Subiektywna logika - Subjective logic

Logika subiektywna to rodzaj logiki probabilistycznej, która wyraźnie bierze pod uwagę epistemiczną niepewność i zaufanie do źródeł. Ogólnie rzecz biorąc, logika subiektywna jest odpowiednia do modelowania i analizowania sytuacji związanych z niepewnością i względnie zawodnymi źródłami. Na przykład może być używany do modelowania i analizowania sieci zaufania i sieci bayesowskich .

Argumenty w logice subiektywnej to subiektywne opinie na temat zmiennych stanu, które mogą przyjmować wartości z dziedziny (zwanej również przestrzenią stanów), gdzie wartość stanu można traktować jako twierdzenie, które może być prawdziwe lub fałszywe. Opinia dwumianowa dotyczy binarnej zmiennej stanu i może być reprezentowana jako plik PDF Beta (funkcja gęstości prawdopodobieństwa). Opinia wielomianowa dotyczy zmiennej stanu o wielu możliwych wartościach i może być przedstawiona jako plik PDF Dirichleta (funkcja gęstości prawdopodobieństwa). Poprzez korespondencję między opiniami a rozkładami Beta / Dirichleta, logika subiektywna zapewnia algebrę dla tych funkcji. Opinie są również związane z reprezentacją przekonań w teorii przekonań Dempstera-Shafera .

Podstawowym aspektem kondycji ludzkiej jest to, że nikt nigdy nie jest w stanie określić z absolutną pewnością, czy zdanie dotyczące świata jest prawdziwe, czy fałszywe. Ponadto, ilekroć prawda zdania jest wyrażana, zawsze czyni to jednostka i nigdy nie może być uważane za reprezentujące ogólne i obiektywne przekonanie. Te idee filozoficzne znajdują bezpośrednie odzwierciedlenie w formalizmie matematycznym logiki subiektywnej.

Subiektywne opinie

Opinie subiektywne wyrażają subiektywne przekonania na temat prawdziwości wartości / twierdzeń państwowych ze stopniem epistemicznej niepewności i mogą wyraźnie wskazywać źródło przekonań, gdy jest to wymagane. Opinia jest zazwyczaj oznaczona jako gdzie jest źródłem opinii, a jest zmienną stanu, którego dotyczy opinia. Zmienna może przyjmować wartości z domeny (zwanej również przestrzenią stanów), np. Oznaczona jako . Zakłada się, że wartości domeny są wyczerpujące i wzajemnie rozłączne, a źródła mają wspólną semantyczną interpretację domeny. Źródło i zmienna to atrybuty opinii. Wskazanie źródła można pominąć, gdy nie ma to znaczenia. ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A}}$${\ Displaystyle A \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle \ mathbb {X}}$

Opinie dwumianowe

Niech będzie wartością stanu w domenie binarnej. Dwumianowa opinia o prawdziwości wartości stanu jest czterokrotnie uporządkowaną, gdzie: ${\ Displaystyle x \, \!}$${\ Displaystyle x \, \!}$${\ Displaystyle \ omega _ {x} = (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x}) \, \!}$

${\ Displaystyle b_ {x} \, \!}$ : masa wiary	to przekonanie, które jest prawdziwe. ${\ Displaystyle x \, \!}$
${\ Displaystyle d_ {x} \ \!}$ : masa niedowierzania	to przekonanie, które jest fałszywe. ${\ Displaystyle x \, \!}$
${\ Displaystyle u_ {x} \, \!}$ : masa niepewności	to ilość niezaangażowanych przekonań, również interpretowanych jako epistemiczna niepewność .
${\ displaystyle a_ {x} \, \!}$ : Stopa bazowa	jest wcześniejszym prawdopodobieństwem w przypadku braku wiary lub niewiary.

Te składniki spełniają i . Poniżej przedstawiono cechy różnych klas opinii. ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} + u_ {x} = 1 \, \!}$${\ Displaystyle b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x} \ w [0,1] \, \!}$

Opinia	gdzie ${\ Displaystyle b_ {x} = 1 \, \!}$	jest opinią absolutną, która jest równoważna logicznej PRAWDA,
	gdzie ${\ Displaystyle d_ {x} = 1 \, \!}$	jest opinią absolutną, która jest równoważna wartości logicznej FAŁSZ,
	gdzie ${\ Displaystyle b_ {x} + d_ {x} = 1 \, \!}$	jest opinią dogmatyczną, która jest odpowiednikiem tradycyjnego prawdopodobieństwa,
	gdzie ${\ Displaystyle b_ {x} + d_ {x} <1 \, \!}$	to niepewna opinia, która wyraża stopnie epistemicznej niepewności , i
	gdzie ${\ Displaystyle b_ {x} + d_ {x} = 0 \, \!}$	jest pustą opinią, która wyraża całkowitą epistemiczną niepewność lub całkowitą pustkę wiary.

Prognozowane prawdopodobieństwo wyrażenia opinii dwumianowej określa się jako . ${\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {x} = b_ {x} + a_ {x} u_ {x} \, \!}$

Opinie dwumianowe można przedstawić w trójkącie równobocznym, jak pokazano poniżej. Punkt wewnątrz trójkąta reprezentuje trójkę. B , d , u -axes biegnie od jednej krawędzi do przeciwnej wierzchołka wskazanym przekonaniu, Disbelief lub etykiecie niepewności. Na przykład silna pozytywna opinia jest reprezentowana przez punkt w prawym dolnym rogu wierzchołka przekonania. Stawka podstawowa, zwana również prawdopodobieństwem wstępnym, jest pokazana jako czerwony wskaźnik wzdłuż linii bazowej, a przewidywane prawdopodobieństwo jest tworzone przez rzutowanie opinii na podstawę, równolegle do linii projektora stawki podstawowej. Opinie o trzech wartościach / propozycjach X, Y i Z są wizualizowane na trójkącie po lewej stronie, a ich odpowiedniki w formacie Beta PDF (funkcje gęstości prawdopodobieństwa) są wizualizowane na wykresach po prawej stronie. Przedstawiono również wartości liczbowe i słowne opisy jakościowe każdej opinii. ${\ Displaystyle (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}) \, \!}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {x} \, \!}$

Beta PDF jest zwykle oznaczany jako gdzie i są jej dwa parametry wytrzymałościowe. Beta PDF opinii dwumianowej to funkcja, w której poprzednia waga nie zawierająca informacji, zwana również jednostką dowodu, jest zwykle ustawiona na . ${\ Displaystyle \ mathrm {Beta} (p (x); \ alfa, \ beta) \ \!}$${\ displaystyle \ alpha \, \!}$${\ Displaystyle \ beta \, \!}$${\ Displaystyle \ omega _ {x} = (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x}) \, \!}$${\ Displaystyle \ mathrm {Beta} (p (x); \ alfa, \ beta) {\ mbox {gdzie}} {\ zaczynać {przypadków} \ alpha & = {\ Frac {Wb_ {x}} {u_ {x }}} + Wa_ {x} \\\ beta & = {\ frac {Wd_ {x}} {u_ {x}}} + W (1-a_ {x}) \ end {cases}} \, \! }$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W = 2}$

Opinie wielomianowe

Niech będzie zmienną stanu, która może przyjmować wartości stanu . Wielomianowa opinia na temat jest krotką złożoną , w której jest rozkład masy przekonań nad możliwymi wartościami stanu , jest masą niepewności i jest wcześniejszym (stopą bazową) rozkładem prawdopodobieństwa na możliwych wartościach stanu . Te parametry spełniają i jak również . ${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {X} \ \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {X} = (b_ {X}, u_ {X}, a_ {X}) \ \!}$${\ Displaystyle b_ {X} \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle u_ {X} \, \!}$${\ displaystyle a_ {X} \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle u_ {X} + \ suma b_ {X} (x) = 1 \, \!}$${\ displaystyle \ sum a_ {X} (x) = 1 \, \!}$${\ Displaystyle b_ {X} (x), u_ {X}, a_ {X} (x) \ w [0,1] \, \!}$

Opinie trójmianowe można po prostu wizualizować jako punkty wewnątrz czworościanu , ale opinie o wymiarach większych niż trójmian nie nadają się do prostej wizualizacji.

Pliki PDF Dirichlet są zwykle oznaczane jako gdzie jest rozkład prawdopodobieństwa względem wartości stanu i są parametrami wytrzymałości. PDF Dirichleta opinii wielomianowej jest funkcją, w której parametry wytrzymałości są podane przez , gdzie jest nieinformacyjną wcześniejszą wagą, zwaną również jednostką dowodu, zwykle ustawioną na . ${\ Displaystyle \ mathrm {Dir} (p_ {X}; \ alfa _ {X}) \ \!}$${\ displaystyle p_ {X} \, \!}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ alpha _ {X} \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {X} = (b_ {X}, u_ {X}, a_ {X}) \ \!}$${\ Displaystyle \ mathrm {Dir} (p_ {X}; \ alfa _ {X})}$${\ Displaystyle \ alpha _ {X} (x) = {\ Frac {Wb_ {X} (x)} {U_ {X}}} + Wa_ {X} (x) \ \!}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W = 2}$

Operatorzy

Większość operatorów w poniższej tabeli to uogólnienia logiki binarnej i operatorów prawdopodobieństwa. Na przykład dodawanie jest po prostu uogólnieniem dodawania prawdopodobieństw. Niektóre operatory mają znaczenie tylko przy łączeniu opinii dwumianowych, a niektóre mają również zastosowanie do opinii wielomianowych. Większość operatorów jest binarnych, ale dopełnienie jest jednoargumentowe, a porwanie jest trójskładnikowe. Szczegóły matematyczne każdego operatora można znaleźć w przywoływanych publikacjach.

Subiektywne operatory logiczne, notacje i odpowiadające im zdaniowe / binarne operatory logiczne

Operator logiki subiektywnej	Notacja operatora	Operator logiczny zdaniowy / binarny
Dodanie	${\ Displaystyle \ omega _ {x \ cup y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} + \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Unia
Odejmowanie	${\ Displaystyle \ omega _ {x \ backslash y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} - \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Różnica
Mnożenie	${\ Displaystyle \ omega _ {x \ ziemia y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \ cdot \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Koniunkcja / AND
Podział	${\ Displaystyle \ omega _ {x {\ overline {\ land}} y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} / \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Niepołączenie / UN-AND
Powielanie	${\ Displaystyle \ omega _ {x \ lor y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \ sqcup \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Disjunction / OR
Codivision	${\ Displaystyle \ omega _ {x {\ overline {\ lor}} y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \; {\ overline {\ sqcup}} \; \ omega _ {y } ^ {A} \, \!}$	Nierozłączność / UN-OR
Komplement	${\ Displaystyle \ omega _ {\ overline {x}} ^ {A} \; \; = \ lnot \ omega _ {x} ^ {A} \, \!}$	NIE
Odliczenie	${\ Displaystyle \ omega _ {Y \ | X} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \ circledcirc \ omega _ {X} ^ {A} \, \!}$	Modus ponens
Subiektywne twierdzenie Bayesa	${\ Displaystyle \ omega _ {X {\ tilde {|}} Y} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \; {\ widetilde {\ phi \,}} \; a_ { X} \, \!}$	Antyteza
Uprowadzenie	${\ Displaystyle \ omega _ {X {\ widetilde {\ |}} Y} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \; {\ widetilde {\ circledcirc}} \; (a_ { X}, \ omega _ {Y} ^ {A}) \, \!}$	Modus tollens
Przechodniość / dyskontowanie	${\ Displaystyle \ omega _ {X} ^ {A; B} = \ omega _ {B} ^ {A} \ otimes \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	na
Skumulowana fuzja	${\ Displaystyle \ omega _ {X} ^ {A \ diament B} = \ omega _ {X} ^ {A} \ oplus \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	na
Fuzja ograniczeń	${\ Displaystyle \ omega _ {X} ^ {A \ & B} = \ omega _ {X} ^ {A} \; \ odot \; \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	na

Kombinację źródeł przechodnich można oznaczyć w postaci zwartej lub rozszerzonej. Na przykład przechodnia ścieżka zaufania od analityka / źródła przez źródło do zmiennej może być oznaczona jako w formie zwartej lub rozszerzonej. Tutaj wyraża zaufanie / nieufność do źródła , natomiast wyraża opinię na temat stanu zmiennej, która jest podana jako rada . Rozszerzona forma jest najbardziej ogólna i bezpośrednio odpowiada sposobowi, w jaki subiektywne wyrażenia logiczne są tworzone za pomocą operatorów. ${\ Displaystyle A \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle [A; B, X] \, \!}$${\ Displaystyle [A; B]: [B, X] \, \!}$${\ Displaystyle [A; B] \, \!}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle [B, X] \, \!}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$

Nieruchomości

W przypadku, gdy opinie argumentów są równoważne logicznej PRAWDA lub FAŁSZ, wynik dowolnego subiektywnego operatora logicznego jest zawsze równy wynikowi odpowiedniego operatora logicznego zdaniowego / binarnego. Podobnie, gdy opinie argumentów są równoważne tradycyjnym prawdopodobieństwom, wynik dowolnego subiektywnego operatora logicznego jest zawsze równy wynikowi odpowiadającego mu operatora prawdopodobieństwa (jeśli istnieje).

W przypadku, gdy argumenty opinii zawierają stopnie niepewności, operatory mnożenia i dzielenia (w tym dedukcja, uprowadzenie i twierdzenie Bayesa) dadzą pochodne opinie, które zawsze mają poprawne przewidywane prawdopodobieństwo, ale prawdopodobnie z przybliżoną wariancją, gdy są postrzegane jako pliki PDF Beta / Dirichleta. Wszyscy inni operatorzy tworzą opinie, w których przewidywane prawdopodobieństwa i wariancja są zawsze poprawne analitycznie.

Różne formuły logiczne, które tradycyjnie są równoważne w logice zdań, niekoniecznie mają równe opinie. Na przykład ogólnie, chociaż dystrybucja koniunkcji nad dysjunkcją, wyrażona jako , zachodzi w binarnej logice zdań. Nie jest to zaskakujące, ponieważ odpowiednie operatory prawdopodobieństwa również nie są rozdzielcze. Jednak mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, co jest wyrażone przez . Prawa De Morgana są również spełnione, jak np. Wyrażone przez . ${\ Displaystyle \ omega _ {x \ ziemia (r \ lor z)} \ neq \ omega _ {(x \ ziemia y) \ lor (x \ ziemia z)} \ \!}$${\ Displaystyle x \ ziemia (r \ lor z) \ Leftrightarrow (x \ ziemia r) \ lor (x \ ziemia z) \ \!}$${\ Displaystyle \ omega _ {x \ ziemia (y \ puchar z)} = \ omega _ {(x \ ziemia y) \ puchar (x \ ziemia z)} \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {\ overline {x \ land y}} = \ omega _ {{\ overline {x}} \ lor {\ overline {y}}} \, \!}$

Logika subiektywna umożliwia bardzo wydajne obliczanie modeli matematycznie złożonych. Jest to możliwe dzięki aproksymacji poprawnych analitycznie funkcji. Chociaż analityczne pomnożenie dwóch plików Beta PDF w postaci wspólnego pliku Beta PDF jest stosunkowo proste , wszystko bardziej złożone niż to szybko staje się trudne do wykonania. Po połączeniu dwóch plików PDF w wersji Beta z pewnym operatorem / łącznikiem, wynik analityczny nie zawsze jest plikiem PDF w wersji Beta i może obejmować serie hipergeometryczne . W takich przypadkach subiektywna logika zawsze przybliża wynik jako opinię, która jest równoważna z wersją Beta PDF.

Aplikacje

Logika subiektywna ma zastosowanie, gdy analizowana sytuacja charakteryzuje się dużą epistemiczną niepewnością wynikającą z niepełnej wiedzy. W ten sposób logika subiektywna staje się logiką probabilistyczną dla prawdopodobieństw epistemicznych niepewnych. Zaletą jest to, że niepewność jest zachowana w trakcie analizy i jest wyrażona w wynikach, dzięki czemu można odróżnić pewne od niepewnych wniosków.

Modelowanie sieci zaufania i sieci bayesowskich to typowe zastosowania logiki subiektywnej.

Subiektywne sieci zaufania

Subiektywne sieci zaufania można modelować za pomocą kombinacji operatorów przechodniości i fuzji. Pozwól wyrazić przewagę zaufania od do , a przewagę przekonań od do . Subiektywną sieć zaufania można na przykład wyrazić w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. ${\ Displaystyle [A; B] \, \!}$${\ Displaystyle A \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ displaystyle [B, X] \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle ([A; B]: [B, X]) \ diament ([A; C]: [C, X]) \ \!}$

Wskaźniki 1, 2 i 3 wskazują porządek chronologiczny, w którym tworzone są krawędzie zaufania i porady. Tak więc, biorąc pod uwagę zestaw krawędzi zaufania z indeksem 1, powiernik pochodzenia otrzymuje porady od i , dzięki czemu jest w stanie wyprowadzić wiarę w zmienną . Wyrażając każdą krawędź zaufania i przewagę przekonania jako opinię, można wyprowadzić przekonanie wyrażone jako . ${\ Displaystyle A \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ Displaystyle C \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle A \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle \ omega _ {X} ^ {A} = \ omega _ {X} ^ {[A; B] \ diament [A; C]} = (\ omega _ {B} ^ {A} \ otimes \ omega _ {X} ^ {B}) \ oplus (\ omega _ {C} ^ {A} \ otimes \ omega _ {X} ^ {C}) \, \!}$

Sieci zaufania mogą wyrażać wiarygodność źródeł informacji i mogą być wykorzystywane do określania subiektywnych opinii na temat zmiennych, o których informacje dostarczają źródła.

Oparta na faktach logika subiektywna ( EBSL ) opisuje alternatywne obliczenia oparte na sieci zaufania, w których przechodniość opinii (dyskontowanie) jest obsługiwana przez zastosowanie wag do dowodów leżących u podstaw opinii.

Subiektywne sieci bayesowskie

W sieci Bayesa poniżej, i są zmiennymi macierzyste i jest zmienna dziecko. Analityk musi poznać zestaw wspólnych opinii warunkowych , aby zastosować operator dedukcji i uzyskać marginalną opinię o zmiennej . Opinie warunkowe wyrażają zależność warunkową między zmiennymi nadrzędnymi a zmiennymi podrzędnymi. ${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle Y \, \!}$${\ Displaystyle Z \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {Z | XY}}$${\ Displaystyle \ omega _ {Z \ | XY}}$${\ displaystyle Z}$

Wyprowadzona opinia jest obliczana jako . Wspólną opinię dowodową można obliczyć jako produkt niezależnych opinii dowodowych na temat i lub jako wspólny produkt częściowo zależnych opinii dowodowych. ${\ Displaystyle \ omega _ {Z \ | XY} = \ omega _ {Z | XY} \ circledcirc \ omega _ {XY}}$${\ displaystyle \ omega _ {XY}}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle Y \, \!}$

Sieci subiektywne

Połączenie subiektywnej sieci zaufania i subiektywnej sieci bayesowskiej jest siecią subiektywną. Subiektywna sieć zaufania może być wykorzystana do uzyskania z różnych źródeł opinii, które mają być wykorzystane jako opinie wejściowe do subiektywnej sieci bayesowskiej, jak pokazano na poniższym rysunku.

Tradycyjne sieci bayesowskie zazwyczaj nie uwzględniają wiarygodności źródeł. W sieciach subiektywnych wyraźnie brane jest pod uwagę zaufanie do źródeł.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Subiektywna logika Auduna Jøsanga
• Subiektywne ramy eksperymentów logicznych oparte na subiektywnych operatorach logicznych w ocenie zaufania: badanie empiryczne F. Cerutti, LM Kaplan, TJ Norman, N. Oren i A. Toniolo