Wymiar Hausdorffa - Hausdorff dimension

Przykład wymiarów niecałkowitych. Pierwsze cztery iteracji z krzywej Koch , gdzie po każdej iteracji, wszystkie pierwotne odcinki zastąpiono cztery, każdy samopodobna wersją, 1/3 długości oryginału. Jeden z formalizmów wymiaru Hausdorffa wykorzystuje ten współczynnik skali (3) i liczbę obiektów samopodobnych (4) do obliczenia wymiaru D, po pierwszej iteracji D = (log N)/(log S) = ( log 4)/(log 3) 1,26. Oznacza to, że podczas gdy wymiar Hausdorffa pojedynczego punktu wynosi zero, odcinka linii wynosi 1, kwadratu 2, a sześcianu 3, dla fraktali takich jak ten obiekt może mieć wymiar niecałkowity.

W matematyce , wymiar Hausdorff to miara chropowatości , a dokładniej Wstęga wymiar , który wprowadzono po raz pierwszy w 1918 r przez matematyka Felix Hausdorff . Na przykład, wymiar Hausdorffa pojedynczego punktu wynosi zero, odcinka linii wynosi 1, kwadratu 2, a sześcianu 3. To znaczy dla zbiorów punktów, które definiują gładki kształt lub kształt, który ma niewielka liczba narożników — kształty tradycyjnej geometrii i nauki — wymiar Hausdorffa jest liczbą całkowitą zgodną ze zwykłym poczuciem wymiaru, zwanym również wymiarem topologicznym . Opracowano jednak również wzory pozwalające na obliczenie wymiarów innych, mniej prostych obiektów, w których jedynie na podstawie ich właściwości skalowania i samopodobieństwa skłania się do wniosku, że poszczególne obiekty – w tym fraktale – nie mają -całkowite wymiary Hausdorffa. Ze względu na znaczne postępy techniczne dokonane przez Abrama Samoilovitcha Besicovitcha, umożliwiające obliczanie wymiarów dla zbiorów wysoce nieregularnych lub „szorstkich”, wymiar ten jest również powszechnie określany jako wymiar Hausdorffa-Besicovitcha.

Wymiar Hausdorffa, dokładniej, jest kolejną liczbą wymiarową związaną z danym zbiorem, w której zdefiniowane są odległości między wszystkimi członkami tego zbioru. Taki zbiór nazywamy przestrzenią metryczną . Wymiar jest pobierana z rozszerzonymi liczb rzeczywistych , w przeciwieństwie do bardziej intuicyjnego pojęcia wymiaru, który nie jest związany z ogólnymi przestrzeni metrycznych, i zajmuje tylko wartości w nieujemnych liczb całkowitych. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R}}}}$

W kategoriach matematycznych wymiar Hausdorffa uogólnia pojęcie wymiaru rzeczywistej przestrzeni wektorowej . Oznacza to, że wymiar Hausdorffa n- wymiarowej przestrzeni produktu wewnętrznego jest równy n . To leży u podstaw wcześniejszego stwierdzenia, że ​​wymiar Hausdorffa punktu wynosi zero, prostej jedynki itd., oraz że zbiory nieregularne mogą mieć niecałkowite wymiary Hausdorffa. Na przykład płatek śniegu Kocha pokazany po prawej stronie jest zbudowany z trójkąta równobocznego; w każdej iteracji jej składowe odcinki linii są dzielone na 3 odcinki o długości jednostkowej, nowo utworzony odcinek środkowy jest używany jako podstawa nowego trójkąta równobocznego, który jest skierowany na zewnątrz, a ten odcinek podstawowy jest następnie usuwany, aby pozostawić końcowy obiekt z iteracja o długości jednostki równej 4. Oznacza to, że po pierwszej iteracji każdy oryginalny segment linii został zastąpiony przez N=4, gdzie każda samopodobna kopia ma 1/S = 1/3 długości oryginału. Innymi słowy, wzięliśmy obiekt o wymiarze euklidesowym D i zmniejszyliśmy jego skalę liniową o 1/3 w każdym kierunku, tak aby jego długość wzrosła do N=S ^D . Równanie to jest łatwe do rozwiązania dla D, dając stosunek logarytmów (lub logarytmów naturalnych ) występujących na rysunkach i dając – w przypadku Kocha i innych fraktalnych przypadkach – niecałkowite wymiary tych obiektów.

Wymiar Hausdorffa jest następcą prostszego, ale zwykle równoważnego wymiaru liczenia skrzynkowego lub wymiaru Minkowskiego-Bouliganda .

Intuicja

Intuicyjna koncepcja wymiaru obiektu geometrycznego X to liczba niezależnych parametrów, które trzeba określić, aby wyłonić unikalny punkt w jego wnętrzu. Niemniej jednak, każdy punkt określony przez dwa parametry mogą być natomiast określony przez jeden, ponieważ liczności w rzeczywistej płaszczyzny wynosi liczność prostej (co można zobaczyć na argumencie udziałem przeplatania cyfry dwóch cyfr, z wytworzeniem pojedynczego numer kodujący te same informacje). Przykład krzywej wypełniającej przestrzeń pokazuje, że można nawet odwzorować linię rzeczywistą na płaszczyznę rzeczywistą suriektywnie (przenosząc jedną liczbę rzeczywistą na parę liczb rzeczywistych w taki sposób, że wszystkie pary liczb są pokryte) i w sposób ciągły , tak że obiekt jednowymiarowy całkowicie wypełnia obiekt o wyższym wymiarze.

Każda krzywa wypełniania przestrzeni wielokrotnie trafia w pewne punkty i nie ma ciągłej odwrotności. Niemożliwe jest odwzorowanie dwóch wymiarów w jednym w sposób ciągły i odwracalny. Wyjaśnia to wymiar topologiczny, zwany także wymiarem pokrywającym Lebesgue'a . Wymiar ten wynosi n, jeśli w każdym przykryciu X małymi kulkami jest co najmniej jeden punkt, w którym n  + 1 kulek zachodzi na siebie. Na przykład, gdy pokrywamy linię z krótkimi odstępami otwartymi, niektóre punkty muszą być pokryte dwukrotnie, dając wymiar  n  = 1.

Ale wymiar topologiczny jest bardzo prymitywną miarą lokalnego rozmiaru przestrzeni (wielkość blisko punktu). Krzywa, która prawie wypełnia przestrzeń, może nadal mieć jeden wymiar topologiczny, nawet jeśli wypełnia większość obszaru regionu. Wstęga ma wymiar topologiczne całkowitą, ale w zakresie ilości miejsca potrzebnego do góry, to zachowuje się jak wyżej przestrzeni trójwymiarowej.

Wymiar Hausdorffa mierzy lokalną wielkość przestrzeni z uwzględnieniem odległości między punktami, metrykę . Rozważmy liczbę N ( r ) kulek o promieniu najwyżej r potrzebną do całkowitego pokrycia X. Gdy r jest bardzo małe, N ( r ) rośnie wielomianowo z 1/ r . Dla wystarczająco ułożona X wymiar Hausdorff jest unikalny numer d takie, że N ( R ) rośnie, jak 1 / r ^d a R zbliża się do zera. Dokładniej, definiuje to wymiar liczenia pudełek , który jest równy wymiarowi Hausdorffa, gdy wartość d jest krytyczną granicą między tempem wzrostu niewystarczającym do pokrycia przestrzeni a tempem wzrostu, który jest nadmierny.

W przypadku kształtów gładkich lub kształtów z niewielką liczbą rogów, kształtów tradycyjnej geometrii i nauki, wymiar Hausdorffa jest liczbą całkowitą zgodną z wymiarem topologicznym. Ale Benoit Mandelbrot zauważył, że fraktale , zestawy z noninteger wymiarach Hausdorffa, są wszędzie w naturze. Zauważył, że właściwa idealizacja większości szorstkich kształtów, które widzisz wokół siebie, nie polega na gładkich wyidealizowanych kształtach, ale na fraktalnych wyidealizowanych kształtach:

Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka, ani błyskawice nie poruszają się po linii prostej.

W przypadku fraktali występujących w przyrodzie wymiar Hausdorffa i liczenia pudełek są zbieżne. Wymiar pakowanie jest kolejnym podobny pogląd, który daje taką samą wartość dla wielu kształtach, ale są dobrze udokumentowane wyjątki, gdzie te wszystkie wymiary różnią.

Formalne definicje

Treść Hausdorffa

Niech X będzie przestrzenią metryczną . Jeśli S ⊂ X i d ∈ [0, ∞), d- wymiarowa nieograniczona zawartość Hausdorffa w S jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle C_ {H} ^ {d} (S): = \ inf {\ Bigl \ {} \ suma _ {i} r_ {i} ^ {d}: {\ tekst {jest policzalna okładka} }S{\text{ kulami o promieniach }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$

Innymi słowy, jest dolną granicą zbioru liczb taką, że istnieje pewien (zindeksowany) zbiór kulek pokrywających S z r _i  > 0 dla każdego i  ∈  I, który spełnia . (Tutaj używamy standardowej konwencji, że inf Ø = ∞ .) ${\ Displaystyle C_ {H} ^ {d} (S)}$${\ Displaystyle \ delta \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ {B (x_ {i}, r_ {i}): ja \ w I \}}$${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} r_ {i} ^ {d} <\ delta}$

Miara Hausdorffa

Zewnętrzna miara Hausdorffa różni się od nieograniczonej zawartości Hausdorffa tym, że zamiast rozważać wszystkie możliwe pokrycia S , widzimy, co się dzieje, gdy rozmiary kulek osiągną zero. Dla , definiujemy d- wymiarową zewnętrzną miarę Hausdorffa S as ${\displaystyle d\geq 0}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {d} (S): = \ lim _ {r \ do 0} \ inf {\ Bigl \ {} \ suma _ {i} r_ {i} ^ {d} :{\text{ istnieje policzalne pokrycie }}S{\text{ kulkami o promieniach }}0<r_{i}<r{\Bigr \}}.}$

Wymiar Hausdorffa

Wymiar Hausdorff z X jest określona

${\ Displaystyle \ dim _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: {\ mathcal {H}} ^ {d} (X) = 0 \}.}$

Równoważnie dim _H ( X ) może być zdefiniowana jako infimum zbioru d ∈ [0, ∞) tak, że d wymiarową Hausdorff środek z X jest zero. Jest to to samo co supremum zbioru d  ∈ [0, ∞) tak, że d- wymiarowa miara Hausdorffa X jest nieskończona (z wyjątkiem tego, że gdy ten ostatni zbiór liczb d jest pusty, wymiar Hausdorffa wynosi zero).

Przykłady

Wymiar kolejnego przykładu fraktalnego . Sierpiński trójkąta , celem z Hausdorffa wymiaru log (3) / log (2) ≈1.58.

• Zbiory policzalne mają wymiar Hausdorffa 0.
• Przestrzeń euklidesowa ℝ ⁿ ma wymiar Hausdorffa n , a okrąg S ¹ ma wymiar Hausdorffa 1.
• Fraktale to często przestrzenie, których wymiar Hausdorffa ściśle przekracza wymiar topologiczny . Na przykład zbiór Cantora , zerowymiarowa przestrzeń topologiczna, jest połączeniem dwóch kopii samego siebie, z których każda jest zmniejszona o współczynnik 1/3; stąd można wykazać, że jego wymiar Hausdorffa wynosi ln(2)/ln(3) ≈ 0,63. Sierpiński trójkąt jest związkiem trzy kopie siebie, każda kopia zmniejszony o współczynnik 1/2; daje to wymiar Hausdorffa ln(3)/ln(2) 1,58. Te wymiary Hausdorffa są związane z „wykładnikiem krytycznym” twierdzenia Master do rozwiązywania relacji rekurencyjnych w analizie algorytmów .
• Krzywe wypełniające przestrzeń, takie jak krzywa Peano, mają ten sam wymiar Hausdorffa, co przestrzeń, którą wypełniają.
• Przypuszcza się, że trajektoria ruchu Browna w wymiarze 2 i wyższym jest wymiarem Hausdorffa 2.

Szacowanie wymiaru Hausdorffa wybrzeża Wielkiej Brytanii

• Lewis Fry Richardson przeprowadził szczegółowe eksperymenty, aby zmierzyć przybliżony wymiar Hausdorffa dla różnych linii brzegowych. Jego wyniki wahały się od 1,02 dla linii brzegowej Afryki Południowej do 1,25 dla zachodniego wybrzeża Wielkiej Brytanii .

Własności wymiaru Hausdorffa

Wymiar Hausdorffa i wymiar indukcyjny

Niech X będzie dowolną odzielną przestrzenią metryczną. Istnieje topologiczne pojęcie wymiaru indukcyjnego dla X, które jest definiowane rekurencyjnie. Jest to zawsze liczba całkowita (lub +∞) i jest oznaczana jako dim _ind ( X ).

Twierdzenie . Załóżmy, że X nie jest puste. Następnie

${\ Displaystyle \ dim _ {\ operatorname {Haus}} (X) \ geq \ dim _ {\ operatorname {ind}} (X).}$

Ponadto,

${\ Displaystyle \ inf _ {Y} \ Dim _ {\ Operator {Haus}} (Y) = \ Dim _ {\ Operator {ind}} (X)}$

gdzie Y obejmuje przestrzenie metryczne homeomorficzne do X . Innymi słowy, X i Y mają ten sam podstawowy zestaw punktów, a metryka d _Y z Y jest topologicznie równoważna d _X .

Wyniki te zostały pierwotnie ustalone przez Edwarda Szpilrajna (1907–1976), np. por. Hurewicz i Wallman, rozdział VII.

wymiar Hausdorffa i wymiar Minkowskiego

Wymiar Minkowski jest podobny, a co najmniej tak duży jak wymiar Hausdorffa, a one są równe w wielu sytuacjach. Natomiast zbiór punktów wymiernych w [0, 1] ma wymiar Hausdorffa zero i wymiar Minkowskiego jeden. Istnieją również zestawy kompaktowe, dla których wymiar Minkowskiego jest ściśle większy niż wymiar Hausdorffa.

Wymiary Hausdorffa i miary Frostman

Jeśli istnieje miara μ zdefiniowana na podzbiorach borelowskich przestrzeni metrycznej X taka, że μ ( X ) > 0 i μ ( B ( x , r )) ≤ r ^{s obowiązuje} dla pewnej stałej s > 0 i dla każdej kuli B ( x , r ) w X , a następnie dim _Haus ( X ) ≥ s . Częściowej odwrotności dostarcza lemat Frostmana .

Zachowanie w ramach związków i produktów

Jeśli jest sumą skończoną lub policzalną, to ${\ Displaystyle X = \ bigcup _ {i \ w I} X_ {i}}$

${\ Displaystyle \ dim _ {\ operatorname {Haus}} (X) = \ sup _ {i \ w I} \ dim _ {\ operatorname {Haus}} (X_ {i}).}$

Można to zweryfikować bezpośrednio z definicji.

Jeśli X i Y są niepustymi przestrzeniami metrycznymi, to wymiar Hausdorffa ich iloczynu spełnia

${\ Displaystyle \ dim _ {\ operatorname {Haus} } (X \ razy Y) \ geq \ dim _ {\ operatorname {Haus} } (X) + \ dim _ {\ operatorname {Haus} } (Y).}$

Ta nierówność może być ścisła. Można znaleźć dwa zbiory wymiaru 0, których iloczyn ma wymiar 1. W przeciwnym kierunku wiadomo, że gdy X i Y są podzbiorami borelowskimi R ⁿ , wymiar Hausdorffa X × Y jest ograniczony od góry przez Hausdorffa wymiar X plus górnej wymiar opakowanie z Y . Fakty te omawia Mattila (1995).

Zestawy samopodobne

Wiele zbiorów określonych przez warunek samopodobieństwa ma wymiary, które można jednoznacznie określić. Z grubsza, zbiór E jest samopodobny, jeśli jest punktem stałym transformacji o wartościach zbioru ψ, to znaczy ψ( E ) = E , chociaż dokładna definicja jest podana poniżej.

Twierdzenie . Przypuszczać

${\ Displaystyle \ psi _ {i}: \ mathbf {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbf {R} ^ {n} \ quad i = 1 \ ldots, m}$

są odwzorowaniami kontrakcyjnymi na R ⁿ ze stałą kontrakcji r _j < 1. Wtedy istnieje unikalny niepusty zbiór zwarty A taki, że

${\ Displaystyle A = \ bigcup _ {i = 1} ^ {m} \ psi _ {i} (A).}$

Twierdzenie Z Stefan banachowskiej jest ściągającą odwzorowywania stałego punktu twierdzenie zastosowanego do pełnego metryki przestrzeni niepusty zwartych podzbiorów R ⁿ z odległości Hausdorffa .

Stan otwartego zestawu

Aby określić wymiar zbioru samopodobnego A (w pewnych przypadkach), potrzebujemy warunku technicznego zwanego warunkiem zbioru otwartego (OSC) na ciągu skrócenia ψ _i .

Istnieje stosunkowo zwarty zestaw otwarty V taki, że

${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {m} \ psi _ {i} (V) \ subseteq V}$

gdzie zbiory w związku po lewej stronie są parami rozłączne .

Warunek zestawu otwartego to warunek separacji, który zapewnia, że ​​obrazy ψ _i ( V ) nie nakładają się „nadmiernie”.

Twierdzenie . Załóżmy, że warunek zbioru otwartego jest spełniony, a każde ψ _i jest podobieństwem, czyli złożeniem izometrii i dylatacji wokół pewnego punktu. Wtedy jednoznaczny punkt stały ψ jest zbiorem, którego wymiar Hausdorffa wynosi s, gdzie s jest rozwiązaniem jednoznacznym

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {m} r_ {i} ^ {s} = 1.}$

Współczynnik skurczu podobieństwa to wielkość dylatacji.

Możemy użyć tego twierdzenia do obliczenia wymiaru Hausdorffa trójkąta Sierpińskiego (lub czasami nazywanego uszczelką Sierpińskiego). Rozważmy trzy niewspółliniowe punkty a ₁ , a ₂ , a ₃ na płaszczyźnie R ² i niech ψ _i będzie dylatacją stosunku 1/2 wokół a _i . Unikalny niepusty stały punkt odpowiedniego odwzorowania ψ to uszczelka Sierpińskiego, a wymiar s jest unikalnym rozwiązaniem

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ po prawej) ^ {s} + \ po lewej ({\ Frac {1} {2}} \ po prawej) ^ {s} + \ po lewej ({\ frac {1}{2}}\right)^{s}=3\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}=1.}$

Biorąc logarytmy naturalne obu stron powyższego równania, możemy rozwiązać s , czyli: s = ln(3)/ln(2). Uszczelka Sierpińskiego jest samopodobna i spełnia wymagania OSC. Ogólnie zbiór E, który jest stałym punktem odwzorowania

${\ Displaystyle A \ mapsto \ psi (A) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {m} \ psi _ {i} (A)}$

jest samopodobny wtedy i tylko wtedy, gdy skrzyżowania

${\ Displaystyle H ^ {s} \ lewo (\ psi _ {i} (E) \ czapka \ psi _ {j} (E) \ prawej) = 0,}$

gdzie s jest wymiarem Hausdorffa E, a H ^s oznacza miarę Hausdorffa . Widać to wyraźnie w przypadku uszczelki Sierpińskiego (przecięcia są tylko punktami), ale jest to również bardziej ogólne:

Twierdzenie . W tych samych warunkach, co w poprzednim twierdzeniu, unikalny punkt stały ψ jest samopodobny.

Zobacz też

• Lista fraktali według wymiaru Hausdorffa Przykłady fraktali deterministycznych, fraktali losowych i naturalnych.
• Wymiar Assouada , kolejna odmiana wymiaru fraktalnego, która podobnie jak wymiar Hausdorffa jest definiowana za pomocą przekryć kulkami
• Wymiar wewnętrzny
• Wymiar pakowania
• Wymiar fraktalny

Bibliografia

Dalsza lektura

• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (12 czerwca 2003). „Wymiar Hausdorffa i aproksymacja diofantyczna”. Geometria fraktalna i zastosowania: Jubileusz Benoît Mandelbrota . Materiały Sympozjów Matematyki Czystej. 72 . s. 305-347. arXiv : matematyka/0305399 . Kod Bibcode : 2003math......5399D . doi : 10.1090/pspum/072.1/2112110 . Numer ISBN 9780821836378. S2CID  119613948 .
• Hurewicz, Witold ; Wallman, Henry (1948). Teoria wymiarów . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton.
• E. Szpilrajna (1937). „Wymiar i wymiar”. Fundamenta Mathematicae . 28 : 81–9.
• Marstrand, JM (1954). „Wymiar kartezjańskich zestawów produktów”. Proc. Filos z Cambridge. Soc . 50 (3): 198–202. Kod Bibcode : 1954PCPS...50..198M . doi : 10.1017/S0305004100029236 .
• Mattila, Perttiego (1995). Geometria zbiorów i miar w przestrzeniach euklidesowych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-65595-8.
• AS Besicowicz (1929). „Na liniowych zestawach punktów wymiarów ułamkowych”. Matematyka Annalen . 101 (1): 161-193. doi : 10.1007/BF01454831 . S2CID  125368661 .
• AS Besicowicz ; HD Ursella (1937). „Zestawy wymiarów ułamkowych”. Dziennik Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego . 12 (1): 18–25. doi : 10.1112/jlms/s1-12.45.18 .
  Kilka fragmentów tego tomu zostało przedrukowanych w Edgar, Gerald A. (1993). Klasyka na fraktalach . Boston: Addison-Wesley. Numer ISBN 0-201-58701-7. Zobacz rozdziały 9,10,11
• F. Hausdorff (marzec 1919). "Wymiary und äußeres Maß" (PDF) . Matematyka Annalen . 79 (1–2): 157–179. doi : 10.1007/BF01457179 . hdl : 10338.dmlcz/100363 . S2CID  122001234 .
• Hutchinson, John E. (1981). „Fraktale i samopodobieństwo” . Uniwersytet w Indianie Matematyka. J . 30 (5): 713-747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .
• Sokolnik, Kenneth (2003). Geometria fraktalna: podstawy matematyczne i zastosowania (2nd ed.). John Wiley i Synowie .

Zewnętrzne linki

• Wymiar Hausdorffa w Encyklopedii Matematyki
• Miara Hausdorffa w Encyklopedii Matematyki