Wzory Freneta-Serreta - Frenet–Serret formulas

Krzywa przestrzenna; wektory T , N i B ; i płaszczyzna oskulacji rozpięta przez T i N

W geometrii różniczkowej , że wzory freneta opisują kinematyczne własności cząstki poruszające się w sposób ciągły, różniczkowej krzywej w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R ³ lub właściwości geometrycznych samego łuku, niezależnie od wszelkich ruchów. Dokładniej, wzory opisują pochodne tak zwanych wektorów jednostkowych stycznych, normalnych i binormalnych względem siebie. Wzory zostały nazwane na cześć dwóch francuskich matematyków, którzy niezależnie odkryli je: Jeana Frédérica Freneta w swojej pracy magisterskiej z 1847 roku i Josepha Alfreda Serreta w 1851 roku. ich odkrycia.

Styczne, normalne i binormalne wektory jednostkowe, często nazywane T , N i B , lub łącznie ramka Freneta-Serreta lub ramka TNB , razem tworzą podstawę ortonormalną obejmującą R ³ i są zdefiniowane w następujący sposób:

• T jest wektorem jednostkowym stycznym do krzywej, wskazującym w kierunku ruchu.
• N jest normalnym wektorem jednostkowym, pochodną T względem parametru długości łuku krzywej, podzieloną przez jej długość.
• B jest wektorem jednostkowym binormal The iloczyn z T i N .

Wzory Freneta-Serreta to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {d \ mathbf {T}} {ds}} i = \ kappa \ mathbf {N}, \ \ {\ Frac {d \ mathbf {N}} {ds} }&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end {wyrównany}}}$

gdzie d / ds jest pochodną po długości łuku, κ jest krzywizną , a τ jest skręceniem krzywej. Dwa skalary κ i τ skutecznie definiują krzywiznę i skręcanie krzywej przestrzennej. Powiązana kolekcja, T , N , B , κ i τ , nazywana jest aparatem Freneta-Serreta . Intuicyjnie, krzywizna mierzy uszkodzenie krzywej jako linii prostej, podczas gdy skręcanie mierzy uszkodzenie krzywej w byciu planarną.

Definicje

Gdy T i N wektorów w dwóch punktach na łuku lotniczej, tłumaczeniem z drugiej ramy (kropkowana), a zmiany T : δ T” . δs to odległość między punktami. W granicy będzie w kierunku N, a krzywizna opisuje prędkość obrotu ramy.${\ Displaystyle {\ tfrac {d \ mathbf {T}} {ds}}}$

Niech r ( t ) będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej , reprezentującą wektor położenia cząstki w funkcji czasu. Wzory Freneta-Serreta dotyczą krzywych niezdegenerowanych , co z grubsza oznacza, że ​​mają niezerową krzywiznę . Bardziej formalnie, w tej sytuacji wektor prędkości r ′( t ) i wektor przyspieszenia r ′′( t ) muszą być nieproporcjonalne.

Niech s ( t ) reprezentuje długość łuku , o jaką cząstka przesunęła się wzdłuż krzywej w czasie t . Wielkość s służy do nadania krzywej wyznaczonej przez trajektorię cząstki naturalnej parametryzacji długością łuku (tj. parametryzacji długości łuku ), ponieważ wiele różnych ścieżek cząstek może wykreślić tę samą krzywą geometryczną, przechodząc przez nią z różnymi prędkościami. Szczegółowo s jest podane przez

${\ Displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ { t} \ lewo \ | \ mathbf {r} '(\ sigma) \ prawo \ | d \ sigma.}$

Co więcej, skoro założyliśmy, że r ′ ≠ 0, to wynika z tego, że s ( t ) jest funkcją ściśle monotonicznie rosnącą. Dlatego możliwe jest rozwiązanie dla t jako funkcji s , a zatem napisanie r ( s ) = r ( t ( s )). Krzywa jest zatem sparametryzowana w preferowany sposób przez długość łuku.

Z niezdegenerowaną krzywą r ( s ), sparametryzowaną przez długość łuku, możliwe jest teraz zdefiniowanie ramki Frenet-Serret (lub ramki TNB ):

• Styczny wektor jednostkowy T jest zdefiniowany jako

  ${\ Displaystyle \ mathbf {T} = {\ Frac {d \ mathbf {r}} {ds}}}$

  ( 1 )

• Normalny wektor jednostkowy N jest zdefiniowany jako

  ${\ Displaystyle \ mathbf {N} = {{\ Frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ nad \ lewo \ | {\ Frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ prawej \ | }.}$

  ( 2 )

Zauważ, że nazywając krzywiznę automatycznie otrzymujemy pierwszą relację. ${\ Displaystyle \ kappa = \ lewo \ | {\ Frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ prawo \ |}$

• Urządzenie binormal wektor B jest definiowana jako iloczynu z T i N :

  ${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ razy \ mathbf {N}}.$

  ( 3 )

Rama Frenet-Serret poruszająca się po spirali . T jest reprezentowany przez niebieską strzałką N reprezentuje czerwony strzałkę, a B jest reprezentowana przez czarną strzałką.

Z równania ( 2 ) wynika, że ​​ponieważ T zawsze ma wielkość jednostkową , N (zmiana T ) jest zawsze prostopadła do T , ponieważ nie ma zmiany długości T . Z równania ( 3 ) wynika, że B jest zawsze prostopadła zarówno do T i N . Zatem wszystkie trzy wersory T , N i B są prostopadłe do siebie.

Te wzory freneta są:

${\displaystyle {\zacznij {\frac {d\mathbf {T}}}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&& -\tau \mathbf {N} i\end{macierz}}}$

gdzie jest krzywizna i jest skręcanie . ${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ tau}$

Wzory Freneta-Serreta są również znane jako twierdzenie Freneta-Serreta i można je określić bardziej zwięźle za pomocą notacji macierzowej:

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {T '} \\ \ mathbf {N '} \ \ \ mathbf {B '} \ koniec {bmatrix}} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i \ kappa & 0 \\ -\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}} .}$

Ta macierz jest skośno-symetryczna .

Wzory w n wymiarach

Wzory Freneta-Serreta zostały uogólnione do wyższych wymiarów przestrzeni euklidesowych przez Camille Jordan w 1874 roku.

Załóżmy, że R ( y ) jest gładka krzywa, w R ⁿ , a pierwsze N pochodne R są liniowo niezależne. Wektory w układzie Freneta-Serreta są bazą ortonormalną skonstruowaną przez zastosowanie procesu Grama-Schmidta do wektorów ( r ( s ), r ′′ ( s ), ..., r ^{( n )} ( s ) ).

Szczegółowo, jednostkowy wektor styczny jest pierwszym wektorem Freneta e ₁ ( s ) i jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (s) = {\ Frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {1}}} (s)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _{1}}}(s)\|}}}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {1}}} (s) = \ mathbf {r} „(s)}$

Wektor normalny , czasami nazywany wektor krzywizny , określa dewiacji krzywej od jest linią prostą. Jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (s) = \ mathbf {r} '' (s) - \ langle \ mathbf {r} '' (s), \ mathbf {e } _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)}$

Jego znormalizowana postać, jednostkowy wektor normalny , to drugi wektor Freneta e ₂ ( s ) i zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (s) = {\ Frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (s)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _{2}}}(s)\|}}}$

Styczna i wektor normalny w punkcie s definiują płaszczyznę oscylacji w punkcie r ( s ).

Pozostałe wektory w ramce (binormalne, trinormalne itp.) są definiowane podobnie przez

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {e} _ {j} (s) = {\ Frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (s)} {\ | {\ nadkreślenie {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}}{\mbox{, }}\end{wyrównany}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (s) = \ mathbf {r} ^ {(j)} (s) - \ suma _ {i = 1 }^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}( s).\end{wyrównany}}}$

Ostatni wektor w ramce jest zdefiniowany przez iloczyn krzyżowy pierwszych n-1 wektorów:

${\ Displaystyle {\ mathbf {e} _ {n}} (s) = {\ mathbf {e} _ {1}} (s) \ razy {\ mathbf {e} _ {2}} (s) \ razy \dots \times {\mathbf {e} _{n-2}}(s)\times {\mathbf {e} _{n-1}}(s)}$

Funkcje o wartościach rzeczywistych użyte poniżej χ _i ( s ) nazywane są uogólnioną krzywizną i są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle \ chi _ {i} (s) = {\ Frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(s), \ mathbf {e} _ {i + 1} (s) \ rangle} {\|\mathbf {r} '(s)\|}}}$

