Grupa refleksji - Reflection group

W teorii grup i geometrii , grupa odbicia jest grupą dyskretną , która jest generowana przez zbiór odbić skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Grupa symetrii regularnego wielotopu lub kafelkowania przestrzeni euklidesowej przez przystające kopie regularnego wielotopu jest z konieczności grupą odbicia. Grupy refleksyjne obejmują również grupy Weyla i krystalograficzne grupy Coxetera . Podczas gdy grupa ortogonalna jest generowana przez odbicia (według twierdzenia Cartana-Dieudonnégo ), jest to grupa ciągła (w rzeczywistości grupa Liego ), a nie grupa dyskretna i jest ogólnie rozpatrywana oddzielnie.

Definicja

Niech E będzie skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową . Grupa odbicia ograniczony jest podgrupą ogólnej grupy liniowe z E , który jest generowany przez zbiór ortogonalnych odbicia całej hiperplaszczyzn przechodzących przez początek układu współrzędnych. Afinicznej grupa odbicie jest dyskretnym podgrupa grupy afinicznej z E , który jest generowany przez zespół afinicznych odbicia o E (bez wymogu, aby przejść przez hiperpłaszczyzny odbicie pochodzenia).

Odpowiadające im pojęcia można zdefiniować nad innymi polami , prowadząc do złożonych grup odbiciowych i analogów grup odbiciowych nad skończonym polem .

Przykłady

Samolot

W dwóch wymiarach skończone grupy odbicia są grupami dwuściennymi , które są generowane przez odbicie w dwóch liniach tworzących kąt i odpowiadają diagramowi Coxetera Odwrotnie, cykliczne grupy punktowe w dwóch wymiarach nie są generowane przez odbicia i faktycznie zawierają brak odbić – są to jednak podgrupy indeksu 2 grupy dwuściennej. ${\displaystyle 2\pi/n}$ ${\displaystyle I_{2}(n).}$

Nieskończone odbicie grupy należą Frieze grupy i oraz grup tapety , , , i . Jeśli kąt między dwiema liniami jest irracjonalną wielokrotnością pi, grupa generowana przez odbicia w tych liniach jest nieskończona i niedyskretna, a zatem nie jest grupą odbić. ${\displaystyle *\infty \infty}$${\displaystyle *22\infty}$ ${\displaystyle **}$${\ Displaystyle * 2222}$${\ Displaystyle * 333}$${\ Displaystyle * 442}$${\ Displaystyle * 632}$

Przestrzeń

Skończonej grupy odbicia są grupy punktowe C _NV , D _NH , oraz grup symetrii pięciu Platońskich stałych . Podwójny wielościan foremny (sześcian i ośmiościan oraz dwunastościan i dwudziestościan) dają początek izomorficznym grupom symetrii. Klasyfikacja ograniczonych grup odbitego R ³ oznacza wystąpienie klasyfikacji ADE .

Relacje z grupami Coxetera

Grupa refleksji W dopuszcza prezentację szczególnego rodzaju odkrytą i zbadaną przez H. S. M. Coxetera . Odbicia w twarzach stałej fundamentalnej „komory” są generatory r _I z W porządku 2. Wszystkie relacje między nimi formalnie wynika z relacji

${\ Displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {c_ {ij}} = 1,}$

wyrażający fakt, że iloczynem odbić r _i i r _j w dwóch hiperpłaszczyznach H _i i H _j spotykających się pod kątem jest obrót o kąt ustalający podprzestrzeń H _i  ∩  H _j o miarze 2. grupa, każda grupa refleksji jest grupą Coxetera . ${\ Displaystyle \ pi / c_ {ij}}$${\ Displaystyle 2 \ pi / c_ {ij}}$

Pola skończone

Pracując nad polami skończonymi, definiuje się „odbicie” jako mapę, która ustala hiperpłaszczyznę (w przeciwnym razie nie byłoby np. odbić w cesze 2, ponieważ odbicia są identycznością). Geometrycznie sprowadza się to do uwzględnienia nożyc w hiperpłaszczyźnie. Grupy odbicia nad skończonymi polami charakterystyki nr 2 sklasyfikowali Zalesskiĭ i Serežkin (1981) . ${\ Displaystyle -1 = 1}$

Uogólnienia

Rozważano również dyskretne grupy izometryczne bardziej ogólnych rozmaitości riemannowskich generowanych przez odbicia. Najważniejsza klasa wyłania się z riemannowskich przestrzeni symetrycznych rzędu 1: n-sfera S ⁿ , odpowiadająca skończonym grupom odbiciowym, przestrzeń euklidesowa R ⁿ , odpowiadająca afinicznym grupom odbiciowym oraz przestrzeń hiperboliczna H ⁿ , gdzie odpowiednie grupy są zwane hiperbolicznymi grupami refleksyjnymi . W dwóch wymiarach grupy trójkątów obejmują wszystkie trzy rodzaje grup odbicia.

Zobacz też

• Układ hiperplanu
• Twierdzenie Chevalleya-Shepharda-Todda
• Grupy refleksyjne są związane z kalejdoskopami .

Bibliografia

Uwagi

Bibliografia

Podręczniki

Linki zewnętrzne

• Multimedia związane z grupami refleksji w Wikimedia Commons
• „Grupa refleksyjna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]