Grupa symplektyczna - Symplectic group
Grupy kłamstw |
---|
Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup |
---|
W matematyce nazwa grupa symplektyczna może odnosić się do dwóch różnych, ale blisko spokrewnionych zbiorów grup matematycznych , oznaczonych Sp(2 n , F ) i Sp( n ) dla dodatniej liczby całkowitej n oraz pola F (zwykle C lub R ). Ta ostatnia nazywana jest zwartą grupą symplektyczną i jest również oznaczana przez . Wielu autorów preferuje nieco inne zapisy, zwykle różniące się współczynnikami 2 . Zastosowana tutaj notacja jest zgodna z wielkością najczęstszych macierzy reprezentujących grupy. W Cartan klasyfikacji jest z prostych algebrach Lie , algebra Lie kompleksowej grupy SP (2 N , C ) jest oznaczona C n i SP ( n ) jest zwarty rzeczywisty kształt z SP (2 n , C ) . Zauważ, że kiedy odwołujemy się do (zwartej) grupy symplektycznej, zakłada się, że mówimy o zbiorze (zwartych) grup symplektycznych, indeksowanych według ich wymiaru n .
Nazwa „grupa symplektyczna” pochodzi od Hermanna Weyla jako zamiennika poprzednich mylących nazw ( linia ) grupa złożona i grupa liniowa abelowa i jest greckim odpowiednikiem słowa „złożona”.
Grupa metaplektyczna jest podwójną osłoną grupy symplektycznej nad R ; ma analogów w porównaniu z innymi lokalnymi polami , polami skończonych i Adele pierścieni .
Sp(2 n , F )
Grupa symplektycznych jest grupa klasyczny określona jako zestaw liniowych przemian o 2 n -wymiarowej przestrzeni wektorowej na polu F , które zachowują się nie zdegenerowany nachylenia symetryczny postać dwuliniowego . Taką przestrzeń wektorową nazywamy symplektyczną przestrzenią wektorów , a grupę symplektyczną abstrakcyjnej symplektycznej przestrzeni wektorowej V oznaczamy Sp( V ) . Po ustaleniu podstawy V , grupa symplektyczna staje się grupą macierzy symplektycznych 2 n × 2 n , z wpisami w F , w wyniku operacji mnożenia macierzy . Ta grupa jest oznaczona jako Sp(2 n , F ) lub Sp( n , F ) . Jeśli postać dwuliniowa jest reprezentowana przez nieosobliwą macierz skośno-symetryczną Ω, to
gdzie K T jest transpozycją z M . Często Ω definiuje się jako
gdzie I n jest macierzą jednostkową. W tym przypadku Sp(2 n , F ) można wyrazić jako te macierze blokowe , gdzie , spełniające trzy równania:
Ponieważ wszystkie matryce symplektyczne decydującą 1 The symplektycznych grupa jest podgrupa o specjalnym liniową grupę SL (2 n , M ) . Gdy n = 1 , warunek symplektyczny na macierzy jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik jest jeden, tak że Sp(2, F ) = SL(2, F ) . Dla n > 1 istnieją dodatkowe warunki, tzn. Sp(2 n , F ) jest wtedy właściwą podgrupą SL(2 n , F ) .
Zazwyczaj pole F jest polem liczb rzeczywistych R lub liczb zespolonych C . W tych przypadkach Sp(2 n , F ) jest rzeczywistą/złożoną grupą Liego o rzeczywistym/złożonym wymiarze n (2 n + 1 ) . Grupy te są połączone, ale nie zwarte .
Centrum z SP (2 n , F ) składa się z matrycy , że 2 n i - I 2 n dopóki charakterystyczne pola nie jest 2 . Ponieważ środek Sp(2 n , F ) jest dyskretny, a jego iloraz modulo to prosta grupa , Sp(2 n , F ) jest uważana za prostą grupę Liego .
Rzeczywisty rząd odpowiedniej algebry Liego, a więc grupy Liego Sp(2 n , F ) , wynosi n .
Algebra Lie z SP (2 n , F ) jest zbiorem
wyposażony w komutator jako wspornik Lie. Dla standardowej skośno-symetrycznej postaci dwuliniowej ta algebra Liego jest zbiorem wszystkich macierzy blokowych podlegających warunkom
Sp( 2n , C )
Grupa symplektyczna nad ciałem liczb zespolonych jest niezwartą , po prostu spójną , prostą grupą Liego .
Sp( 2n , R )
Sp( n , C ) to kompleksowość grupy rzeczywistej Sp(2 n , R ) . SP (2 N , R ) jest prawdziwy, niezwartej , połączony , grupa prosta Lie . Ma podstawową grupę izomorficzną z dodawaną grupą liczb całkowitych . Jako realnej postaci z prostej grupy Lie jego Lie algebra jest rozszczepialne Lie algebra .
Niektóre dalsze własności Sp(2 n , R ) :
- Mapę wykładniczy z Lie Algebra sp (2 N , R ), z grupą (SP 2 n , R ) jest suriekcją . Jednak każdy element grupy można przedstawić jako iloczyn dwóch wykładników. Innymi słowy,
- Dla wszystkich S w Sp(2 n , R ) :
- Macierz D jest dodatnio określona i diagonalna . Zbiór takich Zs tworzy niezwartą podgrupę Sp( 2n , R ), podczas gdy U( n ) tworzy zwartą podgrupę. Ten rozkład jest znany jako rozkład „Euler” lub „Bloch-Mesjasz”. Dalsze właściwości macierzy symplektycznej można znaleźć na tej stronie Wikipedii.
- Jako grupy Lie , SP (2 N , R ) ma konstrukcję rozdzielacza. Kolektor dla SP (2 N , R ) jest diffeomorphic do kartezjańskiego produktu o jednolitym grupy u ( n ) z przestrzeni wektorowej wymiaru n ( n + 1) .
Nieskończenie małe generatory
Członami symplektycznej algebry Liego sp (2 n , F ) są macierze Hamiltona .
To są macierze, takie, że
gdzie B i C są macierzami symetrycznymi . Zobacz klasyczną grupę dla wyprowadzenia.
Przykład macierzy symplektycznych
Dla Sp(2, R ) , grupy macierzy 2 × 2 z wyznacznikiem 1 , trzy macierze symplektyczne (0, 1) to:
Sp(2n, R)
Okazuje się, że można mieć dość jednoznaczny opis za pomocą generatorów. Jeśli oznaczymy macierze symetryczne , to jest generowane przez gdzie
są podgrupami pg 173 pg 2 .
Związek z geometrią symplektyczną
Geometria symplektyczna to nauka o rozmaitościach symplektycznych . Przestrzeń styczna w dowolnym punkcie rozmaitości symplektycznej jest symplektyczną przestrzenią wektorową . Jak zauważono wcześniej, przekształcenia zachowujące strukturę symplektycznej przestrzeni wektorowej tworzą grupę i tą grupą jest Sp(2 n , F ) , w zależności od wymiaru przestrzeni i pola, nad którym jest definiowana.
Symplektyczna przestrzeń wektorowa sama w sobie jest rozmaitością symplektyczną. Transformacja pod działaniem grupy symplektycznej jest więc w pewnym sensie zlinearyzowaną wersją symplektomorfizmu, który jest ogólniejszą strukturą zachowującą transformację na rozmaitości symplektycznej.
Sp ( n )
Zwarty symplektycznych grupa SP ( n ), to punkt przecięcia (SP 2 n , C ) z jednolitego grupy obejmującej:
Czasami zapisywany jest jako USp(2 n ) . Alternatywnie, Sp( n ) można opisać jako podgrupę GL( n , H ) (odwracalnych czwartorzędowych macierzy), która zachowuje standardową formę hermitowską na H n :
Oznacza to, że Sp( n ) jest po prostu czwartorzędową grupą unitarną , U( n , H ) . Rzeczywiście, czasami nazywana jest grupą hiperuniitarną . Również Sp(1) jest grupą kwaternionów normy 1 , równoważną SU(2) i topologicznie 3- sferą S 3 .
Należy zauważyć, że SP ( n ) jest nie symplektycznych grupa, w tym sensie, w poprzedniej sekcji, że nie zachowuje się nie zdegenerowany skosu symetryczny H postać -bilinear na H n : nie istnieje forma wyjątkiem postaci zerowego. Jest raczej izomorficzny z podgrupą Sp(2 n , C ) , a więc zachowuje złożoną formę symplektyczną w przestrzeni wektorowej dwukrotnie większej od wymiaru. Jak wyjaśniono poniżej, algebra Liego z Sp( n ) jest zwartą postacią rzeczywistą zespolonej symplektycznej algebry Liego sp ( 2n , C ) .
Sp( n ) jest rzeczywistą grupą Liego o (rzeczywistym) wymiarze n (2 n + 1) . Jest kompaktowy i prosty w podłączeniu .
Algebra Liego dla Sp( n ) jest dana przez czwartorzędowe macierze skośno-hermitowskie , zbiór n -by- n czwartorzędowych macierzy spełniających
gdzie † jest sprzężony transpozycji w A (w tym przypadku bierze się z quaternionic koniugatu). Nawias Lie jest podawany przez komutator.
Ważne podgrupy
Niektóre główne podgrupy to:
I odwrotnie, sam jest podgrupą kilku innych grup:
Istnieją również isomorphisms z Lie algebr sp (2) = tak (5), i sp (1) = tak (3) = Ni (2) .
Związek między grupami symplektycznymi
Każda złożona, półprosta algebra Liego ma rozdzieloną formę rzeczywistą i zwartą formę rzeczywistą ; pierwsza nazywana jest złożonością dwóch ostatnich.
Algebra Liego dla Sp(2 n , C ) jest półprosta i jest oznaczona sp (2 n , C ) . Jego podzielona postać rzeczywista to sp (2 n , R ) , a jego zwarta postać rzeczywista to sp ( n ) . Odpowiadają one odpowiednio grupom Liego Sp( 2n , R ) i Sp( n ) .
Algebry sp ( p , n − p ) , które są algebrami Liego z Sp( p , n − p ) , są sygnaturą nieokreśloną równoważną formie zwartej.
Znaczenie fizyczne
Mechanika klasyczna
Zwarta grupa symplektyczna Sp( n ) pojawia się w fizyce klasycznej jako symetrie współrzędnych kanonicznych z zachowaniem nawiasu Poissona.
Rozważmy układ n cząstek, rozwijający się zgodnie z równaniami Hamiltona, których położenie w przestrzeni fazowej w danym czasie oznacza wektor współrzędnych kanonicznych ,
Elementy grupy Sp(2 n , R ) są w pewnym sensie przekształceniami kanonicznymi na tym wektorze, tzn. zachowują postać równań Hamiltona . Gdyby
są więc nowymi współrzędnymi kanonicznymi z kropką oznaczającą pochodną po czasie,
gdzie
dla wszystkich t i wszystkich z w przestrzeni fazowej.
Dla szczególnego przypadku rozmaitości riemannowskiej równania Hamiltona opisują geodezję na tej rozmaitości. Współrzędne żyją w wiązce stycznej do rozmaitości, a pędy w wiązce costycznej . To jest powód, dla którego są one konwencjonalnie pisane z górnymi i dolnymi indeksami; chodzi o rozróżnienie ich lokalizacji. Odpowiadająca Hamiltonian składa się wyłącznie z energii kinetycznej: to gdzie jest odwrotnością tensora metrycznego na riemannowskiej kolektora. Faktycznie wiązka cotangent z dowolnego gładkiego kolektora może być podany w (nie trywialne) symplektycznych strukturę w kanonicznym sposób z postaci symplektyczna określona jako zewnętrzna pochodnej o tautologicznym jednej postaci .
Mechanika kwantowa
Rozważmy układ n cząstek, których stan kwantowy koduje jego położenie i pęd. Współrzędne te są zmiennymi ciągłymi i stąd przestrzeń Hilberta , w której żyje stan, jest nieskończenie wymiarowa. To często utrudnia analizę tej sytuacji. Alternatywnym podejściem jest rozważenie ewolucji operatorów położenia i pędu w ramach równania Heisenberga w przestrzeni fazowej .
Skonstruuj wektor współrzędnych kanonicznych ,
Kanoniczne komutacji związek może być wyrażony
gdzie
i że n jest n x n macierzą jednostkową.
Wiele sytuacji fizycznych wymaga jedynie hamiltonianów kwadratowych , czyli hamiltonianów postaci
gdzie K jest 2 n × 2 n rzeczywistą, symetryczną macierzą . Okazuje się to użytecznym ograniczeniem i pozwala nam przepisać równanie Heisenberga jako
Rozwiązanie tego równania musi zachować kanoniczną relację komutacji . Można wykazać, że ewolucja czasowa tego układu jest równoważne do działania z prawdziwym symplektyczna grupy SP (2 n , R ) na powierzchni fazy.
Zobacz też
- Grupa ortogonalna
- Grupa jednostkowa
- Projekcyjna grupa unitarna
- Rozmaitość symplektyczna , macierz symplektyczna , symplektyczna przestrzeń wektorowa , reprezentacja symplektyczna
- Reprezentacje klasycznych grup Liego
- mechanika hamiltonowska
- Grupa metaplektyczna
- Θ10
Uwagi
Bibliografia
- Arnold, VI (1989), Metody matematyczne mechaniki klasycznej , Teksty podyplomowe z matematyki , 60 (wyd. drugie), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
- Hall, Brian C. (2015), grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: wprowadzenie elementarne , teksty magisterskie z matematyki, 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
- Fulton, W .; Harris, J. (1991), Teoria reprezentacji , pierwszy kurs , Teksty podyplomowe z matematyki , 129 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8.
- Goldstein, H. (1980) [1950]. "Rozdział 7". Mechanika klasyczna (wyd. 2). Czytanie MA: Addison-Wesley . Numer ISBN 0-201-02918-9.
- Lee, JM (2003), Wprowadzenie do gładkich rozmaitości , Teksty magisterskie z matematyki , 218 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95448-1
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
- Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paryż, Matteo GA (marzec 2005), "Stany Gaussa w ciągłej zmiennej informacji kwantowej", arXiv : quant-ph/0503237.