Te wzory freneta , podane w języku matrycy, są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(s) \ \ \ vdots \ \ \ mathbf {e} _ {n} '(s) \ \ \ end{bmatrix}}=\\\end{wyrównany}}\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{wyrównany}{\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s )&&0\\-\chi _{1}(s)&\dkropki &\dkropki &\\&\dkropki &0&\chi _{n-1}(s)\\0&&-\chi _{n-1} (s)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\ \end{bmatryca}}\end{wyrównana}}}$

Zauważ, że zgodnie z definicją tutaj uogólnione krzywizny i rama mogą nieznacznie różnić się od konwencji występującej w innych źródłach. Krzywizna górna (w tym kontekście nazywana również skręcaniem) i ostatni wektor w ramie różnią się znakiem ${\ Displaystyle \ chi _ {n-1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {n}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {lub} \ lewo (\ mathbf {r} ^ {(1)}, \ kropki, \ mathbf {r} ^ {(n)} \ prawej)}$

(orientacja podstawy) od zwykłego skręcania. Wzory Freneta-Serreta są niezmienne pod odwróceniem znaku obu i , a ta zmiana znaku sprawia, że ​​rama jest zorientowana pozytywnie. Jak zdefiniowano powyżej, rama dziedziczy swoją orientację po strumieniu . ${\ Displaystyle \ chi _ {n-1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {n}}$${\displaystyle \mathbf {r}}$

Dowód

Rozważ macierz 3 na 3

${\ Displaystyle Q = {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {T} \\ \ mathbf {N} \\ \ mathbf {B} \ koniec {bmatrix}}}$

Rzędy tej macierzy są wzajemnie prostopadłe wektor jednostkowy: AN ortonormalną podstawę z . W rezultacie transpozycji z Q jest równa odwrotności z Q : Q jest macierzą ortogonalną . Wystarczy to pokazać ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dQ} {ds}} \ prawej) Q ^ {\ Top} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i \ kappa i 0 \ \ - \ kappa i 0 i \ tau \ \ 0 i - \ tau &0\koniec{bmatrycy}}}$

Zauważ, że pierwszy wiersz tego równania już obowiązuje, z definicji normalnego N i krzywizny κ , a ostatni wiersz z definicji skręcania. Więc wystarczy to pokazaćdQ/dsQ ^T jest macierzą skośno-symetryczną . Ponieważ I = QQ ^T , pobranie pochodnej i zastosowanie reguły iloczynu daje

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 0 = {\ Frac {dI} {ds}} = \ lewo ({\ Frac {dQ} {ds}} \ po prawej) Q ^ {\ góra} + Q \ lewo ({{ \frac {dQ}{ds}}\right)^{\top }\\\implikuje \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }=-\left(\left ({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }\right)^{\top }\\\end{wyrównany}}}$

który ustala wymaganą symetrię skośną.

Wnioski i interpretacja

Kinematyka ramy

Rama Frenet-Serret poruszająca się po spirali w przestrzeni

Rama Freneta-Serreta składająca się z stycznej T , normalnej N i binormalnej B wspólnie tworzy ortonormalną podstawę 3-przestrzeni. W każdym punkcie krzywej dołącza się układ odniesienia lub prostoliniowy układ współrzędnych (patrz rysunek).

Wzory Freneta-Serreta dopuszczają interpretację kinematyczną . Wyobraź sobie, że obserwator porusza się wzdłuż krzywej w czasie, wykorzystując dołączoną ramkę w każdym punkcie jako swój układ współrzędnych. Wzory Freneta-Serreta oznaczają, że ten układ współrzędnych stale się obraca, gdy obserwator porusza się wzdłuż krzywej. Dlatego ten układ współrzędnych jest zawsze bezwładnościowy . Pędu obserwatora jest układ współrzędnych jest proporcjonalna do wektora Darboux ramy.

Zaobserwowano, że wierzchołek, którego oś znajduje się wzdłuż binormalnej, obraca się z prędkością kątową κ. Jeżeli oś przebiega wzdłuż stycznej, obserwuje się obrót z prędkością kątową τ.

