Jednowymiarowa grupa symetrii - One-dimensional symmetry group

Jednowymiarowy grupa symetrii jest grupa matematyczny , który opisuje symetrie w jednym wymiarze (1D).

Wzór w 1D można przedstawić jako funkcję f ( x ) dla, powiedzmy, koloru w pozycji x .

Jedyną nietrywialną grupą punktów w 1D jest prosta refleksja . Można to przedstawić za pomocą najprostszej grupy Coxetera , diagramu A ₁ , [] lub Coxetera-Dynkina .

Grupy symetrii afinicznej reprezentują translację . Izometrie które opuszczają funkcję niezmienionej są tłumaczenia x + z tak, że F ( x + ) = f ( x ) i odbicia - x z takimi, że f ( - x ) = f ( x ). Odbicia można przedstawić za pomocą afinicznej grupy Coxetera [∞] lub diagramu Coxetera-Dynkina reprezentujące dwa odbicia, a symetria translacyjna jako [∞] ⁺ lub diagram Coxetera-Dynkina jako połączenie dwóch odbić.

Grupa punktów

W przypadku wzorca bez symetrii translacyjnej istnieją następujące możliwości ( grupy punktów 1D ):

grupa symetrii jest grupą trywialną (brak symetrii)
grupa symetrii jest jedną z grup, z których każda składa się z tożsamości i odbicia w punkcie (izomorficzna do Z ₂ )

Grupa	Coxeter		Opis
C ₁	[] ⁺		Tożsamość, grupa trywialna Z ₁
D ₁	[]		Odbicie. Grupy abstrakcyjne Z ₂ lub Dih ₁ .

Dyskretne grupy symetrii

Te symetrie afiniczne można uznać za ograniczające przypadki dwuściennych i cyklicznych grup 2D :

Grupa	Coxeter		Opis
C _∞	[∞] ⁺		Cykliczne: ∞-krotne obroty stają się translacjami. Grupa abstrakcyjna Z _∞ , nieskończona grupa cykliczna .
D _∞	[∞]		Dwuścienny: ∞-krotne odbicia. Grupa abstrakcyjna Dih _∞ , nieskończona grupa dwuścienna .

Symetria translacyjna

Rozważ wszystkie wzorce w 1D, które mają symetrię translacyjną , tj. Funkcje f ( x ) takie, że dla niektórych a > 0, f ( x + a ) = f ( x ) dla wszystkich x . W przypadku tych wzorców wartości a, dla których ta właściwość zachowuje, tworzą grupę .

Najpierw rozważamy wzorce, dla których grupa jest dyskretna , tj. Dla których dodatnie wartości w grupie mają minimum. Przeskalując, ustawiamy tę minimalną wartość 1.

Takie wzorce dzielą się na dwie kategorie, dwie grupy przestrzenne 1D lub grupy linii .

W prostszym przypadku jedynymi izometriami R, które odwzorowują wzór na siebie, są translacje; dotyczy to np. wzoru

− −−−  − −−−  − −−−  − −−−

Każdą izometrię można scharakteryzować liczbą całkowitą, a mianowicie plus lub minus odległość przesunięcia. W związku z tym grupa symetrii jest Z .

W innym przypadku, wśród izometrii R, które odwzorowują wzór na siebie, są również odbicia; dotyczy to np. wzoru

− −−− −  − −−− −  − −−− −

Wybieramy początek x w jednym z punktów refleksji. Teraz wszystkie odbicia, które odwzorowują wzorzec na siebie, mają postać a - x, gdzie stała „ a ” jest liczbą całkowitą (przyrost a wynosi ponownie 1, ponieważ możemy połączyć odbicie i tłumaczenie, aby uzyskać inne odbicie, a my może połączyć dwie refleksje, aby uzyskać tłumaczenie). Dlatego wszystkie izometrie można scharakteryzować za pomocą liczby całkowitej i kodu, powiedzmy 0 lub 1, do tłumaczenia lub odbicia.

A zatem:

${\ displaystyle (a, 0): x \ mapsto x + a}$
${\ displaystyle (a, 1): x \ mapsto ax}$

Ta ostatnia jest odbiciem względem punktu a / 2 (liczba całkowita lub liczba całkowita plus 1/2).

