Krzywa tautochrony - Tautochrone curve

Cztery kule ślizgają się po krzywej cykloidalnej z różnych pozycji, ale docierają na dno w tym samym czasie. Niebieskie strzałki pokazują przyspieszenie punktów wzdłuż krzywej. Na górze znajduje się wykres czasu i położenia.

Obiekty reprezentujące krzywą tautoochrony

Tautochrone lub Isochrone krzywa (od greckiego prefiksów tauto- oznacza takie same lub izo równe i stopera czas ) jest krzywą dla których czas potrzebny przedmiotu bez tarcia ślizgowego jednolita ciężkości do najniższego punktu jest niezależna od jego punktu startu krzywa. Krzywa jest cykloidą , a czas jest równy π razy pierwiastek kwadratowy promienia (okręgu, który generuje cykloidę) przez przyspieszenie ziemskie. Krzywa tautochrony jest powiązana z krzywą brachistochrony , która również jest cykloidą .

Problem tautochrony

Christiaan Huygens , Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum , 1673

Problem tautochrony, próba zidentyfikowania tej krzywej, został rozwiązany przez Christiaana Huygensa w 1659 roku. W swoim Horologium Oscillatorium , pierwotnie opublikowanym w 1673 roku, udowodnił geometrycznie , że krzywa była cykloidą .

Na cykloidzie, której oś jest wzniesiona na pionie, a wierzchołek znajduje się na dole, czasy opadania, w których ciało dociera do najniższego punktu wierzchołka po odejściu od dowolnego punktu cykloidy, są równe każdemu inny ...

Huygens udowodnił również, że czas opadania jest równy czasowi, w którym ciało spada pionowo na tę samą odległość, co średnica koła generującego cykloidę pomnożona przez . Współcześnie oznacza to, że czas opadania to , gdzie jest promień okręgu generującego cykloidę i jest grawitacją Ziemi , a dokładniej przyspieszeniem grawitacyjnym Ziemi. ${\ Displaystyle \ pi /2}$${\displaystyle \pi {\sqrt {r/g}}}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle g}$

Pięć izochronicznych wahadeł cykloidalnych o różnych amplitudach

To rozwiązanie zostało później wykorzystane do rozwiązania problemu krzywej brachistochrony . Johann Bernoulli rozwiązał ten problem w artykule ( Acta Eruditorum , 1697).

Schemat wahadła cykloidalnego

Problem tautochrony został dokładniej zbadany przez Huygensa, kiedy zdano sobie sprawę, że wahadło, które porusza się po torze kołowym, nie jest izochroniczne, a zatem jego zegar wahadłowy będzie trzymał inny czas w zależności od tego, jak daleko odchyliło się wahadło. Po określeniu prawidłowej ścieżki, Christiaan Huygens spróbował stworzyć zegary wahadłowe, które używały sznurka do zawieszenia boków i krawężników w pobliżu górnej części sznurka, aby zmienić ścieżkę do krzywej tautochrony. Próby te okazały się nieskuteczne z wielu powodów. Po pierwsze, zginanie struny powoduje tarcie, zmieniając rozrząd. Po drugie, istniały znacznie bardziej znaczące źródła błędów synchronizacji, które przytłaczały wszelkie teoretyczne ulepszenia, które pomaga podróżować po krzywej tautochrony. Wreszcie „błąd kołowy” wahadła zmniejsza się wraz ze spadkiem długości wahania, więc lepsze wymykanie zegara może znacznie zmniejszyć to źródło niedokładności.

Później matematycy Joseph Louis Lagrange i Leonhard Euler przedstawili analityczne rozwiązanie problemu.

Rozwiązanie Lagrange'a

Jeżeli pozycja cząstki jest sparametryzowana przez długość łuku s ( t ) od najniższego punktu, energia kinetyczna jest proporcjonalna do Energia potencjalna jest proporcjonalna do wysokości y ( s ) . Jednym ze sposobów, w jaki krzywa może być izochroną, jest to, że Lagrange'a jest prostym oscylatorem harmonicznym : wysokość krzywej musi być proporcjonalna do kwadratu długości łuku. ${\ Displaystyle {\ kropka {s}} ^ {2}.}$

${\ Displaystyle y (s) = s ^ {2},}$

gdzie stała proporcjonalności została ustawiona na 1 poprzez zmianę jednostek długości. Formą różniczkową tej relacji jest

${\displaystyle dy=2s\ds}$

${\ Displaystyle dy ^ {2} = 4 s ^ {2} \ ds ^ {2} = 4 y \ (dx ^ {2} + dy ^ {2})}$

co eliminuje s i pozostawia równanie różniczkowe dla dx i dy . Aby znaleźć rozwiązanie, scałkuj dla x pod względem y :

${\ Displaystyle {dx \ ponad dy} = {{\ sqrt {1-4 lata}} \ ponad 2 {\ sqrt {y}}}}$

${\displaystyle x=\int {\sqrt {1-4u^{2}}}\du}$

gdzie . Ta całka to obszar pod kołem, który można naturalnie pociąć na trójkąt i okrągły klin: ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {y}}}$

${\ Displaystyle x = {\ Frac {1} {2}} u {\ sqrt {1-4u ^ {2}}} + {\ Frac {1} {4}} \ arcsin 2u}$

${\ Displaystyle y = u ^ {2}.}$

Aby zobaczyć, że jest to dziwnie sparametryzowana cykloida , zmień zmienne, aby rozplątać części transcendentalne i algebraiczne poprzez zdefiniowanie kąta . To daje ${\ Displaystyle \ theta = \ arcsin 2u}$

${\ Displaystyle 8x = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta +2 \ theta = \ sin 2 \ theta +2 \ theta ,}$

${\ Displaystyle 8y = 2 \ grzech ^ {2} \ theta = 1 - \ cos 2 \ theta ,}$

co jest standardową parametryzacją, z wyjątkiem skali x , y i  θ .

Rozwiązanie „Wirtualna grawitacja”

Najprostszym rozwiązaniem problemu tautochrony jest zauważenie bezpośredniego związku między kątem nachylenia a grawitacją odczuwaną przez cząstkę na pochyłości. Cząstka znajdująca się pod kątem 90° w pionie podlega pełnemu przyspieszeniu grawitacyjnemu , podczas gdy cząstka na płaszczyźnie poziomej ulega zerowemu przyspieszeniu grawitacyjnemu. Przy pośrednich kątach przyspieszenie wywołane przez „wirtualną grawitację” cząstki wynosi . Zauważ, że jest mierzony między styczną do łuku a poziomem, przy czym kąty powyżej poziomu są traktowane jako kąty dodatnie. Tak więc waha się od do . ${\displaystyle g}$${\displaystyle g\sin \theta}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle -\pi/2}$${\ Displaystyle \ pi /2}$

Położenie masy mierzonej wzdłuż krzywej tautochrony, , musi być zgodne z następującym równaniem różniczkowym: ${\displaystyle s(t)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} s} {{dt} ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} s}$

który wraz z warunkami początkowymi i , ma rozwiązanie: ${\displaystyle s(0)=s_{0}}$${\displaystyle s'(0)=0}$

${\ Displaystyle s (t) = s_ {0} \ cos \ omega t \,}$

Można łatwo zweryfikować zarówno to, że to rozwiązanie rozwiązuje równanie różniczkowe, jak i czy cząstka dotrze w danym momencie z dowolnej pozycji wyjściowej . Problemem jest teraz skonstruowanie krzywej, która sprawi, że masa będzie posłuszna powyższemu ruchowi. Drugie prawo Newtona pokazuje, że siła grawitacji i przyspieszenie masy są powiązane wzorem: ${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \pi/2\omega}$${\displaystyle s_{0}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} - g \ sin \ theta & = {\ Frac {d ^ {2} s} {{dt} ^ {2}}} \ \ & = - \ omega ^ {2} s \,\end{wyrównany}}}$

Wyraźne pojawienie się odległości , jest kłopotliwe, ale możemy je rozróżnić, aby uzyskać łatwiejszą do opanowania formę: ${\displaystyle s}$

${\ Displaystyle g \ cos \ theta \ d \ theta = \ omega ^ {2} \ ds \,}$

lub

${\ Displaystyle ds = {\ Frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \ d \ theta \}$

Równanie to wiąże zmianę kąta krzywej ze zmianą odległości wzdłuż krzywej. Mamy teraz używać trygonometrii odnosić kąt do różnicy długości , i : ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle dx}$${\ Displaystyle dy}$${\displaystyle ds}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} ds = {\ Frac {dx} {\ cos \ theta}} \ \ ds = {\ Frac {dy} {\ sin \ theta}} \ koniec {wyrównane}}}$

Wymiana ze w powyższym równaniu pozwala nam rozwiązać za w kategoriach : ${\displaystyle ds}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ds & = {\ Frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \ d \ theta \ \ {\ Frac {dx} {\ cos \ teta}} &={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dx&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos ^{2 }\theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\left(\cos 2\theta +1\right)\,d\theta \\x&= {\frac {g}{4\omega ^{2}}}\left(\sin 2\theta +2\theta \right)+C_{x}\end{aligned}}}$

Podobnie, możemy również wyrazić w kategoriach i rozwiązać za w kategoriach : ${\displaystyle ds}$${\ Displaystyle dy}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ds& = {\ Frac {g} {\ omega ^ {2}}} \ cos \ theta \, d \ theta \ \ {\ Frac {dy} {\ sin \ theta}} &={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dy&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\sin \theta \ cos \theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\sin 2\theta \,d\theta \\y&=-{\frac {g}{ 4\omega ^{2}}}\cos 2\theta +C_{y}\end{wyrównany}}}$

Zastępując i widzimy, że te równania parametryczne dla i są równaniami punktu na okręgu o promieniu toczącym się wzdłuż linii poziomej ( cykloida ), ze środkiem okręgu na współrzędnych : ${\ Displaystyle \ phi = 2 \ theta \,}$${\ Displaystyle r = {\ Frac {g} {4 \ omega ^ {2}}} \}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle (C_ {x} + r \ phi, C_ {y})}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x = r (\ sin \ phi + \ phi ) + C_ {x} \ \ y& = r \ cos \ phi + C_ {y} \ koniec {wyrównane}}}$

Pamiętaj, że waha się od . Jest to typowe dla zestawu i tak, że najniższy punkt na krzywej zbiega się z pochodzenia. W związku z tym: ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle -\pi \leq \phi \leq \pi}$${\ Displaystyle C_ {x} = 0}$${\displaystyle C_{y}=r}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x = r (\ phi + \ sin \ phi ) \ \ y = r (1-\ cos \ phi ) \ \ \ koniec {wyrównane}}}$

Rozwiązując i pamiętając, że jest to czas potrzebny na zanurzenie, znajdujemy czas zanurzenia w postaci promienia : ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle T = {\ Frac {2 \ pi} {\ omega}}}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} R & = {\ Frac {g} {4 \ omega ^ {2}}} \ \ \ omega & = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {\ Frac { g}{r}}}\\T&=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}\\\end{wyrównany}}}$

(Luźno na podstawie Proctora , s. 135–139)

Rozwiązanie Abla

Niels Henrik Abel zaatakował uogólnioną wersję problemu tautochrony (problem mechaniczny Abela ), a mianowicie, mając funkcję, która określa całkowity czas opadania dla danej wysokości początkowej, znajdź równanie krzywej, która daje ten wynik. Problem tautochrony jest szczególnym przypadkiem problemu mechanicznego Abla, gdy jest stały. ${\ Displaystyle T (y)}$${\ Displaystyle T (y)}$

Rozwiązanie Abela zaczyna się od zasady zachowania energii – ponieważ cząsteczka jest beztarciowa, a zatem nie traci energii na ciepło , jej energia kinetyczna w dowolnym punkcie jest dokładnie równa różnicy energii potencjalnej grawitacji od punktu początkowego. Energia kinetyczna wynosi , a ponieważ cząsteczka jest zmuszona do poruszania się po krzywej, jej prędkość wynosi po prostu , gdzie jest odległością mierzoną wzdłuż krzywej. Podobnie grawitacyjna energia potencjalna uzyskana podczas spadania z wysokości początkowej na wysokość wynosi , a zatem: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv ^ {2}}$${\displaystyle {\frac {d\ell}}{dt}}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle y_{0}\,}$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle mg(y_{0}-y)\,}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {1} {2}} m \ lewo ({\ Frac {d \ ell} {dt}} \ po prawej) ^ {2} i = mg (y_ {0} -y)\\{\frac {d\ell }{dt}}&=\pm {\sqrt {2g(y_{0}-y)}}\\dt&=\pm {\frac {d\ell } {\sqrt {2g(r_{0}-r)}}}\\dt&=-{\frac {1}{\sqrt {2g(r_{0}-r)}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy\end{wyrównany}}}$

W ostatnim równaniu przewidzieliśmy zapisanie odległości pozostałej wzdłuż krzywej w funkcji wysokości ( , uznaliśmy, że odległość pozostała musi się zmniejszać wraz ze wzrostem czasu (a więc znak minus) i zastosowaliśmy regułę łańcucha w postaci . ${\displaystyle \ell (y))}$${\displaystyle d\ell ={\frac {d\ell}{dy}}dy}$

Teraz integrujemy od do, aby uzyskać całkowity czas potrzebny na opadnięcie cząstki: ${\displaystyle y=y_{0}}$${\ Displaystyle y = 0}$

${\ Displaystyle T (y_ {0}) = \ int _ {y = y_ {0}} ^ {y = 0} \ dt = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 g}}} \ int _ { 0}^{r_{0}}{\frac {1}{\sqrt {r_{0}-r}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy}$

Nazywa się to równaniem całkowym Abela i pozwala nam obliczyć całkowity czas wymagany do spadnięcia cząstki wzdłuż danej krzywej (co byłoby łatwe do obliczenia). Ale mechaniczny problem Abla wymaga odwrotności – biorąc pod uwagę , chcemy znaleźć , z którego równanie krzywej wynikałoby w prosty sposób. Aby kontynuować, możemy zauważyć, że całka po prawej stronie jest splot z z a tym samym wziąć Laplace'a obu stronach względem zmiennej : ${\displaystyle {\frac {d\ell}}{dy}}}$${\displaystyle T(y_{0})\,}$${\ Displaystyle f (y) = {\ Frac {d \ ell} {dy}}}$${\displaystyle {\frac {d\ell}}{dy}}}$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {y}}}}$${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [T (y_ {0})] = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 g}}} {\ mathcal {L}} \ lewo [{\ Frac {1} {\sqrt {y}}}\right]F(s)}$

gdzie Od , mamy teraz wyrażenie na transformatę Laplace'a w kategoriach transformaty Laplace'a : ${\ Displaystyle F (s) = {\ mathcal {L}} \ lewo [{\ Frac {d \ ell} {dy}} \ prawej]}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo [{\ Frac {1} {\ sqrt {y}}} \ prawo] = {\ sqrt {\ Frac {\ pi {s}}}}$${\displaystyle {\frac {d\ell}}{dy}}}$${\displaystyle T(y_{0})\,}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo [{\ Frac {d \ ell} {dy}} \ prawej] = {\ sqrt {\ Frac {2 g} {\ pi}}} s ^ {\ Frac { 1}{2}}{\mathcal {L}}[T(y_{0})]}$

To jest tak daleko, jak możemy się posunąć bez określania . Gdy jest już znany, możemy obliczyć jego transformatę Laplace'a, obliczyć transformatę Laplace'a, a następnie wziąć transformatę odwrotną (lub spróbować znaleźć ) . ${\displaystyle T(y_{0})\,}$${\displaystyle T(y_{0})\,}$${\displaystyle {\frac {d\ell}}{dy}}}$${\displaystyle {\frac {d\ell}}{dy}}}$

Dla problemu tautochrony jest stały. Ponieważ transformata Laplace'a 1 to , tj. , znajdujemy funkcję kształtu : ${\displaystyle T(y_{0})=T_{0}\,}$${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [T (y_ {0})] = {\ Frac {T_ {0}} {s}}}$${\ Displaystyle f (y) = {\ Frac {d \ ell} {dy}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} F (s) = {\ mathcal {L}} \ lewo [{\ Frac {D \ ell} {dy}} \ prawej] & = {\ sqrt {\ Frac {2 g} {\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T_{0}]\\&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}} T_{0}s^{-{\frac {1}{2}}}\end{wyrównany}}}$

Korzystając ponownie z powyższej transformacji Laplace'a, odwracamy transformację i wnioskujemy:

${\displaystyle {\frac {d\ell}{dy}}=T_{0}{\frac {\sqrt {2g}}{\pi}}{\frac {1}{\sqrt {y}}}}$

Można wykazać, że cykloid spełnia to równanie. Potrzebny jest krok dalej, aby wykonać całkę w odniesieniu do uzyskania wyrazu kształtu ścieżki. ${\displaystyle y}$

( Simmons , sekcja 54).

Zobacz też

• Rachunek wariacji
• Tożsamość Beltrami
• Cykloida
• Łańcuchowy
• Ruch jednostajnie przyspieszony
• Krzywa brachistochrony

Bibliografia

Bibliografia

• Simmons, George, Równania różniczkowe z aplikacjami i notatkami historycznymi , McGraw-Hill, 1972. ISBN  0-07-057540-1 .
• Proctor, Richard, Traktat o cykloidzie i wszystkich formach krzywych cykloidalnych (1878), opublikowany przez Cornell University Library .

Linki zewnętrzne

• Matematyka