Konkretnie załóżmy, że obserwator niesie ze sobą (inercyjny) szczyt (lub żyroskop ) wzdłuż krzywej. Jeżeli oś górnych punktów wzdłuż stycznej do krzywej, to będzie obserwowane obracanie się wokół własnej osi z prędkością kątową -τ względem nieinercjalnego układu współrzędnych obserwatora. Jeśli natomiast oś wierzchołków wskazuje w kierunku binormalnym, to obserwuje się obrót z prędkością kątową -κ. Można to łatwo zwizualizować w przypadku, gdy krzywizna jest stałą dodatnią, a skręcanie zanika. Obserwator jest wtedy w ruchu jednostajnym okrężnym . Jeśli wierzchołek jest zwrócony w kierunku binormalnym, to przez zachowanie momentu pędu musi obracać się w kierunku przeciwnym do ruchu kołowego. W przypadku granicznym, gdy krzywizna zanika, normalne precesy obserwatora wokół wektora stycznego i podobnie wierzchołek będą się obracać w kierunku przeciwnym do tej precesji.

Ogólny przypadek zilustrowano poniżej . Na Wikimedia znajdują się dalsze ilustracje .

Aplikacje. Kinematyka ramy ma wiele zastosowań w nauce.

• W naukach przyrodniczych , szczególnie w modelach ruchu drobnoustrojów, rozważania ramy Freneta-Serreta zostały wykorzystane do wyjaśnienia mechanizmu, za pomocą którego poruszający się organizm w lepkim ośrodku zmienia swój kierunek.
• W fizyce rama Frenet-Serret jest przydatna, gdy niemożliwe lub niewygodne jest przypisanie naturalnego układu współrzędnych do trajektorii. Często tak się dzieje, na przykład w teorii względności . W ramach tego ustawienia ramy Frenet-Serret zostały wykorzystane do modelowania precesji żyroskopu w studni grawitacyjnej.

Ilustracje graficzne

1. Przykład ruchomej bazy Freneta ( T na niebiesko, N na zielono, B na fioletowo) wzdłuż krzywej Vivianiego .

2. Na przykładzie węzła torusowego pokazano wektor styczny T , wektor normalny N i wektor binormalny B wraz z krzywizną κ(s) i skręcaniem τ(s).
   W szczytach funkcji skręcania wyraźnie widoczny jest obrót ramy Freneta-Serreta ( T , N , B ) wokół wektora stycznego.

3. Kinematyczne znaczenie krzywizny najlepiej ilustrują krzywe płaskie (o stałym skręcaniu równym zero). Zobacz stronę dotyczącą krzywizny krzywych płaskich .

Wzory Freneta-Serreta w rachunku różniczkowym

Wzory Freneta-Serreta są często wprowadzane na kursach rachunku różniczkowego wielu zmiennych jako dodatek do badania krzywych przestrzennych, takich jak helisa . Spiralę można scharakteryzować wysokością 2π h i promieniem r pojedynczego zwoju. Krzywizna i skręcanie helisy (o stałym promieniu) są określone wzorami

${\ Displaystyle \ kappa = {\ Frac {R} {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ tau = \ pm {\ Frac {h} {r ^ {2} + h ^ {2}}}.}$

Dwie helisy (slinkies) w przestrzeni. (a) Bardziej zwarta spirala o większej krzywiźnie i mniejszym skręcaniu. (b) Rozciągnięta spirala o nieco większym skręcie, ale mniejszej krzywiźnie.

Znak na skręcanie jest określana przez praworęcznych lub leworęcznych sensie , w którym skręca spirala wokół osi centralnej. Wprost, parametryzacja pojedynczego zwoju prawoskrętnej helisy o wysokości 2π h i promieniu r wynosi

x = r cos t

y = r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

a dla lewoskrętnej helisy,

x = r cos t

y = − r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π).

Zauważ, że nie są to parametryzacje długości łuku (w takim przypadku każdy z x , y i z musiałby zostać podzielony przez .) ${\ Displaystyle {\ sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}}$

W swoich pracach wyjaśniających na temat geometrii krzywych Rudy Rucker posługuje się modelem slinky, aby wyjaśnić znaczenie skrętu i krzywizny. Slinky, jak mówi, charakteryzuje się tym, że ilość

${\ Displaystyle A ^ {2} = h ^ {2} + r ^ {2}}$

pozostaje stały, jeśli slinky jest rozciągnięty w pionie wzdłuż jego osi środkowej. (Tutaj 2π h jest wysokością pojedynczego skrętu slinky, a r promieniem.) W szczególności krzywizna i skręcanie są komplementarne w tym sensie, że skręcanie można zwiększyć kosztem krzywizny poprzez rozciągnięcie slinky.

Ekspansja Taylora

Wielokrotne różnicowanie krzywej i stosowanie wzorów Freneta-Serreta daje następujące przybliżenie Taylora do krzywej w pobliżu s  = 0:

${\ Displaystyle \ mathbf {R} (s) = \ mathbf {R} (0) + \ lewo (s-{\ Frac {s ^ {3} \ kappa ^ {2} (0) {6}} \ po prawej)\mathbf {T} (0)+\lewo({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)} {6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B } (0)+o(y^{4}).}$

W przypadku ogólnej krzywej z nieznikającym skręcaniem rzut krzywej na różne płaszczyzny współrzędnych w układzie współrzędnych T , N , B przy s = 0 ma następujące interpretacje:

• Płaszczyzny osculating jest płaszczyzną zawierającą T i N . Rzut krzywej na tę płaszczyznę ma postać:
  $${\ Displaystyle \ mathbf {R} (0) + s \ mathbf {T} (0) + {\ Frac {s ^ {2} \ kappa (0)} {2}} \ mathbf {N} (0) + o(s^{2}).}$$

  
  Jest to parabola do warunków rzędu o ( s ² ), której krzywizna przy 0 jest równa κ (0).
• Normalnej płaszczyzny jest płaszczyzna zawierająca N i B . Rzut krzywej na tę płaszczyznę ma postać:
  $${\ Displaystyle \ mathbf {R} (0) + \ lewo ({\ Frac {s ^ {2} \ kappa (0)} {2}} + {\ Frac {s ^ {3} \ kappa '(0) }{6}}\prawo)\mathbf {N} (0)+\lewo({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\prawo)\mathbf { B} (0)+o(s^{3})}$$

  
  który jest sześciennym guzkiem do rzędu o ( s ³ ).
• Płaszczyzny prostujący jest płaszczyzną zawierającą T i B . Rzut krzywej na tę płaszczyznę to:
  $${\ Displaystyle \ mathbf {R} (0) + \ lewo (s-{\ Frac {s ^ {3} \ kappa ^ {2} (0) {6}} \ prawej) \ mathbf {T} (0 )+\lewo({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\prawo)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$

  
  który śledzi wykres wielomianu sześciennego do rzędu o ( s ³ ).

Wstążki i tuby

Wstążka zdefiniowana przez krzywą o stałym skręcaniu i krzywiznę silnie oscylującą. Parametryzacja długości łuku krzywej została zdefiniowana poprzez integrację równań Freneta-Serreta.

Aparat Frenet-Serret pozwala określić pewne optymalne wstążki i rurki wyśrodkowane wokół krzywej. Mają one różnorodne zastosowania w materiałoznawstwie i teorii elastyczności , a także w grafice komputerowej .

Frenet wstęgę wzdłuż krzywej C jest powierzchnią wyznaczoną przez zamiatanie segment liniowy [- N , N ] generowane przez jednostkę normalnego wzdłuż krzywej. Powierzchnia ta jest często mylony z rozwijalnych, stycznej , która jest koperta e płaszczyzn osculating o C . Dzieje się tak być może dlatego, że zarówno wstęga Freneta, jak i E wykazują podobne właściwości wzdłuż C . Mianowicie, płaszczyzny styczne obu arkuszy E , w pobliżu miejsca osobliwego C, gdzie te arkusze się przecinają, zbliżają się do płaszczyzn oskulacji C ; płaszczyzny styczne wstęgi Frenet wzdłuż C są równe tym płaszczyznom oscylacyjnym. Wstążka Frenet generalnie nie jest rozwijalna.

Zgodność krzywych

W klasycznej geometrii euklidesowej interesuje nas badanie własności figur w płaszczyźnie, które są niezmienne pod kongruencją, tak że jeśli dwie figury są przystające, to muszą mieć te same własności. Aparat Frenet-Serret przedstawia krzywiznę i skręcanie jako numeryczne niezmienniki krzywej przestrzennej.

Z grubsza mówiąc, dwie krzywe C i C ′ w przestrzeni są przystające, jeśli jedną można sztywno przesunąć do drugiej. Ruch sztywny składa się z połączenia przesunięcia i obrotu. Translacja przenosi jeden punkt C do punktu C ′. Obrót następnie dostosowuje orientację krzywej C do tej z C ′. Taka kombinacja translacji i rotacji nazywana jest ruchem euklidesowym . Z punktu widzenia parametryzacji r ( t ) definiującej pierwszą krzywą C , ogólny ruch euklidesowy C jest złożeniem następujących operacji:

• ( Translacja ) r ( t ) → r ( t ) + v , gdzie v jest wektorem stałym.
• ( Obrót ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), gdzie M jest macierzą rotacji.

Rama Frenet-Serret jest szczególnie dobrze zachowana w odniesieniu do ruchów euklidesowych. Po pierwsze, ponieważ T , N i B mogą być wszystkie podane jako kolejne pochodne parametryzacji krzywej, każda z nich jest niewrażliwa na dodanie stałego wektora do r ( t ). Intuicyjnie, ramka TNB dołączona do r ( t ) jest taka sama jak ramka TNB dołączona do nowej krzywej r ( t )+ v .

To pozostawia do rozważenia tylko rotacje. Intuicyjnie, jeśli zastosujemy obrót M do krzywej, wtedy rama TNB również się obraca. Dokładniej, macierz Q, której wiersze są wektorami TNB ramki Frenet-Serret zmienia się o macierz rotacji

${\displaystyle Q\rightarrow QM.}$

A fortiori , macierzdQ/dsRotacja nie ma wpływu na Q ^T :

${\ Displaystyle {\ Frac {d (QM)} {ds}} (QM) ^ {\ top} = {\ Frac {dQ} {ds}} MM ^ {\ top} Q ^ {\ top} = {\ frac {dQ}{ds}}Q^{\top }}$

ponieważ MM ^T = I dla macierzy rotacji.

Stąd wpisy κ i τ ofdQ/dsQ ^T są niezmiennikami krzywej pod ruchami euklidesowymi: jeśli ruch euklidesowy zostanie zastosowany do krzywej, to otrzymana krzywa ma tę samą krzywiznę i skręcanie.

Co więcej, używając ramy Freneta-Serreta, można również udowodnić odwrotność: dowolne dwie krzywe mające tę samą krzywiznę i funkcje skręcania muszą być przystające ruchem euklidesowym. Ogólnie rzecz biorąc, te wzory freneta ekspresji pochodnej Darboux na TNB ramy. Jeśli pochodne Darboux dwóch układów są równe, to wersja podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego zakłada, że ​​krzywe są przystające. W szczególności krzywizna i skręcanie są kompletnym zestawem niezmienników dla krzywej w trzech wymiarach.

Inne wyrażenia ramy

Wzory podane powyżej dla T , N i B zależą od krzywej podanej jako parametr długości łuku. Jest to naturalne założenie w geometrii euklidesowej, ponieważ długość łuku jest euklidesowym niezmiennikiem krzywej. W terminologii fizyki parametryzacja długości łuku jest naturalnym wyborem miernika . Jednak w praktyce może być niewygodna. Dostępnych jest wiele innych równoważnych wyrażeń.

Załóżmy, że krzywa jest dana przez r ( t ), gdzie parametr t nie musi już być długością łuku. Wtedy jednostkowy wektor styczny T można zapisać jako

${\ Displaystyle \ mathbf {T} (t) = {\ Frac {\ mathbf {R} '(t)} {\ | \ mathbf {R} '(t) \ |}}.}$

Wektor normalny N przyjmuje postać

${\ Displaystyle \ mathbf {N} (t) = {\ Frac {\ mathbf {T} '(t)}} {\ | \ mathbf {T} '(t) \ |}} = {\ Frac {\ mathbf { r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t) \right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}.}$

Binormalne B to

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (t) = \ mathbf {T} (t) \ razy \ mathbf {N} (t) = {\ Frac {\ mathbf {R} '(t) \ razy \ mathbf {r } ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}.}$

Alternatywnym sposobem uzyskania tych samych wyrażeń jest wzięcie pierwszych trzech pochodnych krzywej r ′( t ), r ′′( t ), r ′′′( t ) i zastosowanie procesu Grama-Schmidta . Otrzymana uporządkowana baza ortonormalna to właśnie rama TNB . Ta procedura również uogólnia wytwarzanie ramek Frenet w większych wymiarach.

Jeśli chodzi o parametr t , wzory Freneta-Serreta podnoszą dodatkowy czynnik || r ′( t )|| ze względu na zasadę łańcucha :

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {T} \\ \ mathbf {N} \\ \ mathbf {B} \ koniec {bmatrix}} = \ | \ mathbf { r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatryca}}.}$

Można obliczyć wyrażenia jawne dla krzywizny i skręcania. Na przykład,

${\ Displaystyle \ kappa = {\ Frac {\ | \ mathbf {r} '(t) \ razy \ mathbf {r} '' (t) \ | { \ | \ mathbf {r} '(t) \ | ^{3}}}.}$

Skręcanie można wyrazić za pomocą potrójnego iloczynu skalarnego w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {[\ mathbf {r} '(t), \ mathbf {r} '' (t), \ mathbf {r} ''' (t)]} {\ | | \ mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}.}$

Przypadki specjalne

Jeśli krzywizna jest zawsze zerowa, to krzywa będzie linią prostą. Tutaj wektory N , B i skręcanie nie są dobrze zdefiniowane.

Jeśli skręcanie jest zawsze zerowe, krzywa będzie leżeć w płaszczyźnie.

Krzywa może mieć niezerową krzywiznę i zerowy skręt. Na przykład, koła o promieniu R podanego przez r ( t ) = ( R cos t , R sin t , 0) w oo = 0 płaszczyźnie ma zerową skręcanie i krzywizny równy 1 / R . Odwrotność jest jednak fałszywa. Oznacza to, że regularna krzywa z niezerowym skręcaniem musi mieć niezerową krzywiznę. (Jest to po prostu sprzeczność z faktem, że zerowa krzywizna oznacza zero skręcania).

Spirala ma stałą krzywiznę, i stałe skręcanie.

Krzywe płaskie

Biorąc pod uwagę krzywą zawartą na płaszczyźnie x - y , jej wektor styczny T również jest zawarty na tej płaszczyźnie. Jego binormalny wektor B może naturalnie pokrywać się z normalną do płaszczyzny (wzdłuż osi z ). Na koniec można znaleźć krzywą normalną uzupełniając system prawoskrętny, N = B × T . Ta forma jest dobrze zdefiniowana, nawet gdy krzywizna wynosi zero; na przykład, normalna do linii prostej w płaszczyźnie będzie prostopadła do stycznej, wszystkie współpłaszczyznowe.

Zobacz też

• Afiniczna geometria krzywych
• Geometria różniczkowa krzywych
• Rama Darboux
• Kinematyka
• Ruchoma rama

Uwagi

Bibliografia

• Crenshaw, HC; Edelstein-Keshet, L. (1993), "Orientacja przez ruch śrubowy II. Zmiana kierunku osi ruchu", Biuletyn Biologii Matematycznej , 55 (1): 213-230, doi : 10.1016/s0092-8240 (05 )80070-9
• Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino (1995), Salas and Hille's Calculus - One and Couple Variables (7th ed.), John Wiley & Sons, s. 896
• Frenet, F. (1847), Sur les courbes à double courbure (PDF) , Tesy, Tuluza. Streszczenie w Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852.
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), „Elastyczne modele wzrostu”, BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2006-12-29.
• Griffiths, Phillip (1974), „O metodzie Cartana grup Liego i ruchomych ramek w zastosowaniu do pytań o niepowtarzalność i istnienie w geometrii różniczkowej”, Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775-814, doi : 10.1215/S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID  12966544.
• Guggenheimer, Heinrich (1977), Geometria różniczkowa , Dover, ISBN 0-486-63433-7
• Hanson, AJ (2007), „Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves” (PDF) , Raport techniczny Uniwersytetu Indiana
• Iyer, BR; Vishveshwara, CV (1993), "Opis Freneta-Serreta precesji żyroskopowej", Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706-5720, arXiv : gr-qc/9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I , doi : 10.1103/physrevd.48.5706 , PMID  10016237
• Jordan, Camille (1874), „Sur la théorie des courbes dans l'espace à n Dimensions”, CR Acad. Nauka. Paryż , 79 : 795–797
• Kühnel, Wolfgang (2002), Geometria różniczkowa , Student Mathematical Library, 16 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2656-0, MR  1882174
• Serret, JA (1851), „Sur quelques formułuje krewnych à la théorie des courbes à double courbure” (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 16.
• Spivak, Michael (1999), Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (tom drugi) , Publish or Perish, Inc..
• Sternberg, Shlomo (1964), Wykłady z geometrii różniczkowej , Prentice-Hall
• Struik, Dirk J. (1961), Wykłady z klasycznej geometrii różniczkowej , czytanie, masa: Addison-Wesley.

Zewnętrzne linki

• Twórz własne animowane ilustracje poruszających się ramek Frenet -Serret, funkcji krzywizny i skręcania ( Maple -Worksheet)
• Papier KappaTau Rudy'ego Ruckera .
• Bardzo ładna wizualna reprezentacja trójścianu