Geometria Galois - Galois geometry

Płaszczyzny Fano The płaszczyźnie rzutowej na polu, z dwóch elementów, to jeden z najprostszych obiektów Galois geometrii.

Geometria Galois (nazwana tak na cześć XIX-wiecznego francuskiego matematyka Évariste Galois ) jest gałęzią geometrii skończonej, która zajmuje się geometrią algebraiczną i analityczną nad ciałem skończonym (lub ciałem Galois ). Ściślej rzecz ujmując, geometria Galois może być zdefiniowana jako przestrzeni rzutowej na skończonego.

Przedmiotem badań są przestrzenie afiniczne i rzutowe nad polami skończonymi oraz różne struktury w nich zawarte. W szczególności łuki , owale , hiperowale , unity , zbiory blokujące , jajowate , czapeczki , rozkładówki i wszelkie skończone odpowiedniki struktur występujących w nieskończonych geometriach. Istotną rolę, zwłaszcza w metodach konstrukcyjnych, odgrywają przestrzenie wektorowe zdefiniowane nad ciałami skończonymi.

Przestrzenie rzutowe nad polami skończonymi

Notacja

Chociaż czasami używa się ogólnego zapisu geometrii rzutowej , częściej oznacza się przestrzenie rzutowe nad polami skończonymi za pomocą $PG(n, q)$ , gdzie $n$ jest wymiarem „geometrycznym” (patrz poniżej), a $q$ jest rzędem pole skończone (lub pole Galois) $GF(q)$ , które musi być liczbą całkowitą będącą potęgą pierwszą lub pierwszą.

Geometryczne wymiaru w powyższym zapisie odnosi się do systemu, w którym linie są jedno-wymiarowej płaszczyzny są 2-wymiarowa, punkty 0 wymiarowej itp Modyfikator czasami określenie rzutowa zamiast geometryczny jest używany, jest konieczne, ponieważ tej koncepcji wymiaru różni się od koncepcji stosowanej dla przestrzeni wektorowych (czyli liczby elementów w bazie). Zwykle posiadanie dwóch różnych pojęć o tej samej nazwie nie sprawia większych trudności w oddzielnych obszarach ze względu na kontekst, ale w tym temacie zarówno przestrzenie wektorowe, jak i przestrzenie rzutowe odgrywają ważną rolę i jest wysoce prawdopodobne, że jest to mylące. Pojęcie przestrzeni wektorowej jest czasami nazywane wymiarem algebraicznym .

Budowa

Niech $V = V(n + 1, q)$ oznacza przestrzeń wektorową (algebraicznego) wymiaru $n + 1$ określoną nad ciałem skończonym $GF(q)$ . Przestrzeń rzutowa $PG(n, q)$ składa się ze wszystkich dodatnich (algebraicznych) wymiarowych podprzestrzeni wektorowych $V$ . Alternatywny sposób, aby konstrukcja jest do zdefiniowania punktów na $PG (n, Q)$ jako grup równoważnych z niezerowych wektorów $V$ pod stosunku równoważnikowym czym dwa wektory są równoważne jeśli jest skalar stwardnienie drugiej. Następnie z punktów buduje się podprzestrzenie, korzystając z definicji liniowej niezależności zbiorów punktów.

Podprzestrzenie

Podprzestrzeń wektorowa wymiaru algebraicznego $d + 1$ z $V$ jest podprzestrzeń (rzutową) wymiaru $PG(n, q)$ wymiaru geometrycznego $d$ . Podprzestrzeniom rzutowym nadano wspólne nazwy geometryczne; punkty, proste, płaszczyzny i bryły to odpowiednio podprzestrzenie 0,1,2 i 3-wymiarowe. Cała przestrzeń to $n-$ wymiarowa podprzestrzeń, a ( $n - 1$ )-wymiarowa podprzestrzeń nazywana jest hiperpłaszczyzną (lub liczbą pierwszą).

Liczba podprzestrzeni wektorowych wymiaru algebraicznego $d$ w przestrzeni wektorowej $V(n, q)$ dana jest współczynnikiem dwumianu Gaussa ,

{\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {macierz} n \ \ d \ koniec {macierz}} \ prawo] _ {q} = {\ Frac {(q ^ {n} -1) (q ^ {n} - q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^ {d-1})}}.}

Dlatego liczba $k$ wymiarowych podprzestrzeni rzutowych w $PG(n, q)$ jest dana wzorem

{\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {macierz} n + 1 \ \ k + 1 \ koniec {matryca}} \ prawo] _ {q} = {\ Frac {(q ^ {n + 1} -1) ( q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q )\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.}

Na przykład liczba linii ( $k$ = 1) w PG(3,2) wynosi

{\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {macierz} 4 \ \ 2 \ koniec {macierz}} \ prawej] _ {2} = {\ Frac {(2 ^ {4}-1) (2 ^ {4}- 2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.}

Wynika z tego, że całkowita liczba punktów ( $k$ = 0) z $P = PG(n, q)$ wynosi

{\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {macierz} n + 1 \ \ 1 \ koniec {macierz}} \ prawo] _ {q} = {\ Frac {(q ^ {n + 1} -1)} {( q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.}

Jest to również równe liczbie hiperpłaszczyzn $P$ .

