Wycena obligacji

Wycena obligacji jest ustalenie ceny godziwej z wiązaniem . Podobnie jak w przypadku każdej inwestycji w papiery wartościowe lub kapitał, teoretyczna wartość godziwa obligacji jest bieżącą wartością strumienia przepływów pieniężnych, które ma wygenerować. W związku z tym wartość obligacji uzyskuje się poprzez zdyskontowanie oczekiwanych przepływów pieniężnych z obligacji do chwili obecnej przy użyciu odpowiedniej stopy dyskontowej .

W praktyce ta stopa dyskontowa jest często określana przez odniesienie do podobnych instrumentów, pod warunkiem, że takie instrumenty istnieją. Następnie dla danej ceny obliczane są różne powiązane miary wydajności. Jeżeli cena rynkowa obligacji jest niższa niż jej wartość nominalna (wartość nominalna), obligację sprzedaje się z dyskontem . I odwrotnie, jeśli cena rynkowa obligacji jest większa niż jej wartość nominalna, obligacja sprzedaje się z premią . Ten i inne relacje między ceną a wydajnością znajdziesz poniżej .

Jeżeli obligacja zawiera wbudowane opcje , wycena jest trudniejsza i łączy wycenę opcji z dyskontowaniem. W zależności od rodzaju opcji, obliczona cena opcji jest dodawana lub odejmowana od ceny części „prostej”. Zobacz dalej w opcji Bond . Suma ta jest więc wartością obligacji.

Jak powyżej, godziwa cena „obligacji prostej” (obligacji bez wbudowanych opcji ; patrz Obligacje (finanse)# Cechy ) jest zwykle ustalana poprzez zdyskontowanie jej oczekiwanych przepływów pieniężnych przy odpowiedniej stopie dyskontowej. Wstępnie omówiono powszechnie stosowaną formułę. Chociaż ta relacja wartości bieżącej odzwierciedla teoretyczne podejście do ustalania wartości obligacji, w praktyce jej cena jest (zwykle) ustalana w odniesieniu do innych, bardziej płynnych instrumentów. Dwa główne podejścia tutaj, ceny względne i ceny bez arbitrażu, zostaną omówione w dalszej części. Wreszcie, gdy ważne jest, aby uznać, że przyszłe stopy procentowe są niepewne i że stopa dyskontowa nie jest odpowiednio reprezentowana przez jedną stałą liczbę – na przykład, gdy opcja jest wystawiona na daną obligację – można zastosować rachunek stochastyczny.

Podejście oparte na wartości bieżącej

Poniżej znajduje się wzór na wyliczenie ceny obligacji, który wykorzystuje wzór na podstawową wartość bieżącą (PV) dla danej stopy dyskontowej. Ta formuła zakłada, że właśnie dokonano płatności kuponowej; zobacz poniżej korekty w innych terminach.

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P & = {\ zacząć {macierz} \ lewo ({\ Frac {C} {1 + I}} + {\ Frac {C} {(1 + I) ^ {2}} }+...+{\frac {C}{(1+i)^{N}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matryca }}\\&={\begin{macierz}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\right)+{ \frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matryca}}\\&={\begin{macierz}C\left({\frac {1-(1+i)^{ -N}}{i}}\right)+M(1+i)^{-N}\end{macierz}}\end{wyrównany}}}

gdzie:

F = nominał

i _F = umowna stopa procentowa

C = F * i _F = płatność kuponowa (okresowa wypłata odsetek)

N = liczba płatności

i = rynkowa stopa procentowa lub wymagana rentowność lub obserwowana / odpowiednia rentowność do terminu zapadalności (patrz poniżej )

M = wartość w terminie zapadalności, zwykle równa wartości nominalnej

P = cena rynkowa obligacji.

Podejście do ceny względnej

Zgodnie z tym podejściem – rozszerzeniem lub zastosowaniem powyższego – obligacja będzie wyceniana w stosunku do benchmarku, zwykle rządowego papieru wartościowego ; patrz Wycena względna . Tutaj rentowność do terminu zapadalności obligacji jest określana na podstawie ratingu kredytowego obligacji w stosunku do papierów wartościowych o podobnym terminie zapadalności lub czasie trwania ; patrz Spread kredytowy (obligacja) . Im lepsza jakość obligacji, tym mniejsza różnica między jej wymaganym zwrotem a YTM benchmarku. Ten wymagany zwrot jest następnie wykorzystywany do dyskontowania przepływów pieniężnych z obligacji, zastępując w powyższym wzorze, aby uzyskać cenę. $i$

Podejście cenowe bez arbitrażu

W odróżnieniu od dwóch powiązanych podejść powyżej, obligację można traktować jako „pakiet przepływów pieniężnych” — kupon lub twarz — przy czym każdy przepływ środków pieniężnych jest postrzegany jako instrument zerokuponowy o terminie zapadalności w dniu, w którym zostanie otrzymany. Dlatego zamiast stosować pojedynczą stopę dyskontową, należy stosować wiele stóp dyskontowych, dyskontując każdy przepływ pieniężny według własnej stopy. Tutaj każdy przepływ pieniężny jest dyskontowany oddzielnie według tej samej stopy, co obligacja zerokuponowa odpowiadająca dacie kuponu, oraz o równoważnej wiarygodności kredytowej (jeśli to możliwe, od tego samego emitenta co wyceniana obligacja, a jeśli nie, z odpowiednią spread kredytowy ).

Zgodnie z tym podejściem cena obligacji powinna odzwierciedlać jej cenę „bez arbitrażu ”, ponieważ wszelkie odchylenie od tej ceny zostanie wykorzystane, a obligacja szybko przeceni się do właściwego poziomu. Tutaj stosujemy racjonalną logikę wyceny odnoszącą się do „Aktywów o identycznych przepływach pieniężnych” . Szczegółowe informacje: (1) Daty kuponów obligacji i kwoty kuponów są znane z całą pewnością. Dlatego też (2) można określić pewną wielokrotność (lub ułamek) obligacji zerokuponowych, z których każda odpowiada dacie kuponu obligacji, tak aby wygenerować identyczne przepływy pieniężne dla obligacji. Zatem (3) cena obligacji dzisiaj musi być równa sumie każdego z jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych według stopy dyskontowej implikowanej przez wartość odpowiedniego ZCB. Gdyby tak nie było, (4) arbiter mógłby sfinansować zakup którejkolwiek z obligacji lub sumy różnych ZCB, który był tańszy, poprzez krótką sprzedaż drugiego i spełnienie swoich zobowiązań w zakresie przepływów pieniężnych przy użyciu kuponów lub odpowiednio zapadających zer . Wtedy (5) jego „wolny od ryzyka” zysk z arbitrażu byłby różnicą między tymi dwiema wartościami.

Podejście rachunku stochastycznego

Podczas modelowania opcji na obligacje lub innego instrumentu pochodnego stopy procentowej (IRD) ważne jest, aby uznać, że przyszłe stopy procentowe są niepewne, a zatem stopa(-y) dyskontowa, o której mowa powyżej, we wszystkich trzech przypadkach – tj. czy dla wszystkich kuponów lub dla każdego pojedynczego kuponu – nie jest odpowiednio reprezentowany przez stałą ( deterministyczną ) liczbę. W takich przypadkach stosuje się rachunek stochastyczny .

Poniżej znajduje się równanie różniczkowe cząstkowe (PDE) w rachunku stochastycznym, które, na podstawie argumentów arbitrażowych, spełnia każde wiązanie zerokuponowe , w (chwilowym) czasie , dla odpowiednich zmian w , krótki kurs . $P$ $t$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ sigma (r) ^ {2} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} P} {\ częściowy r ^ {2}}} + [a (r) +\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\częściowy P}{\częściowy r}}+{\frac {\częściowy P}{\częściowy t}}-rP=0}$

Rozwiązanie PDE (tj. odpowiedni wzór na wartość obligacji) — podane w Cox et al. - jest:

${\ Displaystyle P [t, T, r (t)] = E_ {t} ^ {\ ast} [e ^ {-R (t, T)}]}$

gdzie jest oczekiwaniem w odniesieniu do prawdopodobieństw neutralnych dla ryzyka i jest zmienną losową reprezentującą stopę dyskontową; zobacz także ceny Martingale .

{\ Displaystyle E_ {t} ^ {\ ast}}

{\ Displaystyle R (t, T)}

Aby faktycznie określić cenę obligacji, analityk musi wybrać konkretny model krótkoterminowy, który zostanie zastosowany. Powszechnie stosowane podejścia to:

Należy zauważyć, że w zależności od wybranego modelu, rozwiązanie w formie zamkniętej ( „czarne podobne” ) może nie być dostępne, a następnie stosowana jest implementacja danego modelu oparta na siatce lub symulacji . Zobacz także Opcja obligacji § Wycena .

Czysta i brudna cena?

Jeżeli obligacja nie zostanie wyceniona dokładnie w dniu kuponu, cena obliczona przy użyciu powyższych metod będzie uwzględniać naliczone odsetki : tj. wszelkie odsetki należne właścicielowi obligacji od poprzedniego dnia kuponu; patrz konwencja liczenia dni . Cena obligacji, która obejmuje te naliczone odsetki, jest znana jako „ cena brudna ” (lub „cena pełna” lub „cena całościowa” lub „cena gotówkowa”). „ Cena czysta ” to cena bez naliczonych odsetek. Ceny czyste są na ogół bardziej stabilne w czasie niż ceny brudne. Dzieje się tak dlatego, że brudna cena nagle spadnie, gdy obligacja przejdzie „bez odsetek”, a nabywca nie będzie już uprawniony do otrzymania następnej wypłaty kuponu. Na wielu rynkach praktyką rynkową jest kwotowanie obligacji na podstawie czystej ceny. Po rozliczeniu zakupu naliczone odsetki są dodawane do podanej ceny czystej, aby uzyskać rzeczywistą kwotę do zapłaty.

Relacje wydajności i ceny

Po obliczeniu ceny lub wartości można określić różne zyski, które wiążą cenę obligacji z jej kuponami.

Wydajność do dojrzałości

Wydajność do dojrzałości (YTM) jest stopa zniżki, który zwraca cenę rynkową z wiązaniem bez wbudowanego fakultatywności; jest identyczny z (wymagany zwrot) w powyższym równaniu . YTM jest więc wewnętrzną stopą zwrotu z inwestycji w obligację dokonanej po obserwowanej cenie. Ponieważ YTM można wykorzystać do wyceny obligacji, ceny obligacji są często podawane w kategoriach YTM. $i$

Aby osiągnąć zwrot równy YTM, czyli tam, gdzie jest to wymagany zwrot z obligacji, właściciel obligacji musi:

kup obligację po cenie , $P_{0}$
trzymać obligację do terminu zapadalności, i
wykup obligacji po cenie nominalnej.

Stawka kuponu

Stopa kuponu to po prostu wypłata kuponu wyrażona jako procent wartości nominalnej . ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle F}$

{\ Displaystyle {\ tekst {Kupon}} = {\ Frac {C} {F}}}

Rentowność kuponu jest również nazywana zyskiem nominalnym .

Aktualna wydajność

Wydajność prądowa jest po prostu płatność kuponu jako procent ( bieżącego ) Cena wiązania . ${\ Displaystyle C}$ $P$

{\ Displaystyle {\ tekst {Aktualna wydajność}} = {\ Frac {C} {P_{0}}}.}

Związek

Pojęcie bieżącej rentowności jest ściśle powiązane z innymi koncepcjami obligacji, w tym rentownością do terminu zapadalności i rentownością kuponu. Zależność między rentownością do terminu zapadalności a stopą kuponu jest następująca:

Kiedy obligacja sprzedaje się z dyskontem, YTM > bieżąca rentowność > rentowność kuponu.
Gdy obligacja sprzedaje się z premią, rentowność kuponu > bieżąca rentowność > YTM.
Gdy obligacja sprzedaje się po cenie nominalnej, YTM = bieżąca rentowność = rentowność kuponu

Wrażliwość na cenę

Wrażliwość wiązania cenę rynkową, aby ocenić odsetek (czyli wydajności) przepływu jest mierzona za pomocą jego trwania , a dodatkowo jego wypukłość .

Czas trwania jest liniową miarą tego, jak cena obligacji zmienia się w odpowiedzi na zmiany stóp procentowych. Jest w przybliżeniu równa procentowej zmianie ceny dla danej zmiany rentowności i może być traktowana jako elastyczność ceny obligacji w odniesieniu do stóp dyskontowych. Na przykład w przypadku niewielkich zmian stóp procentowych czas trwania to przybliżony procent, o który wartość obligacji spadnie przy rocznym wzroście rynkowej stopy procentowej o 1%. Zatem cena rynkowa 17-letniej obligacji o czasie trwania 7 spadłaby o około 7%, gdyby rynkowa stopa procentowa (a dokładniej odpowiadająca siła procentowa ) wzrosła o 1% rocznie.

Wypukłość jest miarą „krzywizny” zmian cen. Jest to potrzebne, ponieważ cena nie jest liniową funkcją stopy dyskontowej, lecz wypukłą funkcją stopy dyskontowej. W szczególności duracja może być sformułowana jako pierwsza pochodna ceny względem stopy procentowej, a wypukłość jako druga pochodna (patrz: Formuła zamknięta na czas trwania obligacji ; Formuła wypukłości w formie zamkniętej obligacji ; Seria Taylora ). Kontynuując powyższy przykład, w celu dokładniejszego oszacowania wrażliwości, wynik wypukłości zostałby pomnożony przez kwadrat zmiany stopy procentowej, a wynik dodany do wartości otrzymanej z powyższego wzoru liniowego.

W przypadku opcji osadzonych zobacz efektywny czas trwania i efektywną wypukłość .

Ujęcie księgowe

W rachunkowości dla zobowiązań , dyskonta lub premii obligacji muszą być amortyzowane przez okres trwania obligacji. W tym celu można zastosować szereg metod, w zależności od obowiązujących zasad rachunkowości. Jedną z możliwości jest to, że kwota amortyzacji w każdym okresie jest obliczana z następującego wzoru:

$n\w \{0,1,...,N-1\}$

$a_{n+1}$ = kwota amortyzacji w okresie numer "n+1"

${\ Displaystyle a_ {n + 1} = | IP-C | {(1 + i)} ^ {n}}$

Rabat obligacji lub premia za obligacje = = $|FP|$ $a_{1}+a_{2}+...+a_{N}$

Rabat obligacji lub premia za obligacje = ${\ Displaystyle F | i-i_ {F} | ({\ Frac {1-(1 + i) ^ {-N}} {i}})}$

Zobacz też

Bibliografia

Wybrana bibliografia

Guillermo L. Dumrauf (2012). „Rozdział 1: Ceny i zwrot” . Wiązania, analiza krok po kroku w programie Excel . Wersja Kindle.
Frank Fabozzi (1998). Wycena papierów wartościowych o stałym dochodzie i instrumentów pochodnych (wyd. 3). John Wiley . Numer ISBN 978-1-883249-25-0.
Frank J. Fabozzi (2005). Matematyka o stałym dochodzie: Techniki analityczne i statystyczne (wyd. 4). Johna Wileya. Numer ISBN 978-0071460736.
R. Stafforda Johnsona (2010). Ocena obligacji, wybór i zarządzanie (2nd ed.). Johna Wileya. Numer ISBN 0470478357.
Mayle, Jan (1993), Standardowe metody obliczania papierów wartościowych: formuły papierów wartościowych o stałym dochodzie dla ceny, zysku i naliczonych odsetek , 1 (3rd ed.), Securities Industry and Financial Markets Association , ISBN 1-882936-01-9
Donalda J. Smitha (2011). Matematyka Bonda: teoria kryjąca się za formułami . Johna Wileya. Numer ISBN 1576603067.
Bruce'a Tuckmana (2011). Papiery wartościowe o stałym dochodzie: narzędzia dla dzisiejszych rynków (3rd ed.). Johna Wileya. Numer ISBN 0470891696.
Pietro Veronesi (2010). Papiery wartościowe o stałym dochodzie: wycena, ryzyko i zarządzanie ryzykiem . Johna Wileya. Numer ISBN 978-0470109106.
Malkiel, Burton Gordon (1962). „Oczekiwania, ceny obligacji i struktura terminowa stóp procentowych” . Kwartalnik Ekonomiczny.
Marka Mobiusa (2012). Obligacje: wprowadzenie do podstawowych pojęć . Johna Wileya. Numer ISBN 978-0470821473.

Linki zewnętrzne

Wycena obligacji , prof. Campbell R. Harvey, Duke University
Podstawa wartości pieniądza w czasie , prof. Aswath Damodaran , Stern School of Business
Podstawowa wycena obligacji Prof. Alan R. Palmiter, Wake Forest University
Zmienność cen obligacji Towarzystwo Analityków Inwestycyjnych Republiki Południowej Afryki
Czas trwania i wypukłość Towarzystwo Analityków Inwestycyjnych Republiki Południowej Afryki

Languages

In other projects

Wycena obligacji - Bond valuation

Zawartość