Symetria lustrzana (teoria strun) - Mirror symmetry (string theory)

Teoria strun
Obiekty podstawowe
Strunowy Kosmiczna struna Brane D-brana
Perturbacyjna teoria
bozonowy Superstruna ( Typ I , Typ II , Heterotyczna )
Wyniki nieperturbacyjne
S-dwoistość T-dwoistość U-dwoistość M-teoria Teoria F Korespondencja AdS/CFT
Fenomenologia
Fenomenologia Kosmologia Krajobraz
Matematyka
Symetria lustrzana Potworny bimber
Pojęcia pokrewne Teoria wszystkiego Konformalna teoria pola Grawitacja kwantowa Supersymetria Supergrawitacja Teoria strun Twistora N = 4 supersymetryczna teoria Yanga–Millsa Teoria Kaluzy-Kleina Wieloświat Zasada holograficzna
Teoretycy Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banki Berenstein Bousso Tasak Curtright Dijkgraaf Gorzelnia Douglas Lipny Ferrara Fischlera Friedan Bramy Gliozzi Gopakumar Zielony Greene Brutto Gubser Gukow Guth Hanson Harvey Hořava Horowitz Gibbons Kachru Kaku Kallosz Kaluza Kapustin Klebanowa Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Nstase Niekrasowa Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Nowikow Oliwa Ooguri Owrut Połczyński Poliakow Rajaraman Ramond Randall Randjbar- Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Syn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskinda nie kopytko Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wessa Witten Yau Yoneya Zamołodczikow Zamołodczikow Zasłów Zumino Zwiebach
Historia Słowniczek
v T mi

W geometrii algebraicznej i fizyce teoretycznej , symetrii lustrzanej związek pomiędzy geometrycznych obiektów zwane rozdzielacze Calabiego-Yau . Termin ten odnosi się do sytuacji, gdy dwa kolektory Calabiego-Yau wyglądać bardzo różnie geometrycznym, jednakże są równoważne, gdy stosuje się jako dodatkowe wymiary w teorii strun .

Wczesne przypadki symetrii lustrzanej odkryli fizycy. Matematycy zainteresowali się tą relacją około 1990 roku, kiedy Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green i Linda Parkes wykazali, że może być ona wykorzystana jako narzędzie w geometrii enumeratywnej , gałęzi matematyki zajmującej się liczeniem rozwiązań problemów geometrycznych . Candelas i jego współpracownicy wykazali, że symetrię lustrzaną można wykorzystać do zliczania krzywych wymiernych na rozmaitości Calabiego–Yau, rozwiązując w ten sposób długotrwały problem. Chociaż pierwotne podejście do symetrii lustrzanej opierało się na ideach fizycznych, które nie były rozumiane w matematycznie precyzyjny sposób, niektóre z jego matematycznych przewidywań zostały rygorystycznie udowodnione .

Dziś symetria lustrzana jest głównym tematem badań w czystej matematyce , a matematycy pracują nad rozwinięciem matematycznego zrozumienia związku w oparciu o intuicję fizyków. Symetria lustrzana jest również podstawowym narzędziem do wykonywania obliczeń w teorii strun i została wykorzystana do zrozumienia aspektów kwantowej teorii pola , formalizmu używanego przez fizyków do opisu cząstek elementarnych . Główne podejścia do symetrii lustrzanej obejmują homologicznej lustro symetrii program Maksim Koncewicz i przypuszczenie SYZ z Andrew Strominger , Shing-Tung Yau i Eric Zaslow .

Przegląd

Struny i zagęszczenie

Podstawowymi przedmiotami teorii strun są struny otwarte i zamknięte .

W fizyce teoria łańcuch jest teoretycznym , w którym punkt jak cząstki z fizyki cząstek są zastąpione przez obiekty jednowymiarowych zwane łańcuchy . Te struny wyglądają jak małe segmenty lub pętle zwykłego sznurka. Teoria strun opisuje, w jaki sposób struny rozchodzą się w przestrzeni i wchodzą ze sobą w interakcje. W skalach odległości większych niż skala strunowa, struna będzie wyglądać jak zwykła cząstka, a jej masa , ładunek i inne właściwości są określane przez stan wibracji struny. Rozszczepianie i rekombinacja strun odpowiada emisji i absorpcji cząstek, co powoduje interakcje między cząstkami.

Istnieją znaczące różnice między światem opisywanym przez teorię strun a światem codziennym. W życiu codziennym istnieją trzy znajome wymiary przestrzeni (góra/dół, lewo/prawo i przód/tył) oraz jeden wymiar czasu (później/wcześniej). Tak więc w języku współczesnej fizyki mówi się, że czasoprzestrzeń jest czterowymiarowa. Jedną z osobliwych cech teorii strun jest to, że wymaga ona dodatkowych wymiarów czasoprzestrzeni dla uzyskania matematycznej spójności. W teorii superstrun , wersji teorii zawierającej ideę teoretyczną zwaną supersymetrią , oprócz czterech znanych z codziennego doświadczenia, istnieje sześć dodatkowych wymiarów czasoprzestrzeni.

Jednym z celów obecnych badań nad teorią strun jest opracowanie modeli, w których struny reprezentują cząstki obserwowane w eksperymentach fizyki wysokich energii. Aby taki model był zgodny z obserwacjami, jego czasoprzestrzeń musi być czterowymiarowa w odpowiednich skalach odległości, więc należy szukać sposobów na ograniczenie dodatkowych wymiarów do mniejszych skal. W większości realistycznych modeli fizyki opartych na teorii strun dokonuje się tego za pomocą procesu zwanego kompaktacją , w którym zakłada się, że dodatkowe wymiary „zamykają się” na siebie, tworząc okręgi. W granicy, w której te zwinięte wymiary stają się bardzo małe, otrzymuje się teorię, zgodnie z którą czasoprzestrzeń ma efektywnie niższą liczbę wymiarów. Standardową analogią do tego jest rozważenie przedmiotu wielowymiarowego, takiego jak wąż ogrodowy. Jeśli wąż jest oglądany z wystarczającej odległości, wydaje się, że ma tylko jeden wymiar, jego długość. Jednak zbliżając się do węża, odkrywamy, że zawiera on drugi wymiar, jego obwód. W ten sposób mrówka pełzająca po powierzchni węża poruszałaby się w dwóch wymiarach.

Rozmaitości Calabiego-Yau

Przekrój kwintycznej rozmaitości Calabiego–Yau

Kompaktowanie można wykorzystać do konstruowania modeli, w których czasoprzestrzeń jest faktycznie czterowymiarowa. Jednak nie każdy sposób kompaktowania dodatkowych wymiarów daje model o odpowiednich właściwościach do opisania przyrody. W realnym modelu fizyki cząstek, zwarte dodatkowe wymiary muszą mieć kształt rozmaitości Calabiego-Yau . Rozmaitość Calabiego-Yau jest specjalną przestrzenią, która w zastosowaniach do teorii strun jest zwykle uważana za sześciowymiarową. Jego nazwa pochodzi od matematyków Eugenio Calabi i Shing-Tung Yau .

Po tym, jak rozmaitości Calabiego-Yau weszły do ​​fizyki jako sposób na zagęszczenie dodatkowych wymiarów, wielu fizyków zaczęło badać te rozmaitości. Pod koniec lat 80. Lance Dixon , Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa i Nick Warner zauważyli, że przy takim zagęszczeniu teorii strun nie jest możliwe zrekonstruowanie jednoznacznie odpowiadającej jej rozmaitości Calabiego–Yau. Zamiast tego dwie różne wersje teorii strun, zwane teorią strun typu IIA i typu IIB, można skondensować na zupełnie różnych rozmaitościach Calabiego-Yau, dając początek tej samej fizyce. W tej sytuacji rozmaitości nazywane są rozmaitościami lustrzanymi, a związek między dwiema fizycznymi teoriami nazywany jest symetrią lustrzaną.

Relacja symetrii lustrzanej jest szczególnym przykładem tego, co fizycy nazywają dualizmem fizycznym . Ogólnie rzecz biorąc, termin dualność fizyczna odnosi się do sytuacji, w której dwie pozornie różne teorie fizyczne okazują się równoważne w nietrywialny sposób. Jeśli jedną teorię można przekształcić tak, aby wyglądała jak inna teoria, mówi się, że w ramach tej transformacji obie są podwójne. Innymi słowy, te dwie teorie są matematycznie różnymi opisami tych samych zjawisk. Takie dualności odgrywają ważną rolę we współczesnej fizyce, zwłaszcza w teorii strun.

Niezależnie od tego, czy zagęszczenie teorii strun Calabiego-Yau zapewnia prawidłowy opis natury, istnienie dualizmu lustrzanego między różnymi teoriami strun ma istotne konsekwencje matematyczne. Rozmaitości Calabiego-Yau stosowane w teorii strun są interesujące w czystej matematyce , a symetria lustrzana pozwala matematykom rozwiązywać problemy w enumeratywnej geometrii algebraicznej , gałęzi matematyki zajmującej się liczeniem liczby rozwiązań pytań geometrycznych. Klasycznym problemem geometrii enumeratywnej jest wyliczenie krzywych wymiernych na rozmaitości Calabiego-Yau, takiej jak ta zilustrowana powyżej. Stosując symetrię lustrzaną, matematycy przełożyli ten problem na równoważny problem lustra Calabi–Yau, który okazuje się łatwiejszy do rozwiązania.

W fizyce symetria lustrzana ma uzasadnienie fizyczne. Jednak matematycy na ogół wymagają rygorystycznych dowodów , które nie wymagają odwołania się do fizycznej intuicji. Z matematycznego punktu widzenia opisana powyżej wersja symetrii lustrzanej jest nadal tylko przypuszczeniem, ale istnieje inna wersja symetrii lustrzanej w kontekście topologicznej teorii strun , uproszczona wersja teorii strun wprowadzona przez Edwarda Wittena , która została rygorystycznie sprawdzone przez matematyków. W kontekście topologicznej teorii strun, stany symetrii lustrzanej, że dwie teorie o nazwie A-Model i B model są równoważne w sensie, że istnieje dwoistość ich dotycząca. Dzisiaj symetria lustrzana jest aktywnym obszarem badań w matematyce, a matematycy pracują nad rozwinięciem pełniejszego rozumienia matematycznego symetrii lustrzanej w oparciu o intuicję fizyków.

Historia

Idea symetrii lustrzanej sięga połowy lat osiemdziesiątych, kiedy zauważono, że struna rozchodząca się na kole o promieniu jest fizycznie równoważna strunie rozchodzącej się na kole o promieniu w odpowiednich jednostkach . Zjawisko to jest obecnie znane jako dwoistość T i jest rozumiane jako ściśle związane z symetrią lustrzaną. W artykule z 1985 roku Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger i Edward Witten wykazali, że kompaktując teorię strun na rozmaitości Calabiego–Yau, otrzymuje się teorię z grubsza podobną do standardowego modelu fizyki cząstek elementarnych, która również konsekwentnie zawiera pewną ideę. zwany supersymetrią. Po tym rozwoju wielu fizyków rozpoczęło badanie zagęszczeń Calabiego-Yau, mając nadzieję na skonstruowanie realistycznych modeli fizyki cząstek opartych na teorii strun. Cumrun Vafa i inni zauważyli, że przy takim fizycznym modelu nie jest możliwe jednoznaczne zrekonstruowanie odpowiadającej mu rozmaitości Calabiego–Yau. Zamiast tego istnieją dwie rozmaitości Calabiego-Yau, które dają początek tej samej fizyce. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle 1/R}$

Badając związek między rozmaitościami Calabiego-Yau a pewnymi konformalnymi teoriami pola zwanymi modelami Gepnera, Brian Greene i Ronen Plesser znaleźli nietrywialne przykłady relacji lustrzanej. Dalsze dowody na tę zależność pochodzą z prac Philipa Candelasa, Moniki Lynker i Rolfa Schimmrigka, którzy przebadali dużą liczbę rozmaitości Calabiego-Yau za pomocą komputera i odkryli, że występują one w parach lustrzanych.

Matematycy zainteresowali się symetrią lustrzaną około 1990 roku, kiedy fizycy Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green i Linda Parkes wykazali, że symetrię lustrzaną można wykorzystać do rozwiązywania problemów z geometrii enumeratywnej, których rozwiązanie nie było możliwe przez dziesięciolecia lub dłużej. Wyniki te zostały zaprezentowane matematykom na konferencji w Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) w Berkeley w Kalifornii w maju 1991 roku. Podczas tej konferencji zauważono, że jedna z liczb obliczonych przez Candelasa do zliczania krzywych wymiernych nie zgadzała się z liczba uzyskana przez norweskich matematyków Geira Ellingsruda i Steina Arilda Strømme przy użyciu rzekomo bardziej rygorystycznych technik. Wielu matematyków obecnych na konferencji zakładało, że praca Candelasa zawiera błąd, ponieważ nie była oparta na rygorystycznych matematycznych argumentach. Jednak po zbadaniu swojego rozwiązania, Ellingsrud i Strømme odkryli błąd w swoim kodzie komputerowym i po naprawieniu kodu otrzymali odpowiedź zgodną z tą uzyskaną przez Candelasa i jego współpracowników.

W 1990 roku Edward Witten przedstawił topologiczną teorię strun, uproszczoną wersję teorii strun, a fizycy wykazali, że istnieje wersja symetrii lustrzanej dla topologicznej teorii strun. To stwierdzenie o topologicznej teorii strun jest zwykle traktowane jako definicja symetrii lustrzanej w literaturze matematycznej. W przemówieniu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 1994 roku matematyk Maxim Kontsevich przedstawił nową hipotezę matematyczną opartą na fizycznej idei symetrii lustrzanej w topologicznej teorii strun. Znany jako homologicznej lustrzanej symetrii , to przypuszczenie formalizuje lustrzanej symetrii jako równoważności dwóch struktur matematycznych: w kategorii pochodzącego z snopów koherentnych na kolektorze Calabi-Yau i kategorii Fukaya jej lustro.

Również około 1995 roku Kontsevich przeanalizował wyniki Candelasa, który dał ogólny wzór na problem zliczania krzywych wymiernych na kwintyce potrójnej i przeformułował te wyniki jako precyzyjne przypuszczenie matematyczne. W 1996 roku Alexander Givental opublikował artykuł, który twierdził, że potwierdza to przypuszczenie Kontsevicha. Początkowo wielu matematyków uważało ten artykuł za trudny do zrozumienia, więc pojawiły się wątpliwości co do jego poprawności. Następnie Bong Lian, Kefeng Liu i Shing-Tung Yau opublikowali niezależny dowód w serii artykułów. Pomimo kontrowersji dotyczących tego, kto opublikował pierwszy dowód, prace te są obecnie wspólnie postrzegane jako dostarczające matematycznego dowodu wyników pierwotnie uzyskanych przez fizyków przy użyciu symetrii lustrzanej. W 2000 roku Kentaro Hori i Cumrun Vafa przedstawili kolejny fizyczny dowód symetrii lustrzanej opartej na dualności T.

Prace nad symetrią lustrzaną trwają do dziś z dużymi zmianami w kontekście strun na powierzchniach z granicami. Ponadto symetria lustrzana jest powiązana z wieloma aktywnymi obszarami badań matematycznych, takimi jak korespondencja McKay , topologiczna teoria pola kwantowego i teoria warunków stabilności . Jednocześnie podstawowe pytania nadal są dokuczliwe. Na przykład matematycy nadal nie rozumieją, jak konstruować przykłady par lustrzanych Calabi-Yau, chociaż nastąpił postęp w zrozumieniu tego problemu.

Aplikacje

Geometria enumeracyjna

Okręgi Apoloniusza : Osiem kolorowych okręgów jest stycznych do trzech czarnych okręgów.

Wiele ważnych matematycznych zastosowań symetrii lustrzanej należy do gałęzi matematyki zwanej geometrią enumeratywną. W geometrii enumeratywnej interesuje nas liczenie rozwiązań pytań geometrycznych, zazwyczaj przy użyciu technik geometrii algebraicznej . Jeden z najwcześniejszych problemów geometrii enumeratywnej postawił około 200 roku p.n.e. starożytny grecki matematyk Apoloniusz , który zapytał, ile okręgów na płaszczyźnie jest stycznych do trzech podanych okręgów. Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązaniem problemu Apoloniusza jest osiem takich kręgów.

Clebsch sześcienny

Problemy enumeratywne w matematyce często dotyczą klasy obiektów geometrycznych zwanych rozmaitościami algebraicznymi, które są definiowane przez zanikanie wielomianów . Na przykład sześcian Clebscha (patrz ilustracja) jest zdefiniowany za pomocą pewnego wielomianu stopnia trzeciego w czterech zmiennych. Słynny wynik dziewiętnastowiecznych matematyków Arthura Cayleya i George'a Salmona stwierdza, że ​​istnieje dokładnie 27 linii prostych, które w całości leżą na takiej powierzchni.

Uogólniając ten problem, można zapytać, ile linii można narysować na kwintycznej rozmaitości Calabiego–Yau, takiej jak przedstawiona powyżej, która jest zdefiniowana wielomianem stopnia piątego. Problem ten rozwiązał dziewiętnastowieczny niemiecki matematyk Hermann Schubert , który stwierdził, że takich linii jest dokładnie 2875. W 1986 roku geometr Sheldon Katz udowodnił, że liczba krzywych, takich jak okręgi, które są określone wielomianami stopnia drugiego i leżą całkowicie w kwintyce, wynosi 609.250.

Do roku 1991 większość klasycznych problemów geometrii enumeratywnej została rozwiązana i zainteresowanie geometrią enumeratywną zaczęło maleć. Według matematyka Marka Grossa: „Gdy stare problemy zostały rozwiązane, ludzie wrócili, aby sprawdzić liczby Schuberta za pomocą nowoczesnych technik, ale to było dość przestarzałe”. Pole zostało ożywione w maju 1991 r., kiedy fizycy Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green i Linda Parkes wykazali, że symetrię lustrzaną można wykorzystać do obliczenia liczby krzywych trzeciego stopnia na kwintycznym Calabi-Yau. Candelas i jego współpracownicy odkryli, że te sześciowymiarowe rozmaitości Calabiego-Yau mogą zawierać dokładnie 317 206 375 krzywych trzeciego stopnia.

Oprócz trzykrotnego zliczania krzywych stopnia trzeciego na kwintyce, Candelas i jego współpracownicy uzyskali szereg bardziej ogólnych wyników dotyczących zliczania krzywych wymiernych, które wykraczały daleko poza wyniki uzyskane przez matematyków. Chociaż metody użyte w tej pracy opierały się na fizycznej intuicji, matematycy rygorystycznie udowodnili niektóre z przewidywań symetrii lustrzanej. W szczególności rygorystycznie udowodniono enumeratywne przewidywania symetrii lustrzanej.

Fizyka teoretyczna

Oprócz zastosowań w geometrii enumeratywnej symetria lustrzana jest podstawowym narzędziem do wykonywania obliczeń w teorii strun. W A-modelu topologicznej teorii strun, fizycznie interesujące wielkości są wyrażane w postaci nieskończenie wielu liczb zwanych niezmiennikami Gromova-Wittena , które są niezwykle trudne do obliczenia. W modelu B obliczenia można sprowadzić do całek klasycznych i są one znacznie prostsze. Stosując symetrię lustrzaną, teoretycy mogą przełożyć trudne obliczenia w modelu A na równoważne, ale technicznie łatwiejsze obliczenia w modelu B. Obliczenia te są następnie wykorzystywane do określenia prawdopodobieństw różnych procesów fizycznych w teorii strun. Symetrię lustrzaną można łączyć z innymi dualnościami, aby przełożyć obliczenia w jednej teorii na równoważne obliczenia w innej teorii. Zlecając obliczenia różnym teoriom w ten sposób, teoretycy mogą obliczyć wielkości, których nie da się obliczyć bez użycia dualności.

Poza teorią strun, symetria lustrzana służy do zrozumienia aspektów kwantowej teorii pola , formalizmu używanego przez fizyków do opisu cząstek elementarnych . Na przykład teorie z cechowaniem to klasa wysoce symetrycznych teorii fizycznych występujących w standardowym modelu fizyki cząstek elementarnych i innych częściach fizyki teoretycznej. Niektóre teorie z cechowaniem, które nie są częścią modelu standardowego, ale mimo to są ważne ze względów teoretycznych, wywodzą się ze strun propagujących się na prawie osobliwym tle. W przypadku takich teorii, symetria lustrzana jest użytecznym narzędziem obliczeniowym. Rzeczywiście, symetria lustrzana może być wykorzystana do wykonywania obliczeń w ważnej teorii cechowania w czterech wymiarach czasoprzestrzeni, którą badali Nathan Seiberg i Edward Witten i która jest również znana w matematyce w kontekście niezmienników Donaldsona . Istnieje również uogólnienie symetrii lustrzanej zwanej symetrią lustrzaną 3D, która wiąże pary kwantowych teorii pola w trzech wymiarach czasoprzestrzeni.

Podchodzi do

Symetria lustrzana homologiczna

Otwarte sznurki przymocowane do pary D-bran

W teorii strun i powiązanych teoriach w fizyce brana jest obiektem fizycznym, który uogólnia pojęcie cząstki punktowej na wyższe wymiary. Na przykład cząsteczkę punktową można postrzegać jako branę o zerowym wymiarze, a strunę jako branę o pierwszym wymiarze. Możliwe jest również rozważenie brane o wyższych wymiarach. Słowo brane pochodzi od słowa „membrana”, które odnosi się do dwuwymiarowej brany.

W teorii strun struna może być otwarta (tworząc odcinek z dwoma końcami) lub zamknięta (tworząc zamkniętą pętlę). D-brany to ważna klasa bran, które powstają, gdy weźmie się pod uwagę otwarte struny. Ponieważ otwarta struna rozchodzi się w czasoprzestrzeni, jej punkty końcowe muszą leżeć na D-branie. Litera „D” w D-branach odnosi się do warunku, który spełnia, warunku brzegowego Dirichleta .

Matematycznie brany można opisać za pomocą pojęcia kategorii . Jest to struktura matematyczna składająca się z obiektów i dla każdej pary obiektów zestawu morfizmów między nimi. W większości przykładów obiekty są strukturami matematycznymi (takimi jak zbiory , przestrzenie wektorowe lub przestrzenie topologiczne ), a morfizmy są funkcjami między tymi strukturami. Można również rozważyć kategorii, w których obiekty są D-brany i morfizmami między dwoma bran i są stany otwartych strun rozciągniętych pomiędzy i . ${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta}$

W modelu B topologicznej teorii strun D-brany są złożonymi podrozmaitościami Calabiego-Yau wraz z dodatkowymi danymi, które wynikają fizycznie z posiadania ładunków na końcach strun. Intuicyjnie można wyobrazić sobie podrozmaitość jako powierzchnię zatopioną wewnątrz Calabiego-Yau, chociaż podrozmaitości mogą również istnieć w wymiarach innych niż dwa. W języku matematycznym kategoria mająca te brany jako obiekty jest znana jako pochodna kategoria spójnych snopów na Calabi–Yau. W modelu A, D-brany mogą być ponownie postrzegane jako podrozmaitości rozmaitości Calabiego–Yau. Z grubsza rzecz biorąc, matematycy nazywają je specjalnymi podrozmaitościami Lagrange'a . Oznacza to między innymi, że mają połowę wymiaru przestrzeni, w której siedzą, i minimalizują długość, powierzchnię lub objętość. Kategoria, której obiektami są te brany, nazywana jest kategorią Fukaya.

Pochodna kategoria spójnych snopów jest konstruowana przy użyciu narzędzi z geometrii złożonej , gałęzi matematyki, która opisuje krzywe geometryczne w terminach algebraicznych i rozwiązuje problemy geometryczne za pomocą równań algebraicznych . Z drugiej strony kategoria Fukaya jest skonstruowana przy użyciu geometrii symplektycznej , gałęzi matematyki, która wyrosła z badań fizyki klasycznej . Geometria symplektyczna bada przestrzenie wyposażone w formę symplektyczną , narzędzie matematyczne, które można wykorzystać do obliczenia powierzchni na przykładach dwuwymiarowych.

Hipoteza homologicznej symetrii lustrzanej Maxima Kontsevicha stwierdza, że ​​pochodna kategoria spójnych snopów na jednej rozmaitości Calabiego–Yau jest w pewnym sensie równoważna kategorii Fukayi jej lustra. Ta równoważność zapewnia precyzyjne matematyczne sformułowanie symetrii lustrzanej w topologicznej teorii strun. Ponadto zapewnia nieoczekiwany pomost między dwiema gałęziami geometrii, a mianowicie geometrią złożoną i geometrią symplektyczną.

Przypuszczenie Stromingera-Yau-Zaslowa

Torus może być postrzegana jako unii nieskończenie wielu środowisk, takich jak czerwona na zdjęciu. Na każdy punkt na różowym kółku przypada jedno takie koło.

Inne podejście do zrozumienia symetrii lustrzanej zostało zaproponowane przez Andrew Stromingera, Shing-Tung Yau i Erica Zaslowa w 1996 roku. a następnie przekształcając je, aby uzyskać lustro Calabi-Yau.

Najprostszym przykładem rozmaitości Calabiego-Yau jest dwuwymiarowy kształt torusa lub pączka. Rozważ okrąg na tej powierzchni, który przechodzi raz przez otwór pączka. Przykładem jest czerwone kółko na rysunku. Takich okręgów na torusie jest nieskończenie wiele; w rzeczywistości cała powierzchnia jest połączeniem takich kręgów.

Można wybrać koło pomocnicze (różowe koło na rysunku) w taki sposób, aby każdy z nieskończenie wielu okręgów rozkładających torus przechodził przez punkt . Mówi się, że ten pomocniczy okrąg parametryzuje koła rozkładu, co oznacza, że ​​istnieje zgodność między nimi a punktami . Okrąg jest jednak czymś więcej niż tylko listą, ponieważ określa również sposób rozmieszczenia tych okręgów na torusie. Ta pomocnicza przestrzeń odgrywa ważną rolę w przypuszczeniu SYZ. ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$

Pomysł dzielenia torusa na części sparametryzowane przestrzenią pomocniczą można uogólnić. Zwiększając wymiar z dwóch do czterech wymiarów rzeczywistych, Calabi-Yau staje się powierzchnią K3 . Tak jak torus został rozłożony na koła, czterowymiarowa powierzchnia K3 może zostać rozłożona na dwuwymiarowe torusy. W tym przypadku przestrzeń jest zwykłą sferą . Każdy punkt na sferze odpowiada jednemu z dwuwymiarowych tori, z wyjątkiem dwudziestu czterech „złych” punktów odpowiadających „uszczypniętym” lub pojedynczym tori. ${\ Displaystyle B}$