Liczbę linii przechodzących przez punkt $P$ można obliczyć i jest to również liczba hiperpłaszczyzn przechodzących przez stały punkt. ${\ Displaystyle q ^ {n-1} + q ^ {n-2} + \ cdots + q + 1}$

Niech $U$ i $W$ będą podprzestrzeniami geometrii Galois $P = PG(n, q)$ . Przecięcie $U \cap W$ jest podprzestrzenią $P$ , ale suma teoretyczna mnogości może nie być. Przyłączenia tych podprzestrzeni, oznaczone przez $< U, W >$ , jest najmniejsza podprzestrzeń $P$ , który zawiera zarówno $U$ i $W$ . Wymiary połączenia i przecięcia tych dwóch podprzestrzeni są powiązane wzorem:

|<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.

Współrzędne

W odniesieniu do stałej bazy każdy wektor w $V$ jest jednoznacznie reprezentowany przez ( $n + 1$ )-krotkę elementów $GF(q)$ . Punkt rzutowy to klasa równoważności wektorów, więc istnieje wiele różnych współrzędnych (wektorów), które odpowiadają temu samemu punktowi. Jednak wszystkie są ze sobą powiązane, ponieważ każdy z nich jest niezerową wielokrotnością skalarną pozostałych. Daje to początek koncepcji jednorodnych współrzędnych używanych do reprezentowania punktów przestrzeni rzutowej.

Historia

Gino Fano był wczesnym pisarzem zajmującym się geometriami Galois. W swoim artykule z 1892 r., dotyczącym między innymi udowodnienia niezależności swojego zbioru aksjomatów dla rzutowej n- przestrzeni , rozważał konsekwencje posiadania punktu czwartej harmonicznej jako równego jego sprzężeniu. Prowadzi to do konfiguracji siedmiu punktów i siedmiu linii zawartych w skończonej trójwymiarowej przestrzeni z 15 punktami, 35 liniami i 15 płaszczyznami, w której każda linia zawierała tylko trzy punkty. Wszystkie płaszczyzny w tej przestrzeni składają się z siedmiu punktów i siedmiu linii i są teraz znane jako płaszczyzny Fano . Fano opisał geometrie Galois o dowolnych wymiarach i rzędach pierwszych.

George Conwell przedstawił wczesne zastosowanie geometrii Galois w 1910 roku, kiedy scharakteryzował rozwiązanie problemu uczennic Kirkmana jako podział zbiorów linii skośnych w PG(3,2) , trójwymiarowej geometrii rzutowej nad polem Galois GF(2) . Podobnie do metod geometrii linii w przestrzeni nad polem o charakterystyce 0 , Conwell użył współrzędnych Plückera w PG(5,2) i zidentyfikował punkty reprezentujące proste w PG(3,2) jako te na kwadrze Kleina .

W 1955 Beniamino Segre scharakteryzował owale jako q nieparzyste. Twierdzenie Segre mówi, że w geometrii Galois nieparzystego rzędu (tj. płaszczyźnie rzutowej określonej nad skończonym polem o nieparzystej charakterystyce ) każdy owal jest stożkiem . Wynik ten jest często przypisywany ustalaniu geometrii Galois jako ważnego obszaru badań. Na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w 1958 roku Segre przedstawił przegląd wyników znanych do tej pory geometrii Galois.

Zobacz też

Geometria padania

Uwagi

Bibliografia

Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometria rzutowa / Od fundamentów do zastosowań , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Collino, Alberto; Hrabia, Alberto; Verra, Alessandro (2013). „O życiu i pracy naukowej Gino Fano”. arXiv : 1311.7177 .
De Beule, Jan; Storme, Leo (2011), Aktualne tematy badawcze w geometrii Galois , Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3
Hirschfeld, JWP (1979), Geometrie rzutowe nad polami skończonymi , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1, podkreślając wymiar pierwszy i drugi.CS1 maint: postscript ( link )
Hirschfeld, JWP (1985), skończone przestrzenie rzutowe trzech wymiarów , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8, wymiar 3.CS1 maint: postscript ( link )
Hirschfelda, JWP ; Thas, JA (1992), General Galois Geometries , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853537-9, traktując wymiar ogólny.CS1 maint: postscript ( link )

Zewnętrzne linki

Geometria Galois w Encyklopedii Matematyki, SpringerLink

Languages

In other projects