Problem Fermiego–Pasta–Ulam–Tsingou - Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem

W fizyce The Problem Fermiego-Pasta-Ulam-Tsingou lub dawniej problemem Fermiego-Pasta-Ulam był pozorny paradoks w teorii chaosu , że wiele wystarczająco skomplikowane układy fizyczne wykazywały niemal dokładnie okresowe zachowanie - o nazwie Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou nawrót ( lub nawrót Fermi-Pasta-Ulam ) – zamiast oczekiwanego zachowania ergodycznego . Było to zaskoczeniem, ponieważ Fermi z pewnością spodziewał się, że system ulegnie termalizacji w dość krótkim czasie. Oznacza to, że oczekiwano, że wszystkie mody wibracyjne w końcu pojawią się z równą siłą, zgodnie z twierdzeniem o ekwipartycji lub, bardziej ogólnie, hipotezą ergodyczną . A jednak istniał system, który wydawał się wymykać hipotezie ergodycznej. Chociaż nawrót można łatwo zaobserwować, w końcu okazało się, że w znacznie dłuższych okresach czasu system w końcu ulega termalizacji. Aby wyjaśnić zachowanie systemu, zaproponowano wiele konkurencyjnych teorii, które pozostają przedmiotem aktywnych badań.

Pierwotnym zamiarem było znalezienie problemu fizycznego godnego symulacji numerycznej na nowym wówczas komputerze MANIAC . Fermi czuł, że termalizacja będzie takim wyzwaniem. Jako taki stanowi jedno z najwcześniejszych zastosowań komputerów cyfrowych w badaniach matematycznych; jednocześnie nieoczekiwane wyniki rozpoczęły badania nad układami nieliniowymi .

Eksperyment FPUT

Jeśli nie ma nieliniowości (fioletowy), cała amplituda w trybie pozostanie w tym trybie. Jeśli w łańcuchu sprężystym zostanie wprowadzona nieliniowość kwadratowa, energia może rozłożyć się na wszystkie tryby, ale jeśli poczekasz wystarczająco długo (w tej animacji dwie minuty), zobaczysz całą amplitudę powracającą do trybu oryginalnego.

Latem 1953 roku Enrico Fermi , John Pasta , Stanisław Ulam i Mary Tsingou przeprowadzili symulacje komputerowe drgającej struny, która zawierała nieliniowy wyraz (w jednym teście kwadratowy, w drugim sześcienny, a odcinkiem liniowe przybliżenie do sześciennego trzeci). Odkryli, że zachowanie systemu było zupełnie inne od tego, czego oczekiwałaby intuicja. Fermi uważał, że po wielu iteracjach system wykaże termalizację , zachowanie ergodyczne, w którym wpływ początkowych modów drgań zanika, a układ staje się mniej lub bardziej losowy, przy mniej więcej równym wzbudzeniu wszystkich modów . Zamiast tego system wykazywał bardzo skomplikowane zachowanie quasi-okresowe . Opublikowali swoje wyniki w raporcie technicznym Los Alamos w 1955 r. ( Enrico Fermi zmarł w 1954 r., więc ten raport techniczny został opublikowany po śmierci Fermiego).

W 2020 roku magazyn National Security Science opublikował artykuł na temat Tsingou, który zawierał jej komentarz i historyczne refleksje na temat problemu FPUT. W artykule Tsingou stwierdza: „Pamiętam, jak pewnego dnia siedziałem tam z Pastą i Ulamem”, kiedy przeprowadzali burzę mózgów „niektóre problemy, które moglibyśmy rozwiązać na komputerze, niektóre naprawdę matematyczne problemy”. Próbowali kilku rzeczy, ale w końcu „wymyślili tę wibrującą strunę”.

Eksperyment FPUT był ważny zarówno dla ukazania złożoności nieliniowego zachowania systemu, jak i wartości symulacji komputerowej w analizie systemów.

Zmiana imienia

Oryginalny artykuł wymienia Fermiego, Pastę i Ulama jako autorów (chociaż Fermi zmarł przed napisaniem raportu) z podziękowaniem dla Tsingou za jej pracę nad programowaniem symulacji MANIAC . Wkład Mary Tsingou w problem FPUT został w dużej mierze zignorowany przez społeczność, dopóki Thierry Dauxois ( 2008 ) nie opublikował dodatkowych informacji dotyczących rozwoju i wezwał do zmiany nazwy problemu, aby przyznać również jej przypisanie.

System kratowy FPUT

Fermi, Pasta, Ulam i Tsingou symulowali drgającą strunę, rozwiązując następujący dyskretny system oscylatorów sprzężonych w najbliższym sąsiedztwie. Postępujemy zgodnie z wyjaśnieniem podanym w artykule Richarda Palaisa . Niech będzie N oscylatorów reprezentujących strunę o długości z pozycjami równowagi , gdzie jest rozstaw sieci. Wtedy pozycja j-tego oscylatora w funkcji czasu wynosi , co daje przemieszczenie od stanu równowagi. FPUT wykorzystał następujące równania ruchu: ${\displaystyle \ell}$${\ Displaystyle p_ {j} = jh, \ j = 0, \ kropki, N-1}$${\displaystyle h=\ell /(N-1)}$${\ Displaystyle X_ {j} (t) = p_ {j} + x_ {j} (t)}$${\ Displaystyle x_ {j} (t)}$

${\ Displaystyle m {\ ddot {x}} _ {j} = k (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j}) [1 + \ alfa (x_ {j + 1} - x_{j-1})].}$

(Uwaga: to równanie nie jest równoważne z klasycznym podanym we francuskiej wersji artykułu.)

To tylko drugie prawo Newtona dla j- tej cząstki. Pierwszym czynnikiem jest zwykła forma prawa Hooke'a dla siły. Czynnikiem z jest siła nieliniowa. Możemy przepisać to w kategoriach wielkości ciągłych, określając prędkość fali, gdzie jest moduł Younga dla struny, a gęstość: ${\ Displaystyle k (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j})}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle c={\sqrt {\kappa /\rho}}}$${\ Displaystyle \ kappa = k/h}$${\ Displaystyle \ rho = m/h ^ {3}}$

${\ Displaystyle {\ ddot {x}} _ {j} = {\ Frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ { j})[1+\alfa (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Związek z równaniem KdV

Limit kontinuum rządzących równań dla łańcucha (z kwadratowej siły) jest Korteweg-de Vries równanie (KDV równanie). Odkrycie tego związku i z solitonowych rozwiązań równania KdV przez Martin David Kruskala- i Normana Zabusky w 1965 roku był ważnym krokiem naprzód w badaniach systemów nieliniowych. Poniżej przedstawiamy wyprowadzenie tego limitu, co jest dość skomplikowane, jak można znaleźć w artykule Palaisa. Zaczynając od „postaci kontinuum” powyższych równań sieci, najpierw definiujemy u ( x ,  t ) jako przemieszczenie struny w pozycji x iw czasie t . Będziemy wtedy potrzebować korespondencji, więc to jest . ${\ Displaystyle u (p_ {j}, t)}$${\ Displaystyle x_ {j} (t)}$

${\ Displaystyle {\ ddot {x}} _ {j} = {\ Frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} (x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ { j})[1+\alfa (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Możemy użyć twierdzenia Taylora, aby przepisać drugi czynnik dla małych (indeksy u oznaczają pochodne cząstkowe): ${\ Displaystyle h}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo ({\ Frac {x_ {j + 1} + x_ {j-1} -2x_ {j}} {h ^ {2}}} \ po prawej) i = {\ szczelina {u(x+h,t)+u(xh,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left( {\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{wyrównany}}}$

Podobnie drugi wyraz w trzecim czynniku to

${\ Displaystyle \ alfa (x_ {j + 1} -x_ {j-1}) = 2 \ alfa hu_ {x} (x, t) + \ lewo ({\ Frac {\ alfa h ^ {3}} 3}}\right)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).}$

Tak więc system FPUT jest

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c ^ {2}}} u_ {tt}-u_ {xx} = (2 \ alfa h) u_ {x} u_ {xx} + \ lewo ({\ Frac {h ^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}+O(\alfa h^{2},h^{4}).}$

Gdyby zachować wyrazy tylko do O ( h ) i założyć, że zbliża się do granicy, wynikowe równanie to takie, które rozwija szoki , czego nie obserwujemy. W ten sposób zachowujemy również termin O ( h ² ): ${\displaystyle 2\alfa h}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c ^ {2}}} u_ {tt}-u_ {xx} = (2 \ alfa h) u_ {x} u_ {xx} + \ lewo ({\ Frac {h ^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}.}$

Dokonujemy teraz następujących podstawień, motywowanych rozkładem rozwiązań fal biegnących ( równania fali zwykłej , do którego to się redukuje, gdy znika) na fale poruszające się w lewo iw prawo, tak że rozważamy tylko falę poruszającą się w prawo. Niech . Pod tą zmianą współrzędnych równanie staje się ${\displaystyle \alfa,h}$${\ Displaystyle \ xi = x-ct, \ \ tau = (\ alfa h) ct, \ r (\ xi, \ tau) = u (x, t)}$

${\ Displaystyle y_ {\ xi \ tau} - \ lewo ({\ Frac {\ alfa h} {2}} \ prawej) y_ {\ tau \ tau} = -y_ {\ xi } y_ {\ xi \ xi} -\left({\frac {h}{24\alfa }}\right)y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Aby przyjąć granicę kontinuum, załóżmy, że ma tendencję do stałej i ma tendencję do zera. Jeśli weźmiemy , to ${\ Displaystyle \ alfa / h}$${\displaystyle \alfa,h}$${\ Displaystyle \ delta = \ lim _ {h \ do 0} {\ sqrt {h/(24 \ alfa)}}}$

${\ Displaystyle y_ {\ xi \ tau} = - y_ {\ xi } y_ {\ xi \ xi} - \ delta ^ {2} y_ {\ xi \ xi \ xi \ xi}.}$

Wyznaczanie wyników w równaniu KdV: ${\displaystyle v=y_{\xi}}$

${\ Displaystyle v_ {\ tau} + vv_ {\ xi } + \ delta ^ {2} v_ {\ xi \ xi \ xi} = 0.}$

Zabusky i Kruskal stwierdzili, że fakt, że rozwiązania solitonowe równania KdV mogą przechodzić przez siebie nawzajem bez wpływu na kształty asymptotyczne, wyjaśnia quasi-okresowość fal w eksperymencie FPUT. Krótko mówiąc, termalizacja nie mogła nastąpić z powodu pewnej „symetrii solitonowej” w układzie, która złamała ergodyczność.

Podobny zestaw manipulacji (i przybliżeń) prowadzi do sieci Toda , która słynie również z tego, że jest systemem całkowicie integrowalnym . To również ma rozwiązania solitonowe , pary Laxa , a więc może być również wykorzystane do argumentowania za brakiem ergodyczności w modelu FPUT.

Drogi do termalizacji

W 1966 Izrailev i Chirikov zaproponowali, że system będzie się termalizował, jeśli zapewniona zostanie wystarczająca ilość energii początkowej. Pomysł polega na tym, że nieliniowość zmienia relację dyspersji , umożliwiając zachodzenie oddziaływań rezonansowych, które będą przepuszczać energię z jednego modu do drugiego. Przegląd takich modeli można znaleźć w Livi et al . Jednak w 1970 roku Ford i Lunsford twierdzą, że mieszanie można zaobserwować nawet przy arbitralnie małych energiach początkowych. Istnieje długa i złożona historia podejść do tego problemu, patrz Dauxois (2008) dla (częściowego) badania.

Ostatnie prace Onorato i in. pokazuje bardzo ciekawą drogę do termalizacji. Przepisując model FPUT w kategoriach modów normalnych , termin nieliniowy wyraża się jako interakcja trójmodowa (używając języka mechaniki statystycznej można to nazwać „ interakcją trójfonową ”). rezonansowy oddziaływanie i w ten sposób nie jest w stanie rozkładu energii z jednego trybu do drugiego; może generować tylko powtarzanie FPUT. Interakcja trzech fononów nie może termalizować systemu.

Kluczowym spostrzeżeniem jest jednak to, że te tryby są kombinacją trybów „wolnych” i „związanych”. Oznacza to, że wyższe harmoniczne są „związane” z podstawą, podobnie jak wyższe harmoniczne w rozwiązaniach równania KdV są związane z podstawą. Nie mają żadnej własnej dynamiki, a zamiast tego są zsynchronizowane z podstawą. Termowizja, jeśli jest obecna, może znajdować się tylko wśród trybów swobodnych.

Aby uzyskać mody swobodne, można zastosować transformację kanoniczną, która usuwa wszystkie mody, które nie są wolne (które nie wchodzą w interakcje rezonansowe). Takie postępowanie dla systemu FPUT skutkuje powstaniem trybów oscylatora, które mają interakcję czterofalową (interakcja trójfalowa została usunięta). Te kwartety oddziałują dźwięcznie, czyli zrobić wymieszać razem cztery tryby naraz. Co dziwne, gdy łańcuch FPUT ma tylko 16, 32 lub 64 węzły, te kwartety są odizolowane od siebie. Każdy dany tryb należy tylko do jednego kwartetu, a energia nie może przelewać się z jednego kwartetu do drugiego. Przechodząc do wyższych rzędów interakcji, mamy do czynienia z interakcją sześciofalową, która jest rezonansowa; co więcej, każdy tryb uczestniczy w co najmniej dwóch różnych interakcjach sześciofalowych. Innymi słowy, wszystkie tryby zostają ze sobą połączone, a energia przeniesie się między wszystkimi różnymi trybami.

