Pole tensorowe - Tensor field

W matematycznych i fizycznych , a pole tensora Przypisuje tensor każdego punktu przestrzeni matematycznej (zwykle przestrzeni euklidesowej lub kolektora ). Pola tensorowe są wykorzystywane w geometrii różniczkowej , geometrii algebraicznej , ogólnej teorii względności , w analizie naprężeń i odkształceń w materiałach oraz w licznych zastosowaniach w naukach fizycznych . Ponieważ tensor jest uogólnieniem skalara (czysta liczba reprezentująca wartość, na przykład prędkość) i wektora (czysta liczba plus kierunek, jak prędkość), pole tensorowe jest uogólnieniem pola skalarnego lub pola wektorowego, które przypisuje odpowiednio skalar lub wektor do każdego punktu przestrzeni.

Wiele struktur matematycznych zwanych „tensorami” to pola tensorowe. Na przykład, tensor krzywizny Riemanna nie jest tensorem, jak sama nazwa wskazuje, ale polem tensorowym : nosi nazwę Bernharda Riemanna i łączy tensor z każdym punktem rozmaitości Riemanna , która jest przestrzenią topologiczną .

Wprowadzenie geometryczne

Intuicyjnie, pole wektorowe najlepiej jest wizualizować jako „strzałkę” dołączoną do każdego punktu regionu o zmiennej długości i kierunku. Jednym z przykładów pola wektorowego na zakrzywionej przestrzeni jest mapa pogody pokazująca poziomą prędkość wiatru w każdym punkcie powierzchni Ziemi.

Ogólna idea pola tensorowego łączy wymóg bogatszej geometrii – na przykład elipsoidy zmieniającej się od punktu do punktu, w przypadku tensora metrycznego – z ideą, że nie chcemy, aby nasze pojęcie zależało od konkretnej metody mapowanie powierzchni. Powinna istnieć niezależnie od szerokości i długości geograficznej, czy jakiegokolwiek konkretnego „odwzorowania kartograficznego”, którego używamy do wprowadzenia współrzędnych liczbowych.

Poprzez przejścia współrzędnych

Zgodnie z Schoutenem (1951) i McConnellem (1957) , koncepcja tensora opiera się na koncepcji układu odniesienia (lub układu współrzędnych ), który może być ustalony (w stosunku do jakiegoś układu odniesienia tła), ale ogólnie może być dopuszczony do różnią się w ramach pewnej klasy przekształceń tych układów współrzędnych.

Na przykład współrzędne należące do n- wymiarowej rzeczywistej przestrzeni współrzędnych mogą być poddane dowolnym przekształceniom afinicznym : ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle x ^ {k} \ mapsto A_ {j} ^ {k} x ^ {j} + a ^ {k}}$

(z indeksami n- wymiarowymi, implikowane sumowanie ). Wektor kowariantny lub kowektor to system funkcji, który przekształca się w ramach tej transformacji afinicznej zgodnie z regułą ${\displaystyle v_{k}}$

${\ Displaystyle v_ {k} \ mapsto v_ {i} A_ {k} ^ {i}.}$

Lista wektorów bazowych współrzędnych kartezjańskich przekształca się jako kowektor, ponieważ pod transformacją afiniczną . Wektor kontrawariantny to układ funkcji współrzędnych, który w ramach takiej transformacji afinicznej podlega transformacji ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {k} \ mapsto A_ {k} ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ Displaystyle v ^ {k}}$

${\ Displaystyle v ^ {k} \ mapsto (A ^ {-1}) _ {j} ^ {k} v ^ {j}.}$

Jest to dokładnie wymóg potrzebny do zapewnienia, że ​​ilość jest obiektem niezmiennym, który nie zależy od wybranego układu współrzędnych. Mówiąc bardziej ogólnie, tensor walencji ( p , q ) ma p dolne indeksy i q górne indeksy, przy czym prawo transformacji jest ${\ Displaystyle v ^ {k} \ mathbf {e} _ {k}}$

${\ Displaystyle {T_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}} ^ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} \ mapsto A_ {i_ {1}} ^ {i'_ {1}} \ cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{ q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{ Q}}.}$

Pojęcie pola tensorowego można uzyskać poprzez specjalizację dozwolonych transformacji współrzędnych, aby były gładkie (lub różniczowalne , analityczne itp.). Pole kowektorowe jest funkcją współrzędnych, które przekształcane są przez jakobian funkcji przejściowych (w danej klasie). Podobnie kontrawariantne pole wektorowe jest przekształcane przez odwrotność jakobianu. ${\displaystyle v_{k}}$${\ Displaystyle v ^ {k}}$

Wiązki tensorów

Wiązka tensorowa to wiązka włókien, w której włókno jest iloczynem tensorowym dowolnej liczby kopii przestrzeni stycznej i/lub przestrzeni kostycznej przestrzeni bazowej, która jest rozmaitością. Jako takie, włókno jest przestrzenią wektorową, a wiązka tensorów jest specjalnym rodzajem wiązki wektorowej .

