Tożsamość Warda-Takahashi - Ward–Takahashi identity

W kwantowej teorii pola , o tożsamość Ward-Takahashi jest tożsamość pomiędzy funkcji korelacji , które wynika z globalnych lub skrajni symetrii teorii, a co pozostaje ważne po renormalizacji .

Oddział-Takahashi tożsamość elektrodynamiki kwantowej (QED) był pierwotnie używany przez John Clive Ward i Yasushi Takahashi odnieść renormalizacja funkcja falowa z elektronu do jego współczynnik wierzchołek renormalizacji , gwarantując odwołaniu rozbieżności ultrafioletowego do wszystkich zleceń rachunku zaburzeń . Późniejsze zastosowania obejmują rozszerzenie dowodu twierdzenia Goldstone'a na wszystkie rzędy teorii zaburzeń.

Mówiąc bardziej ogólnie, tożsamość Warda-Takahashiego jest kwantową wersją klasycznego zachowania prądu związanego z ciągłą symetrią przez twierdzenie Noether . Takie symetrie w kwantowej teorii pola (prawie) zawsze prowadzą do tych uogólnionych tożsamości Warda-Takahashiego, które narzucają symetrię na poziomie amplitud mechaniki kwantowej. Ten uogólniony sens należy odróżnić podczas czytania literatury, takiej jak podręcznik Michaela Peskina i Daniela Schroedera , od oryginalnej tożsamości Warda-Takahashiego.

Poniższe szczegółowe omówienie dotyczy QED, teorii abelowej, do której odnosi się tożsamość Warda-Takahashiego. Równoważne tożsamości dla teorii nieabelowych, takich jak chromodynamika kwantowa (QCD), to tożsamości Slavnova – Taylora .

Tożsamość Warda-Takahashiego

Tożsamość Warda-Takahashiego odnosi się do funkcji korelacji w przestrzeni pędu , które niekoniecznie mają wszystkie zewnętrzne pędy w powłoce . Pozwolić

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal { M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n})}$

być funkcją korelacji QED obejmującą zewnętrzny foton o pędzie k (gdzie jest wektor polaryzacji fotonu i zakłada się sumowanie ), n elektronów w stanie początkowym z pędem i n elektronów w stanie końcowym z pędem . Zdefiniuj również jako prostszą amplitudę, którą uzyskuje się przez usunięcie fotonu o pędzie k z naszej pierwotnej amplitudy. Następnie odczytuje się tożsamość Ward-Takahashi ${\ Displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$${\ Displaystyle \ mu = 0, \ ldots, 3}$${\ displaystyle p_ {1} \ cdots p_ {n}}$${\ displaystyle q_ {1} \ cdots q_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}}$

${\ Displaystyle k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = e \ suma _ {i} \ left [{\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots (q_ {i} -k) \ cdots q_ {n}) \dobrze.}$

${\ Displaystyle \ lewo. - {\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots (p_ {i} + k) \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n} )\dobrze]}$

gdzie e jest ładunkiem elektronu i ma znak ujemny. Zauważ, że jeśli ma swoje zewnętrzne elektrony na powłoce, to amplitudy po prawej stronie tej tożsamości mają jedną zewnętrzną cząstkę poza powłoką, a zatem nie wpływają na elementy macierzy S.${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Tożsamość oddziału

Tożsamość Warda jest specjalizacją tożsamości Warda-Takahashiego z elementami macierzy S , które opisują fizycznie możliwe procesy rozpraszania i tym samym mają wszystkie zewnętrzne cząstki na powłoce . Ponownie niech będzie amplitudą dla pewnego procesu QED z udziałem zewnętrznego fotonu z pędem , gdzie jest wektor polaryzacji fotonu. Następnie tożsamość Warda brzmi: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (k) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k)}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$

${\ Displaystyle k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k) = 0}$

Fizycznie ta tożsamość oznacza, że ​​podłużna polaryzacja fotonu, która pojawia się w mierniku ξ, jest niefizyczna i znika z matrycy S.

Przykłady jego zastosowania obejmują ograniczenie struktury tensorowej polaryzacji próżni i funkcji wierzchołka elektronu w QED.

Wyprowadzenie w ujęciu całkowym po ścieżce

W ujęciu integralnym ścieżki, tożsamości Warda-Takahashiego są odzwierciedleniem niezmienności miary funkcjonalnej pod wpływem transformacji cechowania . Dokładniej, jeśli reprezentuje transformację miernika przez (i ma to zastosowanie nawet w przypadku, gdy fizyczna symetria systemu jest globalna lub nawet nie istnieje; martwimy się tylko o niezmienność miary funkcjonalnej tutaj), to ${\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ lewo ({\ mathcal {F}} e ^ {iS} \ prawo) {\ mathcal {D}} \ phi = 0}$

wyraża niezmienność środka funkcjonalnej gdzie S jest akcja i jest funkcjonalny z pól . Jeśli transformacja cechowania odpowiada globalnej symetrii teorii, to ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} S = \ int \ lewo (\ częściowe _ {\ mu} \ varepsilon \ prawej) J ^ {\ mu} \ mathrm {d} ^ {d} x = - \ int \ varepsilon \ częściowy _ {\ mu} J ^ {\ mu} \ mathrm {d} ^ {d} x}$

dla niektórych " bieżących " J (jako funkcjonałów pól ) po całkowaniu przez części i założeniu, że warunki powierzchniowe można pominąć. ${\ displaystyle \ phi}$

Następnie stają się tożsamości Ward-Takahashi

${\ Displaystyle \ langle \ delta _ {\ varepsilon} {\ mathcal {F}} \ rangle -i \ int \ varepsilon \ langle {\ mathcal {F}} \ częściowe _ {\ mu} J ^ {\ mu} \ rangle \ mathrm {d} ^ {d} x = 0}$

To jest analog QFT równania ciągłości Noether . ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}$

Jeśli transformacja cechowania odpowiada rzeczywistej symetrii cechowania, to

${\ Displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ lewo ({\ mathcal {F}} e ^ {i \ lewo (S + S_ {gf} \ prawej)} \ prawej) {\ mathcal {D}} \ phi = 0}$

gdzie S jest działaniem niezmiennym skrajni, a S _gf jest terminem ustalającym niezmienną skrajnię .

Ale zauważ, że nawet jeśli nie ma globalnej symetrii (tj. Symetria jest zerwana), nadal mamy tożsamość Warda-Takahashiego opisującą stopień nie zachowywania ładunku.

Jeśli miara funkcjonalna nie jest niezmienna dla miernika, ale spełnia

${\ Displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ lewo ({\ mathcal {F}} e ^ {iS} \ prawo) {\ mathcal {D}} \ phi = \ int \ varepsilon \ lambda {\ mathcal { F}} e ^ {iS} \ mathrm {d} ^ {d} x}$

gdzie jest jakaś funkcjonalność pól , mamy anomalną tożsamość Warda-Takahashiego , na przykład gdy pola mają anomalię chiralną . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ phi}$

Bibliografia