Interakcja trójfalowa jest silna (taka sama jak w poprzednich sekcjach powyżej). Interakcja czterofalowa ma siłę, a interakcja sześciofalowa ma siłę . Na podstawie ogólnych zasad korelacji oddziaływań (wynikających z hierarchii BBGKY ) oczekuje się, że czas termalizacji będzie biegł jako kwadrat interakcji. W ten sposób oryginalna sieć FPUT (o rozmiarach 16, 32 lub 64) w końcu ulegnie termalizacji w skali czasowej : wyraźnie, jest to bardzo długi czas dla oddziaływań słabych ; w międzyczasie powtarzalność FPUT będzie działać bez przerwy. Ten konkretny wynik dotyczy tych konkretnych rozmiarów sieci; rezonansowe interakcje czterofalowe lub sześciofalowe dla różnych rozmiarów sieci mogą, ale nie muszą mieszać się ze sobą modów (ponieważ strefy Brillouina mają inny rozmiar, a więc kombinatoryka, której wektory falowe mogą sumować się do zera, jest zmieniona). Procedury uzyskiwania przekształceń kanonicznych linearyzujących tryby związane pozostają przedmiotem aktywnych badań. ${\displaystyle 1/\alfa}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle 1/\ alfa ^ {2}}$${\ Displaystyle 1/\ alfa ^ {4}}$${\ Displaystyle 1/\ alfa ^ {8}}$${\ Displaystyle \ alfa \ ll 1}$

Bibliografia

Dalsza lektura

• Dauxois, Thierry (2008). „Fermi, Makaron, Ulam i tajemnicza dama”. Fizyka dzisiaj . 6 (1): 55–57. arXiv : 0801.1590 . Kod Bibcode : 2008PhT....61a..55D . doi : 10.1063/1.2835154 . S2CID  118607235 .
• Fermi, E .; Makaron, J .; Ulam, S. (1955). „Studia problemów nieliniowych” (PDF) . Dokument LA-1940. Narodowe Laboratorium Los Alamos. Cytowanie dziennika wymaga |journal=( pomoc )
• Grant, Wirginia (2020). "Dziękujemy Pannie Mary Tsingou" . Nauka o bezpieczeństwie narodowym. Zima 2020: 36-43.
• Zabusky, NJ ; Kruskal, MD (1965). „Oddziaływania solitonów w bezzderzeniowej plazmie i powtarzalność stanów początkowych” . Fizyczne listy kontrolne . 15 (6): 240-243. Kod Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
• Palais, R. (1997). „Symetrie solitonów” (PDF) . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 34 (4): 339–403. arXiv : DG-ga/9708004 . doi : 10.1090/S0273-0979-97-00732-5 . MR  1462745 . S2CID  14550937 .
• Dauxois, T.; Ruffo, S. (2008). „Nieliniowe drgania sieci Fermi-Pasta-Ulam” . Scholarpedia . 3 (8): 5538. Kod bib : 2008SchpJ...3.5538D . doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
• Gallavotti, G. , wyd. (2008). Problem Fermiego, Pasty i Ulama . Raport o stanie . Notatki do wykładów z fizyki . 728 . Springer . Numer ISBN 978-3-540-72994-5.
• Porter, mgr; Zabuski, NJ ; Centrum.; Campbell, Dania (2009). „Fermi, makaron, Ulam i narodziny matematyki eksperymentalnej” (PDF) . Amerykański naukowiec . 97 (3): 214-221. doi : 10.1511/2009.78.214 .
• Onorato, M.; Vozella, L.; Proment, D.; Lwów, Y. (2015). „Droga do termalizacji w układzie α-Fermi–Pasta–Ulam” (PDF) . Materiały Narodowej Akademii Nauk Stanów Zjednoczonych Ameryki . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Kod Bibcode : 2015PNAS..112.4208O . doi : 10.1073/pnas.1404397112 . PMC  4394280 . PMID  25805822 .

Zewnętrzne linki

• „Fermi Pasta Ulam: paradoks, który zapoczątkował obliczenia naukowe” .