Twierdzenie o wiriale - Virial theorem

W mechanice The twierdzenie o wiriale zapewnia ogólne równanie, które odnosi się do średniej z czasu całkowitej energii kinetycznej układu stabilnego dyskretnych cząstek, związana z potencjalne siły, że z całkowitej energii potencjalnej układu. Matematycznie twierdzenie stwierdza:

${\ Displaystyle \ lewo \ langle T \ prawo \ rangle = - {\ Frac {1} {2}} \ \ suma _ {k = 1} ^ {N} {\ Bigl \ langle} \ mathbf {F} _ {k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }}$

do całkowitej energii kinetycznej ⟨ T ⟩ z N cząstek, w którym K _K reprezentuje siłę na k p cząstek, która znajduje się w pozycji r _k i nawiasy oznaczają średnią z czas zamkniętego ilości. Słowo virial dla prawej strony równania pochodzi od vis , łacińskiego słowa oznaczającego „siłę” lub „energię”, a jego techniczną definicję podał Rudolf Clausius w 1870 roku.

Znaczenie twierdzenia wirialnego polega na tym, że pozwala ono na obliczenie średniej całkowitej energii kinetycznej nawet dla bardzo skomplikowanych układów, które nie dają się znaleźć w dokładnym rozwiązaniu, takim jak te rozważane w mechanice statystycznej ; ta średnia całkowita energia kinetyczna jest powiązana z temperaturą układu przez twierdzenie o ekwipartycji . Jednak twierdzenie o wiriale nie zależy od pojęcia temperatury i obowiązuje nawet dla układów, które nie są w równowadze termicznej . Twierdzenie o wiriale zostało uogólnione na różne sposoby, w szczególności do postaci tensorowej .

Jeżeli siła pomiędzy dwoma cząsteczkami rezultatów układu z potencjalnej energii V ( r ) = aR ⁿ , które jest proporcjonalne do pewnego mocy n o odległość międzycząstkowo R The twierdzenie o wiriale ma postać prostego

${\ Displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V_ {\ tekst {TOT}} \ rangle.}$

Zatem dwukrotna średnia całkowita energia kinetyczna ⟨ T ⟩ równa się n razy średniej całkowitej energii potencjalnej ⟨ V _TOT ⟩ . Podczas gdy V ( r ) reprezentuje energię potencjalną między dwiema cząstkami, V _TOT reprezentuje całkowitą energię potencjalną układu, tj. sumę energii potencjalnej V ( r ) wszystkich par cząstek w układzie. Typowym przykładem takiego układu jest gwiazda utrzymywana razem przez własną grawitację, gdzie n równa się -1.

Chociaż twierdzenie o wiriale zależy od uśrednienia całkowitych energii kinetycznych i potencjalnych, prezentacja tutaj odkłada uśrednianie do ostatniego kroku.

Historia

W 1870 r. Rudolf Clausius wygłosił wykład „O mechanice twierdzeniu stosowanym do ciepła” dla Stowarzyszenia Nauk Przyrodniczych i Medycznych Dolnego Renu, po 20-letnich badaniach termodynamiki. W wykładzie stwierdzono, że średnia vis viva układu jest równa jego wirialnemu, czyli średnia energia kinetyczna jest równa1/2średnia energia potencjalna. Twierdzenie o wiriale można uzyskać bezpośrednio z tożsamości Lagrange'a stosowanej w klasycznej dynamice grawitacyjnej, której pierwotna forma została zawarta w "Eseju o problemie trzech ciał" Lagrange'a opublikowanym w 1772 roku . Uogólnienie tożsamości przez Karla Jacobiego na  ciała N i na obecna forma tożsamości Laplace'a bardzo przypomina klasyczne twierdzenie o wirialach. Jednak interpretacje prowadzące do opracowania równań były bardzo różne, ponieważ w momencie rozwoju dynamika statystyczna nie ujednolicała jeszcze odrębnych badań termodynamiki i dynamiki klasycznej. Twierdzenie to zostało później wykorzystane, spopularyzowane, uogólnione i dalej rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella , Lorda Rayleigha , Henri Poincaré , Subrahmanyana Chandrasekhara , Enrico Fermiego , Paula Ledoux , Richarda Badera i Eugene'a Parkera . Fritz Zwicky jako pierwszy wykorzystał twierdzenie o wiriale do wywnioskowania o istnieniu niewidzialnej materii, którą obecnie nazywamy ciemną materią . Richard Bader wykazał, że rozkład ładunku w całym układzie można podzielić na jego energie kinetyczną i potencjalną, które są zgodne z twierdzeniem o wirialach. Jako inny przykład wielu zastosowaniach, twierdzenie o wiriale został wykorzystany do uzyskania limitu Chandrasekhara dla stabilności białych karłów gwiazdek .

Przykładowy przypadek specjalny

Rozważmy N = 2 cząstki o równej masie m , na które działają wzajemnie przyciągające siły. Załóżmy, że cząstki znajdują się w diametralnie przeciwnych punktach orbity kołowej o promieniu r . Prędkości v ₁ ( t ) i v ₂ ( t ) = − v ₁ ( t ) są normalne do sił F ₁ ( t ) i F ₂ ( t ) = - F ₁ ( t ) . Odpowiednie wielkości są ustalone na v i F . Średnia energia kinetyczna układu wynosi

${\ Displaystyle \ langle T \ rangle = \ suma _ {k = 1} ^ {N} {\ Frac {1} {2}} m_ {k} \ po lewej | \ mathbf {v} _ {k} \ po prawej | ^{2}={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _ {2}|^{2}=mv^{2}.}$

Biorąc za początek środek masy, cząstki mają pozycje r ₁ ( t ) i r ₂ ( t ) = − r ₁ ( t ) o stałej wielkości r . Siły przyciągania działają w przeciwnych kierunkach jako pozycje, więc F ₁ ( t ) r ₁ ( t ) = F ₂ ( t ) r ₂ ( t ) = − Fr${\displaystyle \cdot}$ ${\displaystyle \cdot}$ . Zastosowanie wzoru na siłę dośrodkową F = mv ² / r daje w wyniku:

${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {k = 1} ^ {N} {\ Bigl \ langle} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {R} _ { k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{ 2}=\langle T\rangle ,}$

jako wymagane. Uwaga: Jeśli początek jest przesunięty, otrzymalibyśmy ten sam wynik. Dzieje się tak, ponieważ iloczyn skalarny przemieszczenia z równymi i przeciwstawnymi siłami F ₁ ( t ) , F ₂ ( t ) powoduje zniesienie netto.

Oświadczenie i wyprowadzenie

Dla zbioru cząstek punktowych N skalarny moment bezwładności I wokół początku jest określony równaniem

${\ Displaystyle I = \ suma _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ lewo | \ mathbf {r} _ {k} \ po prawej | ^ {2} = \ suma _ {k = 1} ^ {N}m_{k}r_{k}^{2}}$

gdzie m _k i r _k oznaczają masę i położenie k- tej cząstki. r _k = | r _k | to wielkość wektora pozycji. Skalar G jest określony równaniem

${\ Displaystyle G = \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}}$

gdzie p _k jest pęd wektor z k -tego cząstki. Zakładając, że masy są stałe, G jest połową pochodnej czasu tego momentu bezwładności

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {dI} {dt}} i = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {d} {dt} }\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^ {N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1 }^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{wyrównany}}}$

Z kolei pochodną czasu G można zapisać

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {dG} {dt}} i = \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {k} \ cdot {\ Frac {d\ mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf { r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\ \&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\,\end{wyrównany}}}$

gdzie m _k jest masą k- tej cząstki, F _k =d p _k/dtjest siłą wypadkową na tej cząstce, a T jest całkowitą energią kinetyczną układu zgodnie z v _k =d r _k/dt prędkość każdej cząstki

${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} v_ {k} ^ {2} = {\ Frac {1} {2}} \sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k }}{dt}}.}$

Połączenie z energią potencjalną między cząstkami

Całkowita siła F _k na cząstce k jest sumą wszystkich sił od innych cząstek j w układzie

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {k} = \ suma _ {j = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {jk}}$

gdzie F _jk jest siłą przyłożoną przez cząstkę j do cząstki k . Dlatego można napisać virial

${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {2}} \ \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {R} _ {k} = - {\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf { r} _{k}\,.}$

Ponieważ żadna cząstka nie działa na siebie (tj. F _jj = 0 dla 1 ≤ j ≤ N ), dzielimy sumę poniżej i powyżej tej przekątnej i dodajemy je parami:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = \ suma _ {k = 1 }^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N} \sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \ mathbf {r} _{j}\right)\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _ {jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N }\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right )\end{wyrównany}}}$

gdzie założyliśmy, że zachodzi trzecia zasada dynamiki Newtona , tj. F _jk = − F _kj (reakcja równa i przeciwna).

Często zdarza się, że siły można wyprowadzić z energii potencjalnej V _jk będącej funkcją tylko odległości r _jk między punktowymi cząstkami j i k . Ponieważ siła jest ujemnym gradientem energii potencjalnej, mamy w tym przypadku

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {jk} = - \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {k}} V_ {jk} = - {\ Frac {dV_ {jk}} {dr_ {jk}}} \left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$

co jest równe i przeciwne do F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk , siły przyłożonej przez cząstkę k na cząstkę j , co można potwierdzić jawnymi obliczeniami. Stąd,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} i = \ suma _ {k = 2 }^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{ j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk} }}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k= 2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{wyrównany}}}$

Tak więc mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {dG} {dt}} = 2T + \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {R} _ {k} = 2 T- \sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}$

Szczególny przypadek sił prawa siłowego

W powszechnym specjalnym przypadku energia potencjalna V między dwiema cząstkami jest proporcjonalna do potęgi n ich odległości r _ij

${\ Displaystyle V_ {jk} = \ alfa r_ {jk} ^ {n}}$

gdzie współczynnik α i wykładnik n są stałymi. W takich przypadkach wirial jest określony równaniem

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} - {\ Frac {1} {2}} \ \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {R} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{ jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk }^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk }={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{wyrównany}}}$

gdzie V _TOT jest całkowitą energią potencjalną układu

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {TOT}} = \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ suma _ {j<k} V_ {jk} \,.}$

Tak więc mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {dG} {dt}} = 2T + \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {R} _ {k} = 2 T- nV_{\text{TOT}}\,.}$

Dla układów grawitacyjnych wykładnik n jest równy -1, co daje tożsamość Lagrange'a

${\ Displaystyle {\ Frac {dG} {dt}} = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {d ^ {2} ja} {dt ^ {2}}} = 2T + V_ {\ tekst {BRZDĄC}}}$

który został wyprowadzony przez Josepha-Louisa Lagrange'a i rozszerzony przez Carla Jacobiego .

Uśrednianie czasu

Średnia z tej pochodnej w czasie, τ , jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ lewo \ langle {\ Frac {dG} {dt}} \ prawo \ rangle _ {\ tau} = {\ Frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} \frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G (\tau )-G(0)}{\tau }},}$

z którego otrzymujemy dokładne równanie

${\ Displaystyle \ lewo \ langle {\ Frac {dG} {dt}} \ prawo \ rangle _ {\ tau} = 2 \ lewo \ langle T \ prawo \ rangle _ {\ tau} + \ suma _ {k = 1 }^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

W twierdzenie o wiriale stwierdza, że jeśli ⟨DG/dt⟩ _τ = 0 , wtedy

${\ Displaystyle 2 \ lewo \ langle T \ prawo \ rangle _ {\ tau} = - \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ lewo \ langle \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf { r} _{k}\prawo\rangle _{\tau }.}$

Istnieje wiele powodów, dla których średnia z pochodnej czasu może zniknąć, ⟨DG/dt⟩ _Τ = 0 . Jeden z często przytaczanych powodów odnosi się do systemów trwale związanych, to znaczy systemów, które pozostają ze sobą na zawsze i których parametry są skończone. W takim przypadku prędkości i współrzędne cząstek układu mają górną i dolną granicę tak, że G ^bound , jest ograniczone między dwoma ekstremami, G _min i G _max , a średnia dochodzi do zera w granicach bardzo długich czasów τ :

${\ Displaystyle \ lim _ {\ tau \ rightarrow \ infty} \ lewo | \ lewo \ langle {\ Frac {dG ^ {\ operatorname {związany}}} {dt}} \ po prawej \ rangle _ {\ tau} \ po prawej |=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \ infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$

Nawet jeśli średnia z pochodnej czasowej G wynosi tylko w przybliżeniu zero, twierdzenie o wiriale zachowuje ten sam stopień aproksymacji.

Dla sił potęgowych o wykładniku n , ogólne równanie zawiera:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ langle T \ rangle _ {\ tau} & = - {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ langle \ mathbf {F } _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }\\&={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _ {\tau }.\end{wyrównany}}}$

Do grawitacyjnego przyciągania, n jest równy -1 i średniej energii kinetycznej jest równa połowie średniej ujemnej energii potencjalnej

${\ Displaystyle \ langle T \ rangle _ {\ tau} = - {\ Frac {1} {2}} \ langle V_ {\ tekst {TOT}} \ rangle _ {\ tau}.}$

Ten ogólny wynik jest przydatny w przypadku złożonych układów grawitacyjnych, takich jak układy słoneczne lub galaktyki .

Proste zastosowanie twierdzenia wirialnego dotyczy gromad galaktyk . Jeśli obszar przestrzeni jest niezwykle pełen galaktyk, można bezpiecznie założyć, że były one razem przez długi czas i można zastosować twierdzenie o wiriale. Pomiary efektu Dopplera dają dolne granice dla ich prędkości względnych, a twierdzenie o wirusie daje dolne ograniczenie dla całkowitej masy gromady, w tym wszelkiej ciemnej materii.

Jeżeli hipoteza ergodyczna jest słuszna dla rozważanego systemu, uśrednianie nie musi być brane pod uwagę w czasie; przeciętny zespół , może zostać podjęta, z równoważnych wyników.

W mechanice kwantowej

Chociaż pierwotnie wywodzi się z mechaniki klasycznej, twierdzenie o wiriale obowiązuje również dla mechaniki kwantowej, jak po raz pierwszy wykazał Fock, używając twierdzenia Ehrenfesta .

Ocenić komutatora z Hamiltonianu

${\ Displaystyle H = V {\ bigl (} \ {X_ {i} \} {\ duży}} + \ suma _ {n} {\ Frac {P_ {n} ^ {2}} {2 m}}}$

z operatorem pozycji X _n i operatorem pędu

${\ Displaystyle P_ {n} = -i \ hbar {\ Frac {d} {dX_ {n}}}}$

cząstki n ,

${\ Displaystyle [H, X_ {n} P_ {n}] = X_ {n} [H, P_ {n}] + [H, X_ {n}] P_ {n} = i \ hbar X_ {n} \frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}$

Sumując wszystkie cząstki, znajdujemy dla

${\ Displaystyle Q = \ suma _ {n} X_ {n} P_ {n}}$

komutator wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {i} {\ hbar}} [H, Q] = 2T-\ suma _ {n} X_ {n} {\ Frac {dV} {dX_ {n}}}}$

gdzie jest energia kinetyczna. Lewa strona tego równania to po prostu${\ Displaystyle T = \ suma _ {n} {\ Frac {P_ {n} ^ {2}} {2 m}}}$dQ/dt, zgodnie z równaniem ruchu Heisenberga . Wartość oczekiwana ⟨dQ/dt⟩ tego czasu pochodna znika w stanie stacjonarnym, prowadząc do twierdzenia o wiriale kwantowym ,

${\ Displaystyle 2 \ langle T \ rangle = \ suma _ {n} \ lewo \ langle X_ {n} {\ Frac {dV} {dX_ {n}}} \ prawo \ rangle ~.}$

Tożsamość Pochożajewa

W dziedzinie mechaniki kwantowej istnieje inna forma twierdzenia wirialnego, mająca zastosowanie do zlokalizowanych rozwiązań stacjonarnego nieliniowego równania Schrödingera lub równania Kleina-Gordona , to tożsamość Pokhozhaeva , znana również jako twierdzenie Derricka .

Niech będzie ciągła i rzeczywista, z . ${\displaystyle g(s)}$${\ Displaystyle g (0) = 0}$

Oznacz . Pozwolić ${\ Displaystyle G (s) = \ int _ {0} ^ {s} g (t) \ dt}$

${\ Displaystyle u \ w L_ {\ operatorname {loc}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ qquad \ nabla u \ w L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

być rozwiązaniem równania

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$w sensie dystrybucji .

Wtedy spełnia relację ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle (n-2) \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u (x) | ^ {2} \ dx = n \ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}}G(u(x))\,dx.}$

W szczególnej teorii względności

Dla pojedynczej cząstki w szczególnej teorii względności nie jest tak, że T =1/2p · v . Prawdą jest natomiast, że T = ( γ − 1) mc ² , gdzie γ jest współczynnikiem Lorentza

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-{\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

i β =v/C. Mamy,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {1} {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {v} i = {\ Frac {1} {2}} {\ pogrubionym symbolem {\ beta} }\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt] &=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}}$

Ostatnie wyrażenie można uprościć do

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {1 + {\ sqrt {1-\ beta ^ {2}}}} {2}} \ prawej) T \ qquad {\ tekst {lub}} \ qquad \ lewo ({{ \frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T}$.

Zatem w warunkach opisanych we wcześniejszych rozdziałach (m.in. trzecia zasada _dynamiki Newtona , F _jk = − F _kj , pomimo względności), średnia czasowa dla cząstek N o potencjale potęgowym wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {n} {2}} \ lewo \ langle V_ {\ operatorname {TOT}} \ prawo \ rangle _ {\ tau} = \ lewo \ langle \ suma _ {k = 1} ^ {N }\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }= \left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\ prawo\rangle _{\tau }\,.}$

W szczególności stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej nie jest już ustalony, ale z konieczności mieści się w przedziale:

${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ Langle T_ {\ operatorname {TOT}} \ rangle }{n \ langle V_ {\ operatorname {TOT}} \ rangle}} \ w \ lewo [1, 2 \ prawo] \, ,}$

gdzie bardziej relatywistyczne systemy wykazują większe stosunki.

Uogólnienia

Lord Rayleigh opublikował uogólnienie twierdzenia o wiriale w 1903 r. Henri Poincaré udowodnił i zastosował formę twierdzenia wirialnego w 1911 r. do problemu formowania się Układu Słonecznego z obłoku protogwiazdowego (wówczas znanego jako kosmogonia). Wariacyjna forma twierdzenia wirialnego została opracowana w 1945 roku przez Ledoux. Napinacz forma twierdzenie o wiriale został opracowany przez firmę Parker Chandrasekhar i Fermiego. Następujące uogólnienie twierdzenia wirialnego zostało ustalone przez Pollarda w 1964 roku dla przypadku prawa odwrotności kwadratu:

${\ Displaystyle 2 \ lim \ limity _ {\ tau \ rightarrow + \ infty} \ langle T \ rangle _ {\ tau} = \ lim \ limity _ {\ tau \ rightarrow + \ infty} \ langle U \ rangle _ { \tau }\qquad {\text{jeśli}}\quad \lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,. }$

W przeciwnym razie należy dodać termin graniczny .

