Geometria afiniczna - Affine geometry

W geometrii afinicznej używa się aksjomatu Playfair, aby znaleźć prostą przechodzącą przez C1 i równoległą do B1B2 oraz znaleźć prostą przechodzącą przez B2 i równolegle do B1C1: ich przecięcie C2 jest wynikiem wskazanego przesunięcia.

Geometria
Wystające do sfery na płaszczyznę
Zarys Historia
Gałęzie Euklidesa Nieeuklidesowy Eliptyczny Kulisty Hiperboliczny Geometria niearchimedesowa Rzutowy Affine Syntetyczny Analityczny Algebraiczny Arytmetyka diofantyna Mechanizm różnicowy Riemanna Symplektyczny Dyskretna różnica Złożony Skończone Dyskretny/Kombinatoryczny Cyfrowy Wypukły Obliczeniowa Fraktal Zakres
Koncepcje Cechy Wymiar Konstrukcje prostoliniowe i kompasowe Kąt Krzywa Przekątna Ortogonalność ( prostopadłość ) Równoległy Wierzchołek Stosowność Podobieństwo Symetria
Zerowymiarowy Punkt
Jednowymiarowy Linia człon promień Długość
Dwuwymiarowy Samolot Powierzchnia Wielokąt Trójkąt Wysokość Przeciwprostokątna twierdzenie Pitagorasa Równoległobok Kwadrat Prostokąt Romb Romboid Czworoboczny trapez latawiec Koło Średnica Obwód Powierzchnia
Trójwymiarowy Tom Sześcian prostopadłościan Cylinder Piramida Kula
Cztero- /inny wymiar Teserakt Hipersfera
Geometry
wg nazwy Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apoloniusz Archimedesa Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Kartezjusz Euklides Euler Gaus Gromow Hilbert Jyeṣṭhadeva Katjajanah Chajjam Klein Łobaczewski Manawa Minkowskiego Minggatu Pascal Pitagoras Parameśwara Poincaré Riemanna Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista geometrii
przez okres p.n.e. Ahmes Baudhayana Manawa Pitagoras Euklides Archimedesa Apoloniusz 1-1400s Zhang Katjajanah Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Chajjam al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameśwara 1400-1700 Jyeṣṭhadeva Kartezjusz Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gaus Łobaczewski Bolyai Riemanna Klein Poincaré Hilbert Minkowskiego Cartan Veblen Coxeter Dzień dzisiejszy Atiyah Gromow
v T mi

W matematyce , geometria afiniczna jest to, co pozostaje z geometrii euklidesowej kiedy ignorując (matematycy często mówią, „zapominając”) na metryczne pojęcia odległości i kąta.

Ponieważ pojęcie linii równoległych jest jedną z głównych właściwości, która jest niezależna od jakiejkolwiek metryki, geometria afiniczna jest często uważana za badanie linii równoległych. Dlatego aksjomat Playfair (biorąc pod uwagę prostą L i punkt P nie na L, jest dokładnie jedna prosta równoległa do L, która przechodzi przez P.) ma fundamentalne znaczenie w geometrii afinicznej. Porównania figur w geometrii afinicznej są dokonywane za pomocą przekształceń afinicznych , które są odwzorowaniami, które zachowują wyrównanie punktów i równoległość linii.

Geometrię afiniczną można rozwijać na dwa sposoby, które są zasadniczo równoważne.

W geometrii syntetycznego An afinicznej przestrzeń jest zbiorem punktów , do których przyłączony jest zestaw linii, które spełniają pewne axioms (takie jak pewnik Playfaira'S).

Geometrię afiniczną można również rozwijać na podstawie algebry liniowej . W tym kontekście przestrzeń afiniczna to zbiór punktów wyposażony w zbiór przekształceń (tj. odwzorowania bijektywne ), translacji, które tworzą przestrzeń wektorową (nad danym polem , najczęściej liczbami rzeczywistymi ) oraz takie, że dla dowolnego uporządkowana para punktów to unikalne tłumaczenie przesyłające pierwszy punkt do drugiego; skład dwóch przekładów jest ich suma w przestrzeni wektorowej tłumaczeń.

Mówiąc bardziej konkretnie, sprowadza się to do posiadania operacji, która łączy z dowolną uporządkowaną parą punktów wektor i inną operację, która umożliwia translację punktu przez wektor, aby uzyskać inny punkt; operacje te są wymagane do spełnienia szeregu aksjomatów (zwłaszcza, że ​​dwie kolejne translacje dają efekt translacji o wektor sumy). Wybierając dowolny punkt jako „początek”, punkty są w korespondencji jeden do jednego z wektorami, ale nie ma preferowanego wyboru początku; w ten sposób przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako uzyskana z powiązanej z nią przestrzeni wektorowej przez „zapomnienie” początku (wektor zerowy).

Idea zapomnienia metryki może być zastosowana w teorii rozmaitości . Zostało to rozwinięte w artykule na temat połączenia afinicznego .

Historia

W 1748 r. Leonhard Euler wprowadził termin affine (łac. affinis , „spokrewniony”) w swojej książce Introductio in analysin infinitorum (tom 2, rozdział XVIII). W 1827 August Möbius pisał o geometrii afinicznej w swoim Der barycentrische Calcul (rozdział 3).

Po Felix Klein „s programu Erlangen , geometria afiniczna został uznany jako uogólnienie geometrii euklidesowej .

W 1918 roku Hermann Weyl odniósł się do geometrii afinicznej w swoim tekście Przestrzeń, czas, materia . Wykorzystał geometrię afiniczną, aby wprowadzić dodawanie i odejmowanie wektorów na najwcześniejszych etapach rozwoju fizyki matematycznej . Później ET Whittaker napisał:

Geometria Weyla jest interesująca z historycznego punktu widzenia, ponieważ była pierwszą z geometrii afinicznych, która została szczegółowo opracowana: opiera się na specjalnym rodzaju transportu równoległego [...wykorzystującego] linie światowe sygnałów świetlnych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Krótki element jednej z tych linii świata można nazwać wektorem zerowym ; wtedy omawiany transport równoległy jest taki, że przenosi dowolny wektor zerowy w jednym punkcie do położenia wektora zerowego w sąsiednim punkcie.

Systemy aksjomatów

Zaproponowano kilka aksjomatycznych podejść do geometrii afinicznej:

Prawo Pappusa

Prawo Pappusa: jeśli czerwone linie są równoległe, a niebieskie są równoległe, to kropkowane czarne linie muszą być równoległe.

Ponieważ geometria afiniczna zajmuje się liniami równoległymi, za przesłankę przyjęto jedną z właściwości paraleli zauważonych przez Pappusa z Aleksandrii :

• Załóżmy, że są w jednej linii, a w drugiej. Jeśli linie i są równoległe i linie i są równoległe, to linie i są równoległe.${\ Displaystyle A, B, C}$${\displaystyle A',B',C'}$${\displaystyle AB'}$${\ Displaystyle A'B}$${\displaystyle BC'}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA'}$${\ Displaystyle C'A}$

Proponowany pełny system aksjomatów ma punkt , prostą i prostą zawierającą punkt jako pojęcia pierwotne :

• W jednej linii znajdują się dwa punkty.
• Dla dowolnej linii l i dowolnego punktu P , nie na l , istnieje tylko jedna linia zawierająca P i nie zawierająca żadnego punktu l . Mówi się, że ta linia jest równoległa do l .
• Każda linia zawiera co najmniej dwa punkty.
• Istnieją co najmniej trzy punkty nie należące do jednej linii.

Według HSM Coxeter :

Zainteresowanie tymi pięcioma aksjomatami potęguje fakt, że można je rozwinąć w obszerny zbiór twierdzeń, obejmujących nie tylko geometrię euklidesową, ale także geometrię czasu i przestrzeni Minkowskiego (w prostym przypadku wymiarów 1+1, podczas gdy szczególna teoria względności wymaga 1 + 3). Rozszerzenie geometrii euklidesowej lub Minkowskiego uzyskuje się przez dodanie różnych dalszych aksjomatów ortogonalności itp.

Różne typy geometrii afinicznej odpowiadają interpretacji przyjętej dla rotacji . Geometria euklidesowa odpowiada zwykłej idei rotacji , podczas gdy geometria Minkowskiego odpowiada rotacji hiperbolicznej . W odniesieniu do linii prostopadłych pozostają one prostopadłe, gdy płaszczyzna jest poddawana rotacji zwyczajnej. W geometrii Minkowskiego linie hiperboliczne-ortogonalne pozostają w tej relacji, gdy płaszczyzna jest poddawana rotacji hiperbolicznej.

Uporządkowana struktura

Aksjomatyczne traktowanie płaskiej geometrii afinicznej może być zbudowane z aksjomatów uporządkowanej geometrii poprzez dodanie dwóch dodatkowych aksjomatów:

1. ( Aksjomat afiniczny równoległości ) Biorąc pod uwagę punkt A i prostą r nie przechodzącą przez A , istnieje co najwyżej jedna prosta przechodząca przez A , która nie przecina r .
2. ( Desargues ) Biorąc pod uwagę siedem odrębnych punktów , takich , że , i są różnymi liniami przechodzącymi przez i są równoległe do i są równoległe do , to jest równoległe do .${\displaystyle A,A',B,B',C,C',O}$${\displaystyle AA'}$${\displaystyle BB'}$${\ Displaystyle CC'}$${\ Displaystyle O}$${\displaystyle AB}$${\ Displaystyle A'B'}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle B'C'}$${\ Displaystyle AC}$${\displaystyle A'C'}$

Afiniczna koncepcja równoległości tworzy relację równoważności na liniach. Ponieważ przedstawione tu aksjomaty geometrii uporządkowanej zawierają własności implikujące strukturę liczb rzeczywistych, własności te przenoszą się tutaj tak, że jest to aksjomatyzacja geometrii afinicznej nad ciałem liczb rzeczywistych.

Pierścienie trójskładnikowe

Pierwszą niedesarguesowską płaszczyznę odnotował David Hilbert w swoich Podstawach geometrii . Moulton samolot jest standardowym ilustracji. W celu zapewnienia kontekstu dla takiej geometrii, jak również dla tych, w których obowiązuje twierdzenie Desarguesa , koncepcja pierścienia trójskładnikowego została opracowana przez Marshalla Halla .

W tym podejściu płaszczyzny afiniczne są konstruowane z uporządkowanych par pobranych z pierścienia trójskładnikowego. Mówi się, że płaszczyzna ma „drobną afiniczną właściwość Desarguesa”, gdy dwa trójkąty w równoległej perspektywie, mające dwa równoległe boki, muszą mieć również trzecie równoległe boki. Jeśli ta właściwość zachodzi w płaszczyźnie afinicznej określonej przez pierścień trójskładnikowy, to istnieje relacja równoważności między „wektorami” zdefiniowanymi przez pary punktów z płaszczyzny. Ponadto wektory przy dodawaniu tworzą grupę abelową ; pierścień trójskładnikowy jest liniowy i spełnia właściwą dystrybucję:

( a + b ) c = ac + bc .

Transformacje afiniczne

Geometrycznie transformacje afiniczne (powinowactwa) zachowują kolinearność: przekształcają więc linie równoległe w linie równoległe i zachowują proporcje odległości wzdłuż linii równoległych.

Jako twierdzenia afiniczne identyfikujemy każdy wynik geometryczny, który jest niezmienny w ramach grupy afinicznej (w programie Erlangen Felixa Kleina jest to podstawowa grupa przekształceń symetrii dla geometrii afinicznej). Rozważmy w przestrzeni wektorowej V , ogólną grupę liniową GL( V ). Nie jest to cała grupa afiniczna, ponieważ musimy dopuścić także translacje wektorami v w V . (Taka translacja odwzorowuje dowolne w w V na w + v .) Grupa afiniczna jest generowana przez ogólną grupę liniową i translacje iw rzeczywistości jest ich półbezpośrednim iloczynem . (Tutaj myślimy o V jako o grupie objętej operacją dodawania i używamy reprezentacji definiującej GL( V ) na V do zdefiniowania iloczynu półpośredniego.) ${\ Displaystyle V \ rtimes \ operatorname {GL} (V)}$

Na przykład, twierdzenie z geometrii płaskiej trójkąty o zbieżności linii łączenia każdego wierzchołka do środkowego po stronie przeciwnej (na środek masy lub środka masy ) zależy pojęć środkowego i ciężkości , jak afinicznych invarianty. Inne przykłady obejmują twierdzenia Cevy i Menelaosa .

