Teoria katastrof - Catastrophe theory

W matematyce , teoria katastrof jest gałęzią teorii bifurkacji w badaniu układów dynamicznych ; jest to również szczególny szczególny przypadek bardziej ogólnej teorii osobliwości w geometrii .

Teoria bifurkacji bada i klasyfikuje zjawiska charakteryzujące się nagłymi zmianami zachowania wynikającymi z niewielkich zmian okoliczności, analizując zależność jakościowego charakteru rozwiązań równań od parametrów występujących w równaniu. Może to prowadzić do nagłych i dramatycznych zmian, na przykład nieprzewidywalny termin i wielkość o osuwisko .

Teoria katastrof powstała w latach 60. XX wieku w pracach francuskiego matematyka René Thoma i stała się bardzo popularna dzięki wysiłkom Christophera Zeemana w latach 70. XX wieku. Rozważa szczególny przypadek, w którym długookresową równowagę stabilną można zidentyfikować jako minimum gładkiej, dobrze zdefiniowanej funkcji potencjału ( funkcja Lapunowa ).

Niewielkie zmiany niektórych parametrów układu nieliniowego mogą powodować pojawianie się lub zanikanie równowagi lub zmianę z przyciągania na odpychanie i odwrotnie, prowadząc do dużych i nagłych zmian zachowania układu. Jednakże, zbadana w większej przestrzeni parametrów, teoria katastrof ujawnia, że ​​takie punkty bifurkacji zwykle występują jako część dobrze zdefiniowanych jakościowych struktur geometrycznych.

Katastrofy elementarne

Teoria katastrof analizuje zdegenerowane punkty krytyczne funkcji potencjalnej — punkty, w których nie tylko pierwsza pochodna, ale jedna lub więcej wyższych pochodnych funkcji potencjalnej również wynosi zero. Są to tak zwane zalążki geometrii katastrofy. Degenerację tych punktów krytycznych można rozwinąć , rozszerzając funkcję potencjału jako szereg Taylora w małych zaburzeniach parametrów.

Gdy punkty zdegenerowane są nie tylko przypadkowe, ale są strukturalnie stabilne , punkty zdegenerowane istnieją jako ośrodki organizujące poszczególne struktury geometryczne o niższej degeneracji, z krytycznymi cechami w otaczającej przestrzeni parametrów. Jeśli potencjalna funkcja zależy od dwóch lub mniej aktywnych zmiennych i czterech lub mniej aktywnych parametrów, to istnieje tylko siedem ogólnych struktur dla tych geometrii bifurkacji, z odpowiednimi standardowymi formami, w które można przekształcić szereg Taylora wokół zarodków katastrofy za pomocą dyfeomorfizmu ( transformacja gładka, której odwrotność jest również gładka). Te siedem podstawowych typów zostało teraz przedstawionych wraz z imionami, które nadał im Thom.

Potencjalne funkcje jednej aktywnej zmiennej

Teoria katastrof bada układy dynamiczne, które opisują ewolucję zmiennej stanu w czasie : ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = {\ dfrac {dx} {dt}} = - {\ dfrac {dV (u, x)} {dx}}}$

W powyższym równaniu określane jest jako funkcja potencjału i często jest wektorem lub skalarem, które parametryzują funkcję potencjału. Wartość może zmieniać się w czasie i może być również nazywana zmienną kontrolną . W poniższych przykładach takimi kontrolkami są parametry takie jak. ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle a,b}$

Złóż katastrofę

Stabilna i niestabilna para ekstremów znika w rozwidleniu fałd

${\ Displaystyle V = x ^ {3} + topór \,}$

Gdy a<0, potencjał V ma dwa ekstrema - jedno stabilne i jedno niestabilne. Jeśli parametr a jest powoli zwiększany, system może podążać za stabilnym punktem minimum. Ale przy a = 0 stabilne i niestabilne ekstrema spotykają się i unicestwiają. To jest punkt rozwidlenia. Na > 0 nie ma już rozwiązanie stabilne. Jeśli system fizyczny jest śledzony przez bifurkację fałdową, okazuje się, że gdy a osiągnie 0, stabilność rozwiązania a < 0 zostaje nagle utracona, a system dokona nagłego przejścia do nowego, bardzo odmiennego zachowania. Ta wartość bifurkacji parametru a jest czasami nazywana „ punktem krytycznym ”.

Katastrofa szczytowa

${\ Displaystyle V = x ^ {4} + ax ^ {2} + bx \,}$

Schemat katastrofy wierzchołkowej, przedstawiający krzywe (brązowy, czerwony) x spełniający dV / dx = 0 dla parametrów ( a , b ), narysowany dla parametru b ciągle zmieniającego się, dla kilku wartości parametru a . Poza miejscem wierzchołkowym bifurkacji (niebieski), dla każdego punktu ( a , b ) w przestrzeni parametrów istnieje tylko jedna ekstremistyczna wartość x . Wewnątrz wierzchołka znajdują się dwie różne wartości x dające lokalne minima V ( x ) dla każdego ( a , b ), oddzielone wartością x dającą lokalne maksimum.

Kształt guzka w przestrzeni parametrów ( a , b ) w pobliżu punktu katastrofy, przedstawiający miejsce bifurkacji fałdowych oddzielających obszar z dwoma stabilnymi rozwiązaniami od obszaru z jednym.

Bifurkacja widłowa przy a = 0 na powierzchni b = 0

Geometria wierzchołka jest bardzo powszechna, gdy bada się, co dzieje się z bifurkacją zagięcia, jeśli do przestrzeni kontrolnej zostanie dodany drugi parametr, b . Zmieniając parametry, okazuje się, że mamy teraz krzywą (niebieski) punktów w przestrzeni ( a , b ) gdzie utracono stabilność, gdzie stabilne rozwiązanie nagle przeskoczy do alternatywnego wyniku.

Ale w geometrii wierzchołkowej krzywa bifurkacji zapętla się z powrotem na sobie, dając drugą gałąź, w której samo alternatywne rozwiązanie traci stabilność i wykonuje skok z powrotem do oryginalnego zestawu rozwiązań. Wielokrotne zwiększanie b, a następnie zmniejszanie go można zatem zaobserwować pętle histerezy , ponieważ system naprzemiennie podąża za jednym rozwiązaniem, przeskakuje do drugiego, podąża za drugim wstecz, a następnie przeskakuje z powrotem do pierwszego.

Jest to jednak możliwe tylko w obszarze przestrzeni parametrów a < 0 . Wraz ze wzrostem a pętle histerezy stają się coraz mniejsze, aż powyżej a = 0 znikają całkowicie (katastrofa na wierzchołku) i jest tylko jedno stabilne rozwiązanie.

Można również zastanowić się, co się dzieje, gdy utrzymujemy b i zmieniamy a . W przypadku symetrycznego b = 0 , obserwuje się rozwidlenie widły jako jest ograniczona, z jednej roztworu stabilnego nagle podziału na dwa roztwory stabilne, a jedno rozwiązanie niestabilne fizyczny system przechodzi <0 przez punkt guzków (0,0) (przykład spontanicznego łamania symetrii ). Z dala od punktu wierzchołkowego nie następuje nagła zmiana w śledzonym rozwiązaniu fizycznym: po przejściu przez krzywą bifurkacji fałdowych, wszystko, co się dzieje, to alternatywne drugie rozwiązanie, które staje się dostępne.

Słynna sugestia mówi, że katastrofa na wierzchołku może być wykorzystana do modelowania zachowania zestresowanego psa, który może zareagować, stając się zastraszonym lub zły. Sugeruje się, że przy umiarkowanym stresie ( a > 0 ) pies będzie wykazywał płynne przejście od zastraszenia do złości, w zależności od tego, jak zostanie sprowokowany. Ale wyższe poziomy stresu odpowiadają przemieszczeniu się do regionu ( a < 0 ). Następnie, jeśli pies zacznie być zastraszony, będzie nadal zastraszony, ponieważ będzie coraz bardziej zirytowany, aż osiągnie punkt „zagięcia”, kiedy nagle, nieciągle przejdzie w stan złości. W trybie „zły” pozostanie zły, nawet jeśli parametr bezpośredniego podrażnienia zostanie znacznie zmniejszony.

Prosty system mechaniczny, „Zeeman Catastrophe Machine”, ładnie ilustruje katastrofę wierzchołkową. W tym urządzeniu płynne zmiany położenia końca sprężyny mogą powodować gwałtowne zmiany położenia obrotowego zamocowanego koła.

Katastrofalną awarię złożonego systemu z równoległą redundancją można ocenić na podstawie relacji między naprężeniami lokalnymi i zewnętrznymi. Model mechaniki pękania strukturalnego jest podobny do zachowania się w przypadku katastrofy wierzchołkowej. Model przewiduje zdolność rezerwową złożonego systemu.

Inne zastosowania obejmują transfer elektronów w sferze zewnętrznej często spotykany w układach chemicznych i biologicznych oraz modelowanie cen nieruchomości.

Bifurkacje fałd i geometria wierzchołków są zdecydowanie najważniejszymi praktycznymi konsekwencjami teorii katastrof. Są to wzorce, które wciąż na nowo pojawiają się w fizyce, inżynierii i modelowaniu matematycznym. Wytwarzają one silne zjawiska soczewkowania grawitacyjnego i dostarczają astronomom jednej z metod wykorzystywanych do wykrywania czarnych dziur i ciemnej materii wszechświata, poprzez zjawisko soczewkowania grawitacyjnego dającego wiele obrazów odległych kwazarów .

Pozostałe geometrie prostych katastrof są bardzo wyspecjalizowane w porównaniu i przedstawione tutaj tylko dla ciekawości.

Katastrofa Swallowtail

Powierzchnia katastrofy Swallowtail

${\ Displaystyle V = x ^ {5} + ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx \}$

Przestrzeń parametrów sterujących jest trójwymiarowa. Zestaw bifurkacji w przestrzeni parametrów składa się z trzech powierzchni bifurkacji fałdowych, które spotykają się w dwóch liniach bifurkacji wierzchołkowych, które z kolei spotykają się w jednym punkcie bifurkacji jaskółczego ogona.

Gdy parametry przechodzą przez powierzchnię bifurkacji fałd, znika jedno minimum i jedno maksimum funkcji potencjału. Na bifurkacjach wierzchołkowych dwa minima i jedno maksimum zastępuje się jednym minimum; za nimi znikają rozwidlenia fałd. W punkcie Swallowtail dwa minima i dwa maksima spotykają się przy jednej wartości x . Dla wartości a > 0 , poza jaskółczym ogonem, istnieje albo jedna para maksimum-minimum, albo wcale, w zależności od wartości b i c . Dwa z tych powierzchni zagięcia rozgałęzień i dwiema liniami rozgałęzień guzków, gdzie spotykają się na z <0 , więc znika w punkcie swallowtail, aby zastąpić tylko jednej powierzchni zagięcia rozgałęzień pozostałych. Ostatni obraz Salvadora Dalego , Ogon Jaskółki , był oparty na tej katastrofie.

Katastrofa motyli

${\ Displaystyle V = x ^ {6} + ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx \,}$

W zależności od wartości parametrów funkcja potencjału może mieć trzy, dwa lub jedno różne minima lokalne, oddzielone miejscami bifurkacji fałdowych. W punkcie motylkowym różne 3-powierzchnie bifurkacji fałdowych, 2-powierzchnie bifurkacji wierzchołkowych i linie bifurkacji paziowatych spotykają się i znikają, pozostawiając pojedynczą strukturę wierzchołkową, gdy wartość > 0 .

Potencjalne funkcje dwóch aktywnych zmiennych

Powierzchnia z hiperboliczną pępowiną i jej ogniskową. Hiperboliczna katastrofa pępkowa to tylko górna część tego obrazu.

Powierzchnia z eliptyczną pępowiną i jej ogniskową. Eliptyczna katastrofa pępkowa to tylko górna część tego obrazu.

Katastrofy pępowinowe są przykładami katastrofy corank 2. Można je zaobserwować w optyce w powierzchniach ogniskowych utworzonych przez światło odbijające się od powierzchni w trzech wymiarach i są ściśle związane z geometrią powierzchni prawie kulistych: punkt pępowinowy . Thom zasugerował, że hiperboliczna katastrofa pępkowa modeluje załamanie się fali, a eliptyczna pępowina modeluje tworzenie struktur przypominających włosy.

Hiperboliczna katastrofa pępowinowa

${\ Displaystyle V = x ^ {3} + y ^ {3} + axy + bx + cy \,}$

Eliptyczna katastrofa pępowinowa

${\ Displaystyle V = {\ Frac {x ^ {3}} {3}} -xy ^ {2} + a (x ^ {2} + Y ^ {2}) + bx + cy \,}$

Paraboliczna katastrofa pępowinowa

${\ Displaystyle V = x ^ {2} r + r ^ {4} + ax ^ {2} + przez ^ {2} + cx + dy \,}$

Notacja Arnolda

Vladimir Arnold nadał katastrofom klasyfikację ADE , ze względu na głęboką więź z prostymi grupami Liego .

• A ₀ - punkt nieosobliwy: .${\displaystyle V=x}$
• A ₁ - lokalne ekstremum, albo stabilne minimum, albo niestabilne maksimum .${\ Displaystyle V = \ pm x ^ {2} + topór}$
• A ₂ - krotnie
• A ₃ - wierzchołek
• A ₄ - paź jaskółczy ogon
• A ₅ - motyl
• A _k - reprezentant nieskończonej sekwencji form jednej zmiennej${\ Displaystyle V = x ^ {k + 1} + \ cdots}$
• D ₄ ⁻ - eliptyczny pępek
• D ₄ ⁺ - hiperboliczny pępek
• D ₅ - paraboliczna pępowina
• D _k - przedstawiciel nieskończonej sekwencji dalszych form pępowinowych
• E ₆ - symboliczna pępowina${\ Displaystyle V = x ^ {3} + y ^ {4} + axy ^ {2} + bxy + cx + dy + ey ^ {2}}$
• E ₇
• E ₈

W teorii osobliwości istnieją obiekty, które odpowiadają większości innych prostych grup Liego.

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia

• Arnold, Władimir Igorewicz . Teoria katastrof, wyd. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
• VS Afrajmovich , VI Arnold i in., Teoria bifurkacji i teoria katastrof, ISBN  3-540-65379-1
• Bełej,M. Kulesza S. Modelowanie cen nieruchomości w Olsztynie w warunkach niestabilności. Folia Oeconomica Stetinensia. Tom 11, wydanie 1, strony 61–72, ISSN (online) 1898-0198, ISSN (druk) 1730-4237, doi : 10.2478/v10031-012-0008-7 , 2013
• Castrigiano, Domenico PL i Hayes, Sandra A. Teoria katastrof, wyd. Boulder: Westview, 2004. ISBN  0-8133-4126-4
• Gilmore, Robert. Teoria katastrof dla naukowców i inżynierów. Nowy Jork: Dover, 1993.
• Petters, Arlie O., Levine, Harold i Wambsganss, Joachim. Teoria osobliwości i soczewkowanie grawitacyjne. Boston: Birkhäuser, 2001. ISBN  0-8176-3668-4
• Postle, Denis. Teoria katastrof – Przewiduj i unikaj osobistych katastrof. Książki w miękkiej oprawie Fontany, 1980. ISBN  0-00-635559-5
• Poston, Tim i Stewart, Ian . Katastrofa: teoria i jej zastosowania. Nowy Jork: Dover, 1998. ISBN  0-486-69271-X .
• Sannsa, Wernera. Teoria katastrof z matematyką: podejście geometryczne. Niemcy: DAV, 2000.
• Saunders, Piotr Tymoteusz. Wprowadzenie do teorii katastrof. Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, 1980.
• Thom, René . Stabilność strukturalna i morfogeneza: zarys ogólnej teorii modeli. Czytanie, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN  0-201-09419-3 .
• Thompson, J. Michael T. Niestabilności i katastrofy w nauce i inżynierii. Nowy Jork: Wiley, 1982.
• Woodcock, Alexander Edward Richard i Davis, Monte. Teoria katastrof. Nowy Jork: EP Dutton, 1978. ISBN  0-525-07812-6 .
• Zeeman, EC Catastrophe Theory-Selected Papers 1972-1977. Czytanie, MA: Addison-Wesley, 1977.

Zewnętrzne linki

• CompLexicon: Teoria katastrof
• Nauczyciel katastrofy
• Symulacja Java maszyny katastroficznej Zeemana