Rozmaitości Calabiego-Yau, które są głównym przedmiotem zainteresowania teorii strun, mają sześć wymiarów. Taką rozmaitość można podzielić na 3-tori (trójwymiarowe obiekty uogólniające pojęcie torusa) sparametryzowane przez 3-sferę (trójwymiarowe uogólnienie kuli). Każdy punkt odpowiada 3 torusom, z wyjątkiem nieskończenie wielu „złych” punktów, które tworzą siatkowy wzór segmentów na Calabi–Yau i odpowiadają pojedynczym torusom. ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$

Po rozłożeniu rozmaitości Calabiego–Yau na prostsze części symetrię lustrzaną można zrozumieć w intuicyjny geometryczny sposób. Jako przykład rozważmy opisany powyżej torus. Wyobraź sobie, że ten torus reprezentuje „czasoprzestrzeń” dla teorii fizycznej . Podstawowymi obiektami tej teorii będą struny rozchodzące się w czasoprzestrzeni zgodnie z zasadami mechaniki kwantowej . Jedną z podstawowych dwoistości teorii strun jest dwoistość T, która mówi, że struna rozchodząca się wokół okręgu o promieniu jest równoważna strunie rozchodzącej się wokół okręgu o promieniu w tym sensie, że wszystkie obserwowalne wielkości w jednym opisie są utożsamiane z wielkościami w podwójny opis. Na przykład, struna ma pęd, gdy rozchodzi się po okręgu, a także może owijać się wokół okręgu raz lub więcej razy. Liczba nawinięć struny wokół koła nazywana jest liczbą nawinięć . Jeśli struna ma w jednym opisie numer pędu i numer zwojów , to w opisie podwójnym będzie miała numer pędu i numer zwoju. Stosując T-dualność jednocześnie do wszystkich okręgów, które rozkładają torus, promienie tych okręgów zostają odwrócone i pozostaje nowy torus, który jest „grubszy” lub „chudszy” niż oryginał. Ten torus jest lustrem oryginalnego Calabiego-Yau. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle 1/R}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle p}$

T-dualność może być rozszerzona od kół do dwuwymiarowych tori pojawiających się w dekompozycji powierzchni K3 lub do trójwymiarowych tori pojawiających się w dekompozycji sześciowymiarowej rozmaitości Calabiego–Yau. Ogólnie rzecz biorąc, hipoteza SYZ stwierdza, że ​​symetria lustrzana jest równoważna jednoczesnemu zastosowaniu dualności T do tych tori. W każdym przypadku przestrzeń stanowi rodzaj planu, który opisuje, w jaki sposób te tori są składane w rozmaitość Calabiego–Yau. ${\ Displaystyle B}$

Zobacz też

• Teoria Donaldsona-Thomasa
• Przejście przez ścianę

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

Popularyzacje

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). Kształt przestrzeni wewnętrznej: teoria strun i geometria ukrytych wymiarów wszechświata . Książki podstawowe. Numer ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2005). „Fizmatyka”. arXiv : fizyka/0506153 .
• Zaslow, Eric (2008). „Symetria lustra”. W Gowers, Timothy (red.). The Princeton Companion to Matematyka . Numer ISBN 978-0-691-11880-2.

Podręczniki

• Aspinwall, Paweł; Bridgeland, Tom; Pełzać, Alastair; Douglas, Michael; Brutto, Marka; Kapustin, Anton; Moore'a, Grzegorza; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, wyd. (2009). Branże Dirichleta i symetria lustrzana . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Cox, Dawid; Katz, Sheldon (1999). Symetria lustrzana i geometria algebraiczna . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-2127-5.
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Tomasz, Ryszard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, wyd. (2003). Symetria lustrzana (PDF) . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 0-8218-2955-6. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 19.09.2006.CS1 maint: bot: nieznany status oryginalnego adresu URL ( link )