Problem trzech ciał - Three-body problem

Przybliżone trajektorie trzech identycznych ciał znajdujących się na wierzchołkach trójkąta połuskowego i mających zerowe prędkości początkowe. Widać, że środek masy , zgodnie z prawem zachowania pędu , pozostaje na swoim miejscu.

W fizyce i mechanice klasycznej The problemu trzech ciał jest problem przy początkowych pozycji i prędkości (lub momenty ) trzech mas punktowych i rozwiązywania ich późniejszego ruchu według Zasady dynamiki Newtona i Prawo powszechnego ciążenia . Problem trzech ciał jest szczególnym przypadkiem problemu n- ciał . W przeciwieństwie do problemów dwuciałowych nie istnieje żadne ogólne rozwiązanie w formie zamkniętej , ponieważ wynikowy układ dynamiczny jest chaotyczny dla większości warunków początkowych i metod numerycznych są ogólnie wymagane.

Historycznie rzecz biorąc, pierwszym konkretnym problemem trzech ciał, który został poddany rozszerzonym badaniom, był problem dotyczący Księżyca , Ziemi i Słońca . W rozszerzonym współczesnym sensie problem trzech ciał to każdy problem w mechanice klasycznej lub mechanice kwantowej, który modeluje ruch trzech cząstek.

Opis matematyczny

Matematyczne sformułowanie problemu trzech ciał można podać w postaci równań ruchu Newtona dla położeń wektora trzech oddziałujących grawitacyjnie ciał o masach : ${\ Displaystyle \ mathbf {R_ {i}} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\displaystyle m_{i}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ ddot {\ mathbf {r} }} _ {\ mathbf {1} } i = - Gm_ {2} {\ Frac {\ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }} _{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\ mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\ frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{ wyrównany}}}$

gdzie jest stała grawitacyjna . Jest to zbiór dziewięciu równań różniczkowych drugiego rzędu . Problem może być również sformułowany równoważnie w formalizmie hamiltonowskim , w którym to przypadku jest on opisany przez zbiór 18 równań różniczkowych pierwszego rzędu, po jednym dla każdej składowej pozycji i pędów : ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {i}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p_ {i}}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}}}{dt}}={\frac {\częściowy {\mathcal {H}}}{\częściowy \mathbf {p_ {i}}}}, \qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\częściowy {\mathcal {H}}}{\częściowy \mathbf {r_{i}} }}, }$

gdzie jest hamiltonian : ${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ Frac {Gm_ {1} m_ {2}} { | \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}} |}} - {\ frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\ mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\ mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$

W tym przypadku jest to po prostu całkowita energia układu, grawitacyjna plus kinetyczna. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$

Ograniczony problem trzech ciał

Okrągły problem trzech ciał jest poprawnym przybliżeniem orbit eliptycznych znalezionych w Układzie Słonecznym i można to zobrazować jako kombinację potencjałów wynikających z grawitacji dwóch ciał pierwotnych wraz z efektem odśrodkowym z ich rotacji ( Coriolis efekty są dynamiczne i nie są pokazywane). Te punkty Lagrange'a mogą być postrzegane jako pięciu miejscach, gdzie w gradiencie otrzymanej powierzchni wynosi zero (przedstawione w postaci niebieskich linii), co wskazuje, że te siły nie są w równowadze.

W ograniczonym problemie trzech ciał ciało o znikomej masie („planetoida”) porusza się pod wpływem dwóch masywnych ciał. Mając znikomą masę, siła wywierana przez planetoidę na dwa masywne ciała może zostać pominięta, a układ można analizować i dlatego można go opisać w kategoriach ruchu dwóch ciał. Zwykle ten ruch dwóch ciał składa się z kołowych orbit wokół środka masy , a planetoida porusza się w płaszczyźnie określonej przez kołowe orbity.

Ograniczony problem trzech ciał łatwiej jest analizować teoretycznie niż cały problem. Ma również znaczenie praktyczne, ponieważ dokładnie opisuje wiele rzeczywistych problemów, z których najważniejszym przykładem jest układ Ziemia-Księżyc-Słońce. Z tych powodów odegrała ważną rolę w historycznym rozwoju problemu trzech ciał.

Matematycznie problem przedstawia się następująco. Niech będą masami dwóch masywnych ciał o współrzędnych (planarnych) i , oraz niech będą współrzędnymi planetoidy. Dla uproszczenia wybierz takie jednostki, aby odległość między dwoma masywnymi ciałami oraz stała grawitacyjna były równe . Wtedy ruch planetoidy jest podany przez ${\ Displaystyle m_ {1,2}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x,y)}$${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - m_ {1} {\ Frac {x-x_ {1}} {r_ {1} ^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}}\\{\frac {d^{2}y}{dt^{ 2}}}=-m_{1}{\frac {r-r_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {r-r_{2}}{r_ {2}^{3}}},\end{wyrównany}}}$

gdzie . W tej postaci równania ruchu przenoszą przez współrzędne wyraźną zależność od czasu . Jednak tę zależność od czasu można usunąć poprzez przekształcenie w obracający się układ odniesienia, co upraszcza każdą późniejszą analizę. ${\ Displaystyle R_ {i} = {\ sqrt {(x-x_ {i}) ^ {2} + (y-y_ {i}) ^ {2}}}}$${\ Displaystyle x_ {i} (t), y_ {i} (t)}$

Rozwiązania

Ogólne rozwiązanie

Nie istnieje ogólne rozwiązanie problemu trzech ciał w formie zamkniętej , co oznacza, że ​​nie ma ogólnego rozwiązania, które można by wyrazić w postaci skończonej liczby standardowych operacji matematycznych. Co więcej, ruch trzech ciał na ogół się nie powtarza, z wyjątkiem szczególnych przypadków.

Jednak w 1912 fiński matematyk Karl Fritiof Sundman udowodnił, że istnieje analityczne rozwiązanie problemu trzech ciał w postaci szeregu potęgowego w postaci potęg t ^1/3 . Szereg ten jest zbieżny dla wszystkich rzeczywistych t , z wyjątkiem warunków początkowych odpowiadających zerowemu momentowi pędu . W praktyce to ostatnie ograniczenie jest nieistotne, ponieważ warunki początkowe z zerowym momentem pędu są rzadkie, ponieważ Lebesgue mierzy zero.

Ważną kwestią w udowodnieniu tego wyniku jest fakt, że promień zbieżności dla tego szeregu jest określony przez odległość do najbliższej osobliwości. Dlatego konieczne jest zbadanie możliwych osobliwości problemów trzech ciał. Jak zostanie krótko omówione poniżej, jedynymi osobliwościami w problemie trzech ciał są zderzenia binarne (zderzenia dwóch cząstek w jednej chwili) i zderzenia potrójne (zderzenia trzech cząstek w jednej chwili).

Zderzenia, czy to binarne, czy potrójne (w rzeczywistości dowolna liczba), są nieco nieprawdopodobne, ponieważ wykazano, że odpowiadają one zestawowi warunków początkowych miary zero. Jednak nie ma znanego kryterium, które należy nałożyć na stan początkowy, aby uniknąć kolizji dla odpowiedniego rozwiązania. Tak więc strategia Sundmana składała się z następujących kroków:

1. Wykorzystanie odpowiedniej zmiany zmiennych do kontynuowania analizy rozwiązania poza kolizją binarną, w procesie znanym jako regularyzacja .
2. Wykazanie, że zderzenia potrójne występują tylko wtedy, gdy zanika moment pędu L. Ograniczając początkowe dane do L ≠ 0 , usunął wszystkie rzeczywiste osobliwości z przekształconych równań dla zagadnienia trzech ciał.
3. Pokazanie, że jeśli L ≠ 0 , to nie tylko nie może być zderzenia potrójnego, ale układ jest ściśle oddzielony od zderzenia potrójnego. Oznacza to, używając twierdzenia Cauchy'ego o istnieniu dla równań różniczkowych, że nie ma złożonych osobliwości w pasku (w zależności od wartości L ) na płaszczyźnie zespolonej wyśrodkowanej wokół osi rzeczywistej (odcienie Kovalevskaya ).
4. Znajdź konformalną transformację, która odwzorowuje ten pasek na dysk jednostki. Na przykład, jeśli s = t ^1/3 (nowa zmienna po regularyzacji) i jeśli | ln s | ≤ β , to odwzorowanie to

${\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {e ^ {\ Frac {\ pi s} {2 \ beta}}-1} {e ^ {\ Frac {\ pi s} {2 \ beta}} +1}} .}$

To kończy dowód twierdzenia Sundmana.

Niestety odpowiednia seria zbiega się bardzo powoli. Oznacza to, że uzyskanie wartości sensownej precyzji wymaga tak wielu terminów, że rozwiązanie to ma niewiele praktycznego zastosowania. Rzeczywiście, w 1930 roku David Beloriszky obliczył, że jeśli szereg Sundmana miałby być używany do obserwacji astronomicznych, to obliczenia obejmowałyby co najmniej 10^{8 000 000} terminów.

Rozwiązania specjalne

W 1767 Leonhard Euler znalazł trzy rodziny roztworów okresowych, w których trzy masy są współliniowe w każdej chwili. Zobacz problem trzech ciał Eulera .

W 1772 Lagrange znalazł rodzinę rozwiązań, w których trzy masy tworzą w każdej chwili trójkąt równoboczny. Wraz z rozwiązaniami współliniowymi Eulera, rozwiązania te tworzą centralne konfiguracje problemu trzech ciał. Rozwiązania te obowiązują dla dowolnych stosunków mas, a masy poruszają się po elipsach Keplera . Te cztery rodziny są jedynymi znanymi rozwiązaniami, dla których istnieją jednoznaczne wzory analityczne. W szczególnym przypadku kołowego, ograniczonego problemu trzech ciał , rozwiązania te, widziane w ramie obracającej się z podstawowymi, stają się punktami, które są nazywane L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ i L ₅ , a nazwane Punkty Lagrange'a , gdzie L ₄ i L ₅ są symetrycznymi instancjami rozwiązania Lagrange'a.

W pracy podsumowanej w latach 1892-1899 Henri Poincaré ustalił istnienie nieskończonej liczby okresowych rozwiązań ograniczonego problemu trzech ciał, wraz z technikami kontynuacji tych rozwiązań w ogólnym problemie trzech ciał.

W 1893 r. Meissel stwierdził to, co obecnie nazywa się pitagorejskim problemem trzech ciał: trzy masy w stosunku 3:4:5 spoczywają na wierzchołkach trójkąta prostokątnego 3:4:5 . Burrau dalej badał ten problem w 1913. W 1967 Victor Szebehely i C. Frederick Peters ustalili ostateczną ucieczkę dla tego problemu za pomocą całkowania numerycznego, jednocześnie znajdując pobliskie rozwiązanie okresowe.

W latach 70. Michel Hénon i Roger A. Broucke znaleźli zestaw rozwiązań, które należą do tej samej rodziny rozwiązań: rodziny Broucke-Henon-Hadjidemetriou. W tej rodzinie wszystkie trzy obiekty mają tę samą masę i mogą wykazywać zarówno wsteczne, jak i bezpośrednie formy. W niektórych rozwiązaniach Broucke'a dwa ciała podążają tą samą ścieżką.

Animacja ósemkowego rozwiązania problemu trzech ciał w jednym okresie T 6,3259.

W 1993 roku fizyk Cris Moore z Instytutu Santa Fe odkrył numerycznie rozwiązanie zerowego momentu pędu z trzema równymi masami poruszającymi się wokół kształtu ósemkowego . Jej formalne istnienie potwierdzili później w 2000 roku matematycy Alain Chenciner i Richard Montgomery. Wykazano numerycznie, że rozwiązanie jest stabilne dla małych zaburzeń masy i parametrów orbitalnych, co umożliwia obserwację takich orbit w fizycznym wszechświecie. Argumentowano jednak, że jest to mało prawdopodobne, ponieważ domena stabilności jest niewielka. Na przykład oszacowano , że prawdopodobieństwo rozproszenia binarnego i binarnego skutkującego orbitą ósemkową wynosi niewielki ułamek 1%.

W 2013 r. fizycy Milovan Šuvakov i Veljko Dmitrašinović z Instytutu Fizyki w Belgradzie odkryli 13 nowych rodzin rozwiązań problemu trzech ciał o jednakowej masie i pędzie kątowym.

W 2015 roku fizyk Ana Hudomal odkryła 14 nowych rodzin rozwiązań problemu trzech ciał o równej masie i zerowym pędzie kątowym.

W 2017 roku naukowcy Xiaoming Li i Shijun Liao odkryli 669 nowych okresowych orbit problemu trzech ciał o równej masie i pędzie kątowym. W 2018 roku pojawiły się dodatkowe 1223 nowe rozwiązania dla zerowego układu nierównych mas.

W 2018 roku Li i Liao zgłosili 234 rozwiązania problemu „swobodnego spadania” trzech ciał. Sformułowanie problemu trzech ciał podczas swobodnego spadania zaczyna się od spoczynku wszystkich trzech ciał. Z tego powodu masy w konfiguracji swobodnego spadania nie krążą w zamkniętej „pętli”, ale przemieszczają się do przodu i do tyłu po otwartej „torowisku”.

Podejścia numeryczne

Korzystając z komputera, problem można rozwiązać z dowolnie wysoką precyzją przy użyciu całkowania numerycznego, chociaż wysoka precyzja wymaga dużej ilości czasu procesora. Korzystając z teorii błądzeń losowych można obliczyć prawdopodobieństwo różnych wyników.

Historia

Problem grawitacji trzech ciał w jego tradycyjnym sensie datuje się zasadniczo na rok 1687, kiedy Izaak Newton opublikował swoją Principia ( Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ). W Propozycji 66 Księgi 1 Principia i jej 22 Wnioskach Newton poczynił pierwsze kroki w zdefiniowaniu i zbadaniu problemu ruchów trzech masywnych ciał poddanych ich wzajemnie zakłócającemu przyciąganiu grawitacyjnemu. W Stwierdzeniach 25 do 35 Księgi 3 Newton podjął również pierwsze kroki w zastosowaniu wyników Twierdzenia 66 do teorii Księżyca , ruchu Księżyca pod wpływem grawitacji Ziemi i Słońca.

Problem fizyczny został rozwiązany przez Amerigo Vespucci, a następnie przez Galileo Galilei ; w 1499 Vespucci wykorzystał wiedzę o pozycji Księżyca, aby określić swoją pozycję w Brazylii. Nabrała ona znaczenia technicznego w latach dwudziestych XVIII wieku, ponieważ dokładne rozwiązanie znalazło zastosowanie w nawigacji, a konkretnie do określenia długości geograficznej na morzu , rozwiązane w praktyce dzięki wynalezieniu chronometru morskiego przez Johna Harrisona . Jednak dokładność teorii księżycowej była niska ze względu na zakłócający wpływ Słońca i planet na ruch Księżyca wokół Ziemi.

Jean le Rond d'Alembert i Alexis Clairaut , którzy rozwinęli długotrwałą rywalizację, obaj próbowali przeanalizować problem w pewnym stopniu ogólności; złożyli swoje konkurencyjne pierwsze analizy do Académie Royale des Sciences w 1747 roku. To w związku z ich badaniami w Paryżu w latach czterdziestych XVIII wieku nazwa „problem trzech ciał” ( francuski : Problème des trois Corps ) zaczęła być powszechnie stosowana. używany. Relacja opublikowana w 1761 przez Jean le Rond d'Alembert wskazuje, że nazwa została po raz pierwszy użyta w 1747 roku.

W 2019 roku Breen i in. ogłosił szybki rozwiązywacz sieci neuronowych dla problemu trzech ciał, wytrenowany przy użyciu integratora numerycznego.

Inne problemy dotyczące trzech ciał

Termin „problem trzech ciał” jest czasami używany w bardziej ogólnym sensie, aby odnieść się do jakiegokolwiek fizycznego problemu związanego z interakcją trzech ciał.

Mechanika kwantowa analogiem grawitacyjnego problemu trzech ciał w mechanice klasycznej jest atomem helu , w którym jądro helu i dwa elektrony oddziałują zgodnie z odwrotną kwadratową interakcją kulombowska . Podobnie jak grawitacyjny problem trzech ciał, atom helu nie może być dokładnie rozwiązany.

Jednak zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej istnieją nietrywialne prawa interakcji oprócz siły odwrotnej do kwadratu, które prowadzą do dokładnych analitycznych rozwiązań trójciałowych. Jeden z takich modeli składa się z połączenia przyciągania harmonicznego i odpychającej siły odwróconej kostki. Model ten jest uważany za nietrywialny, ponieważ jest powiązany z zestawem nieliniowych równań różniczkowych zawierających osobliwości (w porównaniu np. z samymi oddziaływaniami harmonicznymi, które prowadzą do łatwego do rozwiązania układu liniowych równań różniczkowych). Pod tymi dwoma względami jest to analogiczne do (nierozpuszczalnych) modeli mających oddziaływania kulombowskie, w wyniku czego zasugerowano, że jest to narzędzie do intuicyjnego zrozumienia układów fizycznych, takich jak atom helu.

Problem grawitacji trzech ciał był również badany przy użyciu ogólnej teorii względności . Fizycznie relatywistyczna leczenie staje się konieczne w systemach o bardzo silnych pól grawitacyjnych, takich jak blisko horyzontu zdarzeń z czarnej dziury . Jednak problem relatywistyczny jest znacznie trudniejszy niż w mechanice newtonowskiej i wymagane są wyrafinowane techniki numeryczne . Nawet pełny problem dwóch ciał (tj. dla dowolnego stosunku mas) nie ma rygorystycznego rozwiązania analitycznego w ogólnej teorii względności.

n -problem z ciałem

Problem trzech ciał jest szczególnym przypadkiem problemu n- ciał , który opisuje, jak n obiektów porusza się pod wpływem jednej z sił fizycznych, takich jak grawitacja. Problemy te mają globalne rozwiązanie analityczne w postaci zbieżnych szeregów potęgowych, co udowodnił Karl F. Sundman dla n = 3 i Qiudong Wang dla n > 3 (szczegóły w zagadnieniu n ciał ). Jednak serie Sundman i Wang zbiegają się tak powoli, że są bezużyteczne dla celów praktycznych; dlatego obecnie konieczne jest aproksymowanie rozwiązań za pomocą analizy numerycznej w postaci całkowania numerycznego lub, w niektórych przypadkach, klasycznych aproksymacji szeregów trygonometrycznych (patrz symulacja n- ciał ). Układy atomowe, np. atomy, jony i cząsteczki, można traktować w kategoriach kwantowego problemu n- ciał. W klasycznych układach fizycznych problem n- ciał zwykle odnosi się do galaktyki lub gromady galaktyk ; układy planetarne, takie jak gwiazdy, planety i ich satelity, można również traktować jako układy n- ciałowe. Niektóre zastosowania są wygodnie traktowane przez teorię perturbacji , w której układ jest traktowany jako problem dwóch ciał plus dodatkowe siły powodujące odchylenia od hipotetycznej niezaburzonej trajektorii dwóch ciał.

W kulturze popularnej

Pierwszy tom trylogii „ Remembrance of Earth’s Past ” chińskiego autora Liu Cixina nosi tytuł Problem trzech ciał i przedstawia problem trzech ciał jako centralny element fabuły.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki

• Chenciner, Alain (2007). „Problem trzech ciał” . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Kod Bib : 2007SchpJ....2.2111C . doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• Fizycy odkrywają niesamowite 13 nowych rozwiązań problemu trzech ciał ( nauka )
• Delberi C (13 maja 2021). „Naukowcy są bliscy ostatecznego rozwiązania problemu trzech ciał” . Popularna mechanika .