Niezmienniki afiniczne mogą również pomóc w obliczeniach. Na przykład linie, które dzielą obszar trójkąta na dwie równe połówki, tworzą obwiednię wewnątrz trójkąta. Stosunek pola obwiedni do pola trójkąta jest afinicznie niezmienniczy, a więc wystarczy go obliczyć na podstawie prostego przypadku, takiego jak jednostka równoramienna trójkąta prostokątnego, aby dać np. 0,019860... lub mniej niż 2%, dla wszystkich trójkątów. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log_{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$

Znane wzory, takie jak połowa podstawy razy wysokość pola trójkąta lub jedna trzecia podstawy razy wysokość objętości piramidy, są również niezmiennikami afinicznymi. Podczas gdy to drugie jest mniej oczywiste niż pierwsze w przypadku ogólnym, jest łatwo widoczne dla jednej szóstej sześcianu jednostkowego utworzonego przez ścianę (obszar 1) i środek sześcianu (wysokość 1/2). Dotyczy to więc wszystkich piramid, nawet skośnych, których wierzchołek nie znajduje się bezpośrednio nad środkiem podstawy, oraz tych, których podstawa jest równoległobokiem zamiast kwadratu. Formuła dalej uogólnia się na piramidy, których podstawę można podzielić na równoległoboki, w tym stożki, pozwalając na nieskończenie wiele równoległoboków (z należytą uwagą na zbieżność). To samo podejście pokazuje, że czterowymiarowa piramida ma hiperobjętość 4D jedną czwartą objętości 3D jej podstawy równoległościanu pomnożoną przez wysokość i tak dalej dla wyższych wymiarów.

Kinematyka

W kinematyce stosowane są dwa rodzaje przekształceń afinicznych , zarówno klasyczna, jak i nowoczesna. Prędkość v jest opisana za pomocą długości i kierunku, gdzie zakłada się, że długość jest nieograniczona. Ta odmiana kinematyki, stylizowana na galilejską lub newtonowską, wykorzystuje współrzędne absolutnej przestrzeni i czasu . Powinowactwo osiowe płaszczyzny z osią dla każdego przedstawia zmianę dla obserwatora poruszającego się z prędkością vw spoczynkowym układu odniesienia współrzędnych.

Skończona prędkość światła, po raz pierwszy zauważona przez opóźnienie pojawiania się księżyców Jowisza, wymaga nowoczesnej kinematyki. Sposób ten obejmuje szybkość zamiast prędkości i substytuty ścisnąć mapowanie do mapowania ścinania stosowanego wcześniej. Ta geometria afiniczna została opracowana syntetycznie w 1912 r., aby wyrazić szczególną teorię względności . W 1984 roku "płaszczyzna afiniczna związana z lorentzowską przestrzenią wektorową L ² " została opisana przez Graciela Birman i Katsumi Nomizu w artykule zatytułowanym "Trigonometry in Lorentzian geometry".

Afiniczna przestrzeń

Geometrię afiniczną można postrzegać jako geometrię przestrzeni afinicznej o danym wymiarze n skoordynowanej nad ciałem K . Istnieje również (w dwóch wymiarach) kombinatoryczne uogólnienie skoordynowanej przestrzeni afinicznej, opracowane w syntetycznej geometrii skończonej . W geometrii rzutowej przestrzeń afiniczna oznacza dopełnienie hiperpłaszczyzny w nieskończoności w przestrzeni rzutowej . Przestrzeń afiniczna może być również postrzegana jako przestrzeń wektorowa, której działania są ograniczone do tych kombinacji liniowych, których współczynniki sumują się do jednego, na przykład 2 x  −  y , x  −  y  +  z , ( x  +  y  +  z )/3, i x  + (1 −  ja ) y itd.

Syntetycznie płaszczyzny afiniczne to dwuwymiarowe geometrie afiniczne definiowane w kategoriach relacji między punktami i liniami (lub czasami, w wyższych wymiarach, hiperpłaszczyznami ). Definiowanie geometrii afinicznych (i rzutowych) jako konfiguracji punktów i linii (lub hiperpłaszczyzn) zamiast używania współrzędnych, otrzymuje się przykłady bez pól współrzędnych. Główną właściwością jest to, że wszystkie takie przykłady mają wymiar 2. Skończone przykłady w wymiarze 2 ( skończone płaszczyzny afiniczne ) były cenne w badaniu konfiguracji w nieskończonych przestrzeniach afinicznych, w teorii grup iw kombinatoryce .

Pomimo tego, że są mniej ogólne niż podejście konfiguracyjne, inne omawiane podejścia są bardzo skuteczne w wyjaśnianiu części geometrii, które są związane z symetrią .

Widok projekcyjny

W tradycyjnej geometrii geometria afiniczna jest uważana za studium pomiędzy geometrią euklidesową a geometrią rzutową . Z jednej strony geometria afiniczna jest geometrią euklidesową z pominięciem kongruencji ; z drugiej strony geometrię afiniczną można uzyskać z geometrii rzutowej przez wyznaczenie określonej linii lub płaszczyzny do reprezentowania punktów w nieskończoności . W geometrii afinicznej nie ma struktury metrycznej , ale postulat równoległy jest słuszny. Geometria afiniczna stanowi podstawę struktury euklidesowej, gdy definiuje się prostopadłe linie, lub podstawę geometrii Minkowskiego poprzez pojęcie ortogonalności hiperbolicznej . W tej perspektywie, afinicznej transformacja jest rzutowa transformacji , które nie permutacji skończonych punktów punkty w nieskończoności i afinicznej geometria transformacja jest badanie właściwości geometrycznych przez działanie na grupy o afinicznych transformacji.

Zobacz też

• Geometria nieeuklidesowa

Bibliografia

Dalsza lektura

• Emil Artin (1957) Algebra geometryczna , rozdział 2: "Geometria afiniczna i rzutowa" , za pośrednictwem archiwum internetowego
• VG Ashkinuse i Isaak Yaglom (1962) Idee i metody geometrii afinicznej i rzutowej (po rosyjsku ), Ministerstwo Edukacji, Moskwa.
• MK Bennett (1995) Affine and Projective Geometry , John Wiley & Sons ISBN  0-471-11315-8 .
• HSM Coxeter (1955) „The Affine Plane”, Scripta Mathematica 21:5–14, wykład wygłoszony przed Forum Towarzystwa Przyjaciół Scripta Mathematica w poniedziałek 26 kwietnia 1954 r.
• Felix Klein (1939) Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry , przekład ER Hedrick i CA Noble, s. 70-86, Macmillan Company .
• Bruce E. Meserve (1955) Podstawowe pojęcia geometrii , rozdział 5 Affine Geometry, s. 150-84, Addison-Wesley .
• Peter Scherk i Rolf Lingenberg (1975) Podstawy geometrii afinicznej płaszczyzny , Ekspozycje matematyczne nr 20, University of Toronto Press .
• Wanda Szmielew (1984) Od geometrii afinicznej do euklidesowej: podejście aksjomatyczne , D. Reidel , ISBN  90-277-1243-3 .
• Oswald Veblen (1918) Geometria rzutowa , tom 2, rozdział 3: Grupa afiniczna w płaszczyźnie, strony 70 do 118, Ginn & Company.

Zewnętrzne linki

• Peter Cameron „s rzutowa i Afiniczna Geometria z University of London .
• Jean H. Gallier (2001). Geometryczne metody i zastosowania w informatyce i inżynierii , rozdział 2: „Podstawy geometrii afinicznej” (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, rozdział online z University of Pennsylvania .