Półpola - Semifield
Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni |
---|
W matematyce , o semifield jest algebraiczna struktura z dwoma binarnych operacji , dodawanie i mnożenie, który jest podobny do pola , ale z pewnych aksjomatów złagodzone.
Przegląd
Termin semifield ma dwa sprzeczne znaczenia, z których oba obejmują pola jako szczególny przypadek.
- W geometrii rzutowej i geometrii skończonej ( MSC 51A, 51E, 12K10), półpole jest nieasocjacyjnym pierścieniem podziału z multiplikatywnym elementem tożsamości. Dokładniej, jest to pierścień nieasocjacyjny, którego niezerowe elementy tworzą pętlę podczas mnożenia. Innymi słowy, półciało to zbiór S z dwoma operacjami + (dodawanie) i · (mnożenie), taki, że
- ( S ,+) to grupa abelowa ,
- mnożenie ma charakter rozdzielczy zarówno po lewej, jak i po prawej stronie,
- istnieje multiplikatywny element tożsamości , a
- podział jest zawsze możliwy: dla każdego a i każdego niezerowego b w S istnieją unikalne x i y w S, dla których b · x = a i y · b = a .
- Zauważ w szczególności, że mnożenie nie jest przemienne ani łączne . Półciało, które jest skojarzone, jest pierścieniem dzielenia , a to, które jest zarówno skojarzone, jak i przemienne, jest polem . Półciało według tej definicji jest szczególnym przypadkiem quasipola . Jeśli S jest skończone, ostatni aksjomat w powyższej definicji można zastąpić założeniem, że nie ma dzielników zera , tak że a · b = 0 implikuje, że a = 0 lub b = 0. Zauważ, że z powodu braku asocjatywności , ostatni aksjomat nie jest równoznaczny z założeniem, że każdy element niezerowy ma odwrotność multiplikatywną, jak to zwykle bywa w definicjach ciał i pierścieni podziału.
- W teorii pierścienia , kombinatoryki , analizy funkcjonalnej i komputera teoretycznej ( MSC 16Y60), A semifield jest semiring ( S + ·), w którym wszystkie elementy mają niezerowe Liczba odwrotna. Obiekty te nazywane są również półpolami właściwymi . Odmiana tej definicji pojawia się, gdy S zawiera absorbujące zero, które jest różne od jednostki multiplikatywnej e , wymagane jest, aby niezerowe elementy były odwracalne, a a ·0 = 0 · a = 0. Ponieważ mnożenie jest asocjacyjne , (niezerowe) elementy półpola tworzą grupę . Jednak para ( S ,+) jest tylko półgrupą , tzn. addytywna odwrotność nie musi istnieć, lub potocznie „nie ma odejmowania”. Czasami nie zakłada się, że mnożenie ma charakter asocjacyjny.
Prymitywność półpól
Półpole D jest nazywane prawym (lub lewym) prymitywem, jeśli ma element w taki, że zbiór niezerowych elementów D* jest równy zbiorowi wszystkich prawych (lub lewej) potęg głównych w.
Przykłady
Podajemy tylko przykłady półpól w drugim znaczeniu, czyli addytywne półgrupy z mnożeniem rozdzielczym. Ponadto w naszych przykładach dodawanie jest przemienne, a mnożenie jest łączne.
-
Dodatnie liczby wymierne ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem tworzą przemienne półciało.
- Można to wydłużyć o absorbujące 0.
-
Dodatnie liczby rzeczywiste ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem tworzą przemienne półciało.
- Można to rozszerzyć o absorbujące 0, tworząc prawdopodobieństwo semiring , który jest izomorficzny z log semiring .
-
Funkcje wymierne postaci f / g , gdzie f i g są wielomianami jednej zmiennej o dodatnich współczynnikach, tworzą przemienne półciało.
- Można to rozszerzyć, aby obejmowało 0.
- Liczb rzeczywistych R mogą być oglądane w semifield gdy suma dwóch elementów określa się ich maksymalna, a produkt jest ich zwykłe suma; to półpole jest bardziej zwarte ( R , max, +). Podobnie ( R , min, +) jest półpolem. Nazywa się je tropikalnym semiringiem .
- Można to wydłużyć o −∞ (absorbujące 0); jest to granica ( tropikalizacja ) półpierścienia bali, gdy podstawa zbliża się do nieskończoności.
- Uogólniając poprzedni przykład, jeśli ( A ,·,≤) jest grupą uporządkowaną w sieci, to ( A ,+,·) jest addytywnie idempotentnym półciałem z sumą półpola zdefiniowaną jako supremum dwóch elementów. Odwrotnie, każde addytywnie idempotentne półciało ( A ,+,·) definiuje grupę uszeregowaną w sieci ( A ,·,≤), gdzie a ≤ b wtedy i tylko wtedy, gdy a + b = b .
- Półciało logiczne B = {0, 1} z dodawaniem określonym przez logiczne lub , a mnożeniem przez logiczne i .
Zobacz też
- Płaski pierścień trójskładnikowy (pierwszy zmysł)