Wielokąt możliwy do zbudowania — Constructible polygon

Budowa pięciokąta foremnego

W matematyce wielokąt możliwy do zbudowania to wielokąt foremny, który można zbudować za pomocą kompasu i linijki . Na przykład pięciokąt foremny można zbudować za pomocą kompasu i liniału mierniczego, podczas gdy siedmiokąt foremny nie jest. Istnieje nieskończenie wiele wielokątów, które można zbudować, ale znanych jest tylko 31 o nieparzystej liczbie boków.

Warunki wykonalności

Liczba boków znanych wielokątów możliwych do zbudowania mających do 1000 boków (pogrubione) lub nieparzyste (czerwone)

Budowa regularnej 17-gonu

Niektóre regularne wielokąty są łatwe do skonstruowania za pomocą kompasu i linijki; inni nie. W starożytnych greckich matematyków umiał zbudować regularny wielobok z 3, 4 lub 5 stron, a oni wiedzieli, jak skonstruować wielokąt foremny z podwójną liczbą stronach danego wielokąta foremnego. Doprowadziło to do postawienia pytania: czy możliwe jest skonstruowanie wszystkich regularnych wielokątów z kompasem i linijką? Jeśli nie, to które n- kąty (czyli wielokąty o n krawędziach) można skonstruować, a które nie?

Carl Friedrich Gauss dowiódł możliwości budowy regularnego 17-gonu w 1796 roku. Pięć lat później rozwinął teorię okresów Gaussa w swoich Disquisitiones Arithmeticae . Teoria ta pozwoliła mu sformułować warunek wystarczający dla konstruowalności wielokątów foremnych. Gauss stwierdził bez dowodu, że ten warunek jest również konieczny , ale nigdy nie opublikował swojego dowodu. Pełny dowód konieczności podał Pierre Wantzel w 1837 roku. Wynik jest znany jako twierdzenie Gaussa-Wantzela :

Regularne n -gon można skonstruować za pomocą kompasu i liniału pomiarowego wtedy i tylko wtedy, gdy n jest iloczynem potęgi 2 i dowolnej liczby różnych liczb pierwszych Fermata (w tym żadnej).

Liczba pierwsza Fermata jest liczbą pierwszą postaci ${\ Displaystyle 2 ^ {(2 ^ {m})} + 1.}$

W celu zredukowania problemu geometrycznego do problemu czystej teorii liczb , dowód wykorzystuje fakt, że regularny n- kąt jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy cosinus jest liczbą konstruktywną — to znaczy, że może być zapisany w kategoriach czterech podstawowe operacje arytmetyczne i wyciąganie pierwiastków kwadratowych . Równoważnie, regularne n gon jest constructible jeśli korzeń z n th wielomian cyklotomiczny znaczy constructible. ${\ Displaystyle \ cos (2 \ pi / n)}$

Szczegółowe wyniki według teorii Gaussa

Ponowne sformułowanie twierdzenia Gaussa-Wantzela:

Regularne n -gon można skonstruować z liniałem i kompasem wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2 ^k p ₁p ₂ ... p _t gdzie k i t są nieujemnymi liczbami całkowitymi , a p _i (gdy t > 0) są odrębnymi liczbami pierwszymi Fermata.

Pięć znanych liczb pierwszych Fermata to:

F ₀ = 3, C ₁ = 5, K ₂ = 17, C ₃ = 257 i M ₄ = 65537 (sekwencja A019434 w OEIS ).

Ponieważ istnieje 31 kombinacji od jednego do pięciu liczb pierwszych Fermata, istnieje 31 znanych wielokątów konstruowalnych o nieparzystej liczbie boków.

Wiadomo, że następne dwadzieścia osiem liczb Fermata, od F ₅ do F ₃₂ , jest złożone .

Zatem regularny n -gon jest konstruowalny, jeśli

n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51 , 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (sekwencja A003401 w OEIS ),

podczas gdy regularny n -gon nie jest możliwy do zbudowania za pomocą kompasu i liniału, jeśli

n = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 25, 26 , 27, 28 , 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42 , 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50 , 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90 , 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100 , 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, ... (sekwencja A004169 w OEIS ).

Połączenie z trójkątem Pascala

Ponieważ istnieje 5 znanych liczb pierwszych Fermata, znamy 31 liczb, które są iloczynami różnych liczb pierwszych Fermata, a więc 31 możliwych do skonstruowania nieparzystych wielokątów foremnych. Są to 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537 , 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (sekwencja A045544 w OEIS ). Jak skomentował John Conway w Księdze liczb , liczby te, zapisane w systemie binarnym , są równe pierwszym 32 rzędom trójkąta Pascala modulo -2 , minus górny wiersz, który odpowiada monogonowi . (Z tego powodu jedynki w takiej liście są przybliżeniem do trójkąta Sierpińskiego .) Ten wzór załamuje się po tym, ponieważ kolejna liczba Fermata jest złożona (4294967297 = 641 × 6700417), więc kolejne wiersze nie odpowiadają konstruowalne wielokąty. Nie wiadomo, czy istnieje więcej liczb pierwszych Fermata, a zatem nie wiadomo, ile istnieje wielokątów foremnych o nieparzystych stronach. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli istnieje q liczb pierwszych Fermata, to jest 2 ^q -1 nieparzystych wielokątów foremnych konstruowalnych.

Ogólna teoria

W świetle późniejszych prac nad teorią Galois wyjaśniono zasady tych dowodów. Łatwo jest wykazać na podstawie geometrii analitycznej, że długości konstruowalne muszą pochodzić z długości podstawowych przez rozwiązanie pewnej sekwencji równań kwadratowych . Z punktu widzenia teorii pola długości takie muszą być zawarte w rozszerzeniu pola generowanym przez wieżę rozszerzeń kwadratowych . Wynika z tego, że pole generowane przez konstrukcje zawsze będzie miało stopień nad polem bazowym, które jest potęgą dwójki.

W konkretnym przypadku regularnego n- kąta pytanie sprowadza się do kwestii skonstruowania długości

sałata 2

π

n ,

która jest liczbą trygonometryczną, a więc liczbą algebraiczną . Liczba ta leży w a n -tego dziedzinie cyclotomic - aw rzeczywistości w jej prawdziwym podpola , które jest całkowicie prawdziwe pole i racjonalne przestrzeń wektor z wymiarem

½ ( n ),

gdzie φ( n ) jest funkcją totient Eulera . Wynik Wantzela sprowadza się do obliczeń pokazujących, że φ( n ) jest potęgą liczby 2 dokładnie w określonych przypadkach.

Jeśli chodzi o konstrukcję Gaussa, gdy grupa Galois jest 2-grupą, wynika z tego, że ma ciąg podgrup rzędów

1, 2, 4, 8, ...

które są zagnieżdżone, każdy w następnym ( seria złożona , w terminologii teorii grup ), coś prostego do udowodnienia przez indukcję w tym przypadku grupy abelowej . Dlatego w polu cyklotomicznym zagnieżdżone są podpola, każde o stopniu 2 w stosunku do poprzedniego. Generatory dla każdego takiego pola można zapisać za pomocą teorii okresu Gaussa . Na przykład dla n = 17 istnieje okres będący sumą ośmiu pierwiastków jedności , jeden będący sumą czterech pierwiastków jedności i jeden będący sumą dwóch, czyli

sałata 2

π

17 .

Każdy z nich jest pierwiastkiem równania kwadratowego w zakresie poprzedniego. Co więcej, równania te mają rzeczywiste, a nie złożone pierwiastki, więc w zasadzie można je rozwiązać za pomocą konstrukcji geometrycznej: dzieje się tak, ponieważ cała praca toczy się wewnątrz całkowicie rzeczywistego pola.

W ten sposób wynik Gaussa może być rozumiany w aktualnych terminach; w celu rzeczywistego obliczenia równań do rozwiązania, okresy można podnosić do kwadratu i porównywać z okresami „niższymi” w całkiem wykonalnym algorytmie.

Konstrukcje kompasowe i prostoliniowe

Konstrukcje kompasowe i prostoliniowe są znane ze wszystkich znanych wielokątów konstrukcyjnych. Jeżeli n = pq, przy p = 2 lub p i q względnie pierwsze An n gon może być wykonana z p gon i q gon.

Jeśli s = 2, wyciągnąć q gon i Przepoławiana jedną z jej głównych stron. Z tego można skonstruować 2 q- gon.
Jeśli p > 2, wpisz p- kąt i q- kąt w tym samym okręgu w taki sposób, aby miały wspólny wierzchołek. Ponieważ p i q są względnie pierwsze, istnieją liczby całkowite a i b takie, że ap + bq = 1. Wtedy 2 a π/ q + 2 b π/ p = 2π/ pq . Z tego można skonstruować pq -gon.

Zatem wystarczy znaleźć kompas i konstrukcję linii prostej dla n- kątów, gdzie n jest liczbą pierwszą Fermata.

Konstrukcja trójkąta równobocznego jest prosta i znana od starożytności ; zobacz Trójkąt równoboczny .
Konstrukcje pięciokąta foremnego zostały opisane zarówno przez Euklidesa ( Elementy , ok. 300 pne), jak i Ptolemeusza ( Almagest , ok. 150 ne); zobacz Pentagon .
Chociaż Gauss udowodnił, że zwykły 17-gon jest możliwy do zbudowania, tak naprawdę nie pokazał, jak to zrobić. Pierwsza konstrukcja jest dziełem Erchingera, kilka lat po pracy Gaussa; zobacz Heptadecagon .
Pierwsze wyraźne konstrukcje regularna 257-gon wygłosili Magnus Georg Paucker (1822) i Friedrich Julius Richelot (1832).
Konstrukcję regularnego 65537-gon po raz pierwszy dał Johann Gustav Hermes (1894). Konstrukcja jest bardzo złożona; Hermes spędził 10 lat na skompletowaniu 200-stronicowego rękopisu.

Galeria

Od lewej do prawej, konstrukcje 15-gon , 17-gon , 257-gon i 65537-gon . Pokazano tylko pierwszy etap budowy 65537-gonów; konstrukcje 15-gonów, 17-gonów i 257-gonów są podane całkowicie.

Inne konstrukcje

Pojęcie konstruowalności omawiane w tym artykule dotyczy w szczególności konstrukcji z kompasem i liniałami mierniczymi. Więcej konstrukcji staje się możliwych, jeśli dozwolone są inne narzędzia. Na przykład tak zwane konstrukcje neusis wykorzystują zaznaczoną linijkę. Konstrukcje są matematyczną idealizacją i zakłada się, że są wykonane dokładnie.

Regularnego wieloboku o n bokach może być wykonana z linijką, kompasu i kąt trisector wtedy i tylko wtedy , gdy R, S, K ≥ 0 i jeżeli P _i są odrębne Pierpont zapoczątkowuje większa niż 3 (liczb pierwszych formy tych wielokątów są dokładnie wielokąty foremne, które można zbudować za pomocą sekcji Conic , oraz wielokąty foremne, które można zbudować za pomocą składania papieru .Pierwsze liczby boków tych wielokątów to: ${\ Displaystyle n = 2 ^ {r} 3 ^ {s} p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {k}}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {t} 3 ^ {u} + 1).}$

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, ... (sekwencja A122254 w OEIS )

Zobacz też

Bibliografia

^ ^a ^b Pogrubienie, Benjamin. Słynne problemy geometrii i sposoby ich rozwiązywania , Dover Publications, 1982 (oryg. 1969).
^ [ http://www.prothsearch.com/fermat.html Czynniki pierwsze k · 2n + 1 liczb Fermata Fm i status pełnego faktoringu] Wilfrid Keller.
^ Cox, David A. (2012), "Twierdzenie 10.1.6", Teoria Galois , Matematyka Czysta i Stosowana (2nd ed.), John Wiley & Sons, s. 259, doi : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.
^ Magnus Georg Paucker (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis" . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (w języku niemieckim). 2 : 160–219.
^ Fryderyk Juliusz Richelot (1832). „De resolutione algebraica aequationis x ²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata” . Journal für die reine und angewandte Mathematik (po łacinie). 9 : 1-26, 146-161, 209-230, 337-358. doi : 10.1515/crll.1832.9.337 .
^ Johann Gustav Hermes (1894). „Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile” . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (w języku niemieckim). Getynga. 3 : 170–186.
^ Gleason, Andrew M. (marzec 1988). „Trójsekcja kąta, siedmiokąt i triskaidecagon”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 95 (3): 185-194. doi : 10.2307/2323624 .

Zewnętrzne linki

Duane W. DeTemple (1991). „Kręgi Carlyle i prostota Lemoine konstrukcji wielokątnych”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 98 (2): 97–108. doi : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939 . MR 1089454 .
Christiana Gottlieba (1999). „Prosta i nieskomplikowana konstrukcja regularnego 257-gon”. Inteligencja matematyczna . 21 (1): 31–37. doi : 10.1007/BF03024829 . MR 1665155 .
Regularne formuły wielokątów , Zapytaj dr Math FAQ.
Carl Schick: Weiche Primzahlen und das 257-Eck : eine analytische Lösung des 257-Ecks. Zurych: C. Schick, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9 .
65537-gon, dokładna konstrukcja dla 1 strony , wykorzystująca Kwadratę Hippiasza i GeoGebra jako dodatkowe pomoce, z krótkim opisem (niemiecki)

[Bold-1] Pogrubienie, Benjamin. Słynne problemy geometrii i sposoby ich rozwiązywania , Dover Publications, 1982 (oryg. 1969).

[2] [ http://www.prothsearch.com/fermat.html Czynniki pierwsze k · 2n + 1 liczb Fermata Fm i status pełnego faktoringu] Wilfrid Keller.

[3] Cox, David A. (2012), "Twierdzenie 10.1.6", Teoria Galois , Matematyka Czysta i Stosowana (2nd ed.), John Wiley & Sons, s. 259, doi : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.

[4] Magnus Georg Paucker (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis" . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (w języku niemieckim). 2 : 160–219.

[5] Fryderyk Juliusz Richelot (1832). „De resolutione algebraica aequationis x ²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata” . Journal für die reine und angewandte Mathematik (po łacinie). 9 : 1-26, 146-161, 209-230, 337-358. doi : 10.1515/crll.1832.9.337 .

[6] Johann Gustav Hermes (1894). „Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile” . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (w języku niemieckim). Getynga. 3 : 170–186.

[Gleason-7] Gleason, Andrew M. (marzec 1988). „Trójsekcja kąta, siedmiokąt i triskaidecagon”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 95 (3): 185-194. doi : 10.2307/2323624 .

Languages

In other projects