Sześciokąt - Hexadecagon
Regularny sześciokąt | |
---|---|
Regularny sześciokąt
| |
Rodzaj | Regularny wielokąt |
Krawędzie i wierzchołki | 16 |
Symbol Schläfli | {16}, t {8}, tt {4} |
Diagram Coxetera |
|
Grupa symetrii | Dwuścienny (D 16 ), rząd 2 × 16 |
Kąt wewnętrzny ( stopnie ) | 157,5 ° |
Podwójny wielokąt | Samego siebie |
Nieruchomości | Wypukły , cykliczny , równoboczny , izogonalny , izotoksyczny |
W matematyce sześciokąt to szesnastoboczny wielokąt .
Regularny sześciokąt
Regularne szesnastokąt foremny jest szesnastokąt foremny, w którym wszystkie kąty są równe i wszystkie boki są przystające. Jego symbolem Schläfli jest {16} i można go skonstruować jako obcięty ośmiokąt , t {8} i dwukrotnie ścięty kwadrat tt {4}. Ścięty sześciokąt , t {16}, to triacontadigon , {32}.
Budowa
Ponieważ 16 = 2 4 ( potęga dwóch ), sześciokąt foremny można skonstruować za pomocą kompasu i linii prostej : było to już znane starożytnym greckim matematykom.
Pomiary
Każdy kąt regularnego sześciokąta wynosi 157,5 stopnia , a całkowita miara kąta dowolnego sześciokąta wynosi 2520 stopni.
Obszar regularnego szesnastokąt foremny o długości krawędzi T jest
Ponieważ sześciokąt ma liczbę boków, która jest potęgą dwóch , jego pole można obliczyć na podstawie promienia obwodu R przez obcięcie wzoru Viète'a :
Ponieważ obszar okręgu opisanego jest regularnym sześciokątem, zajmuje około 97,45% jego okręgu opisanego.
Symetria
Regularne szesnastokąt foremny ma dih 16 symetrii, rząd 32 są 4 podgrupy: dwuścienne dih 8 , dih 4 , dih 2 i dih 1 i 5 cykliczne podgrupy : Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 , a Z 1 , ostatnie oznacza brak symetrii.
Na regularnym sześciokącie jest 14 różnych symetrii. John Conway określa pełną symetrię jako r32 i żadna symetria nie jest oznaczona jako a1 . Symetrie dwuścienne są podzielone w zależności od tego, czy przechodzą przez wierzchołki ( d dla przekątnej), czy krawędzie ( p dla prostopadłych). Cykliczne symetrie w środkowej kolumnie są oznaczone jako g dla ich centralnych rzędów bezwładności.
Najpopularniejszymi sześciokątami o wysokiej symetrii są d16 , izogonalny sześciokąt zbudowany z ośmiu zwierciadeł może naprzemiennie długie i krótkie krawędzie, oraz p16 , izotoksyczny sześciokąt o równej długości krawędzi, ale wierzchołki naprzemiennie o dwóch różnych kątach wewnętrznych. Te dwie formy są do siebie podwójne i mają połowę porządku symetrii regularnego sześciokąta.
Symetria każdej podgrupy dopuszcza jeden lub więcej stopni swobody dla nieregularnych form. Tylko podgrupa g16 nie ma stopni swobody, ale może być postrzegana jako skierowane krawędzie .
Sekcja
Projekcja 16-kostkowa | 112 rozwarstwienie rombów | |
---|---|---|
Regularny |
Izotoksal |
Coxeter stwierdza, że każdy zonogon (2 m- kąt, którego przeciwległe boki są równoległe i mają taką samą długość) można podzielić na m ( m -1) / 2 równoległoboki. W szczególności dotyczy to regularnych wielokątów z równomiernie wieloma bokami, w którym to przypadku wszystkie równoległoboki są rombami. Dla zwykłego szesnastokąt foremny , m = 8, i mogą być podzielone na 28: 4 pola i 3 zestawy 8 rombów. Ten rozkład opiera się na odwzorowaniu wielokąta Petriego 8-sześcianu , z 28 z 1792 ścian. Lista OEIS : A006245 wylicza liczbę rozwiązań jako 1232944, w tym do 16-krotnych obrotów i form chiralnych w odbiciu.
8-kostka |
Pochyl sześciokąt
{8} # {} | { 8 / 3 } # {} | { 8 / 5 } # {} |
---|---|---|
Sześciokąt regularny skośny jest postrzegany jako zygzakowate krawędzie ośmiokątnego antypryzmatu , ośmiokątnego antypryzmatu i oktagramu skrzyżowanego antypryzmatu . |
Pochylać szesnastokąt foremny to wielokąt skośny z 24 wierzchołków i krawędzi, ale nie istniejących na tej samej płaszczyźnie. Ogólnie rzecz biorąc, wnętrze takiego sześciokąta nie jest zdefiniowane. Skosu zygzakowaty szesnastokąt foremny ma przemienne wierzchołki dwóch równoległych płaszczyznach.
Regularne pochylać szesnastokąt foremny jest wierzchołek-przechodnia o równych długościach krawędzi. W 3 wymiarach będzie to sześciokąt zygzakowaty skośny i można go zobaczyć w wierzchołkach i bocznych krawędziach ośmiokątnego antypryzmatu o tej samej symetrii D 8d , [2 + , 16], rząd 32. Oktagramowy antypryzmat , s { 2,16 / 3} i oktagramowy przekreślony antypryzmat , s {2,16 / 5} również mają regularne ośmiokąty skośne.
Wielokąty Petriego
Sześciokąt regularny jest wielokątem Petriego dla wielu wielowymiarowych polytopów, pokazanych w tych skośnych rzutach ortogonalnych , w tym:
15 | B 8 | D 9 | 2B 2 (4D) | |||
---|---|---|---|---|---|---|
15-simplex |
8-ortoplex |
8-kostka |
6 11 |
1 61 |
8-8 duopiramidu |
8-8 duopryzm |
Powiązane dane
Hexadecagram jest 16 jednostronne wielokąt gwiaździsty, reprezentowany przez symbol {16 / N}. Istnieją trzy regularne wielokąty gwiazd , {16/3}, {16/5}, {16/7}, które używają tych samych wierzchołków, ale łączą co trzeci, piąty lub siódmy punkt. Istnieją również trzy związki: {16/2} jest redukowane do 2 {8} jako dwa ośmiokąty , {16/4} jest redukowane do 4 {4} jako cztery kwadraty i {16/6} jako 2 {8/3 } jako dwa oktagramy , a na koniec {16/8} zostaje zredukowane do 8 {2} jako osiem digonów .
Głębsze obcięcia regularnego ośmiokąta i oktagramu mogą tworzyć izogonalne ( przechodnie przez wierzchołki ) pośrednie formy heksadecagramu z równo rozmieszczonymi wierzchołkami i dwiema długościami krawędzi.
Ścięty ośmiokąt to sześciokąt, t {8} = {16}. Prawie ścięty ośmiokąt, odwrócony jak {8/7}, to heksadecagram: t {8/7} = {16/7}. Obcięty oktagram {8/3} to heksadecagram: t {8/3} = {16/3}, a quasi-ścięty oktagram, odwrócony jak {8/5}, to heksadecagram: t {8/5} = {16 / 5}.
Izogonalne obcięcia ośmiokąta i oktagramu | ||||
---|---|---|---|---|
Quasiregular | Izogonalne | Quasiregular | ||
t {8} = {16} |
t {8/7} = {16/7} |
|||
t {8/3} = {16/3} |
t {8/5} = {16/5} |
W sztuce
Na początku XVI wieku Rafael jako pierwszy skonstruował perspektywiczny obraz sześciokąta foremnego: wieża na jego obrazie Zaślubiny Marii ma 16 boków, stanowiąc rozwinięcie ośmiobocznej wieży z poprzedniego obrazu Pietro Perugino .
Heksadecagramy (16-stronne wielokąty gwiazd ) są zawarte we wzorach Girih w Alhambrze .
Inni
Na Filipinach na lokalnych karnawałach (peryahan) powszechne są diabelskie młyny z maksymalnie 16 miejscami siedzącymi lub gondolami
W Mexico City „Parque del ejecutivo” to mały sześciokątny park, otoczony sześciokątną obwodnicą oraz 16 drogami biegnącymi promieniście na zewnątrz, tworząc w ten sposób większe sześciokąty. Widok Map Google
Nieregularne sześciokąty
Ośmiokątna gwiazda może być postrzegane jako wklęsłą szesnastokąt foremny: