Aukcja po pierwszej cenie z ceną niejawną - First-price sealed-bid auction

Pierwszy-cena aukcji uszczelnione-bid (FPSBA) to popularny rodzaj aukcji . Znany jest również jako aukcja w ciemno . W tego typu aukcjach wszyscy oferenci składają jednocześnie oferty zapieczętowane, tak aby żaden z oferentów nie znał oferty innego uczestnika. Licytant, który zaoferował najwyższą cenę, płaci zgłoszoną cenę.

Analiza strategiczna

W FPSBA każdy oferent charakteryzuje się ceną pieniężną przedmiotu przeznaczonego na sprzedaż.

Załóżmy, że Alicja jest licytantem i jej wycena jest . Następnie, jeśli Alicja jest racjonalna: ${\ displaystyle a}$

Nigdy nie zaoferuje więcej niż , ponieważ licytowanie więcej niż a może tylko spowodować, że straci wartość netto. ${\ displaystyle a}$
Jeśli licytuje dokładnie , nie straci, ale też nie zyska żadnej wartości dodatniej. ${\ displaystyle a}$
Jeśli licytuje mniej niż , może odnieść pewien pozytywny zysk, ale dokładny zysk zależy od ofert pozostałych. ${\ displaystyle a}$

Alicja chciałaby zaoferować najmniejszą kwotę, która pozwoli jej wygrać przedmiot, o ile ta kwota jest mniejsza niż . Na przykład, jeśli jest inny licytujący Bob i on licytuje i , wtedy Alicja chciałaby złożyć ofertę (gdzie jest najmniejsza kwota, jaką można dodać, np. Jeden cent). ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y <a}$ ${\ Displaystyle y + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Niestety Alicja nie wie, co będą licytować pozostali oferenci. Co więcej, nie zna nawet wycen pozostałych oferentów. Stąd strategicznie mamy grę bayesowską - grę, w której agenci nie znają wypłat innych agentów.

Ciekawym wyzwaniem w takiej grze jest znalezienie równowagi bayesowskiej Nasha . Nie jest to jednak łatwe, nawet gdy jest tylko dwóch oferentów. Sytuacja jest prostsza, gdy wyceny oferentów są iid zmiennymi losowymi , tj .: istnieje znany wcześniejszy rozkład i wszystkie wyceny oferentów są pobierane z tego samego rozkładu.

Przykład

Załóżmy, że jest dwóch oferentów, Alicja i Bob, których wyceny i są pobierane z ciągłego równomiernego rozkładu w przedziale [0,1]. Następnie mamy do czynienia z równowagą Bayesa-Nasha, gdy każdy licytujący licytuje dokładnie połowę swojej wartości: Alicja licytuje, a Bob licytuje . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a / 2}$ ${\ displaystyle b / 2}$

DOWÓD: Dowód przyjmuje punkt widzenia Alicji. Zakładamy, że wie, że Bob licytuje , ale ona nie wie . Znajdujemy najlepszą odpowiedź Alicji na strategię Boba. Załóżmy, że Alicja licytuje . Istnieją dwa przypadki: ${\ Displaystyle f (b) = b / 2}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle x \ geq f (b)}$ . Wtedy Alice wygrywa i cieszy się zyskiem netto w wysokości . Dzieje się to z prawdopodobieństwem . ${\ displaystyle ax}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (x) = 2x}$
${\ Displaystyle x <f (b)}$ . Wtedy Alicja przegrywa, a jej zysk netto wynosi 0. Dzieje się tak z prawdopodobieństwem . ${\ displaystyle 1-f ^ {- 1} (x)}$

W sumie, Alicji oczekiwano zysk wynosi: . Maksymalne wzmocnienie jest osiągane, gdy . Pochodna to (patrz Funkcje odwrotne i różniczkowanie ): ${\ Displaystyle G (x) = f ^ {- 1} (x) \ cdot (topór)}$ ${\ Displaystyle G '(x) = 0}$

{\ Displaystyle G '(x) = - f ^ {- 1} (x) + (topór) \ cdot {1 \ nad f' (f ^ {- 1} (x))}}

i wynosi zero, gdy oferta Alicji spełnia: ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle f ^ {- 1} (x) = (ax) \ cdot {1 \ over f '(f ^ {- 1} (x))}}

Teraz, ponieważ szukamy równowagi symetrycznej, chcemy również, aby oferta Alicji była równa . Więc mamy: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f (a)}$

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (fa (a)) = (af (a)) \ cdot {1 \ nad f '(f ^ {- 1} (f (a)))}}

{\ displaystyle a = (af (a)) \ cdot {1 \ nad f '(a)}}

{\ displaystyle af '(a) = (af (a))}

Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest: . ${\ displaystyle f (a) = a / 2}$

Uogólnienie

Oznacz przez:

${\ displaystyle v_ {i}}$ - wycena oferenta ; ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle y_ {i}}$ - maksymalna wycena wszystkich oferentów z wyjątkiem tj . ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle y_ {i} = \ max _ {j \ neq i} {v_ {j}}}$

Następnie FPSBA ma unikalną symetryczną BNE, w której oferta gracza jest określona przez: ${\ displaystyle i}$

{\ displaystyle E [y_ {i} | y_ {i} <v_ {i}]}

Wariant z ofertą motywacyjną

FPSBA nie jest kompatybilna z zachętami nawet w słabym sensie zgodności Bayesian-Nash-Incentive-Compatibility (BNIC), ponieważ nie istnieje równowaga Bayesa-Nasha, w której oferenci zgłaszają swoją prawdziwą wartość.

Jednak łatwo jest stworzyć wariant FPSBA, jakim jest BNIC, jeśli powszechnie wiadomo, jakie są wcześniejsze ustalenia dotyczące wycen. Na przykład, dla opisanego powyżej przypadku Alicji i Boba, zasady wariantu BNIC są następujące:

Licytant z najwyższą ofertą wygrywa;
Licytant, który zaoferował najwyższą cenę, płaci połowę swojej oferty.

W efekcie ten wariant symuluje strategie równowagi Bayesiana-Nasha graczy, więc w równowadze Bayesiana-Nasha obaj oferenci licytują swoją prawdziwą wartość.

Ten przykład jest szczególnym przypadkiem znacznie bardziej ogólnej zasady: zasady objawienia .

Porównanie z aukcją drugiej ceny

Poniższa tabela porównuje FPSBA z aukcją drugiej ceny po zamkniętej ofercie (SPSBA):

Aukcja:	Pierwsza cena	Druga cena
Zwycięzca:	Agent z najwyższą ofertą	Agent z najwyższą ofertą
Zwycięzca płaci:	Oferta zwycięzcy	Druga najwyższa oferta
Przegrany płaci:	0	0
Dominująca strategia :	Żadnej dominującej strategii	Licytowanie zgodnie z prawdą jest dominującą strategią
Równowaga Bayesa Nasha	Licytant składa oferty ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n}} v_ {i}}$	Licytant licytuje zgodnie z prawdą ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$
Przychody aukcjonera	${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n + 1}}}$	${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n + 1}}}$

Przychody prowadzącego aukcje oblicza się w przykładowym przypadku, w którym wyceny agentów są sporządzane w sposób niezależny i jednolity losowo z [0,1]. Na przykład, gdy są agenci: ${\ displaystyle n = 2}$

W aukcji pierwszej ceny licytator otrzymuje maksimum z dwóch ofert równowagi, czyli . ${\ Displaystyle \ max (za / 2, b / 2)}$
W aukcji drugiej ceny licytator otrzymuje minimum z dwóch prawdziwych ofert, czyli . ${\ Displaystyle \ min (a, b)}$

W obu przypadkach spodziewany dochód licytatora wynosi 1/3.

Fakt, że dochód jest taki sam, nie jest przypadkiem - jest to szczególny przypadek twierdzenia o równoważności przychodów . Ma to miejsce tylko wtedy, gdy wyceny agentów są statystycznie niezależne ; gdy wyceny są zależne, mamy aukcję o wspólnej wartości iw tym przypadku przychód z aukcji drugiej ceny jest zwykle wyższy niż na aukcji pierwszej ceny.

Przedmiot na sprzedaż nie może zostać sprzedany, jeśli ostateczna oferta nie jest wystarczająco wysoka, aby zadowolić sprzedającego, to znaczy sprzedający zastrzega sobie prawo do przyjęcia lub odrzucenia najwyższej oferty. Jeżeli sprzedający ogłasza oferentom cenę minimalną, jest to publiczna aukcja z ceną minimalną. Natomiast jeśli sprzedawca nie ogłasza ceny minimalnej przed sprzedażą, a dopiero po sprzedaży, jest to tajna aukcja z ceną minimalną.

Porównanie z innymi aukcjami

FPSBA różni się od aukcji angielskiej tym, że każdy oferent może złożyć tylko jedną ofertę. Ponadto, ponieważ oferenci nie widzą ofert innych uczestników, nie mogą odpowiednio dostosowywać swoich własnych ofert.

Argumentowano, że FPSBA jest strategicznym odpowiednikiem aukcji holenderskiej .

To, co faktycznie nazywa się FPSBA, jest powszechnie nazywane przetargami na zamówienia przez firmy i organizacje, szczególnie w przypadku zamówień rządowych i aukcji na dzierżawy górnicze. Uważa się, że FPSBA prowadzi do niskich kosztów zamówień dzięki konkurencji i niskiej korupcji dzięki zwiększonej przejrzystości, nawet jeśli mogą wiązać się z wyższymi dodatkowymi kosztami ex post ukończonego projektu i dodatkowym czasem na jego ukończenie.

Uogólnione pierwszy-cena aukcji jest non-prawdomówny mechanizm aukcja dla sponsorowanego wyszukiwania (aka aukcji pozycja).

Uogólnieniem aukcji pierwszej i drugiej ceny jest aukcja, w której cena jest wypukłym połączeniem pierwszej i drugiej ceny.

Bibliografia

Dalsza lektura

Hammami, Faruk; Rekik, Monia; Coelho, Leandro C. (2019). „Dokładne i heurystyczne podejście do problemu konstrukcji ofert w aukcjach zamówień transportowych z heterogeniczną flotą”. Badania transportu, część E: Przegląd logistyki i transportu . 127 : 150–177. doi : 10.1016 / j.tre.2019.05.009 . Aukcje kombinatoryczne dotyczące zamówień na usługi transportowe z regułami pierwszej ceny po zapieczętowaniu.

Linki zewnętrzne

Równowaga Nasha w aukcji pierwszej ceny - w witrynie math.stackexchange.com.

Languages

In other projects