Wiązka wektorowa jest naturalną ideą „przestrzeni wektorowej zależnej w sposób ciągły (lub płynnie) od parametrów” – parametrów będących punktami rozmaitości M . Na przykład przestrzeń wektorowa o jednym wymiarze w zależności od kąta może wyglądać jak wstęga Möbiusa lub alternatywnie jak walec . Mając wiązkę wektorów V nad M , odpowiednia koncepcja pola nazywana jest sekcją wiązki: dla m zmieniającej się przez M , wybór wektora

v _m w V _m ,

gdzie V _m jest przestrzenią wektorową „w” m .

Ponieważ koncepcja iloczynu tensorowego jest niezależna od dowolnego wyboru bazy, przyjmowanie iloczynu tensorowego dwóch wiązek wektorowych na M jest rutyną. Począwszy od wiązki stycznej (wiązki przestrzeni stycznych ) cały aparat wyjaśniony przy bezskładnikowym traktowaniu tensorów przechodzi w rutynowy sposób – znowu niezależnie od współrzędnych, jak wspomniano we wstępie.

Możemy zatem podać definicję pola tensorowego , a mianowicie jako fragment pewnej wiązki tensorowej . (Istnieją wiązki wektorów, które nie są wiązkami tensorów: na przykład wstęga Möbiusa.) Jest to zatem gwarantowana zawartość geometryczna, ponieważ wszystko zostało zrobione w sposób wewnętrzny. Dokładniej, pole tensorowe przypisuje dowolnemu punktowi rozmaitości tensor w przestrzeni

${\ Displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ {*}}$

gdzie V jest przestrzenią styczną w tym punkcie i V ^∗ jest przestrzenią cotangens . Zobacz także wiązka styczna i wiązka cotangens .

Mając dwie wiązki tensorowe E → M i F → M , odwzorowanie liniowe A : Γ( E ) → Γ( F ) z przestrzeni odcinków E na odcinki F można uznać za odcinek tensorowy wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia A ( fs ) = fA ( s ), dla każdej sekcji s w Γ ( E ) i każdej gładkiej funkcji f na M . Sekcja tensorowa jest więc nie tylko odwzorowaniem liniowym na przestrzeni wektorowej przekrojów, ale odwzorowaniem liniowym C ^∞ ( M ) na module przekrojów. Ta właściwość służy na przykład do sprawdzenia, że ​​chociaż pochodna Liego i pochodna kowariantna nie są tensorami, to zbudowane z nich tensory skręcania i krzywizny są. ${\ Displaystyle \ scriptstyle E ^ {*} \ otimes F}$

Notacja

Notacja pól tensorowych może czasami być łudząco podobna do notacji dla przestrzeni tensorowych. Zatem wiązkę styczną TM = T ( M ) można czasem zapisać jako

${\ Displaystyle T_ {0}^ {1}(M) = T (M) = TM}$

aby podkreślić, że wiązka styczna jest przestrzenią zasięgu (1,0) pól tensorowych (tj. pól wektorowych) na rozmaitości M . Nie należy tego mylić z bardzo podobnie wyglądającą notacją

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

w drugim przypadku mamy tylko jedną przestrzeń tensorową, podczas gdy w pierwszym mamy przestrzeń tensorową określoną dla każdego punktu w rozmaitości M .

Litery kręcone (skryptowe) są czasami używane do oznaczenia zestawu nieskończenie różniczkowalnych pól tensorowych na M . Zatem,

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {n} ^ {m} (M)}$

są odcinkami wiązki tensorowej ( m , n ) na M, które są nieskończenie różniczkowe. Elementem tego zbioru jest pole tensorowe.

C ^∞ ( M ) Moduł wyjaśnienie

Istnieje inny, bardziej abstrakcyjny (ale często użyteczny) sposób charakteryzowania pól tensorowych na rozmaitości M , który przekształca pola tensorowe w uczciwe tensory (tj. pojedyncze odwzorowania wieloliniowe), chociaż innego typu (chociaż zwykle nie dlatego często mówi się „ tensor”, kiedy tak naprawdę oznacza „pole tensora”). Po pierwsze, możemy rozważyć zbiór wszystkich gładkich (C ^∞ ) pól wektorowych na M , (patrz rozdział o notacji powyżej) jako pojedynczą przestrzeń — moduł nad pierścieniem gładkich funkcji, C ^∞ ( M ), przez skalar punktowy mnożenie. Pojęcia wieloliniowości i iloczynów tensorowych łatwo rozciągają się na przypadek modułów na dowolnym pierścieniu przemiennym . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {T}} (M)}$

Jako motywujący przykład rozważmy przestrzeń gładkich pól kowektorowych ( 1-formy ), także moduł nad gładkimi funkcjami. Działają one na gładkich polach wektorowych, aby uzyskać gładkie funkcje przez punktowe obliczenie, a mianowicie, przy danym polu kowektorowym ω i polu wektorowym X , definiujemy ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$

( ω ( X ))( p ) = ω ( p )( X ( p )).

Ze względu na punktową naturę wszystkiego, co jest zaangażowane, działanie ω na X jest przekształceniem liniowym C ^∞ ( M ) , to znaczy

( ω ( fX ))( p ) = f ( p ) ω ( p )( X ( p )) = ( fω )( p )( X ( p )) = ( fω ( X ))( p )

dla dowolnego p w M i gładkiej funkcji f . Możemy zatem traktować pola kowektorowe nie tylko jako odcinki wiązki cotangensa, ale także liniowe odwzorowania pól wektorowych na funkcje. Dzięki konstrukcji podwójnej dualności, pola wektorowe mogą być podobnie wyrażone jako odwzorowania pól kowektorowych na funkcje (czyli moglibyśmy zacząć „natywnie” z polami kowektorowymi i stamtąd kontynuować).

Równolegle do konstrukcji zwykłych pojedynczych tensorów (nie pól tensorowych!) na M jako wieloliniowych odwzorowań na wektorach i kowektorach, ogólne ( k , l ) tensorowe pola na M możemy traktować jako C ^∞ ( M )-przekształcenia wieloliniowe zdefiniowane na l kopiach i k kopii do C ^∞ ( M ). ${\ Displaystyle {\ Mathcal {T}} (M)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$

Teraz, biorąc pod uwagę dowolne odwzorowanie T z iloczynu k kopii i l kopii w C ^∞ ( M ), okazuje się, że powstaje ono z pola tensorowego na M wtedy i tylko wtedy, gdy jest wieloliniowe nad C ^∞ ( M ) . Tak więc ten rodzaj wieloliniowości pośrednio wyraża fakt, że tak naprawdę mamy do czynienia z obiektem określonym punktowo, czyli polem tensorowym, w przeciwieństwie do funkcji, która nawet oceniana w jednym punkcie zależy od wszystkich wartości pól wektorowych. i 1-formy jednocześnie. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {*} (M)}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {T}} (M)}$

Częstym przykładem zastosowania tej ogólnej zasady jest pokazanie, że połączenie Levi-Civita , które jest odwzorowaniem gładkich pól wektorowych z parą pól wektorowych na pole wektorowe, nie definiuje pola tensorowego na M . Dzieje się tak, ponieważ jest on tylko R -liniowy w Y (zamiast pełnej C ^∞ ( M )-liniowości spełnia regułę Leibniza, )). Niemniej jednak należy podkreślić, że chociaż nie jest to pole tensorowe, nadal kwalifikuje się jako obiekt geometryczny z interpretacją bezskładnikową. ${\ Displaystyle (X, Y) \ mapsto \ nabla _ {X} Y}$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y + f \ nabla _ {X} Y}$

Aplikacje

Tensor krzywizny jest omawiany w geometrii różniczkowej, a tensor naprężenie-energia jest ważny w fizyce, a te dwa tensory są powiązane przez ogólną teorię względności Einsteina .

W elektromagnetyzmie pola elektryczne i magnetyczne są połączone w elektromagnetyczne pole tensorowe .

Warto zauważyć, że formy różniczkowe używane do definiowania całkowania na rozmaitościach są rodzajem ciała tensorowego.

Rachunek tensorowy

W fizyce teoretycznej i innych dziedzinach równania różniczkowe postawione w kategoriach pól tensorowych zapewniają bardzo ogólny sposób wyrażania relacji, które mają zarówno charakter geometryczny (gwarantowany przez naturę tensorową), jak i konwencjonalnie powiązane z rachunkiem różniczkowym . Nawet sformułowanie takich równań wymaga nowego pojęcia, pochodnej kowariantnej . To zajmuje formułowanie zmienności pola tensora wraz z pola wektorowego . Pierwotne pojęcie absolutnego rachunku różniczkowego , które później nazwano rachunkiem tensorowym , doprowadziło do wyodrębnienia geometrycznej koncepcji połączenia .

Skręcanie przez wiązkę linii

Rozszerzenie idei pola tensorowego obejmuje dodatkową wiązkę liniową L na M . Jeśli W jest wiązką iloczynu tensorowego V z L , to W jest wiązką przestrzeni wektorowych o tym samym wymiarze co V . Pozwala to na zdefiniowanie pojęcia gęstości tensorowej , czyli „skręconego” pola tensorowego. Gęstość napinacz jest szczególny przypadek, w którym L jest wiązka gęstości na kolektorze , a mianowicie determinantą wiązki w wiązkę cotangent . (Aby być ściśle dokładnym, należy również zastosować wartość bezwzględną do funkcji przejścia – nie ma to większego znaczenia w przypadku orientowalnego rozmaitości .) Bardziej tradycyjne wyjaśnienie można znaleźć w artykule o gęstości tensorów .

Jedną z cech wiązki gęstości (ponownie zakładając orientowalność) L jest to, że L ^s jest dobrze zdefiniowane dla wartości liczb rzeczywistych s ; można to odczytać z funkcji przejścia, które przyjmują ściśle dodatnie wartości rzeczywiste. Oznacza to na przykład, że możemy przyjąć półgęstość , przypadek, w którym s = ½. Ogólnie rzecz biorąc, możemy wziąć sekcje W , iloczyn tensorowy V z L ^s , i rozważyć pola gęstości tensorowej o wadze s .

Gęstości połówkowe są stosowane w takich dziedzinach, jak definiowanie operatorów całkowych na rozmaitościach i kwantyzacja geometryczna .

Płaska obudowa

Kiedy M jest przestrzenią euklidesową, a wszystkie pola przyjmujemy za niezmienniki przez translacje wektorami M , wracamy do sytuacji, w której pole tensorowe jest równoznaczne z tensorem „siedzącym w punkcie początkowym”. Nie wyrządza to wielkiej szkody i jest często używane w aplikacjach. W odniesieniu do gęstości tensorów ma to znaczenie. Wiązka gęstości nie może być poważnie zdefiniowana „w pewnym momencie”; dlatego ograniczeniem współczesnego matematycznego traktowania tensorów jest to, że gęstości tensorów są definiowane w sposób okrężny.

Cocycles i zasady łańcucha

Jako zaawansowane wyjaśnienie pojęcia tensora można interpretować regułę łańcucha w przypadku wielu zmiennych, stosowaną do koordynowania zmian, a także jako wymóg dla samospójnych pojęć tensora dających pola tensorowe.

Abstrakcyjnie, możemy zidentyfikować regułę łańcucha jako 1- kocykl . Daje spójność wymaganą do zdefiniowania wiązki stycznej w sposób samoistny. Inne wiązki wektorów tensorów mają porównywalne kocykle, które wynikają z zastosowania własności funkcyjnych konstrukcji tensorowych do samej reguły łańcucha; dlatego są one również koncepcjami wewnętrznymi (czytaj, „naturalnymi”).

To, co zwykle mówi się o „klasycznym” podejściu do tensorów, próbuje odczytywać to wstecz – i dlatego jest podejściem heurystycznym, post hoc, a nie prawdziwie fundamentalnym. W definiowaniu tensorów na podstawie tego, jak przekształcają się przy zmianie współrzędnych, ukryty jest rodzaj spójności własnej, którą wyraża kocykl. Konstrukcja gęstości tensorów to „skręcenie” na poziomie kocyklu. Geometry nie mieli żadnych wątpliwości co do geometrycznej natury wielkości tensorowych ; Tego rodzaju zejścia uzasadnia argumentów abstrakcyjnie cała teoria.

