Lista prostych grup Lie - List of simple Lie groups

W matematyce , to proste grupy Lie najpierw klasyfikowane przez Wilhelm Killing a później udoskonalił przez Élie Cartan . Klasyfikacja ta jest często określana jako klasyfikacji Zabijanie-Cartan.

Lista prostych grup Lie może być używany do odczytać listę prostych algebr Liego i riemannowskiej przestrzeni symetrycznych . Zobacz także tabelę grup Lie dla mniejszych listy grup, które powszechnie występują w fizyce teoretycznej , jak i klasyfikacji Bianchi dla grup o wymiarze co najwyżej 3.

Prostych grup Lie

Niestety, nie istnieje powszechnie przyjęta definicja prostej grupy Lie . W szczególności, nie zawsze jest zdefiniowany jako grupa Lie, który jest prosty jako abstrakcyjne grupy. Autorzy różni się od tego, czy grupa prosta Lie ma być podłączony, a od tego, czy jest to może mieć inną niż trywialne środek, lub od tego, czy R jest grupa prosta spoczywają.

Najczęstszym definicji jest to grupa Lie proste, jeśli jest ona podłączona, dla abelowa, a każda zamknięta połączone normalny podgrupa jest albo identyczności lub całą grupę. Szczególnie proste grupy mogą mieć nie trywialne środek, ale R nie jest proste.

W tym artykule wymieniono przyłączonych grup prostych spoczywać środka trywialne. Raz są one znane, te z centrum nietrywialne są łatwe do listy w następujący sposób. Wszelkie prosty grupa Lie z centrum trywialne ma uniwersalną osłonę , którego centrum jest podstawową grupą prostej grupy Lie. Do odpowiednich grup prostych spoczywać środka nietrywialną można otrzymać jako ilorazy tego uniwersalnego pokrywy przez podgrupy środka.

Proste algebry Liego

Algebra Lie prostej grupy Lie Lie to prosta algebra. Jest to jeden do jeden związek między połączonych grup prostych spoczywać trywialne centrum i prostych algebrach Lie o wymiarze większym niż 1 (autorzy różnić od tego, czy jednowymiarowy Lie Algebra należy traktować jako prosta).

W ciągu liczb zespolonych z półprosty algebry Liego są klasyfikowane według ich schematów Dynkin , rodzajów „ABCDEFG”. Jeśli L jest naprawdę proste Lie algebra, jej complexification jest prosty kompleks Lie algebra, chyba że L jest już complexification z algebry Liego, w którym to przypadku complexification z L jest iloczynem dwóch egzemplarzach L . Zmniejsza to problem klasyfikowania prawdziwe prostych algebr Liego do znalezienia wszystkich rzeczywistych form każdego złożonego prostej algebry Lie (tj algebry prawdziwy Lie których complexification jest dany kompleks Lie algebra). Nie zawsze są co najmniej 2 takie formy: split forma i zwarta forma, a tam są zazwyczaj kilka innych. Poszczególne realne formy odpowiadają klasom automorfizmy porządku najwyżej 2 zespolonej algebry Liego.

symetryczne przestrzenie

Symetryczne pomieszczenia są klasyfikowane w następujący sposób.

Po pierwsze, uniwersalne pokrycie symetrycznej przestrzeni jest jeszcze symetryczny, więc możemy ograniczyć się do przypadku po prostu połączonych przestrzeni symetrycznych. (Na przykład, uniwersalne pokrycie rzeczywistej płaszczyzny rzutowej jest kulą).

Po drugie, produkt przestrzeni symetrycznych jest symetryczny, więc możemy równie dobrze sklasyfikować nieredukowalnego prostu podłączone te (gdzie irreducible oznacza, że nie można zapisać jako iloczyn mniejszych przestrzeni symetrycznych).

Nieredukowalnych prostu przestrzenie związane są symetryczne prostej, a dokładnie dwa miejsca symetryczne odpowiadające każdemu niezwartej prostej grupy Lie G , jednej zwartej i jeden niezwartej. Niezwartej jeden jest osłona z ilorazu G przez maksymalną zwartej podgrupy H , a jeden jest zwarte pokrycie iloraz zwartej postaci G o tej samej podgrupy H . Ten dualizm między kompaktowych i innych zwartych symetrycznych jest uogólnieniem znanego dualizmu pomiędzy geometrią sferyczną i hiperbolicznej.

Hermitowskie przestrzenie symetryczne

Symetryczny przestrzeń z kompatybilnym złożonej strukturze nazywa Hermitian. wchodzą kompaktowe po prostu podłączone nieprzywiedlne hermitowskie przestrzenie symetryczne na 4 nieskończonych rodzin z 2 wyjątkowych te pozostały, a każdy ma non-kompaktowy podwójny. Ponadto kompleks płaszczyzna jest również hermitowskie miejsca symetryczne; to daje pełną listę nieredukowalnej hermitowskich przestrzeni symetrycznych.

Cztery rodziny są typu III A, B, i D I do p = 2 , D III i I C, a dwa z nich są wyjątkowe typy E III i E VII złożonych wymiarach 16 i 27.

Notacja

${\ Displaystyle \ mathbb {R, C, H, O}}$ stoisko dla liczb rzeczywistych, liczb zespolonych, kwaternionów i octonions .

W symbole takie jak E ₆^-26 do szczególnych grup wykładnik -26 jest podpis niezmienna dwuliniowa symetrycznej formie, która jest określona na ujemne maksymalnej zwartej podgrupy. Jest równy wymiarowi minus grupowej dwukrotnie wymiarze maksymalnym kompaktowej podgrupy.

Podstawowym grupy wymienione w poniższej tabeli jest podstawowym grupę o prostej grupy o środku trywialne. Inne proste grupy o takiej samej Lie Algebra odpowiadają podgrupach tej podstawowej grupy (modulo działania zewnętrznego grupy automorfizm).

Lista

abelowa

	Wymiar	Zewnętrzna grupa automorfizmem	Wymiar przestrzeni symetrycznego	symetryczny przestrzeń	Uwagi
R (abelową)	1	R ^*	1	R

Kompaktowy

	Wymiar	fundamentalna grupa	Zewnętrzna automorfizmem grupa	Inne nazwy	Uwagi
_N ( n ≥ 1 ) zwarty	n ( n + 2)	Cykliczne, kolejność N + 1	1, jeśli n = 1 , 2, gdy n > 1 .	rzutowa specjalny jednolity zespół zasilacza ( n + 1)	₁ jest takie samo jak B ₁ i C ₁
B _n ( n ≥ 2 ) zwarty	N (2 n + 1)	2	1	Szczególną grupę prostopadłe SO_{2 n + 1} ( R )	B ₁ jest taka sama jak A ₁ i C ₁ . B ₂ jest taka sama jak C ₂ .
C _N ( n ≥ 3 ) zwarty	N (2 n + 1)	2	1	rzutowa zwarty symplektycznych grupa PSP ( n ), PSP (2 n ) PUSp ( n ) PUSp (2 n )	Hermitian. Złożone struktury H ⁿ . Kopie złożonej przestrzeni rzutowej w quaternionic przestrzeni rzutowej.
D _n ( n ≥ 4 ) zwarty	N (2 n - 1)	Kolejność 4 (cyklicznego gdy n jest liczbą nieparzystą).	2, gdy n > 4 , S ₃ , gdy n = 4	rzutowa specjalny ortogonalne grupy PSO _{2 n} ( R )	D ₃ jest taki sam jak A ₃ , D ₂ jest taka sama jak A ₁² i D ₁ jest abelowa.
E ₆^-78 zwarty	78	3	2
E ₇^-133 kompaktowy	133	2	1
E ₈^-248 kompaktowy	248	1	1
F ₄^-52 kompaktowy	52	1	1
G ₂^-14 kompaktowy	14	1	1		Jest to grupa automorfizmem algebry Cayley.

Rozdzielać

	Wymiar	Ranking rzeczywistym	Maksymalny kompaktowy podgrupa	fundamentalna grupa	Zewnętrzna automorfizmem grupa	Inne nazwy	Wymiar przestrzeni symetrycznego	Kompaktowa przestrzeń symetryczny	Non-Compact przestrzeń symetryczny	Uwagi
_N I ( n ≥ 1) podzieloną	n ( n + 2)	n	D _{n / 2} lub B _{( n -1) / 2}	Nieskończony cykliczny jeśli n = 1 2, gdy n ≥ 2	1 gdy n = 1 2, gdy n ≥ 2.	rzutowa specjalny liniową grupę PSL _{n + 1} (R)	n ( n + 3) / 2	Realne konstrukcje o C ^{n +1} lub zestaw RP ^N CP ⁿ . Hermitowskie jeśli n = 1 , w którym to przypadku jest 2-kuli.	Euklidesowa struktury na R ^{n +1} . Hermitowskie jeśli n = 1 , gdy jest w górnej części płaszczyzny lub jednostki złożone płyty.
B _n I ( n ≥ 2) Podział	N (2 n + 1)	n	SO ( N ) tak, ( n + 1)	Niecykliczne, klasa 4	1	Składnik tożsamość specjalnej grupy prostopadłym SO ( n , n + 1)	n ( n + 1)			B ₁ jest taka sama jak A ₁ .
C _N I ( n ≥ 3) podzieloną	N (2 n + 1)	n	_{N -1}S ¹	nieskończony cykliczny	1	rzutowa symplektycznych grupa pSP _{2 n} ( R ), PSP (2 N , R ), PSP (2 N ), PSP ( n , R ), PSP ( n )	n ( n + 1)	Hermitian. Złożone struktury H ⁿ . Kopie złożonej przestrzeni rzutowej w quaternionic przestrzeni rzutowej.	Hermitian. Złożone struktury na R ^{2 n} zgodnego z symplektyczna formie. Zestaw skomplikowanych przestrzeniach hiperbolicznych w quaternionic hiperbolicznej przestrzeni. Siegel górna połowa przestrzeń.	C ₂ jest takie samo jak B, ₂ i C ₁ jest takie samo jak B ₁ i A ₁ .
D _n I ( n ≥ 4) podzieloną	N (2 n - 1)	n	SO ( N ) tak, ( n )	Zamówienie 4 jeśli n nieparzyste, 8 jeśli n nawet	2, gdy n > 4 , S ₃ , gdy n = 4	Składnik tożsamość rzutowej specjalnej grupy prostopadłym PSO ( n , n )	n ²			D ₃ jest taki sam jak A ₃ , D ₂ jest taka sama jak A ₁² i D ₁ jest abelowa.
E ₆⁶ podzielić	78	6	C ₄	Zamówienie 2	Zamówienie 2	EI	42
E ₇⁷ V Podział	133	7	₇	Cykliczny, porządek 4	Zamówienie 2		70
E ₈⁸ VIII podzielonego	248	8	D ₈	2	1	E VIII	128			@ E8
F ₄⁴ podzielić	52	4	C ₃ x ₁	Zamówienie 2	1	FI	28	Quaternionic rzutowe samoloty w Cayley płaszczyźnie rzutowej.	Hiperboliczne quaternionic rzutowe płaszczyzny hiperbolicznej Cayley w płaszczyźnie rzutowej.
G ₂² podzielić	14	2	₁ x ₁	Zamówienie 2	1	żołnierz amerykański	8	Quaternionic subalgebras algebry Cayley. Quaternion-Kähler.	Dla podziału quaternionic subalgebras nieprogresywnym podziału Cayley Algebra. Quaternion-Kähler.

Złożony

	prawdziwy wymiar	Ranking rzeczywistym	Maksymalny kompaktowy podgrupa	fundamentalna grupa	Zewnętrzna automorfizmem grupa	Inne nazwy	Wymiar przestrzeni symetrycznego	Kompaktowa przestrzeń symetryczny	Non-Compact przestrzeń symetryczny
_N ( n ≥ 1) kompleks	2 n ( n + 2)	n	_n	Cykliczne, kolejność N + 1	2, gdy n = 1 , 4 (nieciągły) w przypadku n równe 2 .	rzutowa kompleks szczególną grupę liniową PSL _{n + 1} ( C )	n ( n + 2)	Zwartej grupie _n	Hermitowskie formy o C ^{n +1} przy stałej objętości.
B _n ( n ≥ 2) kompleks	2 n (2 n + 1)	n	B _n	2	Uporządkowaniu 2 (złożone sprzężenie)	Kompleks specjalną grupę prostopadłe SO _{2 n + 1} ( C )	N (2 n + 1)	Zwartej grupie B _n
C _N ( n ≥ 3) kompleks	2 n (2 n + 1)	n	C _n	2	Uporządkowaniu 2 (złożone sprzężenie)	rzutowa kompleks symplektycznych grupa pSP _{2 n} ( C )	N (2 n + 1)	Zwartej grupie C _n
D _n ( n ≥ 4) złożone	2 n (2 n - 1)	n	D _n	Kolejność 4 (cyklicznego gdy n jest liczbą nieparzystą)	Pierścieniowe o uporządkowaniu 4 dla n > 4 lub produkt grupy o uporządkowaniu 2, a grupa symetryczne S ₃ , gdy n = 4 .	rzutowa kompleks specjalny ortogonalne grupy PSO _{2 n} ( C )	N (2 n - 1)	Zwartej grupie D _n
E ₆ kompleks	156	6	E ₆	3	Kolejność 4 (niecykliczne)		78	Zwartej grupie E ₆
E ₇ kompleks	266	7	E ₇	2	Uporządkowaniu 2 (złożone sprzężenie)		133	Zwartej grupie e ₇
PL ₈ kompleks	496	8	E ₈	1	Uporządkowaniu 2 (złożone sprzężenie)		248	Zwartej grupie E ₈
F. ₄ kompleks	104	4	F ₄	1	2		52	Zwartej grupie C ₄
G ₂ złożony	28	2	G ₂	1	Uporządkowaniu 2 (złożone sprzężenie)		14	Zwartej grupie G ₂

Pozostałe

	Wymiar	Ranking rzeczywistym	Maksymalny kompaktowy podgrupa	fundamentalna grupa	Zewnętrzna automorfizmem grupa	Inne nazwy	Wymiar przestrzeni symetrycznego	Kompaktowa przestrzeń symetryczny	Non-Compact przestrzeń symetryczny	Uwagi
_{2 n -1} II ( n ≥ 2)	(2 n - 1) (2 n + 1)	n - 1	C _n	Zamówienie 2		SL _N ( H ), SU ^* (2 n )	( N - 1) (2 n + 1)	Quaternionic struktury na C ^{2 N} zgodnej z hermitowskiego struktury	Kopie quaternionic hiperbolicznej przestrzeni (wymiaru n - 1 ), w złożonym hiperbolicznej przestrzeni (o wymiarze 2, n - 1 ).
_N III ( n ≥ 1), p + q = N + 1 (1 ≤ s ≤ Q )	n ( n + 2)	p	_{P -1}_q_-1S ¹			Su ( p , q ), III A	2 pq	Hermitian . Grassmannian z p podprzestrzeni C ^{p + q} . Jeśli p albo q oznacza 2; quaternion-Kähler	Hermitian. Grassmannian maksymalnego dodatnio określonych podprzestrzeni C ^{p , q} . Jeżeli P lub Q oznacza 2, kwaternion-Kähler	Jeśli p = q = 1, podzielone jeśli \| p - q \| ≤ 1, quasi-split
B _n I ( n > 1), p + q = 2, n + 1	N (2 n + 1)	min ( p , q )	SO ( t ) tak, ( q )			SO ( p , q )	pq	Grassmannian z R ^s s w R ^{p + q} . Jeżeli P lub Q oznacza 1, przestrzeni rzutowej jeśli p albo q oznacza 2; Hermitowskie Jeśli P lub Q jest 4-quaternion Kähler	Grassmannian pozytywnej określony R ^s s w R ^{p , q} . Jeżeli P lub Q oznacza 1, hiperboliczny przestrzeń jeżeli P lub Q oznacza 2, hermitowskie jeżeli P lub Q jest 4-quaternion Kähler	Jeśli \| p - q \| ≤ 1, Split.
C _n II ( n > 2), n = p + q (1 ≤ s ≤ Q )	N (2 n + 1)	min ( p , q )	C _P C _Q	Zamówienie 2	1, jeśli P ≠ q , 2, jeśli p = q .	Sp _{2 s , 2 Q} (R),	4 pq	Grassmannian o H ^s s w H ^{p + q} . Jeżeli P lub Q oznacza 1, quaternionic rzutowa miejsca , w którym to przypadku kwaternion-Kähler.	H ^s s w H ^{p , q} . Jeżeli P lub Q oznacza 1, quaternionic hiperboliczny miejsca , w którym to przypadku kwaternion-Kähler.
D _n I ( n ≥ 4), p + q = 2 N	N (2 n - 1)	min ( p , q )	SO ( t ) tak, ( q )		Jeżeli P i Q ≥ 3, rząd 8.	SO ( p , q )	pq	Grassmannian z R ^s s w R ^{p + q} . Jeżeli P lub Q oznacza 1, przestrzeni rzutowej jeśli p albo q oznacza 2; Hermitowskie Jeśli P lub Q jest 4-quaternion Kähler	Grassmannian pozytywnej określony R ^s s w R ^{p , q} . Jeżeli P lub Q oznacza 1, hiperboliczny przestrzeni jeżeli P lub Q oznacza 2, hermitowskie jeżeli P lub Q jest 4-quaternion Kähler	Jeśli p = q , podzielone jeśli \| p - q \| ≤ 2, quasi-split
D _n III ( n ≥ 4)	N (2 n - 1)	⌊ n / 2⌋	_{N -1}R ¹	nieskończony cykliczny	Zamówienie 2	SO ^* (2n)	n ( n - 1)	Hermitian. Złożone struktury na R ^{2 n} zgodny ze strukturą euklidesowej.	Hermitian. Quaternionic kwadratowe formy o R ^{2 n} .
E ₆² II (quasi split)	78	4	₅₁	Cykliczny, porządek 6	Zamówienie 2	E II	40	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.	Quasi-split ale nie podzielone.
E ₆^-14 III	78	2	D ₅S ¹	nieskończony cykliczny	Trywialny	E III	32	Hermitian. Rosenfeld eliptyczna płaszczyzna rzutowa ciągu complexified numerów Cayley.	Hermitian. Rosenfeld hiperboliczny rzutowe samolot nad complexified numerów Cayley.
E ₆^-26 IV	78	2	F ₄	Trywialny	Zamówienie 2	E IV	26	Zestaw Cayley płaszczyzn rzutowych w płaszczyźnie rzutowej nad complexified numerów Cayley.	Zestaw Cayley hiperbolicznych samolotów w płaszczyźnie hiperbolicznej nad complexified numerów Cayley.
E ₇^-5 VI	133	4	D ₆₁	Niecykliczne, klasa 4	Trywialny	E VI	64	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
E ₇^-25 VII	133	3	E ₆S ¹	nieskończony cykliczny	Zamówienie 2	E VII	54	Hermitian.	Hermitian.
PL ₈^-24 IX	248	4	E ₇ x ₁	Zamówienie 2	1	E IX	112	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
F. ₄^-20 II	52	1	B ₄ (spin ₉ ( R ))	Zamówienie 2	1	F II	16	Cayley rzutowe samolot. Quaternion-Kähler.	Hiperboliczny Cayley rzutowe samolot. Quaternion-Kähler.

Prostych grup Lie małej wymiar

Poniższa tabela przedstawia niektóre grupy spoczywać prostych algebr Liego o małym wymiarze. Kontrole na danej linii grupy mają ten sam algebry Liego. W przypadku wymiar 1, grupy są abelowa a nie proste.

Ciemny	Grupy		symetryczny przestrzeń	kompaktowy podwójny	Ranga	Ciemny
1	R , S ¹ = U = (1) SO ₂ ( R ) = wirowania (2)	abelowa	prawdziwa linia		0	1
3	S ³ = SP (1) = su (2) = wirowania (3) tak, ₃ ( R ) = układ zasilający (2)	Kompaktowy
3	SL ₂ ( R ) = Sp ₂ ( R ), tak, _2,1 ( R )	Split, Hermitian, hiperboliczny	Hiperboliczny płaszczyzna H ²	Kula S ²	1	2
6	SL ₂ ( C ) = Sp ₂ ( C ), tak, _3,1 ( R ) SO ₃ ( C )	Złożony	Hiperboliczny przestrzeń H ³	Kula S ³	1	3
8	SL ₃ ( R )	Rozdzielać	Euklidesowa struktury na R ³	Realne konstrukcje na C ³	2	5
8	Su (3)	Kompaktowy
8	Su (1,2)	Hermitian, quasi-split, quaternionic	Kompleks hiperboliczny płaszczyzny	Kompleks płaszczyźnie rzutowej	1	4
10	SP (2) = wirowania (5) tak, ₅ ( R )	Kompaktowy
10	TAK _4,1 ( R ), Sp _2,2 ( R )	Hiperboliczny, quaternionic	Hiperboliczny przestrzeń H ⁴	Kula S ⁴	1	4
10	TAK _3,2 ( R ), sp ₄ ( R )	Split, Hermitian	Siegel górna połowa przestrzeń	Złożone struktury o H ²	2	6
14	G ₂	Kompaktowy
14	G ₂	Split, quaternionic	Dla podziału quaternionic subalgebras z octonions bez podziału	Quaternionic subalgebras z octonions	2	8
15	Su (4) = wirowania (6) tak, ₆ ( R )	Kompaktowy
15	SL ₄ ( R ) tak, _3,3 ( R )	Rozdzielać	R ³ z R ^3,3	Grassmannian G (3,3)	3	9
15	Su (3,1)	Hermitian	Kompleks hiperboliczny przestrzeń	Kompleks przestrzeni rzutowej	1	6
15	Su (2,2) tak, _4,2 ( R )	Hermitian, quasi-split, quaternionic	R ² do R ^2,4	Grassmannian G (2,4)	2	8
15	SL ₂ (H) tak, _5,1 ( R )	Hiperboliczny	Hiperboliczny przestrzeń H ⁵	Kula S ⁵	1	5
16	SL ₃ ( C )	Złożony		Su (3)	2	8
20	SO ₅ ( C ) sp ₄ ( C )	Złożony		Wirowanie ₅ ( R )	2	10
21	SO ₇ ( R )	Kompaktowy
21	TAK _6,1 ( R )	Hiperboliczny	Hiperboliczny przestrzeń H ⁶	Kula S ⁶
21	TAK _5,2 ( R )	Hermitian
21	TAK _4,3 ( R )	Split, quaternionic
21	Sp (3)	Kompaktowy
21	Sp ₆ ( R )	Split, Hermitian
21	Sp _4,2 ( R )	Quaternionic
24	Su (5)	Kompaktowy
24	SL ₅ ( R )	Rozdzielać
24	SU _4,1	Hermitian
24	SU _3,2	Hermitian, quaternionic
28	SO ₈ ( R )	Kompaktowy
28	TAK _7,1 ( R )	Hiperboliczny	Hiperboliczny przestrzeń H ⁷	Kula S ⁷
28	TAK _6,2 ( R )	Hermitian
28	TAK _5,3 ( R )	Quasi-split
28	TAK _4,4 ( R )	Split, quaternionic
28	SO ^*₈ ( R )	Hermitian
28	G ₂ ( C )	Złożony
30	SL ₄ ( C )	Złożony

Uwagi

^ † grupaRnie jest proste abstrakcyjnej grupy, a dla większości (ale nie wszystkich) definicji nie jest grupa prosta spoczywają. Większość autorów nie liczyć jego algebry Lie Lie jako prostej algebry. Jest on wymieniony tutaj tak, że lista niesprowadzalnych prostu połączonych przestrzeni symetrycznych jest kompletna. Należy zauważyć, żeRjest tylko taka nie zwartą symetryczny bez kompaktowy podwójny (chociaż ma zwartą ilorazS¹).

Dalsza lektura

Besse, Einstein kolektorów ISBN 0-387-15279-2
Helgason, geometria różnicowego, grupy Liego, a przestrzenie symetryczne . ISBN 0-8218-2848-7
Fuchs i Schweigert, Symetrie, algebry Lie i reprezentacje: kurs absolwent dla fizyków. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0

Languages

In other projects