Niewłaściwa rotacja - Improper rotation
| Grupa | S 4 | S 6 | S 8 | S 10 | S 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Podgrupy | C 2 | C 3 , S 2 = C i | C 4 , C 2 | C 5 , S 2 = C i | C 6 , S 4 , C 3 , C 2 |
| Przykład |
 skośny dwukątny antypryzmat |
 trójkątny antypryzmat |
 kwadratowy antypryzmat |
 pięciokątny antypryzmat |
 sześciokątny antypryzmat |
|
Antypryzmaty o skierowanych krawędziach mają symetrię odbicia rotacyjnego. p -antypryzmaty dla nieparzystego p zawierają symetrię inwersyjną , C i . |
|||||
W geometrii An niewłaściwy obrót , zwany również obrotowo odbicie , rotoreflection, odbicie obrotowy lub rotoinversion jest, w zależności od kontekstu, A przekształcenie liniowe lub przekształcenie afiniczne który jest połączeniem obrotowo wokół osi, oraz odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi.
Trzy wymiary
W 3D równoważnie jest to połączenie obrotu i inwersji w punkcie na osi. Dlatego nazywa się to również rotoinwersją lub inwersją obrotową . Symetria trójwymiarowa, która ma tylko jeden stały punkt, jest z konieczności nieprawidłowym obrotem.
W obu przypadkach operacje dojeżdżają. Rotoreflection i rotoinversion są tym samym, jeśli różnią się kątem obrotu o 180°, a punkt inwersji znajduje się w płaszczyźnie odbicia.
Niewłaściwy obrót przedmiotu powoduje zatem obrót jego lustrzanego odbicia . Oś nazywana jest osią obrotu i odbicia . Nazywa się to n- krotnym niewłaściwym obrotem, jeśli kąt obrotu przed lub po odbiciu wynosi 360°/ n (gdzie n musi być parzyste). Istnieje kilka różnych systemów nazywania poszczególnych niewłaściwych rotacji:
- W notacji Schoenfliesa symbol S n (niem. Spiegel , od lustra ), gdzie n musi być parzyste, oznacza grupę symetrii generowaną przez n- krotny niewłaściwy obrót. Na przykład, operacja symetrii S 6 jest kombinacja ruchu obrotowego (360 ° C / 6) = 60 °, a odbicie lustrzane płaszczyzny. (Nie należy tego mylić z tą samą notacją dla grup symetrycznych ).
- W notacji Hermanna-Mauguina symbol n jest używany do n- krotnej rotoinwersji ; tj. obrót o kąt obrotu 360°/ n z odwróceniem. Jeśli brak jest jeszcze musi być podzielna przez 4. (Uwaga 2 byłoby po prostu odzwierciedla i jest zazwyczaj oznaczona m ). Gdy n jest nieparzysta co odpowiada 2 n krotność nieprawidłowego obrotu (lub refleksji obrotowego).
- Oznaczenie Coxeter do S 2n to [2 n + 2 + ] i
, jako indeks 4 podgrupy [2 n ,2],
, generowany jako iloczyn 3 odbić. - Oznaczenie Orbifold wynosi n x, rząd 2 n .
Bezpośredni podgrupa S 2n , o indeksie 2 oznacza grupę n , [ n ] + lub ( NN ), w celu n , jako generator rotoreflection zastosowano dwukrotnie.
S 2 n dla nieparzystego n zawiera inwersję oznaczoną jako C i . Ta symetria jest taka sama jak połączenie (lub iloczyn) normalnego obrotu C n i inwersji. Dla parzystego n S 2 n zawiera C n, ale nie zawiera inwersji. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli nieparzyste p jest dzielnikiem n , to S 2 n / p jest podgrupą S 2 n . Na przykład S 4 , jest podgrupą S 12 .
Jako pośrednia izometria
W szerszym sensie niewłaściwą rotację można zdefiniować jako dowolną pośrednią izometrię ; tj. element E (3)\ E + (3): zatem może być również czystym odbiciem w płaszczyźnie lub mieć płaszczyznę poślizgu . Izometria pośrednia to transformacja afiniczna z macierzą ortogonalną, która ma wyznacznik -1.
Właściwa rotacja jest zwykły obrót. W szerszym sensie właściwy obrót jest definiowany jako izometria bezpośrednia ; tzn. element E + (3): może to być również tożsamość, obrót z translacją wzdłuż osi lub czysta translacja. Izometria bezpośrednia to transformacja afiniczna z macierzą ortogonalną, której wyznacznik wynosi 1.
W sensie węższym lub szerszym, złożenie dwóch rotacji niewłaściwych jest rotacją właściwą, a złożenie rotacji niewłaściwej i właściwej jest rotacją niewłaściwą.
Systemy fizyczne
Badając symetrię układu fizycznego o niewłaściwym obrocie (np. jeśli układ ma płaszczyznę symetrii lustrzanej), ważne jest rozróżnienie wektorów i pseudowektorów (a także skalarów i pseudoskalarów oraz ogólnie między tensorami i pseudotensorami ). , ponieważ te ostatnie przekształcają się inaczej przy prawidłowych i niewłaściwych obrotach (w 3 wymiarach pseudowektory są niezmienne przy inwersji).