Uogólnienia

Gęstości tensorów

Pojęcie pola tensorowego można uogólnić, biorąc pod uwagę obiekty, które przekształcają się inaczej. Obiekt, który przekształca jako zwykły dziedzinie tensora pod transformacji współrzędnych, z wyjątkiem tego, że jest także mnożony przez wyznacznika jakobian odwrotnego przekształcenia do koordynowania w th energii, nazywany gęstość tensorowy o masie wag . Niezmiennie, w języku algebry wieloliniowej, można myśleć o gęstościach tensorowych jako o odwzorowaniach wieloliniowych przyjmujących ich wartości w wiązce gęstości, takiej jak (1-wymiarowa) przestrzeń n -form (gdzie n jest wymiarem przestrzeni), jako sprzeciwiali się przyjmowaniu ich wartości tylko w R . Większe „wagi” odpowiadają wtedy po prostu wzięciu dodatkowych produktów tensorowych z tą przestrzenią w asortymencie.

Szczególnym przypadkiem są gęstości skalarne. Gęstości skalarne 1 są szczególnie ważne, ponieważ sensowne jest zdefiniowanie ich całki nad rozmaitością. Pojawiają się na przykład w działaniu Einsteina-Hilberta w ogólnej teorii względności. Najczęstszym przykładem gęstości skalarnej 1 jest element objętości , który w obecności tensora metrycznego g jest pierwiastkiem kwadratowym jego wyznacznika we współrzędnych, oznaczonym . Tensor metryczny jest tensorem kowariantnym rzędu 2, a więc jego wyznacznik skaluje się do kwadratu przejścia współrzędnych: ${\displaystyle {\sqrt {\det g}}}$

${\ Displaystyle \ det (g') = \ lewo (\ det {\ Frac {\ częściowy x} {\ częściowy x '}} \ prawej) ^ {2} \ det (g)}$

które jest prawem transformacji dla skalarnej gęstości wagi +2.

Mówiąc bardziej ogólnie, dowolna gęstość tensora jest iloczynem zwykłego tensora o gęstości skalarnej o odpowiedniej wadze. W języku wiązek wektorowych wiązka wyznacznikowa wiązki stycznej jest wiązką liniową, którą można wykorzystać do „skręcenia” innych wiązek w razy. Podczas gdy lokalnie bardziej ogólne prawo transformacji można rzeczywiście wykorzystać do rozpoznania tych tensorów, pojawia się pytanie globalne, odzwierciedlające to, że w prawie transformacji można zapisać albo wyznacznik jakobianu, albo jego wartość bezwzględną. Niecałkowe potęgi (dodatnich) funkcji przejścia wiązki gęstości mają sens, tak że waga gęstości w tym sensie nie jest ograniczona do wartości całkowitych. Ograniczenie do zmian współrzędnych z dodatnim wyznacznikiem jakobianu jest możliwe na rozmaitościach orientowalnych , ponieważ istnieje spójny globalny sposób eliminacji znaków minus; ale poza tym wiązka liniowa gęstości i wiązka liniowa form n są różne. Aby uzyskać więcej na temat wewnętrznego znaczenia, zobacz gęstość na rozmaitości .

Zobacz też

• Pakiet odrzutowy
• Ricci Ricci  – notacja indeksu tensorowego do obliczeń opartych na tensorze
• Pole spinorowe

Uwagi

Bibliografia

• Frankel, T. (2012), The Geometry of Physics (wydanie 3) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
• Lambourne [Uniwersytet Otwarty], RJA (2010), Relativity, Gravitation and Cosmology , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
• Lernera, RG ; Trigg, GL (1991), Encyklopedia Fizyki (2nd Edition) , VHC Publishers.
• McConnell, AJ (1957), Zastosowania analizy tensorowej , Dover Publications, ISBN 9780486145020.
• McMahon, D. (2006), Relativity DeMystified , McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-145545-0.
• C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Grawitacja , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link ).
• Parker, CB (1994), Encyklopedia fizyki McGraw Hill (wydanie 2) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
• Schouten, Jan Arnoldus (1951), Analiza tensorowa dla fizyków , Oxford University Press.
• Steenrod, Norman (5 kwietnia 1999). Topologia wiązek światłowodowych . Seria matematyczna Princeton. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. Numer ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875 .