Dwunastokąt - Dodecagon
Zwykły dwunastokąt | |
---|---|
Zwykły dwunastokąt
| |
Rodzaj | Regularny wielokąt |
Krawędzie i wierzchołki | 12 |
Symbol Schläfli | {12}, t {6}, tt {3} |
Diagram Coxetera |
|
Grupa symetrii | Dwuścienny (D 12 ), rząd 2 × 12 |
Kąt wewnętrzny ( stopnie ) | 150 ° |
Podwójny wielokąt | Samego siebie |
Nieruchomości | Wypukły , cykliczny , równoboczny , izogonalny , izotoksyczny |
W geometrii , o dwunastokąt lub 12-gon jest dowolny dwanaście jednostronne wielokąt .
Zwykły dwunastokąt
Regularne dwunastokąt to postać o bokach jednakowej długości i wewnętrznymi kątami o tej samej wielkości. Ma dwanaście linii odblaskowej symetrii i symetrii obrotowej rzędu 12. Dwunastokąt regularny jest reprezentowany przez symbol Schläfli {12} i może być zbudowany jako ścięty sześciokąt , t {6} lub podwójnie ścięty trójkąt , tt {3 }. Kąt wewnętrzny w każdym wierzchołku dwunastokąta foremnego wynosi 150 °.
Powierzchnia
Obszar regularnego dwunastokąta o długości boku a jest dana przez:
A jeśli chodzi o apotem r (patrz również wpisany rysunek ), pole to:
Pod względem promienia promienia R obszar ten wynosi:
Rozpiętość S dwunastokąta jest odległością między dwoma równoległymi bokami i jest równa dwukrotności apotemu. Prosty wzór na powierzchnię (podaną długość i rozpiętość boku) to:
Można to zweryfikować za pomocą zależności trygonometrycznej:
Obwód
Obwód regularnej dwunastokąta pod względem circumradius jest:
Obwód w kategoriach apotemów to:
Współczynnik ten jest dwukrotnością współczynnika znalezionego w równaniu apotemu dla pola powierzchni.
Konstrukcja dwunastokąta
Ponieważ 12 = 2 2 × 3, regularny dwunastokąt można skonstruować za pomocą konstrukcji kompasu i prostej :
Sekcja
12-cube | 15 rozwarstwienie rombów | 60 rombów rozwarstwiających | |||
---|---|---|---|---|---|
Coxeter stwierdza, że każdy zonoedr (2 m- kąt, którego przeciwległe boki są równoległe i równej długości) można podzielić na m ( m -1) / 2 równoległoboki. W szczególności dotyczy to regularnych wielokątów z równomiernie wieloma bokami, w którym to przypadku wszystkie równoległoboki są rombami. Dla zwykłego Dwunastokąt , m = 6 i może być podzielona na 15: 3 pola, 6 o szerokości 30 ° rombów i 6 wąskich 15 ° rombów. Rozkład ten jest oparty na wielokąta Petrie rzucie 6-kostki , 15 z 240 powierzchni. Sekwencja OEIS A006245 definiuje liczbę rozwiązań jako 908, w tym do 12-krotnych obrotów i chiralnych form w odbiciu.
6-cube |
|||||
Jednym ze sposobów wykorzystania matematycznych bloków wzoru manipulacyjnego jest tworzenie wielu różnych dwunastokątów. Są one związane z rozwarstwieniami rombowymi, z 3 rombami 60 ° połączonymi w sześciokąty, pół-sześciokątne trapezoidy lub podzielonymi na 2 trójkąty równoboczne.
Regularny | bloki szyku | |
---|---|---|
Symetria
Regularne dwunastokąt ma dih 12 symetrii, rząd 24 jest 15 różne podgrupy dwuścienne i cykliczne symetrie. Symetria każdej podgrupy dopuszcza jeden lub więcej stopni swobody dla nieregularnych form. Tylko podgrupa g12 nie ma stopni swobody, ale może być postrzegana jako skierowane krawędzie .
Przykład dwunastokątów na podstawie symetrii | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
r24 |
||||||
d12 |
g12 |
s. 12 |
i8 |
|||
d6 |
g6 |
p6 |
d4 |
g4 |
p4 |
|
g3 |
d2 |
g2 |
p2 |
|||
a1 |
Występowanie
Dekarstwo
Dwunastokąt foremny może wypełnić wierzchołek płaszczyzny innymi wielokątami regularnymi na 4 sposoby:
3.12.12 | 4.6.12 | 3.3.4.12 | 3.4.3.12 |
---|
Oto 3 przykłady okresowych przechyleń płaszczyzn, które używają dwunastokątów regularnych, zdefiniowanych przez ich konfigurację wierzchołków :
1-jednolity | 2-jednolity | |
---|---|---|
3.12.12 |
4.6.12 |
3.12.12; 3.4.3.12 |
Dwunastokąt pochylony
Pochylać dwunastokąt jest wielokąt skośny z 12 wierzchołków i krawędzi, ale nie istniejących na tej samej płaszczyźnie. Ogólnie rzecz biorąc, wnętrze takiego dwunastokąta nie jest zdefiniowane. Skosu zygzakowata dwunastokąt ma przemienne wierzchołki dwóch równoległych płaszczyznach.
Regularne pochylać dwunastokąt jest wierzchołek-przechodnia o równych długościach krawędzi. W 3 wymiarach będzie to dwunastokąt zygzakowaty skośny i można go zobaczyć w wierzchołkach i bocznych krawędziach sześciokątnego antypryzmatu o tej samej symetrii D 5d , [2 + , 10], rzędu 20. Dodekagramowy antypryzmat , s { 2,24 / 5} i dodecagrammic cross-antiprism , s {2,24 / 7} również mają regularne dwunastokąty ukośne.
Wielokąty Petriego
Dwunastokąt regularny jest wielokątem Petriego dla wielu wielowymiarowych polytopów, widzianym jako rzuty ortogonalne na płaszczyznach Coxetera . Przykładami w 4 wymiarach są: 24-komorowy , 24-komorowy snub , 6-6 duopryzm , 6-6 duopiramid . W 6 wymiarach 6-cube , 6-orthoplex , 2 21 , 1 22 . Jest to również wielokąt Petriego dla wielkich 120-ogniwowych i wielogwiazdkowych 120-ogniwowych .
Regularne dwunastokąty skośne w wyższych wymiarach | |||||
---|---|---|---|---|---|
E 6 | F 4 | 2G 2 (4D) | |||
2 21 |
1 22 |
24 ogniwa |
Snub 24-ogniwowy |
6-6 duopiramid |
6-6 duopryzm |
A 11 | D 7 | B 6 | |||
11-simplex |
(4 11 ) |
1 41 |
6-ortoplex |
6-cube |
Powiązane dane
Dodecagram jest 12-stronne wielokąt gwiaździsty, reprezentowany przez symbol {12 / N}. Jest jeden regularny wielokąt gwiezdny : {12/5}, wykorzystujący te same wierzchołki, ale łączący co piąty punkt. Istnieją również trzy związki: {12/2} zmniejsza się do 2 {6} jako dwa sześciokąty , a {12/3} do 3 {4} jako trzy kwadraty , {12/4} do 4 {3 } jako cztery trójkąty, a {12/6} jest zredukowane do 6 {2} jako sześć zdegenerowanych digonów .
Gwiazdy i związki | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Formularz | Wielokąt | Związki | Wielokąt gwiazdy | Złożony | ||
Wizerunek |
{12/1} = {12} |
{12/2} lub 2 {6} |
{12/3} lub 3 {4} |
{12/4} lub 4 {3} |
{12/5} |
{12/6} lub 6 {2} |
Głębsze obcięcia dwunastokąta foremnego i dodekagramów mogą tworzyć izogonalne ( przechodzące przez wierzchołki ) formy pośrednich wielokątów gwiazd o równych odstępach wierzchołków i dwóch długościach krawędzi. Ścięty sześciokąt to dwunastokąt, t {6} = {12}. Prawie ścięty sześciokąt, odwrócony jak {6/5}, to dodekagram: t {6/5} = {12/5}.
Obcięcie sześciokąta przechodnie przez wierzchołki | |||
---|---|---|---|
Quasiregular | Izogonalne | Quasiregular | |
t {6} = {12} |
t {6/5} = {12/5} |
Przykłady w użyciu
W literami litery E , H , a x (i I w Egipcjanka czcionką) mają dwunastokątną kontury. Krzyż jest dwunastokąt, podobnie jak logo dla Chevrolet podziału samochodowym.
Regularny dwunastokąt jest wyraźnie widoczny w wielu budynkach. Torre del Oro jest dwunastokątną wojskowy strażnica w Sewilli , w południowej Hiszpanii , zbudowany przez dynastii Almohadów . Kościół Vera Cruz z początku XIII wieku w Segowii w Hiszpanii jest dwunastokątny. Innym przykładem jest Porta di Venere (Wenus Gate), w Spello , Włochy , zbudowany w 1 wieku pne posiada dwa dwunastokątną wież, zwanych „Propercjusza wieże”.
Zwykłe dwunastokątne monety obejmują:
- Brytyjski kawałek za trzy grosze od 1937 do 1971 roku, kiedy przestał być prawnym środkiem płatniczym.
- Brytyjska moneta jednofuntowa , wprowadzona w 2017 r.
- Australijska moneta 50 centów
- Fidżi 50 centów
- Tongan 50-seniti , od 1974 roku
- Wyspy Salomona 50 centów
- Chorwacka 25 kun
- Rumuński 5000 lei , 2001–2005
- Pens kanadyjski , 1982–1996
- Południowowietnamski 20 đồng , 1968–1975
- Zambian 50 ngwee , 1969–1992
- Malawian 50 tambala , 1986–1995
- Meksykańskie 20 centavos , 1992-2009
Zobacz też
- Liczba dwunastokątna
- Dwunastościan - regularny wielościan z 12 pięciokątnymi ścianami.
- Dodecagram
Uwagi
Zewnętrzne linki
- Weisstein, Eric W. "Dodecagon" . MathWorld .
- Kafelek i twierdzenie Kürschaka
- Definicja i właściwości dwunastokąta Z interaktywną animacją
- Zwykły dwunastokąt w klasie , przy użyciu bloków wzoru