Prawo energetyczne - Power law
W statystycznych , A prawo moc jest funkcjonalny związek między tymi dwiema wielkościami, gdzie względna zmiana w jednym wyników ilościowych w proporcjonalny względnej zmiany w innej ilości, niezależnie od pierwotnego rozmiaru tych ilości: jedna wielkość zmienia się moc drugiego. Na przykład, biorąc pod uwagę powierzchnię kwadratu pod względem długości jego boku, jeśli długość jest podwojona, powierzchnia jest mnożona przez współczynnik cztery.
Przykłady empiryczne
Rozkład różnorodnych zjawisk fizycznych, biologicznych i wytworzonych przez człowieka w przybliżeniu jest zgodny z prawem potęgowym w szerokim zakresie wielkości: obejmują one rozmiary kraterów na Księżycu i rozbłysków słonecznych , wzór żerowania różnych gatunków, wielkości wzorców aktywności populacji neuronów, częstości słów w większości języków, częstości nazw rodowych , bogactwa gatunkowego w kladach organizmów, wielkości przerw w dostawie prądu , zarzutów karnych przypadających na skazanego, erupcji wulkanicznych, ludzkich ocen intensywności bodźców i wielu inne ilości. Niewiele rozkładów empirycznych pasuje do prawa potęgowego dla wszystkich swoich wartości, ale raczej podąża za prawem potęgowym w ogonie. Tłumienie akustyczne jest zgodne z prawami mocy częstotliwości w szerokich pasmach częstotliwości dla wielu złożonych mediów. Allometryczne prawa skalowania dla relacji między zmiennymi biologicznymi należą do najlepiej znanych funkcji prawa potęgowego w przyrodzie.
Nieruchomości
Niezmienność skali
Jedną z cech praw władzy jest ich niezmienność skali . Biorąc pod uwagę relację , skalowanie argumentu przez stały czynnik powoduje tylko proporcjonalne skalowanie samej funkcji. To jest,
gdzie oznacza bezpośrednią proporcjonalność . Oznacza to, że skalowanie przez stałą po prostu mnoży pierwotną relację potęgi przez stałą . Wynika z tego, że wszystkie prawa potęgowe z określonym wykładnikiem skalowania są równoważne aż do współczynników stałych, ponieważ każde z nich jest po prostu skalowaną wersją pozostałych. To zachowanie tworzy relację liniową, gdy logarytmy są wzięte z obu i , a linia prosta na wykresie logarytmicznym jest często nazywana sygnaturą prawa potęgowego. W przypadku danych rzeczywistych taka prostolinijność jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym dla danych wynikających ze stosunku siłowo-prawnego. W rzeczywistości istnieje wiele sposobów generowania skończonych ilości danych, które naśladują to zachowanie sygnatury, ale w swoim asymptotycznym limicie nie są prawdziwymi prawami potęgowymi (np. jeśli proces generowania niektórych danych przebiega według rozkładu logarytmiczno-normalnego ). W związku z tym dokładne dopasowanie i walidacja modeli prawa potęgowego jest aktywnym obszarem badań w statystyce; patrz poniżej.
Brak dobrze określonej średniej wartości
Moc-prawo ma dobrze zdefiniowane średnią powyżej tylko wtedy , i ma skończoną wariancję tylko jeśli ; większość zidentyfikowanych praw mocy w przyrodzie ma takie wykładniki, że średnia jest dobrze zdefiniowana, ale wariancja nie, co sugeruje, że są one zdolne do zachowania czarnego łabędzia . Widać to w następującym eksperymencie myślowym: wyobraź sobie pokój ze znajomymi i oszacuj średni miesięczny dochód w pokoju. Teraz wyobraź sobie najbogatszą osobę na świecie wchodzącą do pokoju, z miesięcznym dochodem w wysokości około 1 miliarda dolarów. Co dzieje się ze średnim dochodem w pokoju? Dochód jest dzielony zgodnie z prawem potęgowym znanym jako rozkład Pareto (na przykład majątek netto Amerykanów jest dzielony zgodnie z prawem potęgowym z wykładnikiem 2).
Z jednej strony uniemożliwia to stosowanie tradycyjnych statystyk opartych na wariancji i odchyleniu standardowym (takich jak analiza regresji ). Z drugiej strony pozwala to również na opłacalne interwencje. Na przykład, biorąc pod uwagę, że spaliny samochodowe są rozprowadzane między samochodami zgodnie z prawem energetycznym (bardzo niewiele samochodów przyczynia się do największego zanieczyszczenia), wystarczyłoby wyeliminować te bardzo nieliczne samochody z dróg, aby znacznie zmniejszyć całkowitą ilość spalin.
Mediana jednak istnieje: dla prawa potęgowego x – k , z wykładnikiem , przyjmuje wartość 2 1/( k – 1) x min , gdzie x min jest minimalną wartością, dla której obowiązuje prawo potęgowe.
Uniwersalność
Równoważność praw potęgowych z określonym wykładnikiem skalowania może mieć głębsze źródło w dynamicznych procesach, które generują relację potęga-prawo. W fizyce, na przykład, przejścia fazowe w układach termodynamicznych są związane z pojawieniem się rozkładów potęgowych pewnych wielkości, których wykładniki nazywane są wykładnikami krytycznymi układu. Za pomocą teorii grup renormalizacji można wykazać, że różne systemy z tymi samymi wykładnikami krytycznymi — to znaczy wykazujące identyczne zachowanie skalowania w miarę zbliżania się do krytyczności — mają tę samą fundamentalną dynamikę. Na przykład zachowanie wody i CO 2 w ich temperaturach wrzenia należy do tej samej klasy uniwersalności, ponieważ mają identyczne wykładniki krytyczne. W rzeczywistości prawie wszystkie materialne przejścia fazowe są opisane przez mały zestaw klas uniwersalności. Podobne obserwacje poczyniono, choć nie tak wyczerpująco, dla różnych samoorganizujących się systemów krytycznych , gdzie krytycznym punktem systemu jest atraktor . Formalnie ten podział dynamiki jest określany jako uniwersalność , a systemy z dokładnie tymi samymi wykładnikami krytycznymi należą do tej samej klasy uniwersalności .
Funkcje prawa mocy
Zainteresowanie naukowe stosunkami władzy i prawa wynika po części z łatwości, z jaką pewne ogólne klasy mechanizmów je generują. Wykazanie związku władzy i prawa w niektórych danych może wskazywać na specyficzne rodzaje mechanizmów, które mogą leżeć u podstaw omawianego zjawiska naturalnego i może wskazywać na głęboki związek z innymi, pozornie niepowiązanymi systemami; patrz także uniwersalność powyżej. Wszechobecność relacji potęga-prawo w fizyce jest częściowo spowodowana ograniczeniami wymiarowymi , podczas gdy w złożonych systemach prawa potęgowe są często uważane za sygnatury hierarchii lub określonych procesów stochastycznych . Kilka godnych uwagi przykładów praw potęgowych to prawo podziału dochodu Pareto , strukturalne samopodobieństwo fraktali oraz prawa skalowania w systemach biologicznych . Badania nad pochodzeniem relacji władza-prawo oraz próby ich obserwacji i potwierdzania w realnym świecie są aktywnym tematem badań w wielu dziedzinach nauki, m.in. w fizyce , informatyce , językoznawstwie , geofizyce , neuronauce , systematyce , socjologii , ekonomia i nie tylko.
Jednak większość niedawnego zainteresowania prawami potęgowymi pochodzi z badania rozkładów prawdopodobieństwa : rozkłady wielu różnych wielkości wydają się podążać za formą prawa potęgowego, przynajmniej w ich górnym ogonie (duże zdarzenia). Zachowanie tych dużych zdarzeń łączy te wielkości z badaniem teorii dużych odchyleń (zwanej również teorią wartości ekstremalnych ), która uwzględnia częstotliwość niezwykle rzadkich zdarzeń, takich jak krachy giełdowe i duże klęski żywiołowe . To przede wszystkim w badaniu rozkładów statystycznych używa się nazwy „prawo potęgowe”.
W kontekstach empirycznych, przybliżenie do prawa potęgowego często zawiera składnik odchylenia , który może reprezentować niepewność obserwowanych wartości (być może błędy pomiaru lub próbkowania) lub zapewnia prosty sposób odchylenia obserwacji od funkcji prawa potęgowego (być może powody stochastyczne ):
Matematycznie ścisłe prawo moc nie może być rozkład prawdopodobieństwa, ale dystrybucja jest to okrojona funkcja moc jest możliwa: za gdzie wykładnik (grecką literą alfa , którego nie należy mylić z współczynnik skalowania stosowany powyżej) jest większa niż 1 (inaczej ogon ma nieskończoną powierzchnię), wymagana jest wartość minimalna , w przeciwnym razie rozkład ma nieskończoną powierzchnię, gdy x zbliża się do 0, a stała C jest współczynnikiem skalującym zapewniającym, że całkowita powierzchnia wynosi 1, zgodnie z wymaganiami rozkładu prawdopodobieństwa. Częściej używa się asymptotycznego prawa potęgowego – takiego, które jest prawdziwe tylko w granicach; zobacz rozkłady prawdopodobieństwa prawa potęgowego poniżej, aby uzyskać szczegółowe informacje. Zazwyczaj wykładnik mieści się w zakresie , choć nie zawsze.
Przykłady
W fizyce (np. lawiny piaskowe), biologii (np. wymieranie gatunków i masa ciała) oraz naukach społecznych (np. wielkość miast i dochód) zidentyfikowano ponad sto rozkładów potęgowych. Wśród nich są:
Astronomia
- Trzecie prawo Keplera
- Początkowa funkcja masa gwiazd
- Różnicowe widmo energii jąder promieniowania kosmicznego
- Stosunek M Sigma
Kryminologia
- liczba zarzutów na przestępcę kryminalnego
Fizyka
- Angstremów Wykładnik w aerozolu optyka
- Zależność tłumienia akustycznego w złożonych mediach od częstotliwości
- Prawo Stefana–Boltzmanna
- Krzywe wejściowe-napięcie-wyjściowe-prądowe tranzystorów polowych i lamp próżniowych przybliżają zależność kwadratową , czynnik w „ dźwięku lampowym ”.
- Prawo sześcianu kwadratowego (stosunek powierzchni do objętości)
- Prawo 3/2 mocy można znaleźć w tablicy charakterystyk z triody .
- W odwrotnych kwadratów ustawy z newtonowskiej grawitacji i elektrostatyki , o czym świadczy potencjał grawitacyjny i potencjał elektrostatyczny , odpowiednio.
- Samoorganizująca się krytyczność z punktem krytycznym jako atraktorem
- Model siły van der Waalsa
- Siła i potencjał w prostym ruchu harmonicznym
- Korekcja gamma związana z natężeniem światła z napięciem
- Zachowanie w pobliżu przejść fazowych drugiego rzędu z udziałem wykładników krytycznych
- Safe Operating Area odnoszące się do maksymalnej równoczesnego prądu i napięcia w półprzewodników mocy.
- Nadkrytyczny stan materii i płyny nadkrytyczne , takie jak nadkrytyczne wykładniki pojemności cieplnej i lepkości .
- Prawo Curie-von Schweidlera w odpowiedziach dielektrycznych na wejście napięcia stałego.
- Zależność siły tłumienia od prędkości w rachunku tłumików antysejsmicznych
- Pofałdowane wystawione na działanie rozpuszczalnika obszary wyśrodkowanych aminokwasów w segmentach struktury białka
Psychologia
- Potęgowe prawo psychofizyki Stevensa ( zakwestionowane demonstracjami, że może być logarytmiczne)
- Prawo mocy zapominania
Biologia
- Prawo Kleibera odnoszące metabolizm zwierząt do wielkości i ogólnie prawa allometryczne
- Dwie trzecie prawo moc, dotyczące prędkości do krzywizny w ludzkim układzie silnika .
- Prawo Taylora dotyczące średniej wielkości populacji i wariancji wielkości populacji w ekologii
- Lawiny neuronalne
- Bogactwo gatunkowe (liczba gatunków) w kladach ryb słodkowodnych
- Efekt Harlowa Knappa, w którym podzbiór kinaz znajdujących się w ludzkim ciele stanowi większość opublikowanych badań
- Wielkość połaci lasów na całym świecie jest zgodna z prawem energetycznym
Meteorologia
- Wielkość ogniw z deszczownicą, rozpraszanie energii w cyklonach i średnice diabłów pyłowych na Ziemi i Marsie
Nauka ogólna
- Wykładniczy wzrost i losowa obserwacja (lub zabijanie)
- Postęp poprzez wykładniczy wzrost i wykładniczą dyfuzję innowacji
- Wysoce zoptymalizowana tolerancja
- Proponowana forma efektów krzywej doświadczenia
- Różowy szum
- Prawo liczb cieków i prawo długości cieków ( prawa Hortona opisujące systemy rzeczne)
- Populacje miast ( prawo Gibrata )
- Bibliogramy i częstotliwości słów w tekście ( Prawo Zipfa )
- Zasada 90-9-1 na wiki (zwana również zasadą 1% )
- Prawo Richardsona dotyczące nasilenia konfliktów zbrojnych (wojny i terroryzm)
- Związek między rozmiarem pamięci podręcznej procesora a liczbą braków pamięci podręcznej jest zgodny z prawem mocy braków pamięci podręcznej .
- Gęstość widmowa macierzy wag głębokich sieci neuronowych
Matematyka
- Fraktale
- Rozkład Pareto i zasada Pareto zwana także „regułą 80-20”
- Prawo Zipfa w analizie korpusowej i rozkładach populacji, między innymi, gdzie częstość elementu lub zdarzenia jest odwrotnie proporcjonalna do jego rangi częstotliwości (tj. druga najczęstsza pozycja/zdarzenie występuje o połowę rzadziej niż najczęstsza pozycja, trzecia najczęstsza pozycja/ zdarzenie występuje o jedną trzecią częściej niż najczęściej i tak dalej).
- Dystrybucja Zeta (dyskretna)
- Rozkład Yule-Simon (dyskretny)
- Rozkład t-Studenta (ciągły), którego szczególnym przypadkiem jest rozkład Cauchy'ego
- Prawo Lotki
- Sieć bezskalowa modelu
Ekonomia
- Wielkość populacji miast w regionie lub sieci miejskiej, prawo Zipfa .
- Rozkład artystów według średniej ceny ich dzieł.
- Podział dochodów w gospodarce rynkowej.
- Dystrybucja stopni w sieciach bankowych.
Finanse
- Średnia bezwzględna zmiana logarytmicznych cen średnich
- Liczba kleszczy w czasie
- Wielkość maksymalnego ruchu ceny
- Średni czas oczekiwania na zmianę kierunku
- Średni czas oczekiwania na przekroczenie
Warianty
Złamane prawo energetyczne
Złamane prawo potęgowe to funkcja odcinkowa , składająca się z dwóch lub więcej praw potęgowych, połączona z progiem. Na przykład z dwoma prawami władzy:
- dla
- .
Prawo energetyczne z wykładniczym odcięciem
Prawo potęgowe z odcięciem wykładniczym to po prostu prawo potęgowe pomnożone przez funkcję wykładniczą:
Zakrzywione prawo mocy
Prawo potęgowe rozkłady prawdopodobieństwa
W luźniejszym sensie rozkład prawdopodobieństwa prawa potęgowego jest rozkładem, którego funkcja gęstości (lub funkcja masy w przypadku dyskretnym) ma postać, dla dużych wartości ,
gdzie , i jest funkcją wolno zmieniającą się , która jest dowolną funkcją spełniającą dowolny pozytywny czynnik . Ta własność wynika bezpośrednio z wymagania bycia asymptotycznie niezmiennikiem skali; w ten sposób forma kontroluje tylko kształt i skończony zasięg dolnego ogona. Na przykład, jeśli jest funkcją stałą, to mamy prawo potęgowe, które obowiązuje dla wszystkich wartości . W wielu przypadkach wygodnie jest przyjąć dolną granicę, od której obowiązuje prawo. Łącząc te dwa przypadki i gdzie jest zmienną ciągłą, prawo potęgowe ma postać rozkładu Pareto
gdzie pre-czynnik to jest stałą normalizującą . Możemy teraz rozważyć kilka właściwości tej dystrybucji. Na przykład jego momenty są podane przez
co jest dobrze zdefiniowane tylko dla . Oznacza to, że wszystkie momenty się rozchodzą: kiedy , średni i wszystkie momenty wyższego rzędu są nieskończone; gdy , średnia istnieje, ale wariancja i momenty wyższego rzędu są nieskończone itd. W przypadku próbek o skończonych rozmiarach pobranych z takiego rozkładu zachowanie to implikuje, że centralne estymatory momentów (takie jak średnia i wariancja) dla momentów rozbieżnych nigdy nie będą są zbieżne – w miarę gromadzenia większej ilości danych stale rosną. Te rozkłady prawdopodobieństwa potęgowego są również nazywane rozkładami typu Pareto , rozkładami z ogonami Pareto lub rozkładami z regularnie zmieniającymi się ogonami.
Modyfikacja, która nie spełnia powyższej ogólnej formy, z wykładniczym odcięciem, to
W tym rozkładzie, wykładniczy rozkład rozkładu ostatecznie przytłacza zachowanie prawa potęgowego przy bardzo dużych wartościach . Ten rozkład nie skaluje się, a zatem nie jest asymptotycznie jak prawo potęgowe; jednak w przybliżeniu skaluje się w skończonym regionie przed odcięciem. Powyższa czysta forma jest podzbiorem tej rodziny z . Rozkład ten jest powszechną alternatywą dla asymptotycznego rozkładu potęgowego, ponieważ w naturalny sposób wychwytuje efekty skończonych rozmiarów.
Te dystrybucje Tweedie rodzina składa się z modeli statystycznych charakteryzuje zamknięcia pod dodatków i reprodukcyjnego splotu, jak również w ramach transformacji skalę. W konsekwencji wszystkie te modele wyrażają zależność potęgowo-prawną między wariancją a średnią. Modele te pełnią fundamentalną rolę jako ogniska zbieżności matematycznej, podobnie jak rozkład normalny w centralnym twierdzeniu granicznym . Ten efekt zbieżności wyjaśnia, dlaczego prawo potęgowe wariancji do średniej przejawia się tak szeroko w procesach naturalnych, jak w przypadku prawa Taylora w ekologii i skalowania fluktuacji w fizyce. Można również wykazać, że to prawo wariancji do potęgi średniej, gdy jest demonstrowane metodą rozszerzania bin , implikuje obecność szumu 1/ f i że szum 1/ f może powstać jako konsekwencja tego efektu zbieżności Tweedie .
Graficzne metody identyfikacji
Chociaż zaproponowano bardziej wyrafinowane i solidne metody, najczęściej stosowanymi graficznymi metodami identyfikacji rozkładów prawdopodobieństwa prawa potęgowego przy użyciu losowych próbek są wykresy kwantylowo-kwantylowe Pareto (lub wykresy Pareto Q-Q ), wykresy średniego czasu życia i wykresy log-log . Inna, bardziej niezawodna metoda graficzna wykorzystuje wiązki resztkowych funkcji kwantylowych. (Proszę pamiętać, że rozkłady potęgowe są również nazywane rozkładami typu Pareto.) Zakłada się tutaj, że losowa próba jest uzyskiwana z rozkładu prawdopodobieństwa i chcemy wiedzieć, czy ogon rozkładu jest zgodny z prawem potęgowym (innymi słowy, chcemy wiedzieć, czy dystrybucja ma „ogon Pareto”). Tutaj próbka losowa nazywana jest „danymi”.
Wykresy Pareto Q-Q porównują kwantyle danych przekształconych logarytmicznie z odpowiednimi kwantylami rozkładu wykładniczego ze średnią 1 (lub z kwantylami standardowego rozkładu Pareto), wykreślając pierwszy w porównaniu z drugim. Jeżeli wynikowy wykres rozrzutu sugeruje, że wykreślone punkty „asymptotycznie zbiegają się” do linii prostej, należy podejrzewać rozkład potęgowy. Ograniczeniem wykresów Pareto Q–Q jest to, że zachowują się one źle, gdy indeks ogona (zwany również indeksem Pareto) jest bliski 0, ponieważ wykresy Pareto Q–Q nie są zaprojektowane do identyfikacji rozkładów z wolno zmieniającymi się ogonami.
Z drugiej strony, w wersji służącej do identyfikacji rozkładów prawdopodobieństwa prawa potęgowego, średni wykres resztkowego życia składa się najpierw z przekształcenia logarytmicznego danych, a następnie wykreślenia średniej z tych przekształconych logarytmicznie danych, które są wyższe niż i- ty rząd Statystyki wobec ı -tym statystyki aby na i = 1, ..., n , gdzie n oznacza wielkość próbki losowej. Jeśli wynikowy wykres rozrzutu sugeruje, że wykreślone punkty mają tendencję do „stabilizacji” wokół poziomej linii prostej, należy podejrzewać rozkład potęgowy. Ponieważ wykres średniego życia resztkowego jest bardzo wrażliwy na wartości odstające (nie jest odporny), zwykle tworzy wykresy trudne do interpretacji; z tego powodu takie fabuły są zwykle nazywane fabułami Hill horror
Wykresy log-log są alternatywnym sposobem graficznego badania ogona rozkładu przy użyciu próby losowej. Należy jednak zachować ostrożność, ponieważ wykres logarytmiczny jest konieczny, ale niewystarczający dowód na istnienie zależności potęgowej, ponieważ wiele rozkładów innych niż potęgowe pojawi się jako linie proste na wykresie logarytmicznym. Ta metoda polega na wykreśleniu logarytmu estymatora prawdopodobieństwa wystąpienia określonej liczby rozkładu w porównaniu z logarytmem tej konkretnej liczby. Zwykle ten estymator to odsetek występowania liczby w zestawie danych. Jeśli punkty na wykresie mają tendencję do „zbiegania się” do linii prostej dla dużych liczb na osi x, to badacz dochodzi do wniosku, że rozkład ma ogon potęgowy. Opublikowano przykłady zastosowania tego typu działek. Wadą tych wykresów jest to, że dla uzyskania wiarygodnych wyników wymagają ogromnych ilości danych. Ponadto są one odpowiednie tylko dla danych dyskretnych (lub zgrupowanych).
Zaproponowano inną graficzną metodę identyfikacji rozkładów prawdopodobieństwa potęgowego z wykorzystaniem próbek losowych. Ta metodologia polega na wykreśleniu wiązki dla próbki przekształconej logarytmicznie . Pierwotnie zaproponowana jako narzędzie do badania istnienia momentów i funkcji generowania momentu przy użyciu losowych próbek, metodologia wiązek opiera się na resztkowych funkcjach kwantylowych (RQF), zwanych również funkcjami centylowymi rezydualnych, które zapewniają pełną charakterystykę zachowania ogona wielu dobrze znane rozkłady prawdopodobieństwa, w tym rozkłady prawa potęgowego, rozkłady z innymi typami ciężkich ogonów, a nawet rozkłady nieheavy tailed. Wykresy pakietowe nie mają wad wymienionych powyżej wykresów Pareto Q–Q, średniego życia resztkowego i wykresów log-log (są odporne na wartości odstające, pozwalają na wizualną identyfikację praw mocy o małych wartościach i nie wymagają zebrania wielu dane). Ponadto inne rodzaje zachowania ogona można zidentyfikować za pomocą wykresów wiązki.
Wykreślanie rozkładów prawa potęgowego
Ogólnie, rozkłady potęgowe są wykreślane na podwójnie logarytmicznych osiach , co podkreśla górny obszar ogona. Najwygodniejszym sposobem wykonania tego jest (komplementarny) rozkład skumulowany (ccdf), czyli funkcja przeżycia , ,
Cdf jest również funkcją potęgową, ale z mniejszym wykładnikiem skalowania. W przypadku danych równoważną formą cdf jest podejście rang-częstotliwość, w którym najpierw sortujemy obserwowane wartości w porządku rosnącym i wykreślamy je względem wektora .
Chociaż może być wygodne logowanie danych lub w inny sposób bezpośrednio wygładzić funkcję gęstości prawdopodobieństwa (masy), metody te wprowadzają niejawne obciążenie w reprezentacji danych, a zatem należy ich unikać. Z drugiej strony funkcja przeżycia jest bardziej odporna (ale nie bez) na takie błędy systematyczne w danych i zachowuje sygnaturę liniową na osiach podwójnie logarytmicznych. Chociaż reprezentacja funkcji przeżycia jest faworyzowana w porównaniu z pdf przy dopasowywaniu prawa potęgowego do danych za pomocą liniowej metody najmniejszych kwadratów, nie jest ona pozbawiona matematycznej niedokładności. Dlatego podczas estymacji wykładników rozkładu prawa potęgowego zalecany jest estymator największej wiarogodności.
Szacowanie wykładnika z danych empirycznych
Istnieje wiele sposobów oszacowania wartości wykładnika skalowania dla ogona prawa potęgowego, jednak nie wszystkie z nich dają obiektywne i spójne odpowiedzi . Niektóre z najbardziej niezawodnych technik są często oparte na metodzie maksymalnego prawdopodobieństwa . Alternatywne metody często opierają się na regresji liniowej na podstawie logarytmicznego prawdopodobieństwa, funkcji skumulowanego rozkładu logarytmiczno-logarytmicznego lub danych łączonych logarytmicznie, ale takich podejść należy unikać, ponieważ wszystkie mogą prowadzić do wysoce obciążonych szacunków wykładnik skalowania.
Maksymalne prawdopodobieństwo
Dla danych o wartości rzeczywistej, niezależnych i identycznie rozłożonych , dopasowujemy rozkład potęgowy postaci
do danych , gdzie uwzględniono współczynnik , aby zapewnić normalizację rozkładu . Mając wybór dla , logarytmiczna funkcja prawdopodobieństwa staje się:
Maksimum tego prawdopodobieństwa znajduje się przez różniczkowanie względem parametru , ustawiając wynik równy zero. Po przegrupowaniu daje to równanie estymatora:
gdzie są punkty danych . Ten estymator wykazuje małe obciążenie rzędu skończonej wielkości próbki , które jest małe, gdy n > 100. Ponadto błąd standardowy oszacowania wynosi . Ten estymator jest odpowiednikiem popularnego estymatora Hilla z finansów ilościowych i teorii wartości ekstremalnych .
Dla zbioru n punktów danych o wartościach całkowitych , ponownie gdzie każdy , wykładnik największego prawdopodobieństwa jest rozwiązaniem równania transcendentalnego
gdzie jest niepełna funkcja zeta . Niepewność w tym oszacowaniu jest zgodna z tym samym wzorem, co w przypadku równania ciągłego. Jednak oba równania dla nie są równoważne, a wersji ciągłej nie należy stosować do danych dyskretnych ani odwrotnie.
Ponadto oba te estymatory wymagają wyboru . W przypadku funkcji z funkcją nietrywialną , wybranie zbyt małej powoduje znaczne odchylenie w , natomiast wybranie jej zbyt dużej zwiększa niepewność w i zmniejsza moc statystyczną naszego modelu. Ogólnie rzecz biorąc, najlepszy wybór zależy w dużej mierze od szczególnej formy dolnego ogona, reprezentowanej powyżej.
Więcej o tych metodach i warunkach, w jakich można je stosować, można znaleźć w . Co więcej, ten obszerny artykuł przeglądowy zawiera użyteczny kod (Matlab, Python, R i C++) do szacowania i testowania procedur dla dystrybucji prawa mocy.
Szacunek Kołmogorowa-Smirnowa
Inna metoda estymacji wykładnika potęgowego, który nie zakłada niezależne i identycznie rozmieszczone (IID) dane, wykorzystuje minimalizację statystyki Kołmogorowa-Smirnowa , między skumulowanych funkcji dystrybucji danych oraz prawa energetycznego:
z
gdzie i oznaczają odpowiednio cdfs danych i prawo potęgowe z wykładnikiem . Ponieważ metoda ta nie zakłada danych iid, zapewnia alternatywny sposób określenia wykładnika potęgi dla zbiorów danych, w których nie można zignorować korelacji czasowej.
Dwupunktowa metoda dopasowania
Kryterium to można zastosować do estymacji wykładnika potęgi w przypadku rozkładów bez skali i zapewnia bardziej zbieżne oszacowanie niż metoda największej wiarygodności. Został on wykorzystany do badania rozkładów prawdopodobieństwa szczelin szczelinowych. W niektórych kontekstach rozkład prawdopodobieństwa jest opisany, a nie przez funkcję rozkładu skumulowanego , przez skumulowaną częstotliwość właściwości X , zdefiniowaną jako liczba elementów na metr (lub jednostka powierzchni, sekunda itd.), dla której stosuje się X > x , gdzie x jest zmienną liczbą rzeczywistą. Jako przykład, skumulowany rozkład szczeliny X szczeliny dla próbki N pierwiastków jest zdefiniowany jako „liczba szczelin na metr o szczelinie większej niż x . Wykorzystanie częstotliwości skumulowanej ma pewne zalety, np. pozwala na umieszczenie na tym samym wykresie danych zebranych z linii próbnych o różnej długości w różnych skalach (np. z odkrywki iz mikroskopu).
Zatwierdzanie praw mocy
Chociaż stosunki władzy i prawa są atrakcyjne z wielu powodów teoretycznych, wykazanie, że dane rzeczywiście są zgodne ze stosunkiem władzy, wymaga czegoś więcej niż tylko dopasowania konkretnego modelu do danych. Jest to ważne dla zrozumienia mechanizmu, który powoduje rozkład: pozornie podobne rozkłady mogą powstać z zupełnie różnych powodów, a różne modele dają różne przewidywania, takie jak ekstrapolacja.
Na przykład, rozkłady logarytmiczno-normalne są często mylone z rozkładami potęgowymi: zbiór danych wyciągnięty z rozkładu logarytmiczno -normalnego będzie w przybliżeniu liniowy dla dużych wartości (odpowiada to, że górny ogon logarytmicznej normalności jest zbliżony do prawa potęgowego), ale dla małe wartości lognormalna znacznie się zmniejszy (pochylenie w dół), co odpowiada małemu dolnemu ogonowi logarytmiczno-normalnej (jest bardzo niewiele małych wartości, a nie wiele małych wartości w prawie potęgowym).
Na przykład prawo Gibrata o procesach wzrostu proporcjonalnego daje rozkłady, które są lognormalne, chociaż ich wykresy logarytmiczne wyglądają na liniowe w ograniczonym zakresie. Wyjaśnieniem tego jest to, że chociaż logarytm funkcji gęstości logarytmicznej jest kwadratowy w log( x ) , co daje „wygięty” kształt na wykresie logarytmicznym, jeśli składnik kwadratowy jest mały w stosunku do składnika liniowego, to wynik może wydają się prawie liniowe, a zachowanie logarytmiczne jest widoczne tylko wtedy, gdy dominuje wyraz kwadratowy, co może wymagać znacznie większej ilości danych. Dlatego wykres logarytmiczny, który jest nieco „pochylony” w dół, może odzwierciedlać rozkład logarytmiczno-normalny, a nie prawo potęgowe.
Ogólnie rzecz biorąc, wiele alternatywnych form funkcjonalnych może wydawać się do pewnego stopnia zgodnych z formą prawa potęgowego. Stumpf i Porter (2012) zaproponowali wykreślenie empirycznej funkcji rozkładu skumulowanego w domenie log-log i stwierdzili, że kandydujące prawo potęgowe powinno obejmować co najmniej dwa rzędy wielkości. Ponadto badacze zwykle muszą zmierzyć się z problemem ustalenia, czy rozkład prawdopodobieństwa w świecie rzeczywistym jest zgodny z prawem potęgowym. Jako rozwiązanie tego problemu, Diaz zaproponował metodologię graficzną opartą na losowych próbkach, która umożliwia wizualne rozróżnienie różnych typów zachowania ogona. Metodologia ta wykorzystuje wiązki resztkowych funkcji kwantylowych, zwanych również centylowymi funkcjami życia rezydualnego, które charakteryzują wiele różnych typów ogonów rozkładu, w tym zarówno ogony ciężkie, jak i nie-ciężkie. Jednak Stumpf i Porter (2012) stwierdzili, że potrzebne jest zarówno przygotowanie statystyczne, jak i teoretyczne, aby wesprzeć prawo potęgowe w mechanizmie leżącym u podstaw procesu generowania danych.
Jedna metoda walidacji relacji prawa potęgowego testuje wiele ortogonalnych przewidywań konkretnego mechanizmu generatywnego w odniesieniu do danych. Proste dopasowanie relacji prawomocnej do określonego rodzaju danych nie jest uważane za podejście racjonalne. W związku z tym potwierdzanie twierdzeń dotyczących prawa mocy pozostaje bardzo aktywnym polem badań w wielu dziedzinach współczesnej nauki.
Zobacz też
- Tłumienie akustyczne
- Allometria
- Dystrybucja gruboogonowa
- Osobliwość w czasie skończonym
- Rachunek ułamkowy
- Dynamika ułamkowa
- Dystrybucje z ciężkim ogonem
- Wzrost hiperboliczny
- Lot Lévy'ego
- Długi ogon
- Dystrybucja Pareto
- Płyn prawa mocy
- Szymon modelka
- Stabilna dystrybucja
- Prawo potęgowe Stevensa
- Koncentracja bogactwa
- Wykres internetowy
Bibliografia
Uwagi
Bibliografia
- Albert, JS; Reis, RE, wyd. (2011). Biogeografia historyczna neotropikalnych ryb słodkowodnych . Berkeley: Wydawnictwo Uniwersytetu Kalifornijskiego.
- Bak, Per (1997). Jak działa natura . Oxford University Press. Numer ISBN 0-19-850164-1.
- Buchanan, Marka (2000). Wszechobecność . Weidenfeld i Nicolson. Numer ISBN 0-297-64376-2.
- Klauzula A.; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). „Rozkłady Power-Law w danych empirycznych”. Przegląd SIAM . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Kod bib : 2009SIAMR..51..661C . doi : 10.1137/070710111 . S2CID 9155618 .
- Laherrère, J.; Sornette, D. (1998). „Rozciągnięte rozkłady wykładnicze w przyrodzie i gospodarce: „grube ogony” z charakterystycznymi łuskami”. Europejski Dziennik Fizyczny B . 2 (4): 525–539. arXiv : cond-mat/9801293 . Kod Bibcode : 1998EPJB....2..525L . doi : 10.1007/s100510050276 . S2CID 119467988 .
- Mitzenmacher, M. (2004). „Krótka historia modeli generatywnych dla prawa energetycznego i rozkładów lognormalnych” (PDF) . Matematyka internetowa . 1 (2): 226–251. doi : 10.1080/15427951.2004.10129088 . S2CID 1671059 .
- Saiczew, Aleksander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009). Teoria prawa Zipfa i nie tylko . Notatki z wykładów z ekonomii i systemów matematycznych. 632 . Skoczek. Numer ISBN 978-3-642-02945-5.
- Szymona, HA (1955). „Na klasie funkcji dystrybucji skośnej”. Biometria . 42 (3/4): 425–440. doi : 10.2307/2333389 . JSTOR 2333389 .
- Sornette, Didier (2006). Zjawiska krytyczne w naukach przyrodniczych: chaos, fraktale, samoorganizacja i nieporządek: pojęcia i narzędzia . Springer Series w Synergetics (wyd. 2). Heidelberg: Springer. Numer ISBN 978-3-540-30882-9.
- Stumpf, MPH; mgr Porter (2012). „Krytyczne prawdy o prawach energetycznych”. Nauka . 335 (6069): 665-666. Kod Bibcode : 2012Sci...335..665S . doi : 10.1126/science.1216142 . PMID 22323807 . S2CID 206538568 .
Zewnętrzne linki
- Zipf, Power-laws i Pareto – samouczek rankingowy
- Morfometria strumieni i prawa Hortona
- „Jak guru finansów kierują się wszelkim ryzykiem” autorstwa Benoita Mandelbrota i Nassima Nicholasa Taleba. Fortuna , 11 lipca 2005 r.
- „Murray za milion dolarów” : podział prawa siłowego w bezdomności i innych problemach społecznych; przez Malcolma Gladwella . The New Yorker , 13 lutego 2006.
- Benoit Mandelbrot i Richard Hudson: Niewłaściwe zachowanie rynków (2004)
- Philip Ball: Masa krytyczna: jak jedna rzecz prowadzi do drugiej (2005)
- Tyrania prawa energetycznego z The Econophysics Blog
- Więc myślisz, że masz prawo mocy – cóż, czy to nie jest wyjątkowe? z Three-Toed Sloth , blogu Cosmy Shalizi , profesor statystyki na Uniwersytecie Carnegie-Mellon.
- Prosty skrypt MATLAB, który grupuje dane w celu zilustrowania rozkładów mocy (jeśli istnieją) w danych.
- Serwer Webgraph firmy Erd's wizualizuje rozkład stopni wykresu internetowego na stronie pobierania .