Teoria układów dynamicznych - Dynamical systems theory

Teoria układów dynamicznych jest dziedziną matematyki używaną do opisu zachowania złożonych układów dynamicznych , zwykle za pomocą równań różniczkowych lub równań różnicowych . Gdy stosuje się równania różniczkowe, teorię nazywa się ciągłymi układami dynamicznymi . Z fizycznego punktu widzenia ciągłe układy dynamiczne są uogólnieniem mechaniki klasycznej , uogólnieniem, w którym równania ruchu są postulowane bezpośrednio i nie są ograniczone do równań Eulera-Lagrange'a o zasadzie najmniejszego działania. Gdy stosuje się równania różnicowe, teorię nazywa się dyskretnymi układami dynamicznymi . Gdy zmienna czasu przebiega przez zbiór, który jest dyskretny na niektórych przedziałach i ciągły na innych przedziałach lub jest dowolnym dowolnym zbiorem czasu, takim jak zbiór Cantora , otrzymuje się dynamiczne równania na skalach czasu . Niektóre sytuacje mogą być również modelowane za pomocą operatorów mieszanych, takich jak równania różniczkowe .

Teoria ta zajmuje się długoterminowym jakościowym zachowaniem układów dynamicznych oraz bada naturę i, jeśli to możliwe, rozwiązania równań ruchu układów, które często mają głównie charakter mechaniczny lub w inny sposób fizyczny, takich jak orbity planet i zachowanie obwodów elektronicznych , a także systemów, które powstają w biologii , ekonomii i gdzie indziej. Wiele współczesnych badań koncentruje się na badaniu systemów chaotycznych .

Ta dziedzina nauki nazywana jest również właśnie układami dynamicznymi , matematyczną teorią układów dynamicznych lub matematyczną teorią układów dynamicznych .

Lorenz atraktorem jest przykładem nieliniowej układu dynamicznego. Badanie tego systemu przyczyniło się do powstania teorii chaosu .

Przegląd

Teoria układów dynamicznych i teoria chaosu zajmują się długoterminowym jakościowym zachowaniem układów dynamicznych . W tym przypadku nie skupiamy się na znalezieniu precyzyjnych rozwiązań równań definiujących układ dynamiczny (co często jest beznadziejne), ale raczej na odpowiedzi na pytania typu „Czy układ ustali się w stanie ustalonym w dłuższej perspektywie, a jeśli tak, to jakie są możliwe stany ustalone?” lub „Czy długoterminowe zachowanie systemu zależy od jego stanu początkowego?”

Ważnym celem jest opisanie stałych punktów, czyli stanów ustalonych danego układu dynamicznego; są to wartości zmiennej, które nie zmieniają się w czasie. Niektóre z tych punktów stałych są atrakcyjne , co oznacza, że ​​jeśli system zostanie uruchomiony w pobliskim stanie, zbiega się w kierunku punktu stałego.

Podobnie interesują się punkty okresowe , stany systemu, które powtarzają się po kilku krokach czasowych. Atrakcyjne mogą być również punkty okresowe. Twierdzenie Sharkowskiego jest ciekawym stwierdzeniem dotyczącym liczby punktów okresowych jednowymiarowego dyskretnego układu dynamicznego.

Nawet proste nieliniowe układy dynamiczne często wykazują pozornie przypadkowe zachowanie, które nazwano chaosem . Gałąź systemów dynamicznych zajmująca się czystym definiowaniem i badaniem chaosu nazywana jest teorią chaosu .

Historia

Pojęcie teorii układów dynamicznych wywodzi się z mechaniki Newtona . Tam, podobnie jak w innych naukach przyrodniczych i dyscyplinach inżynierskich, reguła ewolucji układów dynamicznych jest dana implicite przez relację, która określa stan układu tylko na krótki czas w przyszłość.