Włączenie pól elektromagnetycznych

Twierdzenie o wirusie można rozszerzyć o pola elektryczne i magnetyczne. Wynik to

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} + \ int _ {V} x_ {k} {\ Frac {\ częściowy G_ {k}}{\częściowy t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{ k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$

gdzie I to moment bezwładności , G to gęstość pędu pola elektromagnetycznego , T to energia kinetyczna „płynu”, U to przypadkowa energia „termiczna” cząstek, W ^E i W ^M to energia elektryczna i zawartość energii magnetycznej w rozważanej objętości. Wreszcie, p _ik jest tensorem ciśnienia płynu wyrażonym w lokalnym ruchomym układzie współrzędnych

${\ Displaystyle p_ {ik} = \ Sigma n ^ {\ sigma} m ^ {\ sigma} \ langle v_ {i} v_ {k} \ rangle ^ {\ sigma}-V_ {i} V_ {k} \ Sigma m^{\sigma}n^{\sigma},}$

a T _ik jest tensorem naprężeń elektromagnetycznych ,

${\ Displaystyle T_ {ik} = \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {0}E ^ {2}} {2}} + {\ Frac {B ^ {2}} {2 \ mu _ {0} }}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0} }}\dobrze).}$

Plazmoid jest skończonym konfigurację pola magnetycznego i plazmy. Dzięki twierdzeniu o wirialach łatwo zauważyć, że każda taka konfiguracja będzie się rozszerzać, jeśli nie zostanie powstrzymana przez siły zewnętrzne. W skończonej konfiguracji bez ścian nośnych lub cewek magnetycznych integralna powierzchnia zniknie. Ponieważ wszystkie pozostałe wyrazy po prawej stronie są dodatnie, przyspieszenie momentu bezwładności również będzie dodatnie. Łatwo też oszacować czas rozszerzania τ . Jeśli całkowita masa M jest ograniczona do promienia R , to moment bezwładności wynosi w przybliżeniu MR ² , a lewa strona twierdzenia wirialnego toMR ²/τ ². Terminy po prawej stronie sumują się do około pR ³ , gdzie p jest większym ciśnieniem plazmy lub ciśnieniem magnetycznym. Porównując te dwa wyrazy i rozwiązując τ , znajdujemy

${\ Displaystyle \ tau \ \ Sim {\ Frac {R} {C_ {\ operatorka {s}}}}}$

gdzie c _y jest prędkość jonów fali akustycznej (lub fala Alfvén jeśli ciśnienie magnetyczne jest wyższe niż ciśnienie w osoczu krwi). Oczekuje się zatem, że czas życia plazmoidu będzie rzędu czasu przejścia akustycznego (lub Alfvéna).

Relatywistyczny system jednorodny

W przypadku, gdy w układzie fizycznym uwzględniono pole ciśnienia, pole elektromagnetyczne i grawitacyjne oraz pole przyspieszenia cząstek, twierdzenie wirialne jest zapisane w postaci relatywistycznej w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ lewo \ langle W_ {k} \ prawo \ rangle \ około -0,6 \ suma _ {k = 1} ^ {N} \ langle \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k}\rangle ,}$

gdzie wartość W _k ≈ γ _c T przekracza energię kinetyczną cząstek T o współczynnik równy współczynnikowi Lorentza γ _c cząstek w centrum układu. W normalnych warunkach możemy założyć, że γ _c ≈ 1 , wtedy widzimy, że w twierdzeniu wirialnym energia kinetyczna jest związana z energią potencjalną, a nie przez współczynnik1/2, ale raczej o współczynnik bliski 0,6. Różnica w stosunku do przypadku klasycznego wynika z uwzględnienia pola ciśnień i pola przyspieszeń cząstek wewnątrz układu, podczas gdy pochodna skalara G nie jest równa zeru i należy ją traktować jako pochodną materiałową .

Analiza twierdzenia całkowego uogólnionego wirialu umożliwia znalezienie, na podstawie teorii pola, wzoru na prędkość średniokwadratową typowych cząstek układu bez posługiwania się pojęciem temperatury:

${\ Displaystyle V_ {\ operatorname {rms}} = c {\ sqrt {1-{\ frac {4 \ pi \ eta \ rho _ {0} r ^ {2}} {c ^ {2} \ gamma _ { c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}}, }$

gdzie jest prędkość światła, jest stałą pola przyspieszenia, jest gęstością masową cząstek, jest promieniem prądu. ${\displaystyle ~c}$${\displaystyle ~\eta}$${\displaystyle ~\rho _{0}}$${\displaystyle ~r}$

W przeciwieństwie do twierdzenia o wiriale dla cząstek, dla pola elektromagnetycznego twierdzenie o wiriale jest napisane w następujący sposób:

${\ Displaystyle ~ E_ {kf} + 2 W_ {f} = 0,}$

gdzie energia rozpatrywana jako energia pola kinetycznego związana z czteroprądowym , oraz ${\ Displaystyle ~ E_ {kf} = \ int A_ {\ alfa} j ^ {\ alfa} {\ sqrt {-g}} \ dx ^ {1} \ dx ^ {2} \ dx ^ {3 }}$${\ Displaystyle ~ j ^ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle ~ W_ {f} = {\ Frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ int F_ {\ alfa \ beta} F ^ {\ alfa \ beta} {\ sqrt {-g}} \,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$

ustawia potencjalną energię pola znalezioną przez komponenty tensora elektromagnetycznego.

W astrofizyce

Twierdzenie o wiriale jest często stosowane w astrofizyce, zwłaszcza w odniesieniu do grawitacyjnej energii potencjalnej układu z jego energią kinetyczną lub cieplną . Niektóre wspólne relacje wirusowe to

${\ Displaystyle {\ Frac {3} {5}}{\ Frac {GM}{R}} = {\ Frac {3}{2}}{\ Frac {K_ {\ operatorname {B}} T}{m_ {\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$

dla masy M , promienia R , prędkości v i temperatury T . Stałe to stała Newtona G , stała Boltzmanna k _B i masa protonu m _p . Zauważ, że te relacje są tylko przybliżone i często są wiodącymi czynnikami liczbowymi (np3/5 lub 1/2) są całkowicie zaniedbane.

Galaktyki i kosmologia (masa i promień wirusa)

W astronomii masę i rozmiar galaktyki (lub ogólną nadmierną gęstość) często definiuje się odpowiednio w kategoriach „ masy wirialnej ” i „ promienia wirialnego ”. Ponieważ galaktyki i nadgęstości w płynach ciągłych mogą być bardzo rozciągnięte (nawet do nieskończoności w niektórych modelach, takich jak sfera izotermiczna ), określenie konkretnych, skończonych miar ich masy i rozmiaru może być trudne. Twierdzenie o wirusie i związane z nim koncepcje dostarczają często wygodnych środków do ilościowego określenia tych właściwości.

W dynamice galaktyk masę galaktyki często określa się na podstawie pomiaru prędkości rotacji jej gazu i gwiazd, zakładając okrągłe orbity Keplera . Korzystając z twierdzenia wirialnego, prędkość dyspersji σ można wykorzystać w podobny sposób. Biorąc energię kinetyczną (na cząstkę) układu jako T =1/2v ² ~3/2σ ² , a energia potencjalna (na cząstkę) jako U ~3/5 GM/r możemy pisać

${\ Displaystyle {\ Frac {GM} {R}} \ około \ sigma ^ {2}.}$

Oto promień, przy którym mierzona jest dyspersja prędkości, a M jest masą w tym promieniu. Masa wirialna i promień są ogólnie definiowane dla promienia, przy którym dyspersja prędkości jest maksymalna, tj. ${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle {\ Frac {GM_ {\ tekst {vir}}} {R_ {\ text {vir}}}} \ około \ sigma _ {\ max} ^ {2}.}$

Ponieważ dokonano wielu przybliżeń, poza przybliżonym charakterem tych definicji, stałe proporcjonalności jedności porządkowej są często pomijane (jak w powyższych równaniach). Relacje te są zatem dokładne tylko w sensie rzędu wielkości lub gdy są używane w sposób samokonsekwentny.

Alternatywna definicja masy i promienia wirialnego jest często używana w kosmologii, gdzie jest używana w odniesieniu do promienia kuli, wyśrodkowanej na galaktyce lub gromadzie galaktyk , w której utrzymuje się równowaga wirialna. Ponieważ promień ten jest trudny do wyznaczenia obserwacyjnego, często jest on przybliżany jako promień, w którym średnia gęstość jest o określony współczynnik większa niż gęstość krytyczna

${\ Displaystyle \ rho _ {\ tekst {crit}} = {\ Frac {3 H ^ {2}} {8 \ pi G}}}$

gdzie H jest parametrem Hubble'a, a G jest stałą grawitacyjną . Powszechnym wyborem dla współczynnika jest 200, co odpowiada z grubsza typowej nadmiernej gęstości w sferycznym zawaleniu się cylindra (patrz Masa wirialna ), w którym to przypadku promień wirialny jest przybliżony jako

${\ Displaystyle r_ {\ tekst {vir}} \ ok r_ {200} = r, \ qquad \ rho = 200 \ cdot \ rho _ {\ tekst {crit}}.}$

Masa wirialna jest następnie definiowana w odniesieniu do tego promienia jako

${\ Displaystyle M_ {\ tekst {vir}} \ około M_ {200} = {\ Frac {4} {3}} \ pi r_ {200} ^ {3} \ cdot 200 \ rho _ {\ tekst {crit} }.}$

W gwiazdach

Twierdzenie o wiriale ma zastosowanie do jąder gwiazd poprzez ustalenie związku między potencjalną energią grawitacji a cieplną energią kinetyczną (tj. temperaturą). Gdy gwiazdy w ciągu głównym przekształcają wodór w hel w swoich jądrach, średnia masa cząsteczkowa jądra wzrasta i musi się ono kurczyć, aby utrzymać ciśnienie wystarczające do utrzymania własnego ciężaru. Skurcz ten zmniejsza jego energię potencjalną, a twierdzenie wirialne zwiększa jego energię cieplną. Temperatura rdzenia wzrasta nawet w przypadku utraty energii, co w efekcie daje ujemne ciepło właściwe . Trwa to poza główną sekwencją, chyba że rdzeń ulegnie degeneracji, ponieważ powoduje to, że ciśnienie staje się niezależne od temperatury, a relacja wirialna przy n równym -1 nie jest już utrzymana.

Zobacz też

• Współczynnik wirusowy
• Stres wirusowy
• Masa wirusowa
• Tensor Chandrasekhara
• Równania wirialne Chandrasekhara
• Twierdzenie Derricka
• Twierdzenie o równoważności
• Twierdzenie Ehrenfesta
• Tożsamość Pochożajewa

Bibliografia

Dalsza lektura

• Goldstein, H. (1980). Mechanika klasyczna (wyd. 2). Addisona-Wesleya. Numer ISBN 978-0-201-02918-5.
• Collins, GW (1978). Twierdzenie o wirusie w astrofizyce gwiazd . Pachart Prasa. Kod Bibcode : 1978vtsa.książka.....C . Numer ISBN 978-0-912918-13-6.

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie o wirusie w MathPages
• Skurcz grawitacyjny i formacja gwiazd , Georgia State University