Podwójna liczba - Dual number

W algebrze , że podwójne numery są hypercomplex system liczbowy po raz pierwszy wprowadzony w 19. wieku. Są wyrażenia formularza $+$ $bε$ , gdzie i $b$ są liczbami rzeczywistymi , a $ε$ jest symbolem podjęte w celu zaspokojenia . ${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$

Liczby podwójne można dodawać składowo i mnożyć przez wzór

{\ Displaystyle (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=ac+(reklama+bc)\varepsilon,}

co wynika z własności $ε 2 = 0$ oraz z faktu, że mnożenie jest operacją dwuliniową .

Podwójne numery tworzą algebrę o wymiarze dwóch ciągu liczb rzeczywistych, a także Artinian pierścień lokalnej . Są jednym z najprostszych przykładów pierścienia, który ma niezerowe elementy nilpotent .

Historia

Liczby podwójne zostały wprowadzone w 1873 roku przez Williama Clifforda i zostały użyte na początku XX wieku przez niemieckiego matematyka Eduarda Study'a , który użył ich do przedstawienia kąta podwójnego, który mierzy względne położenie dwóch ukośnych linii w przestrzeni. W badaniu zdefiniowano kąt podwójny jako $ϑ + dε$ , gdzie $ϑ$ jest kątem pomiędzy kierunkami dwóch linii w przestrzeni trójwymiarowej, a $d$ jest odległością między nimi. $N$ wymiarowa uogólnienie The liczby grassmanowskie , został wprowadzony przez Hermann Grassmann pod koniec 19 wieku.

Definicja w algebrze abstrakcyjnej

W algebry abstrakcyjnej , algebra podwójnych liczb jest często definiowana jako iloraz o pierścień wielomianów nad liczb rzeczywistych przez ideał główny generowany przez kwadrat o zawierane na czas nieokreślony , czyli ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} )}$

{\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} \ rangle.}

Reprezentacja w algebrach

Liczba podwójna może być reprezentowana przez macierz . Działa to, ponieważ macierz jest kwadratowa względem macierzy zerowej, podobnie jak liczba podwójna . $a+b\epsilon$ ${\zacząć{pmatrix}a&b\\0&a\koniec{pmatrix}}$ ${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$ $\epsilon$

Istnieją inne sposoby przedstawiania liczb podwójnych jako macierzy. Rozważmy tylko przypadek macierzy rzeczywistych. Zakładając, że liczba podwójna jest reprezentowana przez macierz jednostkową, to może być reprezentowana przez dowolną macierz postaci $2\razy 2$ ${\ Displaystyle 1}$ $\epsilon$

{\zacząć{pmatrix}a&b\\c&-a\koniec{pmatrix}}

gdzie z wyjątkiem kiedy? ${\ Displaystyle a ^ {2} + bc = 0,}$ $a=b=c=0.$

Różnicowanie

Jednym z zastosowań liczb podwójnych jest automatyczne rozróżnianie . Rozważ powyższe liczby podwójne. Mając dowolny rzeczywisty wielomian $P (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + ... + p n x n$ , łatwo jest rozszerzyć dziedzinę tego wielomianu z liczb rzeczywistych na liczby podwójne. Wtedy mamy ten wynik:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P (a + b \ varepsilon) = {} i p_ {0}+ p_ {1} (a + b \ varepsilon) + \ cdots + p_ {n} (a + b \ varepsilon )^{n}\\[5pt]={}&p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1 }b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5pt]={}&P(a)+bP^{\prime }( a)\varepsilon ,\end{wyrównany}}}

gdzie $P'$ jest pochodną $P$ .

Bardziej ogólnie, możemy rozszerzyć dowolną (analityczną) funkcję rzeczywistą na liczby podwójne, patrząc na jej szereg Taylora :

{\ Displaystyle f (a + b \ varepsilon) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {f ^ { (n)} (a) b ^ {n} \ varepsilon ^ {n} }{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}

ponieważ wszystkie terminy obejmujące $ε 2$ lub większe są trywialnie równe 0 z definicji $ε$ .

Obliczając złożenie tych funkcji na liczbach podwójnych i badając w wyniku współczynnik $ε$ , automatycznie obliczyliśmy pochodną złożeń.

Podobna metoda działa dla wielomianów $n$ zmiennych, wykorzystując zewnętrzną algebrę $n-$ wymiarowej przestrzeni wektorowej.

Geometria

„Okrąg jednostkowy” liczb podwójnych składa się z tych o $a = \pm1,$ ponieważ spełniają one $zz * = 1$ gdzie $z * = a - bε$ . Pamiętaj jednak, że

{\ Displaystyle e ^ {b \ varepsilon} = \ po lewej (\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ po lewej (b \ varepsilon \ po prawej) ^ {n}} {n!}} \right)=1+b\varepsilon ,}

więc mapa wykładnicza zastosowana do osi $ε$ obejmuje tylko połowę „okręgu”.

Niech $z = a + bε$ . Jeśli $a 0$ i $m =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} b/za$ , wtedy $z = a (1 + mε)$ jest rozkładem biegunowym liczby podwójnej $z$ , a nachylenie $m$ jest jej częścią kątową. Pojęcie obrotu w płaszczyźnie podwójnej liczby jest równoważne odwzorowaniu pionowego ścinania, ponieważ $(1 + pε)(1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

W bezwzględną czasu i przestrzeni Galilejczyku transformacji

{\ Displaystyle \ lewo (t 'x' \ prawo) = (t, x) {\ zacząć {pmatrix} 1 i v \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} \ ,,}

to jest

t'=t\quad x'=vt+x

wiąże układ współrzędnych spoczynkowych z ruchomym układem odniesienia prędkości $v$ . W przypadku liczb podwójnych $t + xε$ reprezentujących zdarzenia wzdłuż jednego wymiaru przestrzennego i czasu, ta sama transformacja jest wykonywana przez pomnożenie przez $1 + vε$ .

Cykle

Mając dwie liczby podwójne $p$ i $q$ , określają one zbiór $z$ taki, że różnica nachyleń ("kąt Galileusza") między prostymi od $z$ do $p$ i $q$ jest stała. Ten zbiór jest cyklem na płaszczyźnie dwuliczbowej; ponieważ równanie ustalające stałą różnicę nachylenia linii jest równaniem kwadratowym w rzeczywistej części $z$ , cykl jest parabolą . „Cykliczny obrót” płaszczyzny dwuliczbowej następuje jako ruch jej linii rzutowej . Według Isaaka Yagloma cykl $Z = {z : y = αx 2}$ jest niezmienny w składzie ścinania

x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y

z tłumaczeniem

{\ Displaystyle x '= x_ {1} = {\ Frac {v} {2a}}, \ quad y '= y_ {1} + {\ Frac {v ^ {2}} {4a}}.}

Podział

Dzielenie liczb podwójnych definiuje się, gdy rzeczywista część mianownika jest niezerowa. Proces dzielenia jest analogiczny do dzielenia złożonego, w którym mianownik mnoży się przez jego sprzężenie w celu usunięcia części nierzeczywistych.

Dlatego, aby podzielić równanie postaci

{\frac {a+b\varepsilon}}{c+d\varepsilon}}

mnożymy górę i dół przez koniugat mianownika:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}} i = {\ Frac {(a + b \ varepsilon) (cd \ varepsilon)}{ (c + d\varepsilon )(cd\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0} }\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}

który jest zdefiniowany, gdy $c$ jest niezerowe .

Jeśli z drugiej strony $c$ wynosi zero, a $d$ nie, to równanie

{\ Displaystyle {a + b \ varepsilon = (x + y \ varepsilon ) d \ varepsilon } = {xd \ varepsilon + 0}}

nie ma rozwiązania, jeśli $a$ jest niezerowe
jest inaczej rozwiązany przez dowolną liczbę podwójną postaci $b / re + tak$ .

Oznacza to, że nierzeczywista część „ilorazu” jest arbitralna i dlatego dzielenie nie jest zdefiniowane dla czysto nierzeczywistych liczb podwójnych. Rzeczywiście, są one (trywialnie) dzielnikami zera i wyraźnie tworzą ideał algebry asocjacyjnej (a więc pierścienia ) liczb podwójnych.

Zastosowania w mechanice

Liczby podwójne znajdują zastosowanie w mechanice , zwłaszcza w syntezie kinematycznej. Na przykład liczby podwójne umożliwiają przekształcenie równań wejścia/wyjścia czteroprętowego połączenia sferycznego, które obejmuje tylko połączenia rotoid, w czteroprętowy mechanizm przestrzenny (rotoid, rotoid, rotoid, cylindryczny). Podwójne kąty składają się z części pierwotnej, kątów i części podwójnej, która ma jednostki długości. Zobacz teorię śrub, aby uzyskać więcej informacji.

Uogólnienia

Konstrukcja ta może być przeprowadzane bardziej ogólnie: dla pierścienia przemiennego $R$ można określić przez podwójną numery nad $R$ jako iloraz z wielomianu pierścienia $R [X]$ przez idealny $(X 2)$ : obraz $X$ ma wówczas kwadratowy równa zero i odpowiada elementowi $ε$ z góry.

Arbitralny moduł elementów kwadratu zerowego

Istnieje bardziej ogólna konstrukcja liczb podwójnych. Biorąc pod uwagę pierścień przemienny i moduł , istnieje pierścień zwany pierścieniem liczb podwójnych, który ma następujące struktury: ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle R [M]}$

Jest to -moduł z mnożeniem określonym przez for i ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R \ oplus M}$ $(r,i)\cdot (r',i')=(rr',ri'+r'i)$ $r,r'\w r$ $ja,i'\w ja.$

Algebra liczb podwójnych jest szczególnym przypadkiem, gdzie i ${\ Displaystyle M = R}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = (0,1).}$

Superprzestrzeń

Liczby podwójne znajdują zastosowanie w fizyce , gdzie stanowią jeden z najprostszych nietrywialnych przykładów superprzestrzeni . Równoważnie są to superliczby z tylko jednym generatorem; superliczby uogólniają pojęcie na $n$ odrębnych generatorów $ε$ , z których każdy jest antykomutacyjny, prawdopodobnie zabierając $n$ do nieskończoności. Superprzestrzeń nieco uogólnia superliczby, umożliwiając wiele wymiarów dojazdów.

Motywacja wprowadzenia liczb podwójnych do fizyki wynika z zasady wykluczania Pauliego dla fermionów. Kierunek wzdłuż $ε$ jest określany jako kierunek „fermionowy”, a rzeczywisty składnik określany jest jako kierunek „bozonowy”. Kierunek fermionowy zawdzięcza tę nazwę temu, że fermiony przestrzegają zasady wykluczania Pauliego: pod wpływem wymiany współrzędnych kwantowa mechaniczna funkcja falowa zmienia znak, a zatem znika, jeśli dwie współrzędne zostaną połączone; ta fizyczna idea jest uchwycona przez relację algebraiczną $ε 2 = 0$ .

Linia projekcyjna

Pomysł linii rzutowej nad liczbami podwójnymi został wysunięty przez Grünwalda i Corrado Segre .

Tak jak sfera Riemanna potrzebuje punktu bieguna północnego w nieskończoności, aby zamknąć złożoną linię rzutową , tak linii w nieskończoności udaje się zamknąć płaszczyznę liczb podwójnych do cylindra .

Załóżmy, że $D$ jest pierścieniem liczb podwójnych $x + yε ,$ a $U$ jest podzbiorem z $x \neq 0$ . Następnie $U$ jest grupa sztuk z $D$ . Niech $B = {(a, b) \in D \times D : a \in U lub b \in U}$ . Stosunek jest zdefiniowany w B, w następujący sposób: $(a, b), ~ (c, d)$ , kiedy to $u$ w $U$ tak że $ua = C$ i $ub = d$ . Relacja ta jest w rzeczywistości relacją równoważności . Punkty linii rzutowej nad $D$ są klasami równoważności w $B$ w tej relacji: $P (D) = B /~$ . Są one reprezentowane przez współrzędne rzutowe $[a, b]$ .

Rozważ osadzenie $D \to P (D)$ przez $z \to [z, 1]$ . Wtedy punkty $[1, n]$ , dla $n 2 = 0$ , znajdują się w $P (D),$ ale nie są obrazem żadnego punktu pod osadzeniem. $P (D)$ jest odwzorowane na walec przez rzutowanie : Weź walec styczny do płaszczyzny podwójnej liczby na prostej ${yε : y \in ℝ }$ , $ε 2 = 0$ . Teraz weź przeciwną linię na cylindrze jako oś ołówka samolotów. Płaszczyzny przecinające dwucyfrową płaszczyznę i walec zapewniają zgodność punktów między tymi powierzchniami. Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny dwuliczbowej odpowiada punktom $[1, n]$ , $n 2 = 0$ w linii rzutowej nad liczbami podwójnymi.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Bencivenga, Ulderico (1946). „Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo” [O geometrycznej reprezentacji algebr podwójnych z modułem]. Atti della Reale Accademia of Science and Belle-Lettere di Napoli . 3 (w języku włoskim). 2 (7). MR 0021123 .
Clifford, William Kingdon (1873). „Wstępny szkic Bi-quaternions”. Procedury Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego . 4 : 381–395.
Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (kwiecień 2004). „Geometria uogólnionych liczb zespolonych” (PDF) . Magazyn Matematyka . 77 (2): 118–129. doi : 10.1080/0025570X.2004.11953236 . S2CID 7837108 .
Millera, Williama; Boehning, Rochelle (1968). „Liczby Gaussa, paraboliczne i hiperboliczne”. Nauczyciel matematyki . 61 (4): 377–382.
Studium Eduarda (1903). Geometria Dynamów . str. 196.Z historycznych monografii matematycznych Cornell na Cornell University .
Jaglom, IM (1968). Liczby zespolone w geometrii . Z języka rosyjskiego przetłumaczył Eric JF Primrose. Nowy Jork i Londyn: Academic Press . str. 12 -18.
Marka, Louis (1947). Analiza wektorowa i tensorowa . Nowy Jork: John Wiley i synowie.
Fischer, Ian S. (1999). Metody dwuliczbowe w kinematyce, statyce i dynamice . Boca Raton: CRC Press.
Bertram, W. (2008). Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne nad ogólnymi polami bazowymi i pierścieniami . Pamiętniki AMS. 192 . Providence, Rhode Island: Amer. Matematyka. Soc.
" " Wyższa" przestrzeń styczna" . math.stackexchange.com .

Languages

In other projects