Rozproszony system parametrów - Distributed parameter system

W teorii sterowania , system parametrów rozproszonych (w przeciwieństwie do systemu parametrów skupionych ) to system, którego przestrzeń stanów jest nieskończenie- wymiarowa . Dlatego takie systemy są również znane jako systemy nieskończenie wymiarowe. Typowymi przykładami są układy opisane za pomocą równań różniczkowych cząstkowych lub równań różniczkowych opóźnienia .

Liniowe niezmienne w czasie systemy parametrów rozproszonych

Abstrakcyjne równania ewolucji

Czas dyskretny

W przypadku przestrzeni Hilberta U , X i Y oraz  ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) i  ∈  L ( U ,  Y ), poniższe równania różnicowe określają liniowy czas dyskretny niezmienny system : ${\ Displaystyle A \,}$${\ Displaystyle B \,}$${\ displaystyle C \,}$${\ Displaystyle D \,}$

${\ Displaystyle x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k) \,}$

${\ Displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k) \,}$

z (stanu) sekwencję z wartościami X , (danych wejściowych lub kontroli) sekwencję z wartościami U i (wyjścia) sekwencję z wartościami Y . ${\ displaystyle x \,}$${\ Displaystyle u \,}$${\ Displaystyle y \,}$

Czas ciągły

Przypadek czasu ciągłego jest podobny do przypadku czasu dyskretnego, ale teraz rozważa się równania różniczkowe zamiast równań różnicowych:

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t) \,}$ ,

${\ Displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t) \,}$ .

Jednak teraz dodatkową komplikacją jest to, że aby włączyć do tej abstrakcyjnej struktury interesujące przykłady fizyczne, takie jak równania różniczkowe cząstkowe i równania różniczkowe z opóźnieniem, trzeba wziąć pod uwagę operatory nieograniczone . Zazwyczaj zakłada wygenerowanie silnie ciągłą półgrupa na stan przestrzeni X . Zakładając, B , C i D mają być ograniczone operatorów wówczas już umożliwia włączenie wielu interesujących przykładach fizyczne, a włączenie wielu innych interesujących przykładach fizyczne siły unboundedness z B i C , jak również.

Przykład: cząstkowe równanie różniczkowe

Częściowa równanie różnicowy i podaje ${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle \ xi \ in [0,1]}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} w (t, \ xi) = - {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe \ xi}} w (t, \ xi) + u (t ),}$

${\ Displaystyle w (0, \ xi) = w_ {0} (\ xi),}$

${\ Displaystyle w (t, 0) = 0,}$

${\ Displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {1} w (t, \ xi) \, d \ xi,}$

pasuje do abstrakcyjnej struktury równania ewolucji opisanej powyżej w następujący sposób. Przestrzeń wejściowa U i przestrzeń wyjściowa Y są wybierane jako zbiór liczb zespolonych. Wybrano przestrzeń stanów X jako L ² (0, 1). Operator A jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle Ax = -x ', ~~~ D (A) = \ lewo \ {x \ w X: x {\ tekst {absolutnie ciągłe}}, x' \ w L ^ {2} (0,1) {\ text {and}} x (0) = 0 \ right \}.}$

Można wykazać, że generuje silnie ciągły półgrupa o X . Ograniczone operatory B , C i D są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle Bu = u, ~~~ Cx = \ int _ {0} ^ {1} x (\ xi) \, d \ xi, ~~~ D = 0.}$

Przykład: równanie różniczkowe opóźnienia

Równanie różniczkowe opóźnienia

${\ Displaystyle {\ kropka {w}} (t) = w (t) + w (t- \ tau) + u (t),}$

${\ Displaystyle y (t) = w (t),}$

pasuje do ram abstrakcyjnych równań ewolucji opisanych powyżej w następujący sposób. Przestrzeń wejściowa U i przestrzeń wyjściowa Y są wybierane jako zbiór liczb zespolonych. Przestrzeń stanów X jest wybrana jako iloczyn liczb zespolonych z L ² (- τ , 0). Operator A jest zdefiniowany jako

${\ displaystyle A {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r + f (- \ tau) \\ f '\ end {pmatrix}}, ~~~ D (A) = \ left \ {{\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} \ in X: f {\ text {absolutnie ciągły}}, f '\ in L ^ {2} ([- \ tau, 0]) {\ text {i}} r = f (0) \ right \}.}$

Można wykazać, że A generuje silnie ciągłą półgrupę na X. Ograniczone operatory B , C i D są zdefiniowane jako

${\ displaystyle Bu = {\ begin {pmatrix} u \\ 0 \ end {pmatrix}}, ~~~ C {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = r, ~~~ D = 0.}$

Funkcje transferu

Podobnie jak w przypadku skończonych wymiarów, funkcja przenoszenia jest definiowana przez transformatę Laplace'a (czas ciągły) lub transformatę Z (czas dyskretny). O ile w przypadku skończonych wymiarów funkcja przenoszenia jest właściwą funkcją wymierną, o tyle nieskończona wymiarowość przestrzeni stanów prowadzi do funkcji irracjonalnych (które są jednak wciąż holomorficzne ).

Czas dyskretny

W czasie dyskretnym transmitancja jest podana w postaci parametrów przestrzeni stanów przez i jest holomorficzna w dysku wyśrodkowanym na początku. W przypadku, gdy 1 / z należy do rozdzielczego zbioru A (co ma miejsce na możliwie mniejszym krążku wyśrodkowanym na początku), funkcja przenoszenia jest równa . Ciekawostką jest to, że każda funkcja, która jest holomorficzna w zera, jest funkcją przenoszenia jakiegoś układu dyskretnego. ${\ Displaystyle D + \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} CA ^ {k} Bz ^ {k}}$${\ Displaystyle D + Cz (I-zA) ^ {- 1} B}$

Czas ciągły

Jeśli generuje silnie ciągły półgrupa i B , C i D są operatorzy ograniczony, to funkcja przenoszenia jest podany w odniesieniu do parametrów przestrzeni stanów o o s z części rzeczywistej większej niż wykładniczego wzrostu związanego z półgrupa generowanego przez A . W bardziej ogólnych sytuacjach ta formuła w obecnym kształcie może nawet nie mieć sensu, ale nadal obowiązuje odpowiednie uogólnienie tej formuły. Aby uzyskać łatwe wyrażenie dla funkcji transferu, często lepiej jest wziąć transformatę Laplace'a w danym równaniu różniczkowym, niż użyć wzorów na przestrzeń stanów, jak zilustrowano poniżej na przykładach podanych powyżej. ${\ Displaystyle D + C (sI-A) ^ {- 1} B}$

Funkcja przenoszenia dla przykładu równania różniczkowego cząstkowego

Ustalając warunek początkowy równy zero i oznaczając przekształcenia Laplace'a względem t wielkimi literami, otrzymujemy z podanego powyżej równania różniczkowego cząstkowego ${\ displaystyle w_ {0}}$

${\ Displaystyle sW (s, \ xi) = - {\ Frac {d} {d \ xi}} W (s, \ xi) + U (s),}$

${\ Displaystyle W (s, 0) = 0,}$

${\ Displaystyle Y (s) = \ int _ {0} ^ {1} W (s, \ xi) \, d \ xi.}$

Jest to niejednorodne liniowe równanie różniczkowe, w którym zmienną jest s jako parametr i warunkiem początkowym jest zero. Rozwiązaniem jest . Podstawiając to do równania na Y i całkując daje tak, że funkcja transferu jest . ${\ displaystyle \ xi}$${\ Displaystyle W (s, \ xi) = U (s) (1-e ^ {- s \ xi}) / s}$${\ Displaystyle Y (s) = U (s) (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$${\ Displaystyle (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$

Funkcja przenoszenia dla przykładu równania różniczkowego opóźnienia

Postępując podobnie jak w przypadku przykładowego równania różniczkowego cząstkowego, funkcja przenoszenia dla przykładu równania opóźnienia wynosi . ${\ Displaystyle 1 / (s-1-e ^ {- s})}$

Sterowalność

W przypadku nieskończenie-wymiarowych istnieje kilka nie równoważnych definicji sterowalności, które w przypadku skończonych wymiarów sprowadzają się do jednego zwykłego pojęcia sterowalności. Trzy najważniejsze koncepcje sterowalności to:

• Dokładna sterowalność,
• Przybliżona sterowalność,
• Zerowa sterowalność.

Sterowalność w czasie dyskretnym

Ważną rolę odgrywają mapy, które odwzorowują zbiór wszystkich sekwencji o wartości U na X i są podane przez . Interpretacja jest taka, że jest to stan, który jest osiągany przez zastosowanie sekwencji wejściowej u, gdy warunek początkowy wynosi zero. System nazywa się ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {n} u = \ suma _ {k = 0} ^ {n} A ^ {k} Bu_ {k}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} u}$

• dokładnie sterowalne w czasie n, jeśli zakres jest równy X , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• w przybliżeniu kontrolowalne w czasie n, jeśli zakres jest gęsty w X , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• wartość zerowa kontrolowana w czasie n, jeśli zakres obejmuje zakres A ⁿ . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

Sterowalność w czasie ciągłym

W sterowalności systemów czasu ciągłego mapa podana przez odgrywa rolę, która odgrywa w czasie dyskretnym. Jednak przestrzeń funkcji sterujących, na które działa ten operator, wpływa teraz na definicję. Typowym wyborem jest L ² (0, ∞; U ), przestrzeń (klas równoważności) U- wartościowanych kwadratowych funkcji całkowitoliczbowych na przedziale (0, ∞), ale inne opcje, takie jak L ¹ (0, ∞; U ) są możliwe. Różne pojęcia sterowalności można zdefiniować po wybraniu dziedziny. System nazywa się ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {t} {\ rm {e}} ^ {As} Bu (s) \, ds}$${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$

• dokładnie sterowalne w czasie t, jeśli zakres jest równy X , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• można w przybliżeniu kontrolować w czasie t, jeśli zakres jest gęsty w X , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• wartość zerowa kontrolowana w czasie t, jeśli zakres obejmuje zakres . ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {At}}$

Obserwowalność

Podobnie jak w przypadku skończonych wymiarów, obserwowalność jest podwójnym pojęciem sterowalności. W przypadku nieskończenie-wymiarowych istnieje kilka różnych pojęć obserwowalności, które w przypadku o skończonych wymiarach pokrywają się. Trzy najważniejsze z nich to:

• Dokładna obserwowalność (znana również jako ciągła obserwowalność),
• Przybliżona obserwowalność,
• Obserwowalność stanu końcowego.

Obserwowalność w czasie dyskretnym

Ważną rolę odgrywają mapy, które odwzorowują X w przestrzeń wszystkich ciągów o wartościach Y i są określone przez jeśli k  ≤  n i zero, jeśli k  >  n . Interpretacja jest taka, że jest to obcięte wyjście z warunkiem początkowym x i zerem kontrolnym. System nazywa się ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ Displaystyle (\ Psi _ {n} x) _ {k} = CA ^ {k} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n} x}$

• dokładnie obserwowalne w czasie n, jeśli istnieje k _n  > 0 takie, że dla wszystkich x  ∈  X , ${\ Displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | x \ |}$
• w przybliżeniu obserwowalne w czasie n, jeśli jest iniekcyjne , ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$
• Stan końcowy zaobserwować w czasie n , jeśli istnieje k, _n  > 0, że dla wszystkich x  ∈  X . ${\ Displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | A ^ {n} x \ |}$

Obserwowalność w czasie ciągłym

W obserwowalności systemów ciągłych w czasie MAPIE podaje do s∈ [0, n] oraz zera dla y> T odgrywa rolę, jaką odgrywa w dyskretnych. Jednak przestrzeń funkcji, do których ten operator mapuje, wpływa teraz na definicję. Typowym wyborem jest L ² (0, ∞,  Y ), przestrzeń (klas równoważności) Y- wartościowanych funkcji kwadratowych całkowitoliczbowych w przedziale (0, ∞) , ale inne opcje, takie jak L ¹ (0, ∞,  Y ) są możliwe. Różne pojęcia obserwowalności można zdefiniować po wybraniu wspólnej dziedziny . System nazywa się ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$${\ Displaystyle (\ Psi _ {t}) (s) = C {\ rm {e}} ^ {As} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$

• dokładnie obserwowalne w czasie t, jeśli istnieje k _t  > 0 takie, że dla wszystkich x  ∈  X , ${\ Displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | x \ |}$
• w przybliżeniu widoczne w czasie t, jeśli jest iniekcyjny , ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$
• Stan końcowy zaobserwować w czasie t , jeśli istnieje k _t  > 0, że dla wszystkich x  ∈  X . ${\ Displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | {\ rm {e}} ^ {At} x \ |}$

Dwoistość między sterowalnością a obserwowalnością

Podobnie jak w przypadku ograniczonym wymiarowej sterowność i obserwowalności są podwójnymi pojęcia (przynajmniej podczas dla domeny i jednoczesnego dziedzinie zwykłej L ² wybór jest wykonane). Podobieństwo pod dwoistością różnych pojęć jest następujące: ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Psi}$

• Dokładna sterowalność ↔ Dokładna obserwowalność,
• Przybliżona sterowalność ↔ Przybliżona obserwowalność,
• Sterowalność zerowa ↔ Obserwowalność stanu końcowego.

Zobacz też

• Teoria sterowania
• Przestrzeń stanów (kontrolki)

Uwagi

Bibliografia

• Curtain, Ruth ; Zwart, Hans (1995), Wprowadzenie do teorii nieskończenie-wymiarowych systemów liniowych , Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Obserwacja i kontrola dla operatorów półgrup , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications , Springer
• Lasiecka, Irena ; Triggiani, Roberto (2000), Teoria sterowania dla równań różniczkowych cząstkowych , Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representation and Control of Infinite Dimensional Systems (drugie wydanie), Birkhauser