Mały dwunastościan gwiaździsty - Small stellated dodecahedron

Mały dwunastościan gwiaździsty

Rodzaj	Wielościan Keplera-Poinsota
Rdzeń stelacji	regularny dwunastościan
Elementy	F = 12, E = 30 V = 12 (χ = -6)
Twarze po bokach	12 5
Symbol Schläfli	{ 5 ⁄ 2,5 }
Konfiguracja twarzy	V(5 ⁵ )/2
Symbol Wythoffa	5 \| 2 5 ⁄ 2
Schemat Coxetera
Grupa symetrii	I _h , H ₃ , [5,3], (*532)
Bibliografia	U ₃₄ , C ₄₃ , W ₂₀
Nieruchomości	Regularne niewypukłe
( 5 ⁄ 2 ) ⁵ ( rysunek wierzchołka )	Wielki dwunastościan ( podwójny wielościan )

Model 3D małego dwunastościanu gwiaździstego

W geometrii The małe gwiazdowaty dwunastościan jest wielościanem Kepler-Poinsot , nazwane Arthur Cayley , i symbol schläfliego { 5 / 2 , 5}. Jest to jeden z czterech niewypukłych wielościanów foremnych . Składa się z 12 pentagramicznych twarzy, z pięcioma pentagramami spotykającymi się na każdym wierzchołku.

Ma taki sam układ wierzchołków jak wypukły dwudziestościan foremny . Ma również ten sam układ krawędzi co wielki dwudziestościan , z którym tworzy zdegenerowaną jednolitą figurę złożoną .

Jest to druga z czterech gwiazd dwunastościanu (łącznie z samym dwunastościanem oryginalnym).

Mały gwiaździsty dwunastościan może być skonstruowany analogicznie do pentagramu, jego dwuwymiarowego odpowiednika, poprzez przedłużenie krawędzi (1-ścian) rdzenia politopu aż do punktu, w którym się przecinają.

Topologia

Jeśli ściany pentagramu są uważane za 5 ścian trójkątnych, mają tę samą topologię powierzchni, co dwunastościan pentagramu , ale ze znacznie wyższymi ścianami trójkąta równoramiennego , przy czym wysokość piramid pięciokątnych jest dostosowana tak, aby pięć trójkątów w pentagramie stało się współpłaszczyznami. Kąt krytyczny to atan(2) nad ścianą dwunastościanu.

Jeśli uznamy, że ma 12 pentagramów jako twarzy, przy czym te pentagramy stykają się na 30 krawędziach i 12 wierzchołkach, możemy obliczyć jego rodzaj za pomocą wzoru Eulera

{\ Displaystyle V-E + F = 2-2g}

i stwierdzić, że małe gwiezdny dwunastościan ma genus 4. Obserwacja ta, wykonana przez Louis Poinsot , początkowo niezrozumiałe, ale Felix Klein pokazał w 1877 roku, że mały gwiezdny dwunastościan można postrzegać jako rozgałęzione obejmujące w sferze Riemanna przez Riemanna powierzchni z rodzaj 4, z rozgałęzieniami w środku każdego pentagramu. W rzeczywistości ta powierzchnia Riemanna, zwana krzywą Bringa , ma największą liczbę symetrii ze wszystkich powierzchni Riemanna z rodzaju 4: grupa symetryczna działa jako automorfizmy ${\ Displaystyle S_ {5}}$

Obrazy

Przezroczysty model	Ręcznie robione modele
(Zobacz też: animowane )
Dachówka sferyczna	Stelacja	Netto
Ten wielościan reprezentuje również kuliste płytki o gęstości 3. (Jedna sferyczna ściana pentagramu, obrysowana na niebiesko, wypełniona na żółto)	Może być także wykonana jako pierwszy z trzech stellacja z dwunastościanu i oznaczone jako modelu Wenninger [W20] .	× 12 Mały dwunastościan gwiaździsty można zbudować z papieru lub kartonu, łącząc ze sobą 12 pięciobocznych piramid równoramiennych w taki sam sposób, jak pięciokąty w dwunastościanie foremnym. Dzięki nieprzezroczystemu materiałowi wizualnie reprezentuje zewnętrzną część każdej pentagramowej twarzy.

W sztuce

Mozaika podłogowa autorstwa Paolo Uccello, 1430

Niewielka gwiezdny dwunastościan można zobaczyć na podłodze mozaika w bazylice Świętego Marka , Wenecja przez Paolo Uccello circa 1430. Ten sam kształt jest centralny do dwóch litografii przez MC Escher : Kontrast (porządkiem a chaosem) (1950) i grawitacji (1952).

Powiązane wielościany

Animowane obcinanie sekwencji z { 5 / 2 , 5}, {do 5, 5 / 2 }

Jego wypukły kadłub to regularny wypukły dwudziestościan . Swoimi krawędziami dzieli również z wielkim dwudziestościanem ; związek z obydwoma jest wielkim złożonym dwudziestodwunastościanem .

Istnieją cztery pokrewne jednolite wielościany, skonstruowane jako stopnie obcięcia. Podwójny to wielki dwunastościan . Dodecadodecahedron jest sprostowanie, gdzie brzegi są obcinane do punktów.

Obcięty małe gwiazdowaty dwunastościan można uznać za zdegenerowany jednolity wielościan gdyż krawędzie i wierzchołki pokrywają się, lecz jest włączone do kompletności. Wizualnie wygląda jak regularny dwunastościan na powierzchni, ale ma 24 ściany w nakładