Wielościan podwójny jednostajny - Dual uniform polyhedron
Podwójny jednolity wielościan jest podwójny z jednolitej bryły . Tam, gdzie jednostajny wielościan jest wierzchołkiem przechodni , podwójny jednostajny wielościan jest przechodni od czoła .
Wyliczenie
Wielościany przechodnie twarzowe składają się ze zbioru 9 wielościanów foremnych, dwóch zbiorów skończonych zawierających 66 wielościanów nieregularnych oraz dwóch zbiorów nieskończonych:
- 5 regularnych wypukłych brył platońskich , które są do siebie dualne ( czworościan foremny ma swoją własną dualność).
- 4 regularne gwiazdy Kepler-Poinsot , które są do siebie podwójne.
- 13 wypukłych brył katalońskich , które są bliźniacze do jednorodnych wypukłych brył Archimedesa .
- 53 wielościany gwiaździste, które są podwójne do wielościanów jednostajnych gwiaździstych.
- Nieskończona seria bipiramid , które są podwójne do pryzmatów jednorodnych , zarówno wypukłych, jak i gwiaździstych.
- Nieskończone serie trapezohedr , które są podwójne do jednolitych antypryzmatów , zarówno wypukłych, jak i gwiaździstych.
Pełen zestaw opisał Wenninger, wraz z instrukcją konstruowania modeli, w swojej książce Modele podwójne .
Konstrukcja Dorman Luke
W przypadku jednostajnego wielościanu każda ściana podwójnego wielościanu może być wyprowadzona z odpowiadającej figury wierzchołka oryginalnego wielościanu za pomocą konstrukcji Dormana Luke'a .
Jako przykład, rysunek poniżej przedstawia postać wierzchołka (czerwony) z sześcio-ośmiościan są wykorzystywane do uzyskania odpowiedniego powierzchnię (niebieski) z rombowego dwunastościanu .
Konstrukcja Dormana Luke'a przebiega następująco:
- Zaznacz punkty A , B , C , D każdej krawędzi połączonej z wierzchołkiem V (w tym przypadku punkty środkowe) tak, że VA = VB = VC = VD .
- Narysuj wierzchołek figury ABCD .
- Narysuj okrąg opisany przez ABCD .
- Narysuj linię styczną do okręgu opisanego w każdym rogu A , B , C , D .
- Zaznacz punkty E , F , G , H , w których spotykają się dwie sąsiednie styczne.
Odcinki linii EF , FG , GH , HE są już narysowane jako części linii stycznych. Wielokąt EFGH to powierzchnia podwójnego wielościanu, która odpowiada pierwotnemu wierzchołkowi V .
W tym przykładzie wielkość figury wierzchołkowej dobrano tak, aby jej okrąg opisany był na międzysferze prostopadłościanu , który staje się również międzysferą dwunastościanu podwójnego rombowego. Konstrukcja Dormana Luke'a może być użyta tylko wtedy, gdy wielościan ma taką intersferę, że figura wierzchołkowa ma okrąg opisany. Na przykład może być stosowany do wielościanów jednorodnych .
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modele matematyczne (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
- Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Duality of polyhedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 36 (6): 617-642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID 120818796.
- Wenninger, Magnus (1974). Modele wielościanów . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-09859-9.
- Wenninger, Magnus (1983). Modele podwójne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-54325-8.