Finanse matematyczne - Mathematical finance
Finanse matematyczne , znane również jako finanse ilościowe i matematyka finansowa , to dziedzina matematyki stosowanej , zajmująca się matematycznym modelowaniem rynków finansowych . Zobacz Analityk ilościowy .
Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwie odrębne gałęzie finansów, które wymagają zaawansowanych technik ilościowych: wycena instrumentów pochodnych z jednej strony oraz zarządzanie ryzykiem i portfelem z drugiej. Finanse matematyczne w dużym stopniu pokrywają się z dziedzinami finansów obliczeniowych i inżynierii finansowej . Ta druga skupia się na zastosowaniach i modelowaniu, często przy pomocy stochastycznych modeli aktywów , podczas gdy ta pierwsza skupia się, poza analizą, na budowaniu narzędzi implementacji modeli. Powiązane jest również inwestowanie ilościowe , które opiera się na modelach statystycznych i numerycznych (a ostatnio na uczeniu maszynowym ), w przeciwieństwie do tradycyjnej analizy fundamentalnej przy zarządzaniu portfelami ; zobacz także Handel algorytmiczny .
Francuski matematyk Louis Bachelier jest uważany za autora pierwszej pracy naukowej na temat finansów matematycznych, opublikowanej w 1900 roku. Jednak finanse matematyczne pojawiły się jako dyscyplina w latach 70., po pracach Fischera Blacka , Myrona Scholesa i Roberta Mertona na temat teorii wyceny opcji. Inwestowanie matematyczne wywodzi się z badań matematyka Edwarda Thorpa, który zastosował metody statystyczne, aby najpierw wymyślić liczenie kart w blackjacku, a następnie zastosować jego zasady do nowoczesnego, systematycznego inwestowania.
Przedmiot ma ścisły związek z dyscypliną ekonomii finansowej , która dotyczy wielu podstawowych teorii związanych z matematyką finansową. Ogólnie rzecz biorąc, finanse matematyczne będą wyprowadzać i rozszerzać modele matematyczne lub numeryczne bez konieczności ustanawiania powiązania z teorią finansową, przyjmując jako dane wejściowe zaobserwowane ceny rynkowe. Wymagana jest spójność matematyczna, a nie zgodność z teorią ekonomii. Tak więc, na przykład, podczas gdy ekonomista finansowy może badać przyczyny strukturalne, dlaczego firma może mieć pewną cenę akcji , matematyk finansowa może przybrać cenę akcji, jak dana, i próbować używać stochastycznego rachunku do uzyskania odpowiedniej wartości pochodnych od Zdjęcie . Zobacz: Wycena opcji ; Modelowanie finansowe ; Wycena aktywów . Fundamentalne twierdzenie arbitrażu wolne cen jest jednym z kluczowych twierdzeń matematyka finansowa, natomiast Black-Scholes Równanie i wzór są jednymi z najważniejszych rezultatów.
Obecnie wiele uniwersytetów oferuje studia i programy badawcze z zakresu finansów matematycznych.
Historia: Q kontra P
Istnieją dwie odrębne gałęzie finansów, które wymagają zaawansowanych technik ilościowych: wycena instrumentów pochodnych oraz zarządzanie ryzykiem i portfelem. Jedną z głównych różnic jest to, że używają różnych prawdopodobieństw, takich jak prawdopodobieństwo neutralne dla ryzyka (lub prawdopodobieństwo wyceny arbitrażowej), oznaczane przez „Q” i rzeczywiste (lub aktuarialne) prawdopodobieństwo, oznaczane przez „P”.
Wycena instrumentów pochodnych: świat Q
Bramka | „ekstrapoluj teraźniejszość” |
Środowisko | prawdopodobieństwo neutralne dla ryzyka |
Procesy | martyngały w czasie ciągłym |
Wymiar | Niska |
Narzędzia | Rachunek Itō, PDEs |
Wyzwania | kalibrowanie |
Biznes | po stronie sprzedaży |
Celem wyceny instrumentów pochodnych jest ustalenie godziwej ceny danego papieru wartościowej w kategoriach bardziej płynnych papierów wartościowych, których cenę określa prawo podaży i popytu . Znaczenie słowa „fair” zależy oczywiście od tego, czy rozważa się kupno czy sprzedaż papierów wartościowych. Przykładami wycenianych papierów wartościowych są opcje typu plain vanilla i egzotyczne , obligacje zamienne itp.
Po ustaleniu uczciwej ceny sprzedawca po stronie sprzedającej może stworzyć rynek na papier wartościowy. Dlatego wycena instrumentów pochodnych jest złożonym ćwiczeniem „ekstrapolacji” w celu określenia aktualnej wartości rynkowej papieru wartościowego, która jest następnie wykorzystywana przez społeczność po stronie sprzedającej. Ilościowa wycena instrumentów pochodnych została zainicjowana przez Louisa Bacheliera w Teorii spekulacji ("Théorie de la spéculation", opublikowana w 1900 r.), wraz z wprowadzeniem najbardziej podstawowego i najbardziej wpływowego procesu, ruchu Browna i jego zastosowań w wycenie opcji. . Ruch Browna jest wyprowadzany z równania Langevina i dyskretnego błądzenia losowego . Bachelier modelował szeregi czasowe zmian logarytmu cen akcji jako błądzenie losowe, w którym zmiany krótkookresowe miały skończoną wariancję . Powoduje to, że długoterminowe zmiany następują zgodnie z rozkładem Gaussa .
Teoria pozostała uśpiona do czasu, gdy Fischer Black i Myron Scholes , wraz z fundamentalnym wkładem Roberta C. Mertona , zastosowali drugi najbardziej wpływowy proces, geometryczny ruch Browna , do wyceny opcji . Za to M. Scholes i R. Merton otrzymali w 1997 roku Nagrodę Nobla w dziedzinie nauk ekonomicznych . Black nie kwalifikował się do nagrody z powodu jego śmierci w 1995 roku.
Kolejnym ważnym krokiem było fundamentalne twierdzenie Harrisona i Pliski (1981) o wycenie aktywów , zgodnie z którym odpowiednio znormalizowana bieżąca cena P 0 papieru wartościowego jest wolna od arbitrażu, a zatem naprawdę sprawiedliwa tylko wtedy, gdy istnieje proces stochastyczny P t ze stałą wartością oczekiwaną, która opisuje jego przyszłą ewolucję:
-
( 1 )
Proces satysfakcjonujący ( 1 ) nazywany jest „ martyngałem ”. Martyngał nie nagradza ryzyka. W związku z tym prawdopodobieństwo znormalizowanej ceny papieru wartościowego jest nazywane „neutralnym pod względem ryzyka” i jest zazwyczaj oznaczane czcionką na tablicy „ ”.
Zależność ( 1 ) musi obowiązywać przez cały czas t: dlatego procesy stosowane do wyceny instrumentów pochodnych są naturalnie ustawione w czasie ciągłym.
W Kwanty którzy działają w świecie Q pochodnych cenowe są specjaliści z głębokiej wiedzy na temat konkretnych produktów ich modelu.
Papiery wartościowe wyceniane są indywidualnie, przez co problemy w świecie Q mają charakter małowymiarowy. Kalibracja jest jednym z głównych wyzwań świata Q: po skalibrowaniu procesu parametrycznego w czasie ciągłym do zestawu papierów wartościowych w obrocie poprzez relację taką jak ( 1 ), podobna relacja jest używana do określenia ceny nowych instrumentów pochodnych.
Głównymi narzędziami ilościowymi niezbędnymi do obsługi procesów Q w czasie ciągłym są rachunek stochastyczny Itô , symulacja i równania różniczkowe cząstkowe (PDE).
Zarządzanie ryzykiem i portfelem: świat P
Bramka | "modeluj przyszłość" |
Środowisko | prawdopodobieństwo rzeczywistego świata |
Procesy | szeregi dyskretne |
Wymiar | duży |
Narzędzia | statystyki wielowymiarowe |
Wyzwania | oszacowanie |
Biznes | strona kupującego |
Zarządzanie ryzykiem i portfelem ma na celu modelowanie statystycznego rozkładu prawdopodobieństwa cen rynkowych wszystkich papierów wartościowych w danym horyzoncie inwestycyjnym w przyszłości.
Ten „rzeczywisty” rozkład prawdopodobieństwa cen rynkowych jest zwykle oznaczony literą „ ” na tablicy , w przeciwieństwie do „neutralnego dla ryzyka” prawdopodobieństwa „ ” stosowanego w wycenie instrumentów pochodnych. Na podstawie rozkładu P społeczność kupujących podejmuje decyzje o tym, które papiery wartościowe kupić, aby poprawić potencjalny profil zysków i strat ich pozycji traktowanych jako portfel. Coraz częściej elementy tego procesu są zautomatyzowane; patrz Zarys finansów § Inwestowanie ilościowe, aby zapoznać się z listą odpowiednich artykułów.
Za swoją pionierską pracę Markowitz i Sharpe wraz z Mertonem Millerem otrzymali wspólnie nagrodę Nobla w dziedzinie nauk ekonomicznych w 1990 roku , po raz pierwszy przyznaną za pracę w finansach.
Prace Markowitza i Sharpe'a nad wyborem portfela wprowadziły matematykę do zarządzania inwestycjami . Z czasem matematyka stała się bardziej wyrafinowana. Dzięki Robertowi Mertonowi i Paulowi Samuelsonowi modele jednookresowe zostały zastąpione modelami czasu ciągłego, modelami ruchu Browna , a kwadratowa funkcja użyteczności zawarta w optymalizacji średniej-wariancji została zastąpiona bardziej ogólnie rosnącymi, wklęsłymi funkcjami użyteczności. Co więcej, w ostatnich latach skupiono się na ryzyku szacowania, tj. niebezpieczeństwach błędnego założenia, że sama zaawansowana analiza szeregów czasowych może dostarczyć całkowicie dokładnych oszacowań parametrów rynkowych.
Wiele wysiłku włożono w badanie rynków finansowych i zmian cen w czasie. Charles Dow , jeden z założycieli Dow Jones & Company i The Wall Street Journal , przedstawił zbiór pomysłów na ten temat, które obecnie nazywa się Teorią Dow . Jest to podstawa tzw. metody analizy technicznej służącej do przewidywania przyszłych zmian. Jedną z zasad „analizy technicznej” jest to, że trendy rynkowe wskazują na przyszłość, przynajmniej w krótkim okresie. Twierdzenia analityków technicznych są kwestionowane przez wielu naukowców.
Krytyka
Z biegiem lat powstawały coraz bardziej wyrafinowane modele matematyczne i strategie wyceny instrumentów pochodnych, ale ich wiarygodność nadszarpnął kryzys finansowy lat 2007–2010 . Współczesna praktyka finansów matematycznych została poddana krytyce ze strony postaci z tej dziedziny, w szczególności przez Paula Wilmotta i Nassima Nicholasa Taleba w jego książce The Black Swan . Taleb twierdzi, że cen aktywów finansowych nie można scharakteryzować za pomocą obecnie stosowanych prostych modeli, co sprawia, że większość obecnych praktyk jest w najlepszym razie nieistotna, aw najgorszym niebezpiecznie myląca. Wilmott i Emanuel Derman opublikowali w styczniu 2009 roku Manifest Modelarzy Finansowych, który porusza niektóre z najpoważniejszych obaw. Organy takie jak Institute for New Economic Thinking próbują obecnie rozwijać nowe teorie i metody.
Ogólnie rzecz biorąc, modelowanie zmian przez rozkłady ze skończoną wariancją jest coraz częściej uważane za niewłaściwe. W latach sześćdziesiątych Benoit Mandelbrot odkrył, że zmiany cen nie są zgodne z rozkładem Gaussa , ale są lepiej modelowane przez alfa- stabilne rozkłady Lévy'ego . Skala zmian, czyli zmienności, zależy od długości przedziału czasowego do potęgi nieco większej niż 1/2. Duże zmiany w górę lub w dół są bardziej prawdopodobne niż te, które można by obliczyć przy użyciu rozkładu Gaussa z szacowanym odchyleniem standardowym . Problem polega jednak na tym, że nie rozwiązuje to problemu, ponieważ znacznie utrudnia parametryzację, a kontrola ryzyka jest mniej niezawodna.
Zobacz też
Narzędzia matematyczne
- Analiza asymptotyczna
- Rachunek różniczkowy
- Kopuły , w tym Gaussian
- Równania różniczkowe
- Wartość oczekiwana
- Teoria ergodyczna
- Wzór Feynmana-Kaca
- Transformata Fouriera
- Twierdzenie Girsanova
- To jest lemat
- Twierdzenie o reprezentacji Martingale
- Modele matematyczne
- Optymalizacja matematyczna
- Metoda Monte Carlo
- Analiza numeryczna
- Prawdziwa analiza
- Równania różniczkowe cząstkowe
- Prawdopodobieństwo
- Rozkłady prawdopodobieństwa
- Funkcje kwantylowe
- Pochodna radon-nikodym
- Miara neutralna dla ryzyka
- Optymalizacja scenariusza
- Rachunek stochastyczny
- Stochastyczne równanie różniczkowe
- Optymalizacja stochastyczna
- Zmienność stochastyczna
- Analiza przeżycia
- Wartość zagrożona
- Zmienność
Wycena instrumentów pochodnych
- Browna model rynkach finansowych
-
Racjonalne założenia
cenowe
- Wycena neutralna pod względem ryzyka
- Arbitraż - wycena bezpłatna
- Korekty wyceny
- Modelowanie krzywej dochodowości
- Formuła ceny terminowej
- Wycena kontraktów futures
- Wycena swap
- Opcje
- Parytet sprzedaży i kupna (relacje arbitrażowe dla opcji)
- Wartość wewnętrzna , wartość czasu
- Pieniądz
- cenowe modele
- Model Blacka-Scholesa
- Czarny model
- Model opcji dwumianowych
- Model opcji Monte Carlo
- Domniemana zmienność , uśmiech zmienności
- Zmienność lokalna
- Zmienność stochastyczna
- Multifraktal przełączający Markowa
- Grecy
- Metody różnic skończonych do wyceny opcji
- Ceny Vanna–Wołga
- Drzewo trójmianowe
- Model Garmana-Kohlhagena
- Model kratowy (finanse)
- Formuła Margrabe
- Ceny opcji amerykańskich
-
Instrumenty pochodne na stopę procentową
- Czarny model
- Modele krótkoterminowe
-
Modele oparte na kursach
terminowych
- Model rynku LIBOR (Brace–Gatarek–Musiela Model, BGM)
- Model Heatha- Jarrowa -Mortona (HJM)
Modelowanie portfela
Inne
- Brownowski model rynków finansowych
- Finanse obliczeniowe
- Instrumenty pochodne (finanse) , lista tematów instrumentów pochodnych
- Model ekonomiczny
- Ekonofizyka
- Ekonomia finansowa
- Inżynieria finansowa
- Modelowanie finansowe § Finanse ilościowe
- Międzynarodowe Stowarzyszenie Swapów i Instrumentów Pochodnych
- Indeks artykułów księgowych
- Lista ekonomistów
- Magister finansów ilościowych
- Zarys ekonomii
- Zarys finansów
- Fizyka rynków finansowych
- Ilościowe finanse behawioralne
- Finanse statystyczne
- Analiza techniczna
- XVA
- Finanse kwantowe
Uwagi
Dalsza lektura
- Nicole El Karoui , „Przyszłość matematyki finansowej” , ParisTech Review , 6 września 2013 r.
- Harold Markowitz , „Wybór portfela”, The Journal of Finance , 7, 1952, s. 77-91
- Attilio Meucci , „P Versus Q: Differences and Commonalities between the Two Areas of Quantitative Finance” , GARP Risk Professional , luty 2011, s. 41–44
- William F. Sharpe , Inwestycje , Prentice-Hall, 1985