Tabela grup Lie - Table of Lie groups

Ten artykuł zawiera tabelę niektórych popularnych grup Liego i powiązanych z nimi algebr Liego .

Zwraca się uwagę na: topologiczne właściwości grupy ( wymiar ; powiązanie ; zwartość ; charakter grupy podstawowej ; i to, czy są one po prostu połączone ), a także ich właściwości algebraiczne ( abelowe ; proste ; półproste ).

Aby uzyskać więcej przykładów grup Lie i innych powiązanych tematów, zobacz listę prostych grup Lie ; klasyfikacji Bianchi grup do trzech wymiarach; patrz klasyfikacja nisko-wymiarowych prawdziwych algebr Liego dla maksymalnie czterech wymiarów; oraz listę tematów grupy Lie .

Grupy Real Lie i ich algebry

Legenda kolumny

Cpt : Czy ta grupa G jest zwarta ? (Tak lub nie)
${\ displaystyle \ pi _ {0}}$ : Podaje grupę komponentów o G . Porządek grupy komponentów podaje liczbę połączonych komponentów . Grupa jest połączona wtedy i tylko wtedy, gdy grupa składników jest trywialna (oznaczona przez 0).
${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ : Podaje podstawową grupę o G , gdy G jest podłączony. Grupa jest po prostu połączona wtedy i tylko wtedy, gdy grupa podstawowa jest trywialna (oznaczona przez 0).
UC : Jeśli G nie jest po prostu podłączyć, daje uniwersalną osłonę z G .

Grupa kłamstw	Opis	Kpt	${\ displaystyle \ pi _ {0}}$	${\ displaystyle \ pi _ {1}}$	UC	Uwagi	Lie algebra	dim / R
R ⁿ	Przestrzeń euklidesowa z dodatkiem	N	0	0		abelowy	R ⁿ	n
R ^×	niezerowe liczby rzeczywiste z mnożeniem	N	Z ₂	-		abelowy	R	1
R ⁺	dodatnie liczby rzeczywiste z mnożeniem	N	0	0		abelowy	R	1
S ¹ = U (1)	grupa koło : liczbami zespolonymi o wartości bezwzględnej 1 z rozmnażania;	Y	0	Z	R	abelowa, izomorficzna do SO (2), Spin (2) i R / Z	R	1
Aff (1)	odwracalna przekształcenia afiniczne z R do R .	N	Z ₂	0		rozpuszczalny , iloczynów produkt o R ⁺ i R ^x	${\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo [{\ początek {smallmatrix} a & b \\ 0 i 0 \ koniec {mała macierz}} \ po prawej]: a, b \ in \ mathbb {R} \ prawo \}}$	2
H ^×	niezerowe quaternions z mnożeniem	N	0	0			H.	4
S ³ = Sp (1)	kwaternionów o wartości bezwzględnej 1 z mnożeniem; topologicznie 3-sfery	Y	0	0		izomorficzny do SU (2) i do Spin (3) ; podwójnym opakowaniu o SO (3)	Im ( H )	3
GL ( n , R )	ogólna grupa liniowa : odwracalne macierze rzeczywiste n × n	N	Z ₂	-			M ( n , R )	n ²
GL ⁺ ( n , R )	n × n rzeczywistych macierzy z dodatnim wyznacznikiem	N	0	Z n = 2 Z ₂ n > 2		GL ⁺ (1, R ) jest izomorficzny z R ⁺ i jest po prostu połączony	M ( n , R )	n ²
SL ( n , R )	specjalna grupa liniowa : rzeczywiste macierze z wyznacznikiem 1	N	0	Z n = 2 Z ₂ n > 2		SL (1, R ) to pojedynczy punkt, a zatem kompaktowy i łatwo połączony	sl ( n , R )	n ² −1
SL (2, R )	Izometrie półpłaszczyzny Poincarégo z zachowaniem orientacji , izomorficzne do SU (1,1), izomorficzne do Sp (2, R ).	N	0	Z		Uniwersalna osłona ma skończenie wymiarowa wierne reprezentacje.	sl (2, R )	3
O ( n )	grupa ortogonalna : rzeczywiste macierze ortogonalne	Y	Z ₂	-		Grupa symetrii kuli (n = 3) lub hipersfery .	więc ( n )	n ( n −1) / 2
SO ( n )	specjalna grupa ortogonalna : rzeczywiste macierze ortogonalne z wyznacznikiem 1	Y	0	Z n = 2 Z ₂ n > 2	Spin ( n ) n > 2	SO (1) jest pojedynczym punktem, a SO (2) jest izomorficzna z grupą koła , SO (3) jest grupą rotacyjną kuli.	więc ( n )	n ( n −1) / 2
Spin ( n )	grupa spinowa : podwójne pokrycie SO ( n )	Y	0 n > 1	0 n > 2		Spin (1) jest izomorficzny z Z ₂ i nie jest połączony; Spin (2) jest izomorficzny z grupą koła i nie jest po prostu połączony	więc ( n )	n ( n −1) / 2
Sp (2 n , R )	grupa symplektyczna : rzeczywiste macierze symplektyczne	N	0	Z			sp (2 n , R )	n (2 n +1)
Sp ( n )	zwarta grupa symplektyczna : quaternionic n × n unitarnych macierzy	Y	0	0			sp ( n )	n (2 n +1)
Mp ( 2n , R )	grupa metaplektyczna : podwójne pokrycie prawdziwej grupy symplektycznej Sp ( 2n , R )	Y	0	Z		Mp (2, R ) to grupa Liego, która nie jest algebraiczna	sp ( 2n , R )	n (2 n +1)
U ( n )	grupa unitarna : zespolone n × n unitarnych macierzy	Y	0	Z	R × SU ( n )	Dla n = 1: izomorficzny do S ¹ . Uwaga: to nie jest złożona grupa / algebra Liego	u ( n )	n ²
Su ( n )	specjalna grupa unitarna : zespolone n × n unitarnych macierzy z wyznacznikiem 1	Y	0	0		Uwaga: to nie jest złożona grupa / algebra Liego	su ( n )	n ² −1

Algebry Real Lie

Legenda tabeli:

S : Czy ta algebra jest prosta? (Tak lub nie)
SS : Czy ta algebra jest na wpół prosta ? (Tak lub nie)

Lie algebra	Opis	S	SS	Uwagi	dim / R
R	z liczbami rzeczywistymi , wspornik Lie jest zerem				1
R ⁿ	wspornik Lie ma wartość zero				n
R ³	Wspornik Lie jest iloczynem krzyżowym	Y	Y		3
H.	kwaternionów , z komutatorem w nawiasie Lie				4
Im ( H )	kwaternionów z zerową częścią rzeczywistą, z nawiasem Lie będącym komutatorem; izomorficzne do rzeczywistych 3 wektorów, ze wspornikiem Lie produkt poprzeczny ; również izomorficzny do su (2) i do so (3, R )	Y	Y		3
M ( n , R )	n × n macierzy, z komutatorem w nawiasach Lie				n ²
sl ( n , R )	macierze kwadratowe ze śladem 0, z nawiasem Lie jako komutatorem	Y	Y		n ² −1
więc ( n )	skośno-symetryczne kwadratowe rzeczywiste macierze, z komutatorem w nawiasach Lie.	Y	Y	Wyjątek: więc (4) jest półproste, ale nie proste.	n ( n −1) / 2
sp (2 n , R )	rzeczywiste macierze, które spełniają JA + A ^T J = 0, gdzie J jest standardową macierzą skośno-symetryczną	Y	Y		n (2 n +1)
sp ( n )	kwadratowe macierze czwartorzędowe A spełniające A = - A ^∗ , z nawiasem Lie jako komutatorem	Y	Y		n (2 n +1)
u ( n )	kwadratowe macierze zespolone A spełniające A = - A ^∗ , z komutatorem w nawiasie Lie				n ²
su ( n ) n ≥2	kwadratowe macierze zespolone A ze śladem 0 spełniającym A = - A ^∗ , z komutatorem w nawiasie Lie	Y	Y		n ² −1

Złożone grupy Liego i ich algebry

Podane wymiary są wymiarami nad C . Zauważ, że każda złożona grupa / algebra Liego może być również postrzegana jako prawdziwa grupa / algebra Liego o dwukrotnym wymiarze.

Grupa kłamstw	Opis	Kpt	${\ displaystyle \ pi _ {0}}$	${\ displaystyle \ pi _ {1}}$	UC	Uwagi	Lie algebra	dim / C
C ⁿ	operacja grupowa jest dodawana	N	0	0		abelowy	C ⁿ	n
C ^×	niezerowe liczby zespolone z mnożeniem	N	0	Z		abelowy	do	1
GL ( n , C )	ogólna grupa liniowa : odwracalne macierze zespolone n × n	N	0	Z		Dla n = 1: izomorficzny do C ^×	M ( n , C )	n ²
SL ( n , C )	specjalna grupa liniowa : złożone macierze z wyznacznikiem 1	N	0	0		dla n = 1 jest to pojedynczy punkt, a zatem zwarty.	sl ( n , C )	n ² −1
SL (2, C )	Szczególny przypadek SL ( n , C ) dla n = 2	N	0	0		Izomorficzny do Spin (3, C ), izomorficzny do Sp (2, C )	sl (2, C )	3
PSL (2, C )	Projekcyjna specjalna grupa liniowa	N	0	Z ₂	SL (2, C )	Izomorficzny z grupą Möbiusa , izomorficzny z ograniczoną grupą Lorentza SO ⁺ (3,1, R ), izomorficzny z SO (3, C ).	sl (2, C )	3
O ( n , C )	grupa ortogonalna : złożone macierze ortogonalne	N	Z ₂	-		kompaktowy dla n = 1	więc ( n , C )	n ( n −1) / 2
SO ( n , C )	specjalna grupa ortogonalna : złożone macierze ortogonalne z wyznacznikiem 1	N	0	Z n = 2 Z ₂ n > 2		SO (2, C ) jest abelem i izomorficznym z C ^× ; nonabelian dla n > 2. SO (1, C ) jest pojedynczym punktem, dzięki czemu jest zwarty i łatwo połączony	więc ( n , C )	n ( n −1) / 2
SP (2 N , C )	grupa symplektyczna : złożone macierze symplektyczne	N	0	0			sp (2 n , C )	n (2 n +1)

Złożone algebry Liego

Podane wymiary są wymiarami nad C . Zauważ, że każda złożona algebra Liego może być również postrzegana jako prawdziwa algebra Liego o dwukrotnie większym wymiarze.

Lie algebra	Opis	S	SS	Uwagi	dim / C
do	z liczbami zespolonymi				1
C ⁿ	wspornik Lie ma wartość zero				n
M ( n , C )	n × n macierzy z nawiasem Lie jako komutatorem				n ²
sl ( n , C )	macierze kwadratowe ze śladem 0 z nawiasem Lie komutator	Y	Y		n ² −1
sl (2, C )	Szczególny przypadek sl ( n , C ) z n = 2	Y	Y	izomorficzny do su (2) C. ${\ displaystyle \ otimes}$	3
więc ( n , C )	skośno-symetryczne kwadratowe macierze złożone z nawiasem Lie komutator	Y	Y	Wyjątek: więc (4, C ) jest pół-proste, ale nie jest proste.	n ( n −1) / 2
sp (2 n , C )	złożone macierze, które spełniają JA + A ^T J = 0 gdzie J jest standardową macierzą skośno-symetryczną	Y	Y		n (2 n +1)

W rzeczywistości algebra Lie transformacji afinicznych wymiaru drugiego istnieje dla każdego pola. Instancja została już wymieniona w pierwszej tabeli dla prawdziwych algebr Liego.

Bibliografia

Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Teksty magisterskie z matematyki , lektury matematyczne. 129 . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .

Languages

In other projects