Przed pojawieniem się szybkich maszyn obliczeniowych rozwiązywanie systemu dynamicznego wymagało wyrafinowanych technik matematycznych i mogło być osiągnięte tylko dla małej klasy systemów dynamicznych.

Do doskonałych prezentacji matematycznej teorii systemów dynamicznych należą Beltrami (1990) , Luenberger (1979) , Padulo i Arbib (1974) oraz Strogatz (1994) .

Koncepcje

Układy dynamiczne

Główny artykuł: Układ dynamiczny (definicja)

Dynamiczny układ koncepcja jest matematycznym formalizacja dla dowolnej stałej „reguły”, która opisuje czasową zależność położenia punktu w jego przestrzeni otoczenia . Przykłady obejmują modele matematyczne opisujące kołysanie się wahadła zegarowego, przepływ wody w rurze oraz liczbę ryb w jeziorze każdej wiosny.

Układ dynamiczny ma stan określony przez zbiór liczb rzeczywistych , lub bardziej ogólnie przez zestaw z punktów w odpowiedniej przestrzeni stanów . Małe zmiany stanu systemu odpowiadają małym zmianom liczb. Liczby są również współrzędnymi przestrzeni geometrycznej — rozmaitości . Zasada ewolucji układu dynamicznego jest ustalona reguła opisująca stany przyszłe co wynika z obecnego stanu. Reguła może być deterministyczna (dla danego przedziału czasu można dokładnie przewidzieć jeden przyszły stan przy danym stanie) lub stochastyczną (ewolucję stanu można przewidzieć tylko z pewnym prawdopodobieństwem).

Dynamika

Dynamika , nazywana również hipotezą dynamiczną lub hipotezą dynamiczną w kognitywistyce lub poznaniu dynamicznym , jest nowym podejściem w kognitywistyce, którego przykładem jest praca filozofa Tima van Geldera . Twierdzi, że równania różniczkowe lepiej nadają się do modelowania poznania niż bardziej tradycyjne modele komputerowe .

System nieliniowy

Główny artykuł: system nieliniowy

W matematyce , o nieliniowość jest system, który nie jest liniowy -ie, system, który nie spełnia zasadę superpozycji . Mniej technicznie, system nieliniowy to każdy problem, w którym zmienna (zmienne) do rozwiązania nie może być zapisana jako liniowa suma niezależnych składników. Układ niejednorodny , który jest liniowy poza obecnością funkcji zmiennych niezależnych , jest według ścisłej definicji nieliniowym, ale takie układy są zwykle badane obok układów liniowych, ponieważ można je przekształcić w układ liniowy, o ile znane jest szczególne rozwiązanie.

Pola pokrewne

Dynamika arytmetyczna

Dynamika arytmetyczna to dziedzina, która pojawiła się w latach 90., łącząc dwa obszary matematyki, systemy dynamiczne i teorię liczb . Klasycznie, dynamika dyskretna odnosi się do badania iteracji samo-odwzorowań płaszczyzny zespolonej lub linii rzeczywistej . Dynamika arytmetyczna to nauka o własnościach teorii liczb całkowitych, wymiernych, p- adycznych i/lub algebraicznych przy wielokrotnym stosowaniu funkcji wielomianowej lub wymiernej .

Teoria chaosu

Teoria chaosu opisuje zachowanie pewnych układów dynamicznych – to znaczy układów, których stan zmienia się w czasie – które mogą wykazywać dynamikę bardzo wrażliwą na warunki początkowe (popularnie określany jako efekt motyla ). W wyniku tej wrażliwości, która objawia się wykładniczym wzrostem perturbacji w warunkach początkowych, zachowanie układów chaotycznych wydaje się losowe . Dzieje się tak, mimo że te systemy są deterministyczne , co oznacza, że ​​ich przyszła dynamika jest w pełni określona przez ich warunki początkowe, bez żadnych elementów losowych. Takie zachowanie jest znane jako chaos deterministyczny lub po prostu chaos .

Złożone systemy

Systemy złożone to dziedzina nauki, która bada wspólne właściwości systemów uważanych za złożone w przyrodzie , społeczeństwie i nauce . Nazywa się to również teorią systemów złożonych , nauką o złożoności , badaniem systemów złożonych i/lub naukami o złożoności . Kluczowym problemem takich systemów są trudności z ich formalnym modelowaniem i symulacją . Z takiej perspektywy, w różnych kontekstach badawczych, złożone systemy są definiowane na podstawie ich różnych atrybutów.
Badanie złożonych systemów wnosi nową żywotność do wielu dziedzin nauki, w których bardziej typowa strategia redukcjonistyczna zawiodła. Złożone systemy są zatem często używane jako szerokie pojęcie obejmujące podejście badawcze do problemów w wielu różnych dyscyplinach, w tym neurologii , naukach społecznych , meteorologii , chemii , fizyce , informatyce , psychologii , sztucznym życiu , obliczeniach ewolucyjnych , ekonomii , przewidywaniu trzęsień ziemi, biologii molekularnej i dociekania natury samych żywych komórek .

Teoria kontroli

Teoria sterowania jest interdyscyplinarną gałęzią inżynierii i matematyki , częściowo zajmuje się wpływaniem na zachowanie układów dynamicznych .

Teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna to gałąź matematyki zajmująca się badaniem układów dynamicznych z miarą niezmienniczą i powiązanymi problemami. Jego początkowy rozwój był motywowany problemami fizyki statystycznej .

Analiza funkcjonalna

Analiza funkcjonalna to dział matematyki , a konkretnie analizy , zajmujący się badaniem przestrzeni wektorowych i działających na nie operatorów . Ma swoje historyczne korzenie w badaniu przestrzeni funkcjonalnych , w szczególności przekształceń funkcji , takich jak transformata Fouriera , a także w badaniu równań różniczkowych i całkowych . To użycie słowa funkcjonalna sięga wstecz do rachunku wariacji , implikując funkcję, której argumentem jest funkcja. Jego zastosowanie ogólnie przypisuje się matematykowi i fizykowi Vito Volterrze, a jego powstanie w dużej mierze przypisuje się matematykowi Stefanowi Banachowi .

Wykresy układów dynamicznych

Koncepcja grafowych systemów dynamicznych (GDS) może być wykorzystana do uchwycenia szerokiego zakresu procesów zachodzących na grafach lub sieciach. Głównym tematem matematycznej i obliczeniowej analizy grafowych systemów dynamicznych jest powiązanie ich właściwości strukturalnych (np. łączności sieciowej) z wynikającą z tego dynamiką globalną.

Projektowane układy dynamiczne

Projektowane układy dynamiczne to teoria matematyczna badająca zachowanie układów dynamicznych, w których rozwiązania są ograniczone do zbioru ograniczeń. Dyscyplina ta dzieli powiązania i zastosowania zarówno ze statycznym światem optymalizacji i problemów równowagi , jak iz dynamicznym światem równań różniczkowych zwyczajnych . Przewidywany układ dynamiczny jest podany przez przepływ do rzutowanego równania różniczkowego.

Dynamika symboliczna

Dynamika symboliczna to praktyka modelowania topologicznego lub gładkiego systemu dynamicznego za pomocą dyskretnej przestrzeni składającej się z nieskończonych sekwencji abstrakcyjnych symboli, z których każdy odpowiada stanowi systemu, z dynamiką (ewolucją) podaną przez operatora przesunięcia .

Dynamika systemu

Dynamika systemu to podejście do zrozumienia zachowania systemów w czasie. Zajmuje się wewnętrznymi pętlami sprzężenia zwrotnego i opóźnieniami czasowymi, które wpływają na zachowanie i stan całego systemu. Tym, co odróżnia stosowanie dynamiki systemu od innych podejść do badania systemów, jest wykorzystanie pętli sprzężenia zwrotnego oraz zasobów i przepływów . Te elementy pomagają opisać, jak nawet pozornie proste systemy wykazują zaskakującą nieliniowość .

Dynamika topologiczna

Dynamika topologiczna to dział teorii układów dynamicznych, w którym badane są jakościowe, asymptotyczne właściwości układów dynamicznych z punktu widzenia topologii ogólnej .

Aplikacje

W biomechanice

W biomechanice sportu teoria układów dynamicznych pojawiła się w naukach o ruchu jako realne ramy do modelowania wyników i wydajności sportowej. Z perspektywy systemów dynamicznych, system ruchu człowieka jest wysoce skomplikowaną siecią współzależnych podsystemów (np. oddechowego, krążeniowego, nerwowego, mięśniowo-szkieletowego, percepcyjnego), które składają się z dużej liczby oddziałujących na siebie składników (np. krwinek, tlenu cząsteczki, tkanka mięśniowa, enzymy metaboliczne, tkanka łączna i kość). W teorii systemów dynamicznych wzorce ruchu powstają poprzez ogólne procesy samoorganizacji występujące w systemach fizycznych i biologicznych. Nie ma walidacji badawczej żadnego z twierdzeń związanych z koncepcyjnym zastosowaniem tych ram.

W kognitywistyce

Teoria systemów dynamicznych znalazła zastosowanie w neuronauce i rozwoju poznawczym , zwłaszcza w neopiagetowskich teoriach rozwoju poznawczego . Jest to przekonanie, że rozwój poznawczy najlepiej reprezentują teorie fizyczne, a nie teorie oparte na składni i sztucznej inteligencji . Uważano również, że równania różniczkowe są najodpowiedniejszym narzędziem do modelowania ludzkiego zachowania. Te równania są interpretowane jako reprezentacja trajektorii poznawczej agenta w przestrzeni stanów . Innymi słowy, dynamiści twierdzą, że psychologia powinna być (lub jest) opisem (poprzez równania różniczkowe) poznania i zachowania podmiotu pod pewnymi naciskami środowiskowymi i wewnętrznymi. Często przyjmuje się również język teorii chaosu.

W nim umysł ucznia osiąga stan nierównowagi, w którym załamują się stare wzorce. To jest przejście fazowe rozwoju poznawczego. Samoorganizacja (spontaniczne tworzenie spójnych form) rozpoczyna się, gdy poziomy aktywności łączą się ze sobą. Nowo powstałe struktury makroskopowe i mikroskopowe wspierają się nawzajem, przyspieszając proces. Te powiązania tworzą strukturę nowego stanu porządku w umyśle poprzez proces zwany scalloping (powtarzalne budowanie i zawalanie się złożonego wykonania). Ten nowy, nowatorski stan jest progresywny, dyskretny, specyficzny i nieprzewidywalny.

Teoria systemów dynamicznych została ostatnio wykorzystana do wyjaśnienia od dawna nierozwiązanego problemu w rozwoju dziecka, zwanego błędem A-not-B .

W rozwoju drugiego języka

Główny artykuł: Dynamiczne podejście do rozwoju drugiego języka

Zastosowanie teorii systemów dynamicznych do badania akwizycji drugiego języka przypisuje się Diane Larsen-Freeman, która w 1997 roku opublikowała artykuł, w którym twierdziła, że akwizycję drugiego języka należy postrzegać jako proces rozwojowy, który obejmuje zarówno wyczerpywanie się języka, jak i przyswajanie języka. W swoim artykule stwierdziła, że ​​język należy postrzegać jako dynamiczny system, który jest dynamiczny, złożony, nieliniowy, chaotyczny, nieprzewidywalny, wrażliwy na warunki początkowe, otwarty, samoorganizujący się, wrażliwy na sprzężenia zwrotne i adaptacyjny.

Zobacz też

Tematy pokrewne
Powiązani naukowcy

Uwagi

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne