Forma różniczkowa o wartościach wektorowych - Vector-valued differential form

W matematyce , A wektor wartościach postaci różniczkowej na kolektorze M jest różnica postać o M o wartości w przestrzeni wektorowej V . Bardziej ogólnie, jest to forma różniczkowa z wartościami w pewnej wiązce wektorowej E nad M . Zwykłe formy różniczkowe można postrzegać jako formy różniczkowe o wartościach R.

Ważnym przypadkiem form różniczkowych o wartościach wektorowych są formy o wartościach algebry Liego . (A tworzą połączenie jest przykładem takiej postaci. A)

Definicja

Niech M będzie gładką rozmaitością i E → M będzie gładką wiązką wektorów nad M . Przestrzeń gładkich odcinków wiązki E oznaczamy przez Γ( E ). E -valued różnica postać stopnia p jest gładki odcinek wiązki produktów napinacz do E z X ^P ( T ^* M ), przy czym P -tym zewnętrznej siły do wiązki cotangent z M . Przestrzeń takich form określana jest przez:

${\ Displaystyle \ Omega ^ {p} (M, E) = \ Gamma (E \ otimes \ Lambda ^ {p} T ^ {*} M).}$

Ponieważ Γ jest silnym funktorem monoidalnym , można to również interpretować jako

${\ Displaystyle \ Gamma (E \ otimes \ Lambda ^ {p} T ^ {*} M) = \ Gamma (E) \ czasami _ {\ Omega ^ {0} (M)} \ Gamma (\ Lambda ^ {p }T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

gdzie dwa ostatnie iloczyny tensorowe są iloczynem tensorowym modułów nad pierścieniem Ω ⁰ ( M ) gładkich funkcji o wartościach R na M (patrz siódmy przykład tutaj ). Zgodnie z konwencją, forma 0 o wartości E jest po prostu częścią pakietu E . To jest,

${\ Displaystyle \ Omega ^ {0} (M, E) = \ Gamma (E). \,}$

Równoważnie postać różniczkową o wartości E można zdefiniować jako morfizm wiązki

${\ Displaystyle TM \ otimes \ cdots \ otimes TM \ do E}$

który jest całkowicie skośnie symetryczny .

Niech V będzie ustaloną przestrzenią wektorową . V -valued różnica postać stopnia p jest różnica postaci stopni p o wartości w trywialne wiązki M x V . Przestrzeń takich form oznaczamy Ω ^p ( M , V ). Gdy V = R, odzyskuje się definicję zwykłej formy różniczkowej. Jeśli V jest skończenie wymiarowe, to można wykazać, że naturalny homomorfizm

${\ Displaystyle \ Omega ^ {p} (M) \ otimes _ {\ mathbb {R}} V \ do \ Omega ^ {p} (M, V)}$

gdzie pierwszy iloczyn tensorowy jest przestrzeniami wektorowymi nad R , jest izomorfizmem.

Operacje na formach o wartościach wektorowych

Zatrzymaj się

Wycofywanie form o wartościach wektorowych można zdefiniować za pomocą gładkich map, tak jak w przypadku zwykłych form. Pullback o E -valued formy na N gładką mapy cp: M → N jest (φ * E ) tworzą -valued na M , gdzie φ * E jest wiązka pullback o E o cp.

Formuła jest podana tak jak w zwykłym przypadku. Dla dowolnej formy p o wartości E ω na N cofnięcie φ*ω jest podane przez

${\ Displaystyle (\ varphi ^ {*} \ omega ) _ {x} (v_ {1}, \ cdots, v_ {p}) = \ omega _ {\ varphi (x)} (\ operatorname {d} \ varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}$

Produkt klinowy

Tak jak w przypadku zwykłych form różniczkowych, można zdefiniować iloczyn klinowy form o wartościach wektorowych. Produkt klina w E ₁ -valued P -a-a E ₂ -valued q postać a ma naturalnie ( e ₁ ⊗ E ₂ ) -valued ( p + q ) -a-:

${\ Displaystyle \ klin: \ Omega ^ {p} (M, E_ {1}) \ razy \ Omega ^ {q} (M, E_ {2}) \ do \ Omega ^ {p + q} (M, E_ {1}\czasy E_{2}).}$

Definicja jest taka sama jak dla zwykłych form, z tym wyjątkiem, że mnożenie rzeczywiste zastępuje się iloczynem tensorowym :

${\ Displaystyle (\ omega \ klin \ eta ) (v_ {1}, \ cdots, v_ {p + q}) = {\ Frac {1} {p! q!}} \ suma _ {\ sigma \ w S_ {p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p +1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

W szczególności iloczyn klinowy zwykłej (o wartości R ) formy p z formą q o wartości E jest naturalnie formą o wartości E ( p + q ) (ponieważ iloczyn tensorowy E z wiązką trywialną M × R jest naturalnie izomorficzny z E ). Dla ω ∈ Ω ^p ( M ) i η ∈ Ω ^q ( M , E ) mamy zwykłą zależność przemienności:

${\ Displaystyle \ omega \ klin \ eta = (-1) ^ {pq} \ eta \ klin \ omega.}$

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn klinowy dwóch form o wartości E nie jest inną formą o wartości E , ale raczej formą o wartości ( E ⊗ E ). Jednakże, jeśli E jest wiązką algebr (tj. wiązką algebr, a nie tylko przestrzeniami wektorowymi), można składać z mnożeniem w E, aby otrzymać formę o wartości E. Jeżeli E jest wiązka przemiennych , asocjacyjne algebrach wówczas w przypadku tego zmodyfikowanego produktu klina, zbiór wszystkich E -valued różnicowej formy

${\ Displaystyle \ Omega (M, E) = \ bigoplus _ {p = 0} ^ {\ dim M} \ Omega ^ {p} (M, E)}$

staje się stopniowaną-przemienną algebrą asocjacyjną. Jeśli włókna E nie są przemienne, to Ω( M , E ) nie będą stopniowane przemienne.

Pochodna zewnętrzna

Dla każdej przestrzeni wektorowej V istnieje naturalna pochodna zewnętrzna na przestrzeni form V- wartościowych. To jest po prostu zwykły zewnętrzny komponent mądry względna aktorstwo pochodna do dowolnego oparciu o V . Jawnie, jeśli { e _α } jest bazą dla V, to różniczka V-wartościowej formy p ω = ω ^α e _α jest dana przez

${\ Displaystyle d \ omega = (d \ omega ^ {\ alfa}) e_ {\ alfa}. \,}$

Zewnętrzna pochodna form V- wartościowych jest całkowicie scharakteryzowana przez zwykłe relacje:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i d (\ omega + \ eta ) = d \ omega + d \ eta \ \ & d (\ omega \ klin \ eta ) = d \ omega \ klin \ eta + (-1) ^ {p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}$

Ogólnie biorąc, powyższe uwagi dotyczą e -valued formy, gdzie E jest każda płaska wektor wiązki na M (to jest wektorem, którego pakiet funkcji przejścia są stałe). Zewnętrzna pochodna jest zdefiniowana jak powyżej, na każdej lokalnej trywializacji z E .

Jeśli E nie jest płaskie, to nie ma naturalnego pojęcia pochodnej zewnętrznej działającej na formy o wartościach E. Potrzebny jest wybór połączenia na E . Połączenie na E jest liniowym operatorem różniczkowym przyjmującym odcinki od E do E o wartościach jednorodnych:

${\ Displaystyle \ nabla: \ Omega ^ {0} (M, E) \ do \ Omega ^ {1} (M, E).}$

Jeśli E jest wyposażone w połączenie ∇ wtedy istnieje unikalna kowariantna pochodna zewnętrzna

${\ Displaystyle d_ {\ nabla}: \ Omega ^ {p} (M, E) \ do \ Omega ^ {p + 1} (M, E)}$

rozszerzenie ∇. Kowariantna pochodna zewnętrzna charakteryzuje się liniowością i równaniem

${\ Displaystyle d_ {\ nabla} (\ omega \ klin \ eta ) = d_ {\ nabla} \ omega \ klin \ eta + (-1) ^ {p} \ \ omega \ klin d \ eta}$

gdzie ω jest formą p o wartości E, a η jest zwykłą formą q . Na ogół, jeden nie muszą mieć d _∇ ² = 0, w rzeczywistości dzieje się tak tylko wtedy, gdy połączenie ∇ jest płaska (to jest zanikający krzywiznę ).

Formy podstawowe lub tensoryczne na wiązkach głównych

Niech E → M być gładka wektor wiązka rang k nad M i pozwalają π  F ( E ) → M jest ( związane ) wiązki rama z E , który jest głównym GL _k ( R ) wiązki na M . Pullback o E o Õ jest kanonicznej izomorficzna F ( E ) x _p R ^k przez odwrotność [ u , v ] → U ( V ), gdzie ρ jest średnia reprezentacji. W związku z tym, pullback przez Õ wystąpienia E -valued formy na M określa identyfikator R ^k -valued formy na F ( E ). Nie jest trudno sprawdzić, czy ta wycofana forma jest prawostronnie ekwiwariantna w odniesieniu do naturalnego działania GL _k ( R ) na F( E ) × R ^k i znika na wektorach pionowych (wektory styczne do F( E ), które leżą w jądrze d π ). Takie postacie o wartościach wektorowych na F( E ) są wystarczająco ważne, aby uzasadnić specjalną terminologię: są nazywane formami podstawowymi lub tensorialnymi na F( E ).

Niech π  : P → M będzie (gładką) wiązką główną G i niech V będzie ustaloną przestrzenią wektorową wraz z reprezentacją ρ  : G → GL( V ). Podstawowy lub tensorial postać o P typu p jest V -valued tworzą ω na P , który jest equivariant i poziomej w tym sensie, że

1. ${\ Displaystyle (R_ {g}) ^ {*} \ omega = \ rho (g ^ {-1}) \ omega \}$dla wszystkich g ∈ G , i
2. ${\ Displaystyle \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {p}) = 0}$gdy co najmniej jeden z V _i są pionowo (to jest d π ( V _I ) = 0).

Tutaj R _g oznacza właściwe działanie G na P dla pewnego g ∈ G . Zwróć uwagę, że w przypadku form zerowych drugi warunek jest bezsensownie prawdziwy .

Przykład: ρ jest przedstawienie sprzężony z G na Algebra Lie spełnia w Formie ZWIĄZKU omów pierwszy stan (ale nie na sekundę). Powiązana forma krzywizny Ω spełnia oba; stąd Ω jest tensoryczną formą typu sprzężonego. „Różnica” dwóch form połączenia jest formą tensoryjną.

Biorąc pod uwagę, P i p , jak powyżej, można skonstruować powiązany wektor wiązki E = P x _p V . Tensoryczne formy q na P są w naturalnej zgodności jeden do jednego z formami q o wartościach E na M . Podobnie jak w przypadku głównego wiązki F ( e ) powyżej, z uwagi na q postać a o M z wartościami E zdefiniować φ na P fiberwise przez, przykładowo co U , ${\displaystyle {\overline {\phi}}}$

${\ Displaystyle \ phi = u ^ {-1} \ pi ^ {*} {\ overline {\ phi}}}$

gdzie u jest postrzegany jako liniowy izomorfizm . φ jest więc formą tensoryjną typu ρ. Odwrotnie, biorąc pod uwagę tensoryjną formę φ typu ρ, ten sam wzór definiuje formę o wartości E na M (por . homomorfizm Cherna-Weila ). W szczególności istnieje naturalny izomorfizm przestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle V {\ przesunięty {\ simeq} {\ do}} E_ {\ pi (u)} = (\ pi ^ {*} E) _ {u}, v \ mapsto [u, v]}$${\displaystyle {\overline {\phi}}}$

${\ Displaystyle \ Gamma (M, E) \ simeq \ {f: P \ do V | f (ug) = \ rho (g) ^ {-1} f (u) \} \, {\ overline {f }}\leftrightarrow f}$.

Przykład: Niech E będzie wiązką styczną z M . Wtedy identyfikator mapy wiązki tożsamości _E : E → E jest jedną postacią o wartości E na M . Forma liouville'a jest wyjątkowa postać na wiązce ramki E , który odpowiada identyfikatorowi _E . Oznaczana przez θ, jest formą tensoryjną typu standardowego.

Załóżmy teraz, że istnieje połączenie na P, tak że istnieje zewnętrzne różniczkowanie kowariantne D na (różnych) formach o wartościach wektorowych na P . Poprzez powyższą korespondencję, D działa również na formach o wartościach E : zdefiniuj ∇ by

${\ Displaystyle \ nabla {\ overline {\ phi }} = {\ overline {D \ phi}}}.}$

W szczególności dla form zerowych,

${\ Displaystyle \ nabla: \ Gamma (M, E) \ do \ Gamma (M, T ^ {*} M \ czasami E)}$.

Jest to dokładnie pochodna kowariantna dla połączenia na wiązce wektorowej E .

Przykłady

Formy modularne Siegel powstają jako formy różniczkowe o wartościach wektorowych na odmianach modularnych Siegel .

Uwagi

Bibliografia

• Shoshichi Kobayashi i Katsumi Nomizu (1963) Podstawy geometrii różniczkowej , tom. 1, Wiley Interscience .