Operacje grupowe ( skład funkcji , najpierw ta po prawej) są dla liczb całkowitych a i b :

${\ Displaystyle (a, 0) \ circ (b, 0) = (a + b, 0)}$
${\ Displaystyle (a, 0) \ circ (b, 1) = (a + b, 1)}$
${\ Displaystyle (a, 1) \ circ (b, 0) = (ab, 1)}$
${\ Displaystyle (a, 1) \ circ (b, 1) = (ab, 0)}$

Np. W trzecim przypadku: tłumaczenie o wartość b zmienia się x na x + b , odbicie względem 0 daje - x - b , a tłumaczenie a daje a - b - x .

Tę grupę nazywa się uogólnionej dwuścienną grupę o Z , dih ( Z ), a także D _∞ . Jest iloczynów produkt z Z , a C ₂ . Ma normalną podgrupę o indeksie 2 izomorficzną do Z : tłumaczenia. Zawiera również element f rzędu 2 taki, że dla wszystkich n w Z , n f = f n ⁻¹ : odbicie względem punktu odniesienia, (0,1).

Te dwie grupy nazywane są grupami kratowymi . Kratownica jest Z . Jako komórkę translacji możemy przyjąć przedział 0 ≤ x <1. W pierwszym przypadku domena podstawowa może być taka sama; topologicznie jest to okrąg (1- torus ); w drugim przypadku możemy przyjąć 0 ≤ x ≤ 0,5.

Rzeczywistą grupą dyskretnej symetrii wzoru translacyjnie symetrycznego może być:

typu grupy 1, dla każdej dodatniej wartości najmniejszej odległości przesunięcia
typu grupy 2, dla dowolnej dodatniej wartości najmniejszej odległości translacji i dowolnego położenia sieci punktów odbicia (która jest dwukrotnie gęstsza niż krata translacji)

Zbiór translacyjnie symetrycznych wzorców można zatem sklasyfikować według rzeczywistej grupy symetrii, podczas gdy rzeczywiste grupy symetrii z kolei można sklasyfikować jako typ 1 lub typ 2.

Te typy grup przestrzennych to grupy symetrii „aż do sprzężenia w odniesieniu do przekształceń afinicznych”: transformacja afiniczna zmienia odległość translacji na standardową (powyżej: 1) i położenie jednego z punktów odbić, jeśli ma to zastosowanie, do pochodzenia. Zatem rzeczywista grupa symetrii zawiera elementy postaci gag ⁻¹ = b , która jest koniugatem a .

Niedyskretne grupy symetrii

Dla jednorodnego „wzorca” grupa symetrii zawiera wszystkie tłumaczenia i odbicia we wszystkich punktach. Grupa symetrii jest izomorficzna z Dih ( R ).

Istnieją również mniej trywialne wzorce / funkcje o symetrii translacyjnej dla dowolnie małych tłumaczeń, np. Grupa tłumaczeń według wymiernych odległości. Nawet pomijając skalowanie i przesuwanie, jest nieskończenie wiele przypadków, np. Biorąc pod uwagę liczby wymierne, których mianownikami są potęgi danej liczby pierwszej.

Tłumaczenia tworzą grupę izometrii. Jednak nie ma wzoru z tą grupą jako grupą symetrii.

Symetria 1D funkcji a symetria 2D jej wykresu

Symetrie funkcji (w sensie tego artykułu) implikują odpowiednie symetrie jej wykresu. Jednak dwukrotna symetria obrotowa wykresu nie implikuje żadnej symetrii (w sensie tego artykułu) funkcji: wartości funkcji (we wzorze reprezentującym kolory, odcienie szarości itp.) Są danymi nominalnymi , tj. Szarość nie jest pomiędzy czernią a bielą, te trzy kolory są po prostu różne.

Nawet w przypadku kolorów nominalnych może istnieć szczególny rodzaj symetrii, jak w:

−−−−−−− -- − −−−   − −  −

(odbicie daje obraz negatywny). To również nie jest uwzględnione w klasyfikacji.

Akcja grupowa

Akcje grupowe grupy symetrii, które można rozważyć w związku z tym to:

na R
na zbiorze funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej (każda reprezentuje wzorzec)

Ta sekcja ilustruje koncepcje działań grupowych dla tych przypadków.

Nazywa się działanie G na X

przechodnia, jeśli dla dowolnych dwóch x , y w X istnieje g w G takie, że g · x = y ; dla żadnego z dwóch działań grupowych jest tak w przypadku dowolnej dyskretnej grupy symetrii
wierne (lub skuteczne ), jeśli dla dowolnych dwóch różnych g , h w G istnieje x w X takie, że g · x ≠ h · x ; dla obu działań grupowych dotyczy to każdej dyskretnej grupy symetrii (ponieważ, z wyjątkiem tożsamości, grupy symetrii nie zawierają elementów, które „nic nie robią”)
za darmo, jeśli dla dowolnych dwóch różnych g , h w G i wszystkich x w X mamy g · x ≠ h · x ; tak jest w przypadku braku odbić
regularne (lub po prostu przechodnie ), jeśli jest zarówno przechodnie, jak i swobodne; jest to równoważne stwierdzeniu, że dla dowolnych dwóch x , y w X istnieje dokładnie jedno g w G takie, że g · x = y .

