Problem płaskowyżu - Plateau's problem
Część serii artykułów o |
Rachunek różniczkowy |
---|
W matematyce , problemem płaskowyżu jest wykazanie istnienia minimalnej powierzchni z danej granicy, problem podniesiony przez Joseph Louis Lagrange w 1760 roku, jednak jego imienia Josepha Plateau , który eksperymentował z filmami mydlanych . Problem jest uważany za część rachunku wariacyjnego . Problemy istnienia i regularności są częścią teorii miary geometrycznej .
Historia
Rozwiązano różne wyspecjalizowane formy problemu, ale dopiero w 1930 r. ogólne rozwiązania w kontekście mappingów (immersji) znaleźli niezależnie Jesse Douglas i Tibor Radó . Ich metody były zupełnie inne; Praca Radó opierała się na poprzedniej pracy René Garniera i dotyczyła wyłącznie prostowalnych prostych krzywych zamkniętych, podczas gdy Douglas wykorzystał zupełnie nowe pomysły, a jego wynik opierał się na dowolnej prostej krzywej zamkniętej. Oba polegały na tworzeniu problemów minimalizacji; Douglas zminimalizował całkę Douglasa, którą teraz nazwano, podczas gdy Radó zminimalizował „energię”. Douglas został odznaczony Medalem Fieldsa w 1936 roku za swoje wysiłki.
W wyższych wymiarach
Rozszerzenie problemu na wyższe wymiary (to znaczy dla powierzchni dwuwymiarowych w przestrzeni dwuwymiarowej ) okazuje się znacznie trudniejsze do zbadania. Co więcej, chociaż rozwiązania pierwotnego problemu są zawsze prawidłowe, okazuje się, że rozwiązania rozszerzonego problemu mogą mieć osobliwości, jeśli . W przypadku hiperpowierzchni, gdzie osobliwości występują tylko dla . Przykładem takiej szczególnej rozwiązania problemu Plateau jest stożek Simons , stożek ciągu w który został po raz pierwszy opisany przez Jim Simons i wykazano być Minimizer obszar o Bombieri , De Giorgi i Giusti . Aby rozwiązać rozszerzony problem w niektórych szczególnych przypadkach, opracowano teorię obwodów ( De Giorgi ) dla 1 symetrycznego oraz teorię prądów prostowalnych ( Federer i Fleming ) dla wyższych miarów . Teoria ta gwarantuje istnienie rozwiązań o wymiarze 1 , które są gładkie poza domkniętym zbiorem wymiaru Hausdorffa . Almgren w przypadku wyższego kowymiaru udowodnił istnienie rozwiązań o osobliwym zbiorze wymiarów co najwyżej w swoim twierdzeniu o regularności . SX Chang, uczeń Almgrena, oparł się na pracach Almgrena, aby pokazać, że osobliwości dwuwymiarowego obszaru minimalizujące prądy całkowe (w dowolnym wymiarze) tworzą skończony zbiór dyskretny.
Aksjomatyczne podejście Jenny Harrison i Harrisona Pugha dotyczy szerokiej gamy przypadków specjalnych. W szczególności rozwiązują problem płaskowyżu anizotropowego w dowolnym wymiarze i kowymiarze dla dowolnego zbioru zbiorów rektyfikowalnych spełniających kombinację ogólnych warunków rozpiętości homologicznych, kohomologicznych lub homotopowych. Inny dowód na wyniki Harrisona-Pugha uzyskali Camillo De Lellis , Francesco Ghiraldin i Francesco Maggi .
Zastosowania fizyczne
Fizyczne filmy mydlane są dokładniej modelowane przez zbiory -minimal Fredericka Almgrena , ale brak twierdzenia o zwartości utrudnia udowodnienie istnienia minimalizatora obszaru. W tym kontekście stale otwartą kwestią pozostaje istnienie najmniejszego obszaru filmu mydlanego. Ernst Robert Reifenberg rozwiązał taki „problem uniwersalnego płaskowyżu” dla granic, które są homeomorficzne dla pojedynczych osadzonych sfer.
Zobacz też
- Przypuszczenie podwójnej bańki
- Zasada Dirichleta
- Prawa płaskowyżu
- Metoda siatki rozciągniętej
- Problem Bernsteina
Bibliografia
- Douglas, Jesse (1931). „Rozwiązanie problemu płaskowyżu” . Przeł. Amer. Matematyka. Soc . 33 (1): 263-321. doi : 10.2307/1989472 . JSTOR 1989472 .
- Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Rozwiązanie problemu {Plateau} dla m-wymiarowych powierzchni o różnym typie topologicznym" . Akta Matematyki . 104 (2): 1-92. doi : 10.1007/bf02547186 .
- Fomenko, AT (1989). Problem płaskowyżu: badanie historyczne . Williston, VT: Gordon & Breach. Numer ISBN 978-2-88124-700-2.
- Morgan, Frank (2009). Teoria miary geometrycznej: przewodnik dla początkujących . Prasa akademicka. Numer ISBN 978-0-12-374444-9.
- O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoria miary geometrycznej" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
- Radó, Tibor (1930). „Na problemie płaskowyżu”. Anny. Matematyki . 2. 31 (3): 457–469. doi : 10.2307/1968237 . JSTOR 1968237 .
- Struwe, Michael (1989). Problem Plateau i rachunek wariacyjny . Princeton, NJ: Princeton University Press. Numer ISBN 978-0-691-08510-4.
- Almgren, Fryderyk (1966). Problem Plateau, zaproszenie do zmienności geometrii . Nowy Jork-Amsterdam: Benjamin. Numer ISBN 978-0-821-82747-5.
-
Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). „Otwarte problemy w matematyce (problem Plateau)” . Skoczek. arXiv : 1506.05408 . doi : 10.1007/978-3-319-32162-2 . Numer ISBN 978-3-319-32160-8. Cytowanie dziennika wymaga
|journal=
( pomoc )
Ten artykuł zawiera materiał z Plateau's Problem on PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .