Orbifold - Orbifold

W matematycznych dyscyplinach topologii i geometrii , orbifold (dla "orbit-rozmaitości") jest uogólnieniem rozmaitości . Z grubsza rzecz biorąc, orbifold jest przestrzenią topologiczną, która jest lokalnie skończonym ilorazem grupowym przestrzeni euklidesowej.

Definicje orbifolda były podawane kilkakrotnie: przez Ichirô Satake w kontekście form automorficznych w latach 50. pod nazwą V-manifold ; przez William Thurston w kontekście geometrii 3-rozmaitości w 1970 roku, kiedy ukuł nazwę Orbifold , po głosowaniu przez jego uczniów; oraz André Haefligera w latach 80. w kontekście programu Michaiła Gromowa o przestrzeniach CAT(k) pod nazwą orbihedron .

Historycznie orbifoldy powstały jako powierzchnie z pojedynczymi punktami na długo przed ich formalnym zdefiniowaniem. Jeden z pierwszych klasycznych przykładów powstał w teorii form modularnych z działaniem grupy modularnej na górną półpłaszczyznę : wersja twierdzenia Riemanna-Rocha obowiązuje po zagęszczeniu ilorazu przez dodanie dwóch orbifold punktów wierzchołkowych. W teorii 3-rozmaitości teoria przestrzeni włókien Seiferta , zainicjowana przez Herberta Seiferta , może być sformułowana w kategoriach dwuwymiarowych orbifoldów. W geometrycznej teorii grup , post-Gromov, dyskretne grupy były badane pod kątem lokalnych właściwości krzywizny orbiedrów i ich przestrzeni pokrywających. ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {Z})}$

W teorii strun słowo „orbifold” ma nieco inne znaczenie, omówione szczegółowo poniżej. W dwuwymiarowej teorii pola konforemnego odnosi się do teorii dołączonej do podalgebry punktu stałego algebry wierzchołków pod działaniem skończonej grupy automorfizmów .

Głównym przykładem bazowego przestrzennych są iloraz kolektora pod odpowiednio nieciągłym działaniu potencjalnie nieskończonej grupy o Dyfeomorfizm o określonym izotropii podgrup . W szczególności dotyczy to każdego działania skończonej grupy ; zatem rozmaitość z granicą niesie naturalną strukturę orbifold, ponieważ jest ilorazem jej sobowtóra przez działanie . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Jedna przestrzeń topologiczna może przenosić różne struktury orbifold. Rozważmy na przykład orbifold O skojarzony z przestrzenią ilorazową 2-sfery wzdłuż obrotu o ; jest homeomorficzny z 2-sferą, ale naturalna struktura orbifold jest inna. Możliwe jest zaadaptowanie większości cech rozmaitości do orbifoldów, a te cechy zazwyczaj różnią się od odpowiadających im cech przestrzeni leżącej pod spodem. W powyższym przykładzie, Orbifold podstawową grupę o O to a jego Orbifold Eulera cechą jest 1. ${\displaystyle \pi}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Formalne definicje

Podobnie jak rozmaitość, orbifold jest określony przez lokalne warunki; Jednak zamiast lokalnie wzorowana na otwartych podzbiorów o An Orbifold lokalnie wzorowana na ilorazów otwartych podzbiorów przez działaniach grupowych skończonych. Struktura orbifoldu koduje nie tylko strukturę podstawowej przestrzeni ilorazowej, która nie musi być rozmaitością, ale także strukturę podgrup izotropowych . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

N wymiarową Orbifold jest Hausdorffa topologiczna X , zwany Bazowy przestrzeń , z pokryciem przez zbiór zestawów otwarte , zamknięte na podstawie skończonego skrzyżowania. Dla każdego jest ${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$

• podzbiorem otwartym od , niezmienna przy wiernej działaniu liniowego skończonej grupy ;${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$
• ciągła mapa z na niezmiennikami , zwany Orbifold wykres , który określa homeomorfizm między i .${\ Displaystyle \ varphi _ {i}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$${\ Displaystyle V_ {i}/\ Gamma _ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$

Kolekcja wykresów orbifold nazywana jest atlasem orbifold, jeśli spełnione są następujące właściwości:

• Dla każdego włączenia U _I U _j istnieje różnowartościową grupa Homomorfizm f _ij  : Γ _i Γ _j${\ Displaystyle \ podzbiór}$ ${\displaystyle \rightarrow}$
• dla każdego włączenia U _i U _j istnieje Γ _i  - homeomorfizm ekwiwariantny ψ _ij , zwany mapą klejenia , V _i na otwarty podzbiór V _j${\ Displaystyle \ podzbiór}$
• mapy klejenia są zgodne z wykresami, tj. φ _j · ψ _ij = φ _i
• mapy klejenia są unikalne aż do kompozycji z elementami grupowymi, tzn. każda inna możliwa mapa klejenia od V _i do V _j ma postać g · ψ _ij dla unikatowego g w Γ _j

Atlas orbifold całkowicie definiuje strukturę orbifold : dwa atlasy orbifold X dają tę samą strukturę orbifold, jeśli można je konsekwentnie łączyć w celu uzyskania większego atlasu orbifold. Zauważ, że struktura orbifold określa podgrupę izotropii dowolnego punktu orbifoldu aż do izomorfizmu: może być obliczona jako stabilizator punktu na dowolnym wykresie orbifold. Jeśli U _i U _j U _k , to istnieje unikalny element przejściowy g _ijk w Γ _k taki, że ${\ Displaystyle \ podzbiór}$ ${\ Displaystyle \ podzbiór}$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Te elementy przejściowe spełniają

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

a także relacji cocycle (gwarantującej skojarzenie)

f _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

Bardziej ogólnie, do otwartego pokrycia orbifoldu przez wykresy orbifold dołączone są dane kombinatoryczne tak zwanego kompleksu grup (patrz niżej).

Dokładnie tak jak w przypadku rozmaitości, na mapach sklejania można nałożyć warunki różniczkowalności, aby podać definicję różniczkowalnego orbifoldu . Będzie to orbifold riemannowski, jeśli dodatkowo na wykresach orbifoldowych znajdują się niezmienne metryki riemannowskie, a mapy klejenia są izometriami .

Definicja przy użyciu grupoidów

Groupoid składa się z zestawu obiektów , zestaw strzałek i mapy konstrukcyjnych, w tym źródle i map docelowych i innych mapy pozwalających strzałki skład i rewersu. Nazywa się to groupoidem Liego, jeśli obie i są gładkimi rozmaitościami, wszystkie mapy strukturalne są gładkie, a zarówno mapa źródłowa, jak i docelowa są zanurzeniami. Nazywa się właściwą, jeśli mapa jest właściwą mapą. Nazywa się étale, jeśli zarówno mapa źródłowa, jak i docelowa są lokalnymi dyfeomorfizmami. Orbifold groupoid jest właściwa Etale Lie groupoid. ${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle s,t:G_{1}\do G_{0}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle (s,t):G_{1}\do G_{0}\razy G_{0}}$

Powiązana z orbifold groupoidem istnieje podstawowa przestrzeń orbity . Orbifold struktura w przestrzeni topologicznej składa się z orbifold groupoidu i homeomorfizmu . Z drugiej strony, mając orbifold z atlasem, można zbudować orbifold groupoid, który jest niezależny od wyboru atlasu aż do równoważności Morita . ${\ Displaystyle G}$${\displaystyle |G|}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle | G | \ Simeq X}$

Pojęcie orbifold groupoids jest szczególnie skuteczne przy omawianiu nieefektywnych orbifoldów i map między orbifoldami. Na przykład mapę między orbifoldami można opisać homomorfizmem między grupoidami, który niesie więcej informacji niż leżąca pod nią ciągła mapa między leżącymi pod nią przestrzeniami topologicznymi.

Przykłady

• Każda rozmaitość bez granic jest trywialnie orbifoldą. Każda z grup y _I jest grupa trywialna .
• Jeśli N jest zwartą rozmaitością z brzegiem, jej podwójne M można utworzyć przez sklejenie kopii N i jej lustrzanego odbicia wzdłuż ich wspólnej granicy. Istnieje naturalna odbicie działanie Z ₂ w płycie M ustalające wspólną granicę; przestrzeń ilorazową można utożsamić z N , tak że N ma naturalną strukturę orbifold.
• Jeśli M jest n -rozmaitością Riemanna z kokompaktowym właściwym izometrycznym działaniem dyskretnej grupy Γ, to przestrzeń orbity X = M /Γ ma naturalną strukturę orbifold: dla każdego x w X weź reprezentatywne m w M i otwarte sąsiedztwo V _m o m niezmienny podczas stabilizatora Tt _m , zidentyfikowane equivariantly z Γ _m -subset z T _m m pod mapą wykładniczej w m ; skończenie wiele sąsiedztw pokrywa X i każde z ich skończonych przecięć, jeśli nie jest puste, jest objęte przecięciem Γ-translacji g _m · V _m z odpowiednią grupą g _m Γ g _m ^-1 . Orbifoldy powstające w ten sposób nazywane są rozwijalnymi lub dobrymi .
• Klasyczne twierdzenie Henri Poincarégo konstruuje grupy Fuchsowskie jako hiperboliczne grupy odbicia generowane przez odbicia na krawędziach trójkąta geodezyjnego w płaszczyźnie hiperbolicznej dla metryki Poincarégo . Jeśli trójkąt ma kąty π / n _i dla dodatnich liczb całkowitych n _i , trójkąt jest podstawową dziedziną i naturalnie dwuwymiarową orbifoldą. Odpowiednia grupa jest przykładem hiperbolicznej grupy trójkąta . Poincaré podał również trójwymiarową wersję tego wyniku dla grup kleinowskich : w tym przypadku grupa kleinowska Γ jest generowana przez hiperboliczne odbicia, a orbifold to H ³ / Γ.
• Jeśli M jest zamkniętą 2-rozmaitością, nowe struktury orbifold można zdefiniować na M i, usuwając skończoną liczbę rozłącznych zamkniętych dysków z M i sklejając kopie dysków D / Γ _i, gdzie D jest zamkniętym dyskiem jednostkowym, a Γ _i jest skończoną cykliczna grupa obrotów. To uogólnia konstrukcję Poincarégo.

Grupa podstawowa Orbifold

Istnieje kilka sposobów na zdefiniowanie podstawowej grupy orbifold . Bardziej wyrafinowane metody użyć Orbifold nakrycie lub klasyfikowania przestrzenie o groupoids . Najprostsze podejście (przyjęte przez Haefligera i znane również Thurstonowi) rozszerza zwykłe pojęcie pętli używane w standardowej definicji grupy podstawowej .

Ścieżka Orbifold jest ścieżka w podstawowej powierzchni wyposażonej w wyraźne wyciągu odcinkowo odcinków toru do Orbifold wykresów i wyraźnych elementów grupy identyfikowania ścieżki zachodzą na siebie wykresy; jeśli ścieżka bazowa jest pętlą, nazywana jest pętlą orbifold . Dwie ścieżki orbifold są identyfikowane, jeśli są powiązane poprzez mnożenie przez elementy grupy na wykresach orbifold. Grupa podstawowa orbifold to grupa utworzona przez klasy homotopii pętli orbifold.

Jeśli orbifold powstaje jako iloraz prostej połączonej rozmaitości M przez odpowiednio sztywne działanie dyskretnej grupy Γ, orbifolda podstawowa grupa może być utożsamiana z Γ. Ogólnie jest to rozszerzenie Γ o π ₁ M .

Mówi się, że orbifold jest rozwijalny lub dobry, jeśli powstaje jako iloraz działania grupy; inaczej nazywa się to złym . Uniwersalne pokrycie Orbifold może być wykonany do Orbifold przez bezpośrednie analogicznie do budowy uniwersalnej przestrzeni przykrywającej topologicznej przestrzeni, a mianowicie jako przestrzeni par składających się z punktami Orbifold i homotopii klas Orbifold ścieżkami łączącymi je do punktu bazowego. Ta przestrzeń jest naturalnie orbifoldem.

Zauważ, że jeśli wykres orbifold na kurczliwym otwartym podzbiorze odpowiada grupie Γ, to istnieje naturalny lokalny homomorfizm Γ w grupie podstawowej orbifold.

W rzeczywistości następujące warunki są równoważne:

• Orbifold jest rozwijalny.
• Struktura orbifold na uniwersalnej orbifoldzie jest banalna.
• Lokalne homomorfizmy są wszystkie iniektywne dla pokrycia kurczliwymi zbiorami otwartymi.

Orbiprzestrzenie

W przypadku zastosowań w geometrycznej teorii grup często wygodnie jest mieć nieco bardziej ogólne pojęcie orbifold, ze względu na Haefligera. Orbispace jest do przestrzeni topologicznych co za Orbifold jest do kolektorów. Orbiprzestrzeń to topologiczne uogólnienie koncepcji orbifold. Definiuje się ją poprzez zastąpienie modelu dla map orbifold lokalnie zwartą przestrzenią o sztywnym działaniu grupy skończonej, czyli takiej, dla której punkty o trywialnej izotropii są gęste. (Warunek ten jest automatycznie spełniony przez wierne działania liniowe, ponieważ punkty ustalone przez dowolny nietrywialny element grupy tworzą właściwą podprzestrzeń liniową .) Przydatne jest również rozważenie metrycznych struktur przestrzennych na orbiprzestrzeni, podanych przez niezmiennicze metryki na wykresach orbiprzestrzeni dla których mapy klejenia zachowują odległość. W takim przypadku każda mapa orbiprzestrzenna musi być zwykle przestrzenią długości z unikalną geodezją łączącą dowolne dwa punkty.

Niech X będzie orbiprzestrzenią obdarzoną metryczną strukturą przestrzenną, dla której wykresy są geodezyjnymi przestrzeniami długości. Powyższe definicje i wyniki dla orbifoldów można uogólnić w celu podania definicji orbiprzestrzennej grupy podstawowej i uniwersalnej obejmującej orbiprzestrzeń , z analogicznymi kryteriami rozwijalności. Funkcje odległości na wykresach orbispace mogą być użyte do określenia długości ścieżki orbispace w uniwersalnej orbispace obejmującej orbitę. Jeśli funkcja odległości na każdym wykresie jest zakrzywiona niedodatnio , wówczas argument skrócenia krzywej Birkhoffa może być użyty do udowodnienia, że ​​każda ścieżka orbiprzestrzenna ze stałymi punktami końcowymi jest homotopiczna do unikalnej geodezji. Stosując to do stałych ścieżek na wykresie orbiprzestrzennym, wynika, że ​​każdy lokalny homomorfizm jest iniekcyjny, a zatem:

• każda niedodatnio zakrzywiona orbiprzestrzeń jest rozwijalna (tj. dobra ).

Kompleksy grup

Z każdą orbifoldą wiąże się dodatkowa struktura kombinatoryczna nadana przez zespół grup .

Definicja

Kompleks grupy ( Y , C , g ) z zastosowaniem streszczenie kompleksu symplicjalnego Y jest przez

• skończoną grupę Γ _σ dla każdego simpleksu σ Y
• homomorfizm iniekcyjny f _στ  : Γ _τ Γ _σ gdy σ τ${\displaystyle \rightarrow}$${\ Displaystyle \ podzbiór}$
• dla każdego włączenia ρ σ τ, element grupowy g _ρστ w Γ _ρ taki, że (Ad g _ρστ )· f _ρτ = f _ρσ · f _στ (tutaj Ad oznacza sprzężone działanie przez koniugację)${\ Displaystyle \ podzbiór}$${\ Displaystyle \ podzbiór}$

Elementy grupy muszą dodatkowo spełniać warunek kocyklu

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

dla każdego łańcucha uproszczeń (Ten warunek jest bezsensowny, jeśli Y ma wymiar 2 lub mniejszy). ${\ Displaystyle \ pi \ podzbiór \ rho \ podzbiór \ sigma \ podzbiór \ tau.}$

Dowolny wybór elementów h _στ w Γ _σ daje równoważny kompleks grup przez zdefiniowanie

• f' _στ = (Ad h _στ )· f _στ
• g' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ )· g _ρστ · h _ρτ ^-1

Zespół grup nazywamy prostym, gdy wszędzie g _ρστ = 1.

• Łatwy argument indukcyjny pokazuje, że każdy kompleks grup na simpleksie jest równoważny kompleksowi grup, gdzie g _ρστ = 1 wszędzie.

Często jest to bardziej wygodne i atrakcyjne koncepcyjnie przejść do barycentrycznej podziału na Y . Wierzchołki tego podpodziału odpowiadają uproszczeniu Y , tak że do każdego wierzchołka dołączona jest grupa. Krawędzie podpodziału barycentrycznego są naturalnie zorientowane (odpowiadają inkluzjom prostych), a każda skierowana krawędź daje inkluzję grup. Każdy trójkąt ma dołączony element przejściowy należący do grupy dokładnie jednego wierzchołka; a czworościany, jeśli istnieją, dają relacje kocyklu dla pierwiastków przejściowych. W ten sposób kompleks grup obejmuje tylko 3-szkielet podpodziału barycentrycznego; i tylko 2-szkielet, jeśli jest prosty.

Przykład

Jeśli X jest orbifoldem (lub orbispace), wybierz pokrycie otwartymi podzbiorami spośród wykresów orbifold f _i : V _i U _i . Niech Y będzie abstrakcyjnym kompleksem symplicjalnym podanym przez nerw nakrycia : jego wierzchołki są zbiorami otuliny, a jego n -simplicje odpowiadają niepustym przecięciom U _α = U _{i 1} ··· U _{i n} . Dla każdej takiej simplex jest skojarzonej grupie Tt _a- i homomorfizmy f _ij stają się homomorfizmy f _στ . Dla każdego potrójnego ρ σ τ odpowiadającego przecięciom ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\ Displaystyle \ czapka}$${\ Displaystyle \ czapka}$ ${\ Displaystyle \ podzbiór}$${\ Displaystyle \ podzbiór}$

${\ Displaystyle U_ {i} \ czapka U_ {i} \ czapka U_ {j} \ czapka U_ {i} \ czapka U_ {j} \ czapka U_ {k}}$

tam są wykresy cp _I  : V _i U _i , φ _ij  : V _ij U _i U _j i φ _IJK  : V _IJK U _i U _j U _k i mapy klejenia ψ: V _ij V _i , ψ”: V _IJK V _ij i ψ" : V _ij V _i . ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\ Displaystyle \ czapka}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\ Displaystyle \ czapka}$ ${\ Displaystyle \ czapka}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

Istnieje unikalny element przejściowy g _ρστ w Γ _i taki, że g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′. Relacje spełnione przez elementy przejściowe orbifoldu implikują te wymagane dla kompleksu grup. W ten sposób kompleks grup można kanonicznie skojarzyć z nerwem otwartego nakrycia za pomocą wykresów orbifold (lub orbispace).W języku nieprzemiennej teorii snopów i gerbów kompleks grup w tym przypadku powstaje jako snop grup związanych z nakryciem U _i ; dana g _ρστ jest 2-kocyklem w nieprzemiennej kohomologii snopów, a dana h _στ daje 2-co-obwiedniowe zaburzenie.

Grupa brzeg-ścieżka

Grupę ścieżek krawędziowych kompleksu grup można zdefiniować jako naturalne uogólnienie grupy ścieżek krawędziowych kompleksu simplicjalnego. W barycentrycznym podziale Y weź generatory e _ij odpowiadające krawędziom od i do j, gdzie i j , tak aby nastąpił wtrysk ψ _ij  : Γ _i Γ _j . Niech Γ będzie grupą generowaną przez e _ij oraz Γ _k z relacjami ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

e _ij ⁻¹ · g · e _ij = ψ _ij ( g )

dla g w Γ _ja i

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

jeśli ja j k . ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

Dla ustalonego wierzchołka i ₀ , grupa krawędzi ścieżki Γ( i ₀ ) jest zdefiniowana jako podgrupa Γ generowana przez wszystkie produkty

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{I 1 I 2} · ··· · g _n · e _{i n i 0}

gdzie i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ jest ścieżką krawędziową, g _k leży w Γ _{i k} oraz e _ji = e _ij ⁻¹ jeśli i j . ${\displaystyle \rightarrow}$

Rozwijalne kompleksy

Symplicjalnego właściwe działanie dyskretnego y grupy dla kompleksu symplicjalnego X skończonej iloraz mówi się regularny , jeżeli spełnia jeden z następujących warunków (patrz równoważnych Bredon 1972)

• X uznaje skończony podkompleks jako dziedzinę podstawową ;
• iloraz Y = X /Γ ma naturalną strukturę symplicjalną;
• ilorazowa struktura simplicjalna na orbicie-reprezentatach wierzchołków jest spójna;
• jeśli ( v ₀ , ..., v _k ) i ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) są prostymi, to g · v _i = g _i · v _i dla pewnego g w Γ.

Dziedzinę fundamentalną i iloraz Y = X / Γ można naturalnie zidentyfikować jako kompleksy symplicjalne w tym przypadku, podane przez stabilizatory symplic w domenie podstawowej. Mówi się, że zespół grup Y jest rozwijalny, jeśli powstaje w ten sposób.

• Kompleks grup jest możliwy do rozwinięcia wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizmy Γ _σ do grupy ścieżki krawędziowej są iniektywne.
• Kompleks grup jest rozwijalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego simpleksu σ istnieje homomorfizm iniekcyjny θ _σ od Γ _σ do ustalonej grupy dyskretnej Γ taki, że θ _τ · f _στ = θ _σ . W tym przypadku kompleks symplicjalny X jest kanonicznie zdefiniowany: ma k -simplices (σ, xΓ _σ ), gdzie σ jest k -simpleksem Y i x przebiega przez Γ / Γ _σ . Spójność można sprawdzić za pomocą faktu, że ograniczenie kompleksu grup do simpleksu jest równoważne z trywialnym _kocyklem g _ρστ .

Działanie Γ na poddział barycentryczny X ' X zawsze spełnia warunek słabszy od regularności:

• ilekroć σ i g ·σ są subsimplikami pewnego simpleksu τ, są one równe, tj. σ = g ·σ

Rzeczywiście, symplice w X ' odpowiadają łańcuchom sympliców w X , tak że subsimplice, podane przez podłańcuchy sympliców, są jednoznacznie określone przez rozmiary sympliców w podłańcuchu. Gdy akcja spełnia ten warunek, g koniecznie ustala wszystkie wierzchołki σ. Prosty argument indukcyjny pokazuje, że takie działanie staje się regularne na podpodziale barycentrycznym; w szczególności

• akcja na drugim podrejonie barycentrycznym X ” jest regularna;
• Γ jest naturalnie izomorficzny z grupą ścieżek krawędziowych zdefiniowanych za pomocą ścieżek krawędziowych i stabilizatorów wierzchołków dla barycentrycznego podziału domeny podstawowej w X ".

Właściwie nie ma potrzeby przechodzenia do trzeciego podziału barycentrycznego: jak zauważa Haefliger używając języka teorii kategorii , w tym przypadku 3-szkielet podstawowej domeny X zawiera już wszystkie niezbędne dane – w tym elementy przejściowe dla trójkątów. – zdefiniować grupę krawędziową izomorficzną do Γ.

W dwóch wymiarach jest to szczególnie proste do opisania. Podstawowa dziedzina X „ma taką samą strukturę jak barycentryczny poddział Y ” kompleksu grup Y , a mianowicie:

• skończony dwuwymiarowy kompleks symplicjalny Z ;
• orientacja dla wszystkich krawędzi i j ;${\displaystyle \rightarrow}$
• jeśli i j i j k są krawędziami, to i k jest krawędzią, a ( i , j , k ) jest trójkątem;${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$
• grupy skończone przyczepione do wierzchołków, wtrącenia do krawędzi i elementy przejściowe, opisujące zgodność, do trójkątów.

Następnie można zdefiniować grupę ścieżki krawędziowej. Podobna konstrukcja jest dziedziczona przez barycentrycznej podziałowej Z ", a jego grupa krawędzi ścieżka jest izomorficzny w przypadku Z .

Orbihedra

Jeśli policzalna grupa dyskretna działa poprzez zwykłą simplicjalną akcję właściwą na kompleks symplicjalny, to iloraz można podać nie tylko struktury kompleksu grup, ale również struktury orbiprzestrzeni. Prowadzi to bardziej ogólnie do definicji „orbihedronu”, prostego analogu orbifoldu.

Definicja

Niech X będzie skończonym kompleksem symplicjalnym z barycentrycznym podziałem X '. Orbihedron struktura składa się z:

• dla każdego wierzchołka i z X „A kompleksu symplicjalnego L _I ” wyposażony w sztywną symplicjalnego działaniem skończonej grupy y _ı .
• symplicjalnego mapę φ _I z L _I 'na łącza L _I z I w X ', wskazując iloraz L _I '/ Γ _ı z L _i .

To działanie y _i w L _I „rozciąga się na działaniu na symplicjalnego symplicjalnego stożka C _ı na L _I ” (jeden symplicjalnego sprzężeniu I i l _i „) ustalającym Centre I stożka. Mapa cp _i rozciąga się na mapie symplicjalnego C _I na gwiazdy St ( í ) z I , niosąc centrum na I ; w ten sposób φ _i identyfikuje C _i / Γ _i , iloraz gwiazdy i w C _i , z St ( i ) i daje wykres orbiedronu w i .

• dla każdej krawędzi skierowanej ı j o X ”, w injective homomorfizmu f _ij z y _I do Tt _j .${\displaystyle \rightarrow}$
• dla każdej skierowanej krawędzi i j , a _i ekwiwariantna simplicjalna mapa klejenia ψ _ij z C _i do C _j .${\displaystyle \rightarrow}$
• mapy klejenia są zgodne z wykresami, tj. φ _j ·ψ _ij = φ _i .
• mapy sklejenia są unikalne aż do kompozycji z elementami grupowymi, tj. każda inna możliwa mapa sklejenia od V _i do V _j ma postać g ·ψ _ij dla unikatowego g w Γ _j .

Jeśli i j k , to istnieje unikalny element przejściowy g _ijk w Γ _k taki, że ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

Te elementy przejściowe spełniają

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

jak również relacja cocycle

ψ _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

Główne właściwości

• Grupa teoretyczne danych o orbihedron daje kompleks inne grupy X , ponieważ wierzchołki I Spośród barycentrycznej podziałowe X 'odpowiadają na simplices w X .
• Każdy kompleks grup na X jest związany z zasadniczo unikalną strukturą orbiedronu na X . Ten kluczowy fakt wynika z zauważenia, że ​​gwiazda i łącznik wierzchołka i z X ', odpowiadające simpleksowi σ z X , mają naturalne rozkłady: gwiazda jest izomorficzna z abstrakcyjnym kompleksem symplicjalnym określonym przez połączenie σ i podział barycentryczny σ' z σ; a ogniwo jest izomorficzne z połączeniem ogniwa σ w X i ogniwa barycentrum σ w σ'. Ograniczając kompleks grup do połączenia σ w X , wszystkie grupy Γ _τ mają homomorfizmy iniektywne w Γ _σ . Ponieważ połączenie i w X ' jest kanonicznie pokryte kompleksem symplicjalnym, na którym działa Γ _σ , definiuje to strukturę orbiedronu na X .
• Grupa podstawowa orbiedronu jest (tautologicznie) po prostu grupą ścieżek brzegowych skojarzonego zespołu grup.
• Każdy orbihedron jest również naturalnie orbiprzestrzenią: rzeczywiście w geometrycznej realizacji prostego kompleksu, mapy orbiprzestrzenne można zdefiniować za pomocą wnętrz gwiazd.
• Grupę podstawową orbiedronu można w naturalny sposób utożsamić z grupą podstawową orbiprzestrzeni powiązanej orbiprzestrzeni. Wynika a stosując symplicjalnego przybliżenie twierdzenie do segmentów ścieżki orbispace leżącego na wykresie orbispace: jest prosty wariant klasycznego dowód, że podstawową grupę o wielościanu można zidentyfikować z grupy krawędzi toru .
• Orbiprzestrzeń powiązana z orbiedronem ma kanoniczną strukturę metryczną , pochodzącą lokalnie z metryki długości w standardowej realizacji geometrycznej w przestrzeni euklidesowej, z wierzchołkami odwzorowanymi na podstawie ortonormalnej. Stosowane są również inne struktury metryczne, obejmujące metryki długości uzyskane poprzez realizację uproszczeń w przestrzeni hiperbolicznej , z uproszczeniami identyfikowanymi izometrycznie wzdłuż wspólnych granic.
• Orbiprzestrzeń powiązana z orbiedronem jest zakrzywiona niedodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy łącze na każdym wykresie orbihedronu ma obwód większy lub równy 6, tj. dowolny obwód zamknięty w łączu ma długość co najmniej 6. Warunek ten jest dobrze znany z teoria przestrzeni Hadamarda , zależy tylko od podstawowego kompleksu grup.
• Gdy uniwersalny orbiedron pokrywający jest zakrzywiony w sposób niedodatni, podstawowa grupa jest nieskończona i jest generowana przez izomorficzne kopie grup izotropowych. Wynika to z odpowiedniego wyniku dla orbiprzestrzeni.

Trójkąty grup

Historycznie jednym z najważniejszych zastosowań orbifoldów w geometrycznej teorii grup były trójkąty grup . Jest to najprostszy dwuwymiarowy przykład uogólniający jednowymiarowy „przedział grup” omawiany w wykładach Serre'a na temat drzew, gdzie połączone wolne produkty są badane pod kątem działań na drzewach. Takie trójkąty grup powstają za każdym razem, gdy dyskretna grupa działa po prostu przechodnie na trójkąty w afinicznym budynku Bruhata-Titsa dla SL ₃ ( Q _p ); w 1979 roku Mumford odkrył pierwszy przykład dla p = 2 (patrz niżej) jako krok w tworzeniu powierzchni algebraicznej nie izomorficznej do przestrzeni rzutowej , ale mającej te same liczby Bettiego . Trójkąty grup zostały szczegółowo opracowane przez Gerstena i Stallingsa, natomiast bardziej ogólny przypadek kompleksów grup, opisany powyżej, został opracowany niezależnie przez Haefligera. U podstaw geometrycznej metody analizy skończenie przedstawionych grup w zakresie przestrzeni metrycznych o niedodatniej krzywiźnie odpowiada Gromov. W tym kontekście trójkąty grup odpowiadają niedodatnio zakrzywionym dwuwymiarowym kompleksom symplicjalnym o regularnym działaniu grupy, przechodnim na trójkątach .

Trójkąt grup jest prosty kompleks grup składających się z wierzchołków trójkąta , B , C . Są grupy

• Γ _A , Γ _B , Γ _C w każdym wierzchołku
• Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB dla każdej krawędzi
• Γ _ABC dla samego trójkąta.

Jest injective Homomorfizmy Tt _ABC na wszystkie inne grupy i z grupy krawędzi Γ _XY w Tt _X i y _Y . Wszystkie trzy sposoby odwzorowania Γ _ABC na grupę wierzchołków są zgodne. (Często Γ _ABC jest grupą trywialną.) Struktura metryki euklidesowej na odpowiedniej orbiprzestrzeni jest zakrzywiona niedodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy łącze każdego z wierzchołków na wykresie orbiedronowym ma obwód co najmniej 6.

Ten obwód dla każdego wierzchołka jest zawsze równe i, jak zauważył Stallings, można opisać przy wierzchołku A , powiedzmy, jako długość najmniejszego słowa w jądrze naturalnego homomorfizmu do Tt _A z amalgamowane wolnego produktu na Tt _ABC grup brzegowych Γ _AB i Γ _AC :

${\ Displaystyle \ Gamma _ {AB} \ gwiazda _ {\ \ Gamma _ {ABC}} \ Gamma _ {AC} \ rightarrow \ Gamma _ {A}.}$

Wynik wykorzystujący strukturę metryczną Euklidesa nie jest optymalny. Kąty α, β, γ na wierzchołkach A , B i C zostały zdefiniowane przez Stallingsa jako 2π podzielone przez obwód. W przypadku euklidesowym α, β, γ ≤ π/3. Jeśli jednak wymagane jest tylko, że α + β + γ ≤ π, możliwe jest zidentyfikowanie trójkąta z odpowiednim trójkątem geodezyjnym w płaszczyźnie hiperbolicznej za pomocą metryki Poincarégo (lub płaszczyzny euklidesowej, jeśli zachodzi równość). Klasycznym wynikiem geometrii hiperbolicznej jest to, że mediany hiperboliczne przecinają się w hiperbolicznym centrum barycznym, tak jak w znanym przypadku euklidesowym. Podział barycentryczny i metryka z tego modelu dają niedodatnio zakrzywioną strukturę metryczną na odpowiedniej orbiprzestrzeni. Tak więc, jeśli α+β+γ≤π,

• orbita trójkąta grup jest rozwijalna;
• odpowiednia grupa krawędzi ścieżki, którą można również opisać jako granicę trójkąta grup, jest nieskończona;
• homomorfizmy grup wierzchołków do grupy ścieżki krawędziowej są wstrzyknięciami.

Przykład Mumforda

Niech α = będzie dane przez rozwinięcie dwumianowe (1 − 8) ^1/2 w Q ₂ i ustaw K = Q ( α ) Q ₂ . Pozwolić ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$${\ Displaystyle \ podzbiór}$

ζ = exp 2 π i /7

λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

Niech E = Q ( ζ ), trójwymiarowa przestrzeń wektorowa nad K z bazą 1, ζ i ζ ² . Zdefiniuj K -operatory liniowe na E w następujący sposób:

• σ jest generatorem grupy Galois z E na K , element rzędu 3 podaje Ď (ζ) = ζ ²
• τ jest operatorem mnożenia przez ζ na E , element rzędu 7
• ρ jest operatorem danym przez ρ ( ζ ) = 1 , ρ ( ζ ² ) = ζ i ρ (1) = μ · ζ ² , tak że ρ ³ jest mnożeniem przez skalar przez  μ .

Elementy ρ , σ i τ generują dyskretną podgrupę GL ₃ ( K ), która działa prawidłowo na afiniczny budynek Bruhata-Titsa odpowiadający SL ₃ ( Q ₂ ). Grupa ta działa przechodnie na wszystkich wierzchołkach, krawędziach i trójkątach budynku. Pozwolić

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ^-1 , σ ₃ = ρ ² σρ ^-2 .

Następnie

• σ ₁ , σ ₂ i σ ₃ generują podgrupę Γ SL ₃ ( K ).
• Γ jest najmniejszą podgrupą generowaną przez σ i τ , niezmienną w koniugacji przez ρ .
• Γ działa po prostu przechodnie na trójkąty w budynku.
• Istnieje trójkąt Δ taki, że stabilizatorem jego krawędzi są podgrupy rzędu 3 generowane przez σ _i .
• Stabilizatorem wierzchołków jest grupa Frobeniusa rzędu 21 generowana przez dwa elementy rzędu 3 stabilizujące krawędzie stykające się w wierzchołku.
• Stabilizator Δ jest trywialny.

Elementy σ i τ generują stabilizator wierzchołka. Ogniwo tego wierzchołka może być zidentyfikowany ze sferyczną budynku SL ₃ ( F ₂ ) i stabilizator mogą być identyfikowane z grupy kolineacja w płaszczyźnie Fano generowanego przez 3-krotnej symetrii σ ustalające punkt i cykliczny permutacji τ z wszystkie 7 punktów, spełniające στ = τ ² σ . Utożsamiając F ₈ * z płaszczyzną Fano, σ można przyjąć za ograniczenie automorfizmu Frobeniusa σ ( x ) = x ^{2 2} z F ₈ i τ za mnożenie przez dowolny element spoza pola pierwszej F ₂ , tj. katalogowy 7 generator cyklicznego multiplikatywna grupa o F ₈ . Ta grupa Frobenius działa po prostu przechodnie na 21 flagach na płaszczyźnie Fano, tj. liniach z zaznaczonymi punktami. Wzory na σ i τ na E zatem "podnoszą" wzory na F ₈ .

Mumford uzyskuje również działanie po prostu przechodnie na wierzchołkach budynku, przechodząc do podgrupy Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I >. Grupa Γ ₁ zachowuje formę hermitowską o wartościach Q ( α )

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy * ) + σ ² ( xy * )

na Q (ζ) i można je utożsamiać z U ₃ (f) GL ₃ ( S ) gdzie S = Z [ α ,½]. Ponieważ S /( α ) = F ₇ , istnieje homomorfizm grupy Γ ₁ w GL ₃ ( F ₇ ). To działanie pozostawia niezmiennicze 2-wymiarową podprzestrzeni w F ₇ ³ , a tym samym umożliwia powstanie Homomorfizm * F z y ₁ do SL ₂ ( F ₇ ) grupę celu 16 · 3 · 7. Z drugiej strony stabilizator wierzchołka jest podgrupą rzędu 21, a Ψ jest iniektywna w tej podgrupie. Tak więc, jeśli zbieżność podgrupa Γ ₀ jest zdefiniowane jako obraz odwrotny zgodnie * F kwasu 2- Sylow podgrupy z SL ₂ ( f ₇ ), działanie y ₀ na wierzchołkach musi być po prostu przechodnia. ${\ Displaystyle \ czapka}$

Uogólnienia

Inne przykłady trójkątów lub dwuwymiarowych kompleksów grup można skonstruować przez odmiany powyższego przykładu.

Cartwright i in. rozważ działania na budynkach, które są po prostu przechodnie na wierzchołkach . Każde takie działanie wytwarza bijekcję (lub zmodyfikowaną dwoistość) między punktami x i liniami x * w zespole flag skończonej płaszczyzny rzutowej oraz zbiór zorientowanych trójkątów punktów ( x , y , z ), niezmienny w permutacji cyklicznej, taki że x leży na z *, y leży na x * i z leży na y *, a dowolne dwa punkty jednoznacznie określają trzeci. Wytworzone grupy mają generatory x oznaczone punktami i relacje xyz = 1 dla każdego trójkąta. Generalnie ta konstrukcja nie odpowiada działaniu na klasycznym budynku afinicznym.

Mówiąc bardziej ogólnie, jak wykazali Ballmann i Brin, podobne dane algebraiczne kodują wszystkie działania, które są po prostu przechodnie na wierzchołkach niedodatnio zakrzywionego dwuwymiarowego kompleksu symplicjalnego, pod warunkiem, że połączenie każdego wierzchołka ma obwód co najmniej 6. z:

• zbiór generujący S zawierający odwrotności, ale nie tożsamość;
• zbiór relacji g h k = 1, niezmienny w permutacji cyklicznej.

Składniki g na S etykiety wierzchołków g · V na ogniwo stałej wierzchołków v ; a relacje odpowiadają krawędziom ( g ^-1 · v , h · v ) w tym połączeniu. Wykres z wierzchołkami S i krawędziami ( g , h ), dla g- ¹ h w S , musi mieć obwód co najmniej 6. Pierwotny kompleks symplicjalny można zrekonstruować za pomocą kompleksów grup i drugiego podziału barycentrycznego.

Kolejne przykłady niedodatnio zakrzywionych dwuwymiarowych kompleksów grup zostały skonstruowane przez Świątkowskiego na podstawie działań po prostu przechodnich na zorientowanych krawędziach i indukujących 3-krotną symetrię na każdym trójkącie; i w tym przypadku kompleks grup powstaje w wyniku regularnego działania na drugi pododdział barycentryczny. Najprostszy przykład, odkryty wcześniej przez Ballmanna, zaczyna się od skończonej grupy H z symetrycznym zbiorem generatorów S , nie zawierającym identyczności, tak że odpowiadający mu graf Cayleya ma obwód co najmniej 6. Powiązana grupa jest generowana przez H i inwolucję τ podlega (τg) ³ = 1 dla każdego g w S .

W rzeczywistości, jeśli Γ działa w ten sposób, ustalając krawędź ( v , w ), zachodzi inwolucja τ zamieniająca v i w . Związek o V składa się z wierzchołkami g · W na g symetrycznie podzbiór S o H = Tt _V , wytwarzając H jeśli łącze jest podłączone. Założenie na trójkątach implikuje, że

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

do g , w S . Tak więc, jeśli σ = τ g i u = g ⁻¹ · w , to

σ( v ) = w , σ( w ) = u , σ( u ) = w .

Z prostej przechodniości na trójkącie ( v , w , u ) wynika, że ​​σ ³ = 1.

Drugi podział barycentryczny daje zespół grup składający się z pojedynczych lub par trójkątów podzielonych barycentrycznie, połączonych wzdłuż ich dużych boków: pary te są indeksowane przez przestrzeń ilorazową S /~ uzyskaną przez identyfikację odwrotności w S . Pojedyncze lub „połączone” trójkąty są z kolei połączone wzdłuż jednego wspólnego „grzbietu”. Wszystkie stabilizatory sympliców są trywialne z wyjątkiem dwóch wierzchołków na końcach kręgosłupa ze stabilizatorami H i <τ> oraz pozostałych wierzchołków dużych trójkątów ze stabilizatorem generowanym przez odpowiednie σ. Trzy mniejsze trójkąty w każdym dużym trójkącie zawierają elementy przejściowe.

Gdy wszystkie elementy S są inwolucjami, żaden z trójkątów nie musi być podwojony. Jeśli H jest dwuścienną grupą D ₇ rzędu 14, generowaną przez inwolucję a i element b rzędu 7 tak, że

ab = b ^-1 a ,

wtedy H jest generowane przez 3 inwolucje a , ab i ab ⁵ . Połączenie każdego wierzchołka jest określone przez odpowiadający mu graf Cayleya, podobnie jak dwudzielny graf Heawooda , czyli dokładnie tak samo jak w budynku afinicznym dla SL ₃ ( Q ₂ ). Ta struktura połączeń implikuje, że odpowiedni kompleks symplicjalny jest z konieczności budynkiem euklidesowym . Obecnie jednak wydaje się, że nie wiadomo, czy którykolwiek z tych typów działań może być faktycznie zrealizowany na klasycznym budynku afinicznym: grupa Mumforda Γ ₁ (modulo skalary) jest po prostu przechodnia tylko na krawędziach, a nie na krawędziach zorientowanych.

Orbifoldy dwuwymiarowe

Orbifoldy dwuwymiarowe mają następujące trzy typy punktów osobliwych:

• Punkt graniczny
• Eliptyczny punkt lub punkt ruchu obrotowego z rzędu n , takie jak pochodzenia R ² quotiented przez cykliczną grupę aby n obrotów.
• Reflektor narożny rzędu n : początek R ² ilorazem dwuściennej grupy rzędu 2 n .

Kompaktowy dwuwymiarowy orbifold ma charakterystykę Eulera podaną przez ${\ Displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ chi = \ chi (X_ {0}) - \ suma _ {i} (1-1/n_ {i}) / 2 - \ suma _ {i} (1-1/m_ {i}) }$,

gdzie jest charakterystyką Eulera podstawowej rozmaitości topologicznej i są rzędami reflektorów narożnych i są rzędami punktów eliptycznych. ${\ Displaystyle \ chi (X_ {0})}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

Dwuwymiarowa zwarta połączona orbifold ma strukturę hiperboliczną, jeśli jej charakterystyka Eulera jest mniejsza niż 0, struktura euklidesowa, jeśli jest równa 0, a jeśli jej charakterystyka Eulera jest dodatnia oznacza to, że jest zła lub ma strukturę eliptyczną (orbifold jest nazywany złą jeśli nie ma rozmaitości jako przestrzeni zakrywającej). Innymi słowy, jego uniwersalna przestrzeń pokrywająca ma strukturę hiperboliczną, euklidesową lub sferyczną.

Kompaktowe dwuwymiarowe połączone orbifoldy, które nie są hiperboliczne, są wymienione w poniższej tabeli. 17 parabolicznych orbifoldów to iloraz płaszczyzny dla 17 grup tapet .

Rodzaj	Charakterystyka Eulera	Bazowe 2 rozmaitości	Rzędy punktów eliptycznych	Zamówienia reflektorów narożnych
Zły	1 + 1/ n	Kula	n > 1
Zły	1/ m + 1/ n	Kula	n > m > 1
Zły	1/2 + 1/2 n	Dysk		n > 1
Zły	1/2 m + 1/2 n	Dysk		n > m > 1
Eliptyczny	2	Kula
Eliptyczny	2/ n	Kula	n , n
Eliptyczny	1/ n	Kula	2, 2, n
Eliptyczny	1/6	Kula	2, 3, 3
Eliptyczny	1/12	Kula	2, 3, 4
Eliptyczny	1/30	Kula	2, 3, 5
Eliptyczny	1	Dysk
Eliptyczny	1/ n	Dysk		n , n
Eliptyczny	1/2 n	Dysk		2, 2, n
Eliptyczny	1/12	Dysk		2, 3, 3
Eliptyczny	1/24	Dysk		2, 3, 4
Eliptyczny	1/60	Dysk		2, 3, 5
Eliptyczny	1/ n	Dysk	n
Eliptyczny	1/2 n	Dysk	2	n
Eliptyczny	1/12	Dysk	3	2
Eliptyczny	1	Samolot rzutowy
Eliptyczny	1/ n	Samolot rzutowy	n
Paraboliczny	0	Kula	2, 3, 6
Paraboliczny	0	Kula	2, 4, 4
Paraboliczny	0	Kula	3, 3, 3
Paraboliczny	0	Kula	2, 2, 2, 2
Paraboliczny	0	Dysk		2, 3, 6
Paraboliczny	0	Dysk		2, 4, 4
Paraboliczny	0	Dysk		3, 3, 3
Paraboliczny	0	Dysk		2, 2, 2, 2
Paraboliczny	0	Dysk	2	2, 2
Paraboliczny	0	Dysk	3	3
Paraboliczny	0	Dysk	4	2
Paraboliczny	0	Dysk	2, 2
Paraboliczny	0	Samolot rzutowy	2, 2
Paraboliczny	0	Torus
Paraboliczny	0	Butelka Kleina
Paraboliczny	0	Pierścień
Paraboliczny	0	Zespół Moebiusa

Orbifoldy trójwymiarowe

Mówi się, że trójdzielnik jest mały, jeśli jest zamknięty, nieredukowalny i nie zawiera żadnych nieściśliwych powierzchni.

Twierdzenie Orbifold. Niech M będzie małą trójką. Niech φ będzie nietrywialnym okresowym dyfeomorfizmem M z zachowaniem orientacji . Wtedy M dopuszcza -niezmienniczą strukturę hiperboliczną lub włóknistą Seiferta.

Twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Thurstona orbifold , ogłoszonego bez dowodu w 1981 roku; jest to część jego hipotezy geometryzacyjnej dla 3 rozmaitości . W szczególności oznacza to, że jeśli X jest zwartą, spójną, dającą się orientować, nieredukowalną, atoroidalną 3-orbifold z niepustym pojedynczym locus, to M ma strukturę geometryczną (w sensie orbifoldów). Kompletny dowód twierdzenia został opublikowany przez Boileau, Leeb i Porti w 2005 roku.

Aplikacje

Orbifoldy w teorii strun

W teorii strun słowo „orbifold” ma nieco nowe znaczenie. Dla matematyków orbifold jest uogólnieniem pojęcia rozmaitości, które pozwala na obecność punktów, których sąsiedztwo jest dyfeomorficzne do ilorazu R ⁿ przez grupę skończoną, tj. R ⁿ / Γ . W fizyce pojęcie orbifold zwykle opisuje obiekt, który można globalnie zapisać jako przestrzeń orbity M / G, gdzie M jest rozmaitością (lub teorią), a G jest grupą jego izometrii (lub symetrii) — niekoniecznie wszyscy. W teorii strun te symetrie nie muszą mieć interpretacji geometrycznej.

Teorii pola kwantowa definiowane na Orbifold się pojedynczą pobliżu nieruchomych punktów G . Jednak teoria strun wymaga od nas dodania nowych części przestrzeni Hilberta zamkniętej struny — mianowicie skręconych sektorów, w których pola określone na zamkniętych strunach są okresowe aż do działania z G . Orbifolding jest zatem ogólną procedurą teorii strun, która ma na celu wyprowadzenie nowej teorii strun ze starej teorii strun, w której elementy G zostały utożsamione z tożsamością. Taka procedura zmniejsza liczbę stanów, ponieważ stany muszą być niezmienne pod G , ale także zwiększa liczbę stanów z powodu dodatkowych skręconych sektorów. Rezultatem jest zwykle idealnie gładka, nowa teoria strun.

D-brany propagujące się na orbifoldach są opisane przy niskich energiach przez teorie cechowania określone przez wykresy kołczanowe . Otwarte struny przyłączone do tych D-bran nie mają skręconego sektora, a zatem liczba stanów otwartych struny jest redukowana przez procedurę orbifoldingu.

Dokładniej, gdy orbifold grupa G jest dyskretną podgrupą izometrii czasoprzestrzennych, to jeśli nie ma ustalonego punktu, wynikiem jest zwykle zwarta gładka przestrzeń; skręcony sektor składa się z zamkniętych strun nawiniętych wokół wymiaru zwartego, które nazywane są stanami uzwojenia .

Gdy grupa G Orbifold dyskretnej podgrupa czasoprzestrzeni izometryczne, i ma punkty stałe, a następnie są zwykle osobliwości stożkowe , gdyż R ^N / Z _k ma taką osobliwości w ustalonym punkcie Z _k . W teorii strun osobliwości grawitacyjne są zwykle oznaką dodatkowych stopni swobody, które znajdują się w określonym punkcie czasoprzestrzeni. W przypadku orbifoldu te stopnie swobody są stanami skręconymi, czyli strunami „utkniętymi” w stałych punktach. Gdy pola związane z tymi skręconymi stanami osiągają niezerową wartość oczekiwaną próżni , osobliwość ulega deformacji, tzn. metryka ulega zmianie i staje się regularna w tym punkcie i wokół niego. Przykładem wynikowej geometrii jest czasoprzestrzeń Eguchi-Hansona .

Z punktu widzenia D-branów w sąsiedztwie punktów stałych, efektywną teorią otwartych strun przyczepionych do tych D-branów jest supersymetryczna teoria pola, której przestrzeń próżni ma punkt osobliwy, gdzie dodatkowe bezmasowe stopnie wolność istnieje. Pola związane z zamkniętym skręconym sektorem struny łączą się z otwartymi strunami w taki sposób, aby dodać człon Fayeta-Iliopoulosa do supersymetrycznej teorii pola Lagrange'a, tak że gdy takie pole przyjmie niezerową wartość oczekiwaną próżni , Fayet -Termin Iliopoulosa jest niezerowy, przez co deformuje teorię (tzn. zmienia ją) tak, że osobliwość już nie istnieje [1] , [2] .

Rozmaitości Calabiego-Yau

W teorii superstrun konstrukcja realistycznych modeli fenomenologicznych wymaga redukcji wymiarów, ponieważ struny naturalnie rozchodzą się w przestrzeni 10-wymiarowej, podczas gdy obserwowany wymiar czasoprzestrzeni wszechświata wynosi 4. Formalne ograniczenia teorii nakładają jednak ograniczenia na zagęszczoną przestrzeń w którym żyją dodatkowe „ukryte” zmienne: szukając realistycznych modeli 4-wymiarowych z supersymetrią , pomocnicza przestrzeń zagęszczona musi być 6-wymiarową rozmaitością Calabiego–Yau .

Istnieje duża liczba możliwych rozmaitości Calabiego-Yau (dziesiątki tysięcy), stąd użycie terminu „krajobraz” w obecnej literaturze fizyki teoretycznej do opisania zaskakującego wyboru. Ogólne badanie rozmaitości Calabiego–Yau jest matematycznie złożone i przez długi czas trudno było jednoznacznie skonstruować przykłady. Orbifoldy okazały się zatem bardzo przydatne, ponieważ automatycznie spełniają ograniczenia nałożone przez supersymetrię. Dostarczają zdegenerowanych przykładów rozmaitości Calabiego-Yau ze względu na ich punkty osobliwe , ale jest to całkowicie akceptowalne z punktu widzenia fizyki teoretycznej. Takie orbifoldy nazywane są „supersymetrycznymi”: są technicznie łatwiejsze do zbadania niż ogólne rozmaitości Calabiego–Yau. Bardzo często możliwe jest powiązanie ciągłej rodziny nieosobliwych rozmaitości Calabiego-Yau z osobliwym supersymetrycznym orbifoldem. W 4 wymiarach można to zilustrować za pomocą złożonych powierzchni K3 :

• Każda powierzchnia K3 dopuszcza 16 cykli o wymiarze 2, które są topologicznie równoważne zwykłym 2-sferom. Sprawiając, że powierzchnia tych kul ma tendencję do zera, powierzchnia K3 rozwija 16 osobliwości. Granica ta reprezentuje punkt na granicy przestrzeni modułów powierzchni K3 i odpowiada orbifoldowi otrzymanemu z ilorazu torusa przez symetrię inwersji.${\ Displaystyle T ^ {4}/\ mathbb {Z} _ {2} \,}$

Badania nad rozmaitościami Calabiego-Yau w teorii strun oraz dualizmem różnych modeli teorii strun (typu IIA i IIB) doprowadziły w 1988 roku do idei symetrii lustrzanej . Na rolę orbifoldów po raz pierwszy zwrócili uwagę Dixon, Harvey, Vafa i Witten w tym samym czasie.

Teoria muzyki

Poza ich różnorodnymi zastosowaniami w matematyce i fizyce, orbifoldy zostały zastosowane w teorii muzyki co najmniej już w 1985 roku w pracach Guerino Mazzoli, a później przez Dymitra Tymoczko i współpracowników ( Tymoczko 2006 ) i ( Calender i Tymoczko 2008 ) . Jeden z artykułów Tymoczki był pierwszym artykułem z zakresu teorii muzyki opublikowanym w czasopiśmie Science . Mazzola i Tymoczko uczestniczyli w debacie na temat swoich teorii udokumentowanych w serii komentarzy dostępnych na ich stronach internetowych. harv error: brak celu: CITEREFCallenderTymoczko2008 ( pomoc )

Tymoczko modeluje akordy muzyczne składające się z n niekoniecznie odrębnych nut jako punkty w orbifoldzie – przestrzeń n nieuporządkowanych (niekoniecznie odrębnych) punktów w okręgu, realizowana jako iloraz n – torusa (przestrzeń n uporządkowane punkty na okręgu) przez grupę symetryczną (odpowiadającą przejściu ze zbioru uporządkowanego do nieuporządkowanego). ${\ Displaystyle T ^ {n} / S_ {n}}$ ${\ Displaystyle T ^ {n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Muzycznie wyjaśnia się to w następujący sposób:

• Tony muzyczne zależą od częstotliwości (wysokości) ich podstawowej, a zatem są parametryzowane przez dodatnie liczby rzeczywiste, R ⁺ .
• Tony muzyczne różniące się o oktawę (podwojenie częstotliwości) uważa się za ten sam ton – odpowiada to logarytmowaniu podstawy 2 częstotliwości (odpowiadając na liczby rzeczywiste, jako ), a następnie dzieleniu przez liczby całkowite (odpowiadające różnej liczbie oktaw), dając okrąg (as ).${\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ log _ {2} \ mathbf {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle S ^ {1} = \ mathbf {R} / \ mathbf {Z}}$
• Akordy odpowiadają wielu tonom bez względu na kolejność – tak więc t nut (z porządkiem) odpowiada t uporządkowanym punktom na kole, lub równoważnie pojedynczemu punktowi na torusie t, a pominięcie kolejności odpowiada przyjęciu ilorazu przez otrzymanie orbifoldu.${\ Displaystyle T ^ {t}: = S ^ {1} \ razy \ cdots \ razy S ^ {1},}$${\displaystyle S_{t}}$

W przypadku dwudźwięków (dwa tony) otrzymuje się zamknięty pasek Möbiusa ; dla triad (trzy tony) daje to orbifold, który można opisać jako trójkątny graniastosłup z górną i dolną trójkątnymi ścianami oznaczonymi skręceniem o 120° (skręcenie ⅓) – równoważnie jako bryła torusa w 3 wymiarach z krzyżem -przekrój trójkąt równoboczny i taki skręt.

Powstały orbifold jest naturalnie uwarstwiony przez powtarzające się tony (odpowiednio przez podziały całkowite t ) – zbiór otwarty składa się z odrębnych tonów (podział ), podczas gdy istnieje jednowymiarowy zbiór osobliwy składający się z tych samych tonów (podział ), który topologicznie jest kołem, oraz różne przegrody pośrednie. Istnieje również godny uwagi okrąg, który biegnie przez środek otwartego zestawu składający się z równo rozmieszczonych punktów. W przypadku triad, trzem ścianom bocznym pryzmatu odpowiadają dwa takie same tony, a trzeci różny (przegroda ), natomiast trzy krawędzie pryzmatu odpowiadają jednowymiarowemu zbiorowi jednostkowemu. Górna i dolna ściana są częścią otwartego zestawu i pojawiają się tylko dlatego, że orbifold został przecięty – jeśli oglądane jako trójkątny torus z skręceniem, te artefakty znikają. ${\displaystyle t=1+1+\cdots +1}$${\displaystyle t=t}$${\displaystyle 3=2+1}$

Tymoczko przekonuje, że akordy blisko środka (o równych lub prawie równych tonach) stanowią podstawę większości tradycyjnej zachodniej harmonii i że wizualizacja ich w ten sposób pomaga w analizie. Na środku znajdują się 4 akordy (równo rozmieszczone w równym temperamencie – odstępy między tonami 4/4/4), odpowiadające triadom augmentowanym (pomyślanym jako zestawy muzyczne ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB, i EG♯C (wtedy cykl: FAC♯ = C♯FA), przy czym 12 akordów durowych i 12 akordów molowych jest punktami obok, ale nie pośrodku – rozmieszczonych prawie równomiernie, ale nie do końca. Akordy durowe odpowiadają odstępom 4/3/5 (lub równoważnie 5/4/3), podczas gdy akordy molowe odpowiadają odstępom 3/4/5. Kluczowe zmiany odpowiadają wtedy ruchowi między tymi punktami na orbifoldzie, przy czym płynniejsze zmiany są powodowane przez ruch między pobliskimi punktami.

Zobacz też

• Pokrycie rozgałęzione
• Euler charakterystyczny orbifold
• Iloraz geometryczny
• Wzór Kawasaki Riemanna-Rocha
• Notacja Orbifold
• Układ orientacyjny
• Pierścień form modułowych
• Stos (matematyka)

Uwagi

Bibliografia

• Serre, Jean-Pierre (1970). Cours d'arithmétique . Presse Universitaire de France.
• Bredon, Glen (1972). Wprowadzenie do kompaktowych grup transformacji . Prasa akademicka . Numer ISBN 0-12-128850-1.
• Kawakubo, Katsuo (1991). Teoria grup transformacji . Wydawnictwo Uniwersytetu Oksfordzkiego . Numer ISBN 0-19-853212-1.
• Satake, Ichiro (1956). „O uogólnieniu pojęcia rozmaitości” . Materiały Narodowej Akademii Nauk Stanów Zjednoczonych Ameryki . 42 (6): 359–363. Kod Bibcode : 1956PNAS...42..359S . doi : 10.1073/pnas.42.6.359 . PMC  528292 . PMID  16578464 .
• Thurston, William (1978-1981). Geometria i topologia trzech rozmaitości . Notatki z wykładów na Uniwersytecie Princeton. Rozdział 13.CS1 maint: lokalizacja ( link )
• Thurston, William (1982). „Rozmaitości trójwymiarowe, grupy Kleina i geometria hiperboliczna” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
• Scott, Peter , Geometria 3-rozmaitości , Bull. Londyn Matematyka. Soc. 15 (1983), 401–487. ( Artykuł i jego errata .)
• Boileau, Michel. „Geometrizacje 3-rozmaitości z symetriami” (PDF) . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 30 września 2011 r . Pobrane 6 grudnia 2007 .
• Michel Boileau, Sylvain Maillot i Joan Porti, Orbifoldy trójwymiarowe i ich struktury geometryczne . Panoramy i syntezy 15 . Société Mathématique de France (2003). ISBN  2-85629-152-X .
• Boileau, Michel; Leeb, Bernhard; Porti, Joanna (2005). „Geometryzacja orbifoldów trójwymiarowych”. Roczniki Matematyki . 162 : 195-290. arXiv : matematyka/0010185 . doi : 10.4007/annals.2005.162.195 . S2CID  119624092 .
• Daryl Cooper, Craig Hodgson i Steven Kerckhoff, Orbifoldy trójwymiarowe i rozmaitości stożkowe . Pamiętniki MSJ, 5 . Japońskie Towarzystwo Matematyczne, Tokio (2000). ISBN  4-931469-05-1 .
• Matthew Brin, Notatki do wykładu na temat przestrzeni włókien Seiferta.
• Henri Poincaré, Papers on Fuchsian functions , przekład Johna Stillwella , Springer (1985). ISBN  3-540-96215-8 .
• Pierre de la Harpe, Zaproszenie do grupy Coxetera , s. 193-253 w „Teoria grup z geometrycznego punktu widzenia – Triest 1990”, World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• Alejandro Adem, Johann Leida i Yongbin Ruan, "Orbifolds and Stringy Topology", Cambridge Tracts in Mathematics tom. 171, Cambridge University Press (2007).
• Werner Ballmann, Pojedyncze przestrzenie krzywizny niedodatniej, strony 189-201 w „Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov”, Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN  0-8176-3508-4 .
• André Haefliger, Orbi-espaces , strony 203-213 w „Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov”, Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN  0-8176-3508-4 .
• John Stallings, Trójkąty grup , strony 491-503 w „Teoria grup z geometrycznego punktu widzenia – Triest 1990”, World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• André Haefliger, Complexes of groups and orbihedra , s. 504-540 w „Teoria grup z geometrycznego punktu widzenia – Triest 1990”, World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• Martin Bridson i André Haefliger, Przestrzenie metryczne krzywizny niedodatniej, Grundlehren der math. Wissenschaften 319 (1999), Springer. ISBN  3-540-64324-9 .
• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu i David Sénéchal, Konformalna teoria pola . Teksty magisterskie z fizyki współczesnej. Springer-Verlag (1997). ISBN  0-387-94785-X .
• Jean-Pierre Serre, Trees , Springer (2003) (tłumaczenie angielskie „arbres, amalgames, SL ₂ ”, wydanie 3, astérisque 46 (1983)).
• David Mumford (1979) Powierzchnia algebraiczna z próbką K, (K ² ) = 9, p _g = q = 0 American Journal of Mathematics 101, 233-244.
• Kohler, Peter; Meixnera, Thomasa; Wester, Michael (1985). „Dwuadyczny budynek afiniczny typu i jego skończone rzuty”${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$ . Czasopismo Teorii Kombinatorycznej . Seria A. 38 (2): 203–209. doi : 10.1016/0097-3165(85)90070-6 .
• Cartwright, Donald; Mantero, Anna Maria; Steger, Tim; Zappa, Anna (1993). „Grupy działające po prostu przechodnie na wierzchołkach budynku typu I”${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$ . Geometriae Dedicata . 47 : 143-166. doi : 10.1007/BF01266617 .
• Ballmann, Werner; Brin, Michael (1994). „Zespoły wieloboczne i kombinatoryczna teoria grup” . Geometriae Dedicata . 50 (2): 165–191. doi : 10.1007/BF01265309 . S2CID  119617693 .
• Świątkowski, Jacek (2001). „Klasa grup automorfizmu wielokątnych kompleksów”. Kwartalnik Matematyki . 52 (2): 231–247. doi : 10.1093/qjmath/52.2.231 .
• Tymoczko, Dymitr (7 lipca 2006). „Geometria akordów muzycznych” (PDF) . Nauka . 313 (5783): 72-74. Kod Bibcode : 2006Sci...313...72T . CiteSeerX  10.1.1.215.7449 . doi : 10.1126/science.1126287 . PMID  16825563 . S2CID  2877171 .
• Callender, Clifton; Quinn, Ian; Tymoczko, Dymitr (18 kwietnia 2008). „Uogólnione przestrzenie prowadzące do głosu” (PDF) . Nauka . 320 (5874): 346-348. Kod Bibcode : 2008Sci...320..346C . doi : 10.1126/science.1153021 . PMID  18420928 . S2CID  35229232 .