Orbity i stabilizatory

Rozważmy grupę G działająca na zbiorze X . Orbity w punkcie x w X jest zestaw elementów X , którym x może być przemieszczane przez elementy G . Orbita x jest oznaczona przez Gx :

{\ Displaystyle Gx = \ lewo \ {g \ cdot x \ mid g \ in G \ prawo \}.}

Przypadek, że działanie grupowe dotyczy R :

Dla trywialnej grupy wszystkie orbity zawierają tylko jeden element; dla grupy tłumaczeń orbita to np. {.., - 9,1,11,21, ..}, dla refleksji np. {2,4}, a dla grupy symetrii z tłumaczeniami i odbiciami, np. { −8, −6,2,4,12,14,22,24, ..} (odległość przesunięcia wynosi 10, punkty odbicia to ..., - 7, −2,3,8,13,18,23, ..). Punkty na orbicie są „równoważne”. Jeśli do wzoru ma zastosowanie grupa symetrii, to na każdej orbicie kolor jest taki sam.

Przypadek, że działanie grupowe jest zgodne z wzorcami:

Orbity to zbiory wzorców zawierające przetłumaczone i / lub odbite wersje, „wzorce równoważne”. Translacja wzoru jest równoważna tylko wtedy, gdy odległość przesunięcia jest jedną z tych uwzględnionych w rozważanej grupie symetrii i podobnie w przypadku odbicia lustrzanego.

Zbiór wszystkich orbit X pod działaniem G jest napisane jak X / G .

Jeżeli Y jest podzbiorem z X , napisać GY dla zestawu { g · Y : Y Y i g G }. Podzbiór Y niezmiennikiem nazywamy pod G, jeśli GY = Y (co jest równoważne GY ⊆ Y ). W tym przypadku, G działa także Y . Podzbiór T nazywany jest ustalone na podstawie G jeśli g · Y = Y dla wszystkich g z G i wszystkie Y w Y . Na przykładzie orbity {−8, −6,2,4,12,14,22,24, ..}, {−9, −8, −6, −5,1,2,4,5, 11,12,14,15,21,22,24,25, ..} jest niezmienna pod G , ale nie jest ustalona. ${\ displaystyle \ in}$ ${\ displaystyle \ in}$

Dla każdego x w X definiujemy podgrupę stabilizatora z X (znany także grupa izotropowość lub małe grupy ) jako zbiór wszystkich elementów G mocujące X :

{\ displaystyle G_ {x} = \ {g \ in G \ mid g \ cdot x = x \}.}

Jeśli x jest punktem odbicia, jego stabilizatorem jest grupa rzędu drugiego zawierająca tożsamość i odbicie w x . W innych przypadkach stabilizator jest grupą trywialną.

Dla ustalonego x w X , rozważ mapę od G do X podaną przez . Obraz tej mapie jest orbita X i koobraz jest zbiorem wszystkich lewych cosets z G _x . Twierdzenie o ilorazie standardowym teorii mnogości daje zatem naturalny bijekcję między a . W szczególności bijekcja jest podawana przez . Ten wynik jest znany jako twierdzenie o stabilizatorze orbity . Jeżeli na przykład, przyjąć , orbity jest {-7,3,13,23 ..} i dwie grupy są izomorficzne z Z . ${\ displaystyle g \ mid \ rightarrow g \ cdot x}$ ${\ displaystyle G / G_ {x}}$ ${\ displaystyle Gx}$ ${\ displaystyle hG_ {x} \ mid \ rightarrow h \ cdot x}$ ${\ displaystyle x = 3}$

Jeśli dwa elementy i należą do tej samej orbity, to ich podgrupy stabilizatorów i są izomorficzne . Dokładniej: jeśli , to . W przykładzie dotyczy to np. 3 i 23, obu punktów odbicia. Odbicie około 23 odpowiada przekładowi −20, refleksji około 3 i przekładowi 20. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle G_ {x}}$ ${\ displaystyle G_ {y}}$ ${\ Displaystyle y = g \ cdot x}$ ${\ displaystyle G_ {y} = gG_ {x} g ^ {- 1}}$

Languages

In other projects