Kohomologia - Cohomology

W matematyce , szczególnie w teorii homologii i topologii algebraicznej , kohomologia jest ogólnym terminem określającym sekwencję grup abelowych związanych z przestrzenią topologiczną , często definiowaną z kompleksu kołańcuchowego . Kohomologia może być postrzegana jako metoda przypisywania przestrzeni bogatszych niezmienników algebraicznych niż homologia. Niektóre wersje kohomologii powstają w wyniku dualizacji konstrukcji homologii. Innymi słowy, kołańcuchy są funkcjami w grupie łańcuchów w teorii homologii.

Idea ta od początku w topologii stała się dominującą metodą w matematyce drugiej połowy XX wieku. Od początkowej idei homologii jako metody konstruowania algebraicznych niezmienników przestrzeni topologicznych, zakres zastosowań teorii homologii i kohomologii rozprzestrzenił się na całą geometrię i algebrę . Terminologia skłania do ukrywania faktu, że kohomologia, teoria kontrawariantna , jest w wielu zastosowaniach bardziej naturalna niż homologia. Na podstawowym poziomie ma to do czynienia z funkcjami i cofnięciami w sytuacjach geometrycznych: dane przestrzenie X i Y oraz pewien rodzaj funkcji F na Y , dla dowolnego odwzorowania f  : X → Y , złożenie z f daje początek funkcji F ∘ f na X . Najważniejsze teorie kohomologiczne mają produkt, produkt kubkowy , który nadaje im strukturę pierścieniową . Z powodu tej cechy kohomologia jest zwykle silniejszym niezmiennikiem niż homologia.

Pojedyncza kohomologia

Singular cohomology jest potężnym niezmiennikiem w topologii, kojarzącym stopniowany przemienny pierścień z dowolną przestrzenią topologiczną. Każde ciągłe odwzorowanie f : X → Y wyznacza homomorfizm z pierścienia kohomologicznego Y do tego z X ; nakłada to silne ograniczenia na możliwe mapy od X do Y . W przeciwieństwie do bardziej subtelnych niezmienników, takich jak grupy homotopii , pierścień kohomologii jest w praktyce obliczalny dla przestrzeni zainteresowania.

Dla przestrzeni topologicznej X definicja osobliwej kohomologii zaczyna się od osobliwego kompleksu łańcuchowego :

${\ Displaystyle \ cdots \ do C_ {i + 1} {\ stos {\ częściowy _ {i + 1}} {\ do}} C_ {i} {\ stos {\ częściowy _ {i}} {\ do} }\ C_{i-1}\to \cdots }$

Z definicji pojedynczej homologii z X jest homologia kompleksu łańcucha (jądro z jednym homomorfizmu modulo obrazu poprzedniej). Bardziej szczegółowo, C _i jest wolną grupą abelową na zbiorze ciągłych przekształceń od standardowego i -simpleksu do X (nazywanego "pojedynczymi i -simplicami w X "), a ∂ _i jest homomorfizmem i- ^tej granicy. Grupy C _i są zerowe dla i ujemne.

Teraz ustal grupę abelową A i zastąp każdą grupę C _i jej podwójną grupą i jej podwójnym homomorfizmem${\ Displaystyle C_ {i} ^ {*}: = \ operatorname {Hom} (C_ {i}, A)}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {i}}$

${\ Displaystyle d_ {i-1}: C_ {i-1} ^ {*} \ do C_ {i} ^ {*}.}$

Ma to efekt „odwrócenia wszystkich strzał” pierwotnego kompleksu, pozostawiając kompleks cochain

${\ Displaystyle \ cdots \ leftarrow C_ {i+1} ^ {*} {\ stackrel {d_ {i}} \ leftarrow}} \ C_ {i} ^ {*} {\ stackrel {d_ {i-1} }{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$

Liczbę całkowitą ı The I ^th grupa kohomologie z X z współczynników A określa się ker ( d _I ) / im ( d _{i -1} ) oraz oznaczone H ^I ( X , A ). Grupa H ⁱ ( X , A ) wynosi zero dla i ujemnego. Elementy o nazywane są singularnymi i -cochainami ze współczynnikami w A . (Równoważnie i -cochain na X mogą być identyfikowane z funkcją z zestawu pojedynczej i -simplices w X do A ). Elementy ker ( d ) i IM ( d ) są nazywane cocycles i coboundaries , odpowiednio, podczas gdy elementy Ker ( d ) / im ( d ) = H ^I ( X , A ) są nazywane klas kohomologii (ponieważ są one równoważne klasy z cocycles). ${\ Displaystyle C_ {i} ^ {*}}$

Poniżej grupa współczynników A czasami nie jest zapisywana. Powszechnie przyjmuje się, że A jest pierścieniem przemiennym R ; wtedy grupy kohomologiczne są R - modułami . Standardowy wybór jest pierścień Z od liczb całkowitych .

Niektóre z formalnych własności kohomologii są jedynie pomniejszymi wariantami własności homologii:

• Mapa ciągła określa homomorfizm pushforward w homologii i homomorfizm pullback w kohomologii. To sprawia, że ​​kohomologia staje się kontrawariantnym funktorem od przestrzeni topologicznych do grup abelowych (lub R- modułów).${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle f_ {*}: H_ {i} (X) \ do H_ {i} (Y)}$${\ Displaystyle f ^ {*}: H ^ {i} (Y) \ do H ^ {i} (X)}$

• Dwie mapy homotopowe od X do Y wywołują ten sam homomorfizm w kohomologii (tak jak w homologii).

• Sekwencja Mayera-Vietorisa jest ważnym narzędziem obliczeniowym w kohomologii, podobnie jak w homologii. Zauważ, że homomorfizm graniczny wzrasta (a nie maleje) w kohomologii. To znaczy, jeśli przestrzeń X jest sumą otwartych podzbiorów U i V , to istnieje długa dokładna sekwencja :

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {i} (X) \ do H ^ {i} (U) \ oplus H ^ {i} (V) \ do H ^ {i} (U \ czapka V) \ do H^{i+1}(X)\to \cdots }$

• Dla każdej podprzestrzeni Y przestrzeni X istnieją względne grupy kohomologii . Są one powiązane ze zwykłymi grupami kohomologicznymi długą dokładną sekwencją:${\ Displaystyle H ^ {i} (X, Y; A)}$

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {i} (X, Y) \ do H ^ {i} (X) \ do H ^ {i} (Y) \ do H ^ {i + 1} (X, Y )\do \cdots }$

• Twierdzenie o uniwersalnym współczynniku opisuje kohomologię w kategoriach homologii, używając grup Ext . Mianowicie istnieje krótka dokładna sekwencja

${\ Displaystyle 0 \ do \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} } ^ {1} (\ operatorname {H} _ {i-1} (X, \ mathbb {Z}), A) \ do H ^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$

Podobnym stwierdzenie, że dla pola F , jest właśnie podwójny przestrzeń w przestrzeni wektorowej .${\ Displaystyle H ^ {i} (X, F)}$ ${\ Displaystyle H_ {i} (X, F)}$

• Jeżeli X jest topologiczna kolektora lub kompleks CW , a następnie grupy kohomologii jest zero I większy niż wymiar w X . Jeśli X jest zwartą rozmaitością (prawdopodobnie z brzegiem) lub kompleksem CW ze skończoną liczbą komórek w każdym wymiarze, a R jest przemiennym pierścieniem noetherowskim , wtedy moduł R H ⁱ ( X , R ) jest skończenie generowany dla każdego i .${\ Displaystyle H ^ {i} (X, A)}$

Z drugiej strony kohomologia ma kluczową strukturę, której nie ma homologia: dla każdej przestrzeni topologicznej X i przemiennego pierścienia R istnieje dwuliniowa mapa , zwana iloczynem filiżanki :

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, R) \ razy H ^ {j} (X, R) \ do H ^ {i + j} (X, R)}$

zdefiniowany przez wyraźną formułę dotyczącą pojedynczych łańcuchów. Iloczyn klas kohomologii u i v jest zapisany jako u ∪ v lub po prostu jako uv . Ten produkt stanowi bezpośrednią sumę

${\ Displaystyle H ^ {*} (X, R) = \ bigoplus _ {i} H ^ {i} (X, R)}$

w stopniowanych pierścień , zwany pierścieniem kohomologii z X . Jest stopniowane i przemienne w tym sensie, że:

${\ Displaystyle uv = (-1) ^ {ij} vu \ qquad u \ w H ^ {i} (X, R), v \ w H ^ {j} (X, R).}$

Dla każdego ciągłego mapie pullback jest homomorfizmem nachylonych R - algebr . Wynika z tego, że jeśli dwie przestrzenie są równoważne homotopijnie , to ich pierścienie kohomologiczne są izomorficzne. ${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$ ${\ Displaystyle f ^ {*} \ dwukropek H ^ {*} (Y, R) \ do H ^ {*} (X, R)}$

Oto niektóre z geometrycznych interpretacji produktu kubkowego. W dalszej części rozmaitości są rozumiane jako pozbawione granic, o ile nie zaznaczono inaczej. Zamknięte Manifold oznacza zwarty rozdzielacz (bez granicy), natomiast zamknięty podrozmaitością N rozgałęźną M oznacza podrozmaitością który jest zamknięty podzbiór z M , niekoniecznie kompaktowa (chociaż N automatycznie zwarty jeżeli M IS).

• Niech X będzie zamkniętą zorientowaną rozmaitością o wymiarze n . Wtedy dualność Poincarego daje izomorfizm H ⁱ X ≅ H _{n − i} X . W rezultacie zamknięta zorientowana podrozmaitość S o kowymiarze i w X wyznacza klasę kohomologii w H ⁱ X , zwaną [ S ]. W tych terminach produkt kubkowy opisuje przecięcie podrozmaitości. Mianowicie, jeśli S i T są podrozmaitościami o współwymiarze i oraz j przecinającymi się poprzecznie , to

${\ Displaystyle [S][T] = [S \ czapka T] \ w H ^ {i + j} (X)}$

gdzie przecięcie S ∩ T jest podrozmaitością o współwymiarze i + j , o orientacji określonej przez orientacje S , T i X . W przypadku gładkich rozmaitości , jeśli S i T nie przecinają się poprzecznie, wzór ten nadal może być użyty do obliczenia iloczynu kubka [ S ][ T ], zaburzając S lub T, aby przecięcie stało się poprzeczne.

Mówiąc bardziej ogólnie, bez zakładania, że X ma orientację, zamknięta podrozmaitość X z orientacją na jego normalną wiązkę określa klasę kohomologii na X . Jeśli X jest niezwartą rozmaitością, to zamknięta podrozmaitość (niekoniecznie zwarta) określa klasę kohomologii na X . W obu przypadkach produkt kubkowy można ponownie opisać w kategoriach przecięć podrozmaitości.

Zauważ, że Thom skonstruował klasę kohomologii integralnej stopnia 7 na gładkiej 14-rozmaitości, która nie jest klasą żadnej gładkiej podrozmaitości. Z drugiej strony wykazał, że każda integralna klasa kohomologii dodatniego stopnia na gładkiej rozmaitości ma dodatnią wielokrotność, czyli klasę gładkiej podrozmaitości. Ponadto, każda integralna klasa kohomologii na rozmaitości może być reprezentowana przez „pseudorozmaitość”, to znaczy kompleks simplicjalny, który jest rozmaitością poza zamkniętym podzbiorem korelacji co najmniej 2.

• Na gładkiej kolektora X , twierdzenie de Rham użytkownika stwierdza, że pojedyncza kohomologie z X z rzeczywistych współczynników jest izomorficzny de Rham kohomologiami z X , określonej za pomocą różnicowej formy . Produkt filiżanki odpowiada produktowi form różnicowych. Ta interpretacja ma tę zaletę, że iloczyn form różnicujących jest stopniowany przemienny, podczas gdy iloczyn pojedynczych łańcuchów jest tylko stopniowany przemienny aż do homotopii łańcuchowej . W rzeczywistości niemożliwe jest zmodyfikowanie definicji pojedynczych łańcuchów co-chain ze współczynnikami w liczbach całkowitych lub w liczbie pierwszej p, aby produkt był klasyfikowany jako przemienny na nosie. Niepowodzenie stopniowanej przemienności na poziomie kołańcucha prowadzi do operacji Steenroda na kohomologii mod p .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p}$

Bardzo nieformalnie, dla każdej przestrzeni topologicznej X , elementy o można traktować jako reprezentowane przez kodwymiar- i podprzestrzenie X , które mogą poruszać się swobodnie po X . Na przykład, jednym ze sposobów zdefiniowania elementu jest nadanie ciągłej mapy f od X do rozmaitości M i zamkniętej podrozmaitości- i podrozmaitości N z M z orientacją na wiązkę normalną. Nieformalnie, myśli powstałej klasy jako leżący na podprzestrzeni z X ; jest to uzasadnione tym, że klasa ogranicza się do zera w kohomologii podzbioru otwartego Klasa kohomologii może poruszać się swobodnie po X w tym sensie, że N może być zastąpione przez dowolną ciągłą deformację N wewnątrz M . ${\ Displaystyle H ^ {i} (X)}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X)}$${\ Displaystyle f ^ {*} ([N]) \ w H ^ {i} (X)}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (N)}$${\ Displaystyle f ^ {*} ([N])}$${\ Displaystyle Xf ^ {-1} (N).}$${\ Displaystyle f ^ {*} ([N])}$

Przykłady

Poniżej kohomologia jest przyjmowana ze współczynnikami w liczbach całkowitych Z , chyba że zaznaczono inaczej.

• Pierścień kohomologiczny punktu to pierścień Z w stopniu 0. Przez niezmienność homotopii jest to również pierścień kohomologiczny dowolnej przestrzeni kurczliwej , takiej jak przestrzeń euklidesowa R ⁿ .
• 

  Pierwsza grupa kohomologii dwuwymiarowego torusa ma podstawę podaną przez klasy dwóch pokazanych okręgów.
  Dla dodatnia n , pierścień kohomologie w dziedzinie jest Z [ x ] / ( x ² ) (The pierścień iloraz z wielomianu pierścienia przez dany ideał ), o x w stopniach n . Z punktu widzenia dualizmu Poincarégo, jak wyżej, x jest klasą punktu na sferze.${\ Displaystyle S ^ {n}}$
• Pierścień kohomologii torusa jest zewnętrzną algebrą nad Z na n generatorach w stopniu 1. Na przykład niech P oznacza punkt na okręgu , a Q punkt ( P , P ) w dwuwymiarowym torusie . Wtedy kohomologia ( S ¹ ) ² ma bazę jako swobodny Z -moduł postaci: element 1 w stopniu 0, x  := [ P × S ¹ ] i y  := [ S ¹ × P ] w stopniu 1 i xy = [ Q ] w stopniu 2. (Domyślnie, orientacje torusa i dwóch okręgów zostały tutaj ustalone.) Zauważ, że yx = − xy = −[ Q ], przez stopniowaną przemienność.${\ Displaystyle (S ^ {1}) ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle (S ^ {1}) ^ {2}}$
• Mówiąc bardziej ogólnie, niech R będzie pierścieniem przemiennym, a X i Y będą dowolnymi przestrzeniami topologicznymi takimi, że H ^* ( X , R ) jest skończenie generowanym wolnym modułem R w każdym stopniu. (Nie jest konieczne założenie na Y ). Następnie wzór Künneth zapewnia, że pierścień kohomologie z przestrzeni produktu X x Y jest produkt napinacz z R -algebras:

${\ Displaystyle H ^ {*} (X \ razy Y, R) \ cong H ^ {*} (X, R) \ czasy _ {R} H ^ {*} (Y, R).}$

• Pierścień kohomologii rzeczywistej przestrzeni rzutowej RP ⁿ o współczynnikach Z /2 to Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), z x w stopniu 1. Tutaj x jest klasą hiperpłaszczyzny RP ^{n −1} w RP ⁿ ; ma to sens, mimo że RP ^j nie jest orientowalne dla j parzystego i dodatniego, ponieważ dualność Poincarego ze współczynnikami Z /2 działa dla dowolnych rozmaitości.

W przypadku współczynników całkowitych odpowiedź jest nieco bardziej skomplikowana. Z -cohomology z RP ² posiada część y stopnia 2, tak że cała kohomologie jest bezpośrednim suma kopii Z łączone przez element 1, wraz ze stopniem 0 kopii Z / 2 łączonych za pomocą elementów r ⁱ dla i =1,..., a . Z -cohomology z RP ^{2 + 1} jest takie samo, wraz z dodatkową kopią Z w stopniu 2 +1.

• Pierścień kohomologiczny złożonej przestrzeni rzutowej CP ⁿ to Z [ x ]/( x ^{n +1} ), z x w stopniu 2. Tutaj x jest klasą hiperpłaszczyzny CP ^{n −1} w CP ⁿ . Bardziej ogólnie, x ^j jest klasą podprzestrzeni liniowej CP ^{n − j} w CP ⁿ .
• Pierścień kohomologie zamkniętego zorientowanej powierzchni X na rodzaj g ≥ 0 ma podstawę w postaci wolnej Z -module postaci: element 1 w stopniu 0, A ₁ , ..., _g i B ₁ , ... , B _g w stopniu 1, a klasa P punktu w stopniu 2. Iloczyn jest określony wzorem: A _i A _j = B _i B _j = 0 dla wszystkich i oraz j , A _i B _j = 0 jeśli i ≠ j , oraz A _i B _i = P dla wszystkich i . Z stopniowanej przemienności wynika, że B _i A _i = − P .
• W dowolnej przestrzeni topologicznej stopniowana przemienność pierścienia kohomologii implikuje, że 2 x ² = 0 dla wszystkich klas kohomologii nieparzystego stopnia x . Wynika z tego, że dla pierścienia R zawierającego 1/2, wszystkie nieparzyste elementy H ^* ( X , R ) mają kwadrat zerowy. Z drugiej strony, elementy nieparzystego stopnia nie muszą mieć kwadratu zera, jeśli R to Z /2 lub Z , jak widać na przykładzie RP ² (ze współczynnikami Z /2) lub RP ⁴ × RP ² (ze współczynnikami Z ) .

Przekątna

Produkt kielichowy w kohomologii może być postrzegany jako pochodzący z mapy diagonalnej Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ). Mianowicie dla wszystkich przestrzeni X i Y z klas kohomologii U ∈ H ^I ( X , R ) i v ∈ H ^j ( Y , B ), nie ma zewnętrznego wyrobu (lub iloczyn ) Klasa kohomologie U x v ∈ H ^{I + j} ( X × Y , R ). Produkt kubek klasy U ∈ H ^I ( X , R ) i v ∈ H ^j ( X , R ) może być zdefiniowana jako pullback produktu zewnętrznego przez ukośne:

${\ Displaystyle uv = \ Delta ^ {*} (u \ razy v) \ w H ^ {i + j} (X, R).}$

Alternatywnie, produkt zewnętrzny może być zdefiniowany jako produkt kubkowy. Dla przestrzeni X i Y napisz f : X × Y → X i g : X × Y → Y dla dwóch rzutów. Wtedy iloczyn zewnętrzny klas u ∈ H ⁱ ( X , R ) i v ∈ H ^j ( Y , R ) wynosi:

${\ Displaystyle u \ razy v = (f ^ {*} (u)) (g ^ {*} (v)) \ w H ^ {i + j} (X \ razy Y, R).}$

Dualizm Poincare

Inną interpretacją dualizmu Poincarégo jest to, że pierścień kohomologii zamkniętej zorientowanej rozmaitości jest samo-dualizmem w silnym sensie. Mianowicie, niech x być zamknięte połączony zorientowane kolektora wymiaru n i pozwolić F jest polem. Wtedy H ⁿ ( X , F ) jest izomorficzny z F , a iloczyn

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, F) \ razy H ^ {ni} (X, F) \ do H ^ {n} (X, F) \ cong F}$

jest idealną parą dla każdej liczby całkowitej i . W szczególności przestrzenie wektorowe H ⁱ ( X , F ) oraz H ^{n − i} ( X , F ) mają ten sam (skończony) wymiar. Podobnie iloczyn całkowej kohomologii modulo skręcania z wartościami w H ⁿ ( X , Z ) ≅ Z jest idealnym parowaniem nad Z .

Klasy charakterystyczne

Zorientowana wiązka wektorów rzeczywistych E rzędu r nad przestrzenią topologiczną X wyznacza klasę kohomologii na X , klasę Eulera χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). Nieformalnie klasa Euler klasa zestawu zero ogólnym przekroju w E . Ta interpretacja może być bardziej wyraźna, gdy E jest gładką wiązką wektorów nad gładką rozmaitością X , ponieważ wtedy ogólna gładka część X znika na współwymiarze- r podrozmaitości X .

Istnieje kilka innych typów charakterystycznych klas dla wiązek wektorowych, które przyjmują wartości w kohomologiami, w tym klas Cherna , klas Stiefel-Whitneya oraz klas Pontryagin .

Przestrzenie Eilenberga-MacLane'a

Dla każdej grupy abelowej A i liczby naturalnej j istnieje przestrzeń, której j-ta grupa homotopii jest izomorficzna z A, a pozostałe grupy homotopii wynoszą zero. Przestrzeń taką nazywamy przestrzenią Eilenberga–MacLane'a . Przestrzeń ta ma niezwykłą właściwość, że jest to przestrzeń klasyfikowanie dla kohomologiami: jest naturalnym elementem u z , a każda klasa cohomology stopnia j na każdej przestrzeni X jest wycofywanie się banków z U jakimś ciągłym mapie . Dokładniej, wycofanie klasy u daje bijekcję ${\ Displaystyle K (A, j)}$${\ Displaystyle H ^ {j} (K (A, j), A)}$${\ Displaystyle X\ do K (A, j)}$

${\ Displaystyle [X, K (A, j)] {\ stackrel {\ cong} {\ do}} H ^ {j} (X, A)}$

dla każdej przestrzeni X o typie homotopii kompleksu CW. Tutaj oznacza zbiór klas homotopii ciągłych odwzorowań od X do Y . ${\displaystyle [X,Y]}$

Na przykład przestrzeń (zdefiniowaną do równoważności homotopii) można przyjąć za okrąg . Tak więc powyższy opis mówi, że każdy element jest wyciągany z klasy u punktu, na którym znajduje się jakiś map . ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z} , 1)}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X \ mathbb {Z} )}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle X \ do S ^ {1}}$

Istnieje powiązany opis pierwszej kohomologii ze współczynnikami w dowolnej grupie abelowej A , powiedzmy dla kompleksu CW X . Mianowicie, w korespondencji jeden do jednego z zestawu klas izomorfizmem Galois nakrycie z X z grupy A , zwane również głównym -bundles nad X . Na X połączone wynika, że jest izomorficzny , gdzie jest podstawowym grupę o X . Na przykład klasyfikuje przestrzenie podwójnego nakrycia X , z elementem odpowiadającym trywialnemu podwójnemu nakryciu, rozłącznemu połączeniu dwóch kopii X . ${\ Displaystyle H ^ {1}(X, A)}$${\ Displaystyle H ^ {1}(X, A)}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (\pi_{1}(X),A)}$${\ Displaystyle \ pi _ {1}(X)}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X \ mathbb {Z} / 2)}$${\ Displaystyle 0 \ w H ^ {1} (X \ mathbb {Z} / 2)}$

Czapka produktu

Dla każdej przestrzeni topologicznej X , produkt czapka jest bilinear mapa

${\ Displaystyle \ czapka: H ^ {i} (X, R) \ razy H_ {j} (X, R) \ do H_ {ji} (X, R)}$

dla dowolnych liczb całkowitych i i j oraz dowolnego przemiennego pierścienia R . Wynikowa mapa

${\ Displaystyle H ^ {*} (X, R) \ razy H_ {*} (X, R) \ do H_ {*} (X, R)}$

przekształca osobliwą homologię X w moduł ponad osobliwym pierścieniem kohomologii X .

Dla i = j iloczyn czapki daje naturalny homomorfizm

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, R) \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (H_ {i} (X, R), R)}$

który jest izomorfizmem dla pola R.

Na przykład niech X będzie zorientowaną rozmaitością, niekoniecznie zwartą. Wtedy zamknięty i zorientowany kodwymiar – i podrozmaitość Y z X (niekoniecznie zwarta) wyznacza element H ⁱ ( X , R ), a zwarto zorientowana j- wymiarowa podrozmaitość Z z X wyznacza element H _j ( X , R ) . Iloczyn czapki [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) można obliczyć zaburzając Y i Z , aby przecinały się poprzecznie , a następnie biorąc klasę ich przecięcia , która jest zwartą zorientowaną podrozmaitością wymiarów j − ja .

Zamknięta zorientowana rozmaitość X o wymiarze n ma podstawową klasę [ X ] w H _n ( X , R ). Izomorfizm dwoistości Poincare

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, R) {\ stos {\ cong} {\ do}} H_ {ni} (X, R)}$

jest definiowany przez produkt nasadowy z podstawową klasą X .

Historia, do narodzin osobliwej kohomologii

Chociaż kohomologia ma fundamentalne znaczenie dla współczesnej topologii algebraicznej, jej znaczenia nie dostrzegano przez około 40 lat po rozwinięciu homologii. Koncepcja struktury podwójnej komórki , którą Henri Poincaré wykorzystał w swoim dowodzie swojego twierdzenia o dualności Poincaré, zawierała zalążek idei kohomologii, ale nie było to widoczne dopiero później.

Prekursory kohomologii były różne. W połowie lat dwudziestych JW Alexander i Solomon Lefschetz stworzyli teorię przecięcia cykli na rozmaitościach. Na zamkniętej zorientowanej n- wymiarowej rozmaitości M , i- cykl i j- cykl z niepustym przecięciem będą, jeśli w pozycji ogólnej , będą miały przecięcie w cyklu ( i  +  j  −  n ). Prowadzi to do mnożenia klas homologii

${\ Displaystyle H_ {i} (M) \ razy H_ {j} (M) \ do H_ {i + jn} (M)}$

które z perspektywy czasu można utożsamić z produktem kubkowym w kohomologii M .

Alexander w 1930 zdefiniował pierwsze pojęcie łańcucha, myśląc o i -kołańcuchu w przestrzeni X jako funkcji na małych sąsiedztwach przekątnej w X ^{i +1} .

W 1931 Georges de Rham powiązał homologię i formy różniczkowe, udowadniając twierdzenie de Rhama. Wynik ten można ująć prościej w kategoriach kohomologii.

W 1934 Lew Pontryagin udowodnił twierdzenie o dualności Pontriagina ; wynik na grupach topologicznych . To (w dość szczególnych przypadkach) dało interpretację dualizmu Poincarégo i dualizmu Alexandra w kategoriach postaci grupowych .

Na konferencji w Moskwie w 1935 roku Andrey Kołmogorov i Alexander przedstawili kohomologię i próbowali skonstruować strukturę produktu kohomologii.

W 1936 roku Norman Steenrod skonstruował kohomologię Čecha poprzez dualizację homologii Čecha.

W latach 1936-1938 Hassler Whitney i Eduard Čech opracowali produkt kubkowy (przekształcając kohomologię w pierścień stopniowany) i produkt nasadkowy, i zdali sobie sprawę, że dwoistość Poincaré można określić w kategoriach produktu nasadkowego. Ich teoria wciąż ograniczała się do skończonych kompleksów komórkowych.

W 1944 roku Samuel Eilenberg przezwyciężył ograniczenia techniczne i podał nowoczesną definicję homologii osobliwej i kohomologii.

W 1945 roku Eilenberg i Steenrod stwierdzili aksjomaty definiujące teorię homologii lub kohomologii, omówione poniżej. W swojej książce z 1952 r. Podstawy topologii algebraicznej dowiedli, że istniejące teorie homologii i kohomologii rzeczywiście spełniały ich aksjomaty.

W 1946 roku Jean Leray zdefiniował kohomologię snopa.

W 1948 roku Edwin Spanier , opierając się na pracach Aleksandra i Kołmogorowa, opracował kohomologię Aleksandra-Spaniera .

Kohomologia snopa

Kohomologia Sheafa jest bogatym uogólnieniem kohomologii osobliwej, dopuszczającym bardziej ogólne „współczynniki” niż po prostu grupa abelowa. Na każdy snop grup abelowych E na przestrzeni topologicznej X przypada grupa kohomologiczna H ⁱ ( X , E ) dla liczb całkowitych i . W szczególności, w przypadku stałego snopa na X skojarzonego z grupą abelową A , otrzymane grupy H ⁱ ( X , A ) pokrywają się z osobliwą kohomologią dla X rozmaitości lub zespołu CW (choć nie dla dowolnych przestrzeni X ). Począwszy od lat pięćdziesiątych kohomologia snopów stała się centralną częścią geometrii algebraicznej i analizy złożonej , częściowo ze względu na znaczenie snopa funkcji regularnych lub snopa funkcji holomorficznych .

Grothendieck elegancko zdefiniował i scharakteryzował kohomologię snopków w języku algebry homologicznej . Istotnym punktem jest ustalenie przestrzeni X i potraktowanie kohomologii snopów jako funktora z abelowej kategorii snopów na X do grup abelowych. Zacznij od funktora biorącego snop E na X do jego abelowej grupy sekcji globalnych nad X , E ( X ). Funktor ten jest lewostronny , ale niekoniecznie prawostronny. Grothendieck zdefiniował grupy kohomologii snopa jako prawe pochodne funktorów lewego funktora dokładnego E ↦ E ( X ).

Ta definicja sugeruje różne uogólnienia. Na przykład można zdefiniować kohomologię przestrzeni topologicznej X ze współczynnikami w dowolnym zespole snopów, wcześniej nazywaną hiperkohomologią (ale obecnie po prostu „kohomologią”). Z tego punktu widzenia kohomologia snopów staje się ciągiem funktorów z wyprowadzonej kategorii snopów na X do grup abelowych.

W szerokim znaczeniu tego słowa, „kohomologia” jest często używana dla funktorów wyprowadzonych po prawej stronie lewego funktora dokładnego w kategorii abelowej, podczas gdy „homologia” jest używana dla funktorów wyprowadzonych po lewej stronie funktora dokładnego prawego. Na przykład, dla pierścienia R The grupy Tor Tor _i ^R ( M , N ) tworzą "teorii homologia" w każdej zmiennej, lewy funktory pochodnych produktu tensora M ⊗ _R N w R -modules. Podobnie, grupy Ext Ext ⁱ _R ( M , N ) można postrzegać jako „teorię kohomologii” w każdej zmiennej, funktory wyprowadzone po prawej stronie funktora Hom Hom _R ( M , N ).

Kohomologię Sheafa można utożsamić z typem grupy Ext. Mianowicie, dla snopa E na przestrzeni topologicznej X , H ⁱ ( X , E ) jest izomorficzne z Ext ⁱ ( Z _X , E ), gdzie Z _X oznacza snop stały związany z liczbami całkowitymi Z , a Ext jest brane w abelowa kategoria snopów na X .

Kohomologia odmian

Istnieje wiele maszyn zbudowanych do obliczania kohomologii rozmaitości algebraicznych. Najprostszym przypadkiem jest wyznaczenie kohomologii dla gładkich rozmaitości rzutowych nad polem charakterystyki . Narzędzia z teorii Hodge'a, zwane strukturami Hodge'a, pomagają w obliczeniach kohomologii tego typu odmian (z dodatkiem bardziej wyrafinowanych informacji). W najprostszym przypadku kohomologię gładkiej hiperpowierzchni można określić na podstawie samego stopnia wielomianu. ${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Rozważając odmiany nad skończonym polem lub polem charakterystyki , potrzebne są mocniejsze narzędzia, ponieważ klasyczne definicje homologii/kohomologii załamują się. Dzieje się tak, ponieważ rozmaitości nad ciałami skończonymi będą tylko skończonym zbiorem punktów. Grothendieck wpadł na pomysł topologii Grothendiecka i użył kohomologii snopa zamiast topologii etale, aby zdefiniować teorię kohomologii dla odmian na polu skończonym. Stosując topologię étale dla odmiany nad polem charakterystyki, można skonstruować kohomologię -adyczną dla . Jest to zdefiniowane jako ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell \neq p}$

${\ Displaystyle H ^ {k} (X; \ mathbb {Q} _ {\ Ill}): = \ varprojlim H_ {et} ^ {K} (X; \ mathbb {Z} / (\ I ^ {n}) ))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$

Jeśli mamy schemat typu skończonego

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {Z}} \ lewo [x_ {0}, \ ldots, x_ {n} \ prawo]} {\ lewo (f_ {1 },\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

wtedy istnieje równość wymiarów kohomologii Bettiego i kohomologii -adycznej, gdy różnorodność jest gładka na obu polach. Oprócz tych teorii kohomologicznych istnieją inne teorie kohomologiczne zwane teoriami kohomologicznymi Weila, które zachowują się podobnie do kohomologii osobliwej. Istnieje domniemana teoria motywów, które leżą u podstaw wszystkich teorii kohomologii Weila. ${\ Displaystyle X (\ mathbb {C} )}$${\displaystyle \ell}$${\ Displaystyle X (\ mathbb {F} _ {q})}$

Innym użytecznym narzędziem obliczeniowym jest sekwencja powiększania. Przy danym podschemacie korelacji istnieje kwadrat kartezjański ${\ Displaystyle \ geq 2}$${\ Displaystyle Z \ podzbiór X}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} E & \ longrightarrow & Bl_ {Z} (X) \ \ \ downarrow & & \ downarrow \ \ Z & \ longrightarrow & X \ end {macierz}}}$

Z tym wiąże się długa dokładna sekwencja

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {n} (X) \ do H ^ {n} (Z) \ oplus H ^ {n} (BL_ {Z} (X)) \ do H ^ {n} (E )\do H^{n+1}(X)\do \cdots }$

Jeśli pododmiana jest gładka, to wszystkie morfizmy łączące są trywialne, stąd ${\ Displaystyle Z}$

${\ Displaystyle H ^ {n} (BL_ {Z} (X)) \ oplus H ^ {n} (Z) \ cong H ^ {n} (X) \ oplus H ^ {n} (E)}$

Aksjomaty i uogólnione teorie kohomologiczne

Istnieją różne sposoby definiowania kohomologii na przestrzeni topologicznych (takie jak kohomologiami pojedynczej, Čech kohomologiami , Alexander-Spanier kohomologiami lub snop kohomologiami ). (Tutaj kohomologia snopa jest rozważana tylko ze współczynnikami w stałym snopie.) Te teorie dają różne odpowiedzi dla niektórych przestrzeni, ale istnieje duża klasa przestrzeni, co do których wszystkie się zgadzają. Najłatwiej to zrozumieć aksjomatycznie: istnieje lista właściwości znanych jako aksjomaty Eilenberga-Steenroda i dowolne dwie konstrukcje, które mają te właściwości, zgadzają się przynajmniej na wszystkich kompleksach CW. Istnieją wersje aksjomatów dla teorii homologii, jak również dla teorii kohomologii. Niektóre teorie mogą być postrzegane jako narzędzia do obliczania kohomologii osobliwej dla specjalnych przestrzeni topologicznych, takich jak kohomologia simplicjalna dla kompleksów simplicjalnych , kohomologia komórkowa dla kompleksów CW i kohomologia de Rhama dla gładkich rozmaitości.

Jednym z aksjomatów Eilenberga-Steenroda dla teorii kohomologii jest aksjomat wymiaru : jeśli P jest pojedynczym punktem, to H ⁱ ( P ) = 0 dla wszystkich i 0. Około 1960 roku George W. Whitehead zauważył, że jest to owocne całkowicie pominąć aksjomat wymiaru: daje to pojęcie uogólnionej teorii homologii lub uogólnionej teorii kohomologii, zdefiniowanej poniżej. Istnieją uogólnione teorie kohomologii, takie jak teoria K lub kobordyzm złożony, które dostarczają bogatych informacji o przestrzeni topologicznej, niedostępnych bezpośrednio z kohomologii osobliwej. (W tym kontekście pojedyncza kohomologia jest często nazywana „zwykłą kohomologią”).

Z definicji, uogólnione teorii homologii jest sekwencją Funktory h _ı (liczby całkowite i ) od kategorii z CW- pary ( X ,  ) (czyli X jest złożonym CW i jest subcomplex) do kategorii grupy abelian , wraz z naturalną transformacją ∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ) zwaną homomorfizmem brzegowym (tutaj h _{i −1} ( A ) jest skrótem dla h _{i −1} ( A ,∅) ). Aksjomaty to:

1. Homotopia : Jeśli jest homotopiczny do , to indukowane homomorfizmy na homologii są takie same.${\ Displaystyle f: (X, A) \ do (Y, B)}$${\ Displaystyle g: (X, A) \ do (Y, B)}$
2. Dokładność : Każda para ( X , A ) indukuje długą dokładną sekwencję w homologii, poprzez inkluzje f : A → X i g : ( X ,∅ ) → ( X , A ):
   ${\ Displaystyle {} \ quad \ cdots \ do h_ {i} (A) {\ overset {f_ {*}} {\ do}} h_ {i} (X) {\ overset {g_ {*}} {\ do }}h_{i}(X,A){\overset {\częściowy }{\do }}h_{i-1}(A)\do \cdots .}$
3. Wycięcie : Jeśli X jest sumą podkompleksów A i B , to włączenie f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) indukuje izomorfizm
   ${\ Displaystyle {} \ quad h_ {i} (A, A \ czapka B) {\ overset {f_ {*}} {\ do}} h_ {i} (X, B)}$
   dla każdego ja .
4. Addytywność : Jeżeli ( X , A ) jest sumą rozłączną zbioru par ( X _α , A _α ) to wtrącenia ( X _α , A _α ) → ( X , A ) wywołują izomorfizm z sumy prostej :
   ${\ Displaystyle {} \ quad \ bigoplus _ {\ alfa} h_ {i} (X_ {\ alfa}, A_ {\ alfa}) \ do h_ {i} (X, A)}$
   dla każdego ja .

Aksjomaty uogólnionej teorii kohomologii uzyskuje się, mówiąc z grubsza, odwracając strzałki. Bardziej szczegółowo, uogólniona teoria kohomologii jest ciągiem funktorów kontrawariantnych h ⁱ (dla liczb całkowitych i ) z kategorii par CW do kategorii grup abelowych, wraz z naturalną transformacją d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ) nazwał homomorfizm brzegowy (zapisując h ⁱ ( A ) dla h ⁱ ( A ,∅)). Aksjomaty to:

1. Homotopia : Mapy homotopowe wywołują ten sam homomorfizm w kohomologii.
2. Dokładność : Każda para ( X , A ) indukuje długą dokładną sekwencję w kohomologii, poprzez inkluzje f : A → X i g : ( X ,∅) → ( X , A ):
   ${\ Displaystyle {} \ quad \ cdots \ do h ^ {i} (X, A) {\ overset {g_ {*}} {\ do}} h ^ {i} (X) {\ overset {f_ {* }}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$
3. Wycięcie : Jeśli X jest sumą podkompleksów A i B , to włączenie f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) indukuje izomorfizm
   ${\ Displaystyle {} \ quad h ^ {i} (X, B) {\ przesunięty {f_ {*}} {\ do}} h ^ {i} (A, A \ czapka B)}$
   dla każdego ja .
4. Addytywność : Jeżeli ( X , A ) jest rozłącznym połączeniem zbioru par ( X _α , A _α ) to wtrącenia ( X _α , A _α ) → ( X , A ) wywołują izomorfizm w grupie produktów :
   ${\ Displaystyle {} \ quad h ^ {i} (X, A) \ do \ prod _ {\ alfa} h ^ {i} (X_ {\ alfa}, A_ {\ alfa})}$
   dla każdego ja .

Widmie decyduje zarówno uogólnionej teorii homologii i uogólnioną teorię kohomologii. Fundamentalny wynik Browna, Whiteheada i Adamsa mówi, że każda uogólniona teoria homologii pochodzi ze spektrum i podobnie każda uogólniona teoria kohomologii pochodzi ze spektrum. To uogólnia reprezentowalność zwykłej kohomologii przez przestrzenie Eilenberga-MacLane'a.

Subtelnym punktem jest to, że funktor z kategorii homotopii stabilnej (kategoria homotopii widm) do teorii homologii uogólnionej na parach CW nie jest równoważnością, chociaż daje bijekcję klasom izomorfizmu; istnieją niezerowe mapy w stabilnej kategorii homotopii (zwanej mapami fantomowymi ), które indukują mapę zerową między teoriami homologii na parach CW. Podobnie, funktor z kategorii stabilnej homotopii do uogólnionych teorii kohomologii na parach CW nie jest równoważny. To właśnie stabilna kategoria homotopii, a nie inne kategorie, ma dobre właściwości, takie jak triangulacja .

Jeśli ktoś woli, aby teorie homologii lub kohomologii były definiowane na wszystkich przestrzeniach topologicznych, a nie na kompleksach CW, jednym standardowym podejściem jest uwzględnienie aksjomatu, że każda słaba równoważność homotopii wywołuje izomorfizm homologii lub kohomologii. (To prawda dla osobliwej homologii lub osobliwej kohomologii, ale nie na przykład dla kohomologii snopa.) Ponieważ każda przestrzeń dopuszcza słabą równoważność homotopii z kompleksu CW, ten aksjomat redukuje teorie homologii lub kohomologii we wszystkich przestrzeniach do odpowiedniej teorii na temat CW. kompleksy.

Oto kilka przykładów uogólnionych teorii kohomologicznych:

• Stabilne grupy kohomotopii Odpowiednia teoria homologii jest częściej stosowana: stabilne grupy homotopii${\ Displaystyle \ pi _ {S} ^ {*} (X).}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {*} ^ {S} (X).}$
• Różne odmiany grup kobordyzmu , oparte na badaniu przestrzeni poprzez rozważenie wszystkich map od niej do rozmaitości: niezorientowany kobordyzm zorientowany na kobordyzm złożony kobordyzm i tak dalej. Złożony kobordyzm okazał się szczególnie silny w teorii homotopii. Jest ściśle związany z grupami formalnymi poprzez twierdzenie Daniela Quillena .${\ Displaystyle MO ^ {*} (X)}$${\ Displaystyle MSO ^ {*} (X)}$ ${\ Displaystyle MU ^ {*} (X)}$
• Różne odmiany topologicznej K-teorii , oparte na badaniu przestrzeni poprzez rozważenie wszystkich wiązek wektorowych nad nią: (rzeczywista okresowa K-teoria), (rzeczywista spójna K-teoria), (złożona okresowa K-teoria), (zełożona spójna K-teoria -teoria) i tak dalej.${\ Displaystyle KO ^ {*} (X)}$${\ Displaystyle ko ^ {*} (X)}$${\ Displaystyle K ^ {*} (X)}$${\ Displaystyle ku ^ {*} (X)}$
• kohomologia Browna-Petersona , teoria K Morawy, teoria E Morawy i inne teorie zbudowane ze złożonego kobordyzmu.
• Różne smaki kohomologii eliptycznej .

Wiele z tych teorii zawiera bogatsze informacje niż zwykła kohomologia, ale trudniej je obliczyć.

Mówi się, że teoria kohomologii E jest multiplikatywna, jeśli ma strukturę stopniowanego pierścienia dla każdej przestrzeni X . W języku widm istnieje kilka bardziej precyzyjnych pojęć o widmie pierścieniowym , takich jak widmo pierścieniowe E _∞ , gdzie iloczyn jest przemienny i asocjacyjny w silnym sensie. ${\ Displaystyle E ^ {*} (X)}$

Inne teorie kohomologiczne

Teorie kohomologiczne w szerszym sensie (niezmienniki innych struktur algebraicznych lub geometrycznych, a nie przestrzeni topologicznych) obejmują:

Zobacz też

• teoria kohomologii zorientowanej na kompleks

Cytaty

Bibliografia

• Dieudonné, Jean (1989), Historia topologii algebraicznej i różniczkowej , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3388-X, MR  0995842
• Dold, Albrecht (1972), Wykłady z topologii algebraicznej , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58660-9, numer MR  0415602
• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman (1952), Podstawy topologii algebraicznej , Princeton University Press , ISBN 9780691627236, numer MR  0050886
• Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Teksty podyplomowe z matematyki , 52 , Nowy Jork, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9, numer MR  0463157
• Hatcher, Allen (2001), Topologia algebraiczna , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, MR  1867354
• "Cohomology" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994].
• May, J. Peter (1999), Zwięzły kurs topologii algebraicznej (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, MR  1702278
• Szwajcar, Robert (1975), Topologia algebraiczna — Homologia i homotopia , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42750-3, MR  0385836
• Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables” , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17-86, doi : 10.1007/BF02566923 , MR  0061823