lub płaszczyźnie lustra , które można uznać za zawierające początek , lub w 3D, odbicia wirnika ).

Relacja ta jest powszechnie pisana jako:

{\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (n) \ cong {\ tekst {E}} ^ {+} (n) / {\ tekst {T}} (n)}

lub równoważnie:

{\ Displaystyle {\ tekst {E}} ^ {+} (n) = {\ tekst {SO}} (n) \ lrazy {\ tekst {T}} (n)}

.

Podgrupy

Rodzaje podgrup E( n ):

Grupy skończone .

Zawsze mają stały punkt. W 3D na każdy punkt przypada dla każdej orientacji dwa maksymalne (w odniesieniu do inkluzji) spośród skończonych grup: O _h i I _h . Grupy I _h są nawet maksymalne wśród grup obejmujących następną kategorię.

Policzalnie nieskończone grupy bez dowolnie małych przesunięć, obrotów lub kombinacji

tj. dla każdego punktu zbiór obrazów pod izometriami jest topologicznie dyskretny (np. dla 1 ≤ m ≤ n grupa generowana przez m translacji w niezależnych kierunkach i ewentualnie skończona grupa punktów). Obejmuje to kraty . Przykładami bardziej ogólnymi niż te są dyskretne grupy przestrzenne .

Policzalnie nieskończone grupy z dowolnie małymi przesunięciami, rotacjami lub kombinacjami

W tym przypadku są punkty, dla których zbiór obrazów pod izometriami nie jest zamknięty. Przykładami takich grup są, w 1D, grupa generowana przez translację 1 i jedną z √ 2 , aw 2D, grupa generowana przez obrót wokół początku o 1 radian.

Grupy niepoliczalne, w których występują punkty, dla których zbiór obrazów pod izometriami nie jest domknięty

(np. w 2D wszystkie translacje w jednym kierunku i wszystkie translacje o odległości wymierne w innym kierunku).

Grupy niepoliczalne, gdzie dla wszystkich punktów zbiór obrazów pod izometriami jest zamknięty

na przykład:

wszystkie izometrie bezpośrednie, które utrzymują punkt początkowy, lub ogólniej, jakiś punkt (w 3D zwana grupą rotacyjną )
wszystkie izometrie, które utrzymują ustalony początek, lub ogólniej, jakiś punkt ( grupa ortogonalna )
wszystkie izometrie bezpośrednie E ⁺ ( n )
cała grupa euklidesowa E( n )
jedna z tych grup w m- wymiarowej podprzestrzeni połączona z dyskretną grupą izometrii w ortogonalnej ( n − m )-wymiarowej przestrzeni
jedna z tych grup w m- wymiarowej podprzestrzeni połączona z drugą w ortogonalnej ( n − m )-wymiarowej przestrzeni

Przykłady kombinacji w 3D:

wszystkie obroty wokół jednej stałej osi
jw. połączone z odbiciem w płaszczyznach przechodzących przez oś i/lub w płaszczyźnie prostopadłej do osi
jw. w połączeniu z dyskretną translacją wzdłuż osi lub ze wszystkimi izometriami wzdłuż osi
dyskretna grupa punktów, grupa fryzów lub grupa tapet w płaszczyźnie połączona z dowolną grupą symetrii w kierunku prostopadłym
wszystkie izometrie będące kombinacją obrotu wokół pewnej osi i proporcjonalnego przesunięcia wzdłuż osi; ogólnie jest to połączone z k- krotnymi izometriami rotacyjnymi wokół tej samej osi ( k ≥ 1 ); zbiór obrazów punktu pod izometriami to k- krotna helisa ; ponadto może występować dwukrotny obrót wokół prostopadle przecinającej się osi, a zatem k -krotna spirala takich osi.
dla dowolnej grupy punktowej: grupa wszystkich izometrii będących kombinacją izometrii w grupie punktowej i translacji; na przykład w przypadku grupy generowanej przez inwersję w początku: grupa wszystkich tłumaczeń i inwersja we wszystkich punktach; to uogólnione dwuściennej grupy R ³ , dih (R ³ ).

Przegląd izometrii w maksymalnie trzech wymiarach

E(1), E(2) i E(3) można podzielić na następujące kategorie, ze stopniami swobody :

Izometrie E(1)
Rodzaj izometrii	Stopnie swobody	Zachowuje orientację?
Tożsamość	0	tak
Tłumaczenie	1	tak
Odbicie w punkcie	1	Nie

Izometrie E(2)
Rodzaj izometrii	Stopnie swobody	Zachowuje orientację?
Tożsamość	0	tak
Tłumaczenie	2	tak
Obrót o punkt	3	tak
Odbicie w linii	2	Nie
Odbicie poślizgu	3	Nie

Izometrie E(3)
Rodzaj izometrii	Stopnie swobody	Zachowuje orientację?
Tożsamość	0	tak
Tłumaczenie	3	tak
Obrót wokół osi	5	tak
Przemieszczenie śruby	6	tak
Odbicie w samolocie	3	Nie
Operacja samolotu ślizgowego	5	Nie
Niewłaściwa rotacja	6	Nie
Inwersja w punkcie	3	Nie

Twierdzenie Chaslesa zakłada, że każdy element E ⁺ (3) jest przemieszczeniem śruby .

Zobacz także izometrie 3D, które pozostawiają ustalony początek , grupę przestrzenną , inwolucję .

Izometrie dojazdów

Dla niektórych par izometrycznych skład nie zależy od kolejności:

dwa tłumaczenia
dwa obroty lub śruby wokół tej samej osi
odbicie względem płaszczyzny i przesunięcie w tej płaszczyźnie, obrót wokół osi prostopadłej do płaszczyzny lub odbicie względem płaszczyzny prostopadłej
odbicie poślizgu względem płaszczyzny i przesunięcie w tej płaszczyźnie
inwersja w punkcie i dowolna izometria utrzymująca punkt nieruchomy
obrót o 180° wokół osi i odbicie w płaszczyźnie przez tę oś
obrót o 180° wokół osi i obrót o 180° wokół osi prostopadłej (powoduje obrót o 180° wokół osi prostopadłej do obu)
dwa odbicia wirnika wokół tej samej osi, względem tej samej płaszczyzny
dwa odbicia poślizgu względem tej samej płaszczyzny

Klasy koniugatu

Translacje o określoną odległość w dowolnym kierunku tworzą klasę sprzężoną ; grupa translacji jest połączeniem tych na wszystkie odległości.

W 1D wszystkie odbicia są w tej samej klasie.

W 2D obroty o ten sam kąt w obu kierunkach należą do tej samej klasy. Odbicia poślizgu z przesunięciem o tę samą odległość należą do tej samej klasy.

W 3D:

Inwersje w odniesieniu do wszystkich punktów są w tej samej klasie.
Obroty o ten sam kąt należą do tej samej klasy.
Obroty wokół osi połączone z translacją wzdłuż tej osi są w tej samej klasie, jeśli kąt jest taki sam i odległość translacji jest taka sama.
Odbicia w samolocie należą do tej samej klasy
Odbicia w płaszczyźnie połączone z translacją w tej płaszczyźnie o tę samą odległość należą do tej samej klasy.
Obroty wokół osi o ten sam kąt nie równy 180°, połączone z odbiciem w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi, należą do tej samej klasy.

Zobacz też

Bibliografia

Cederberg, Judith N. (2001). Kurs współczesnej geometrii . str. 136 -164. Numer ISBN 978-0-387-98972-3.
Williama Thurstona . Geometria i topologia trójwymiarowa. Cz. 1 . Pod redakcją Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 s. ISBN 0-691-08304-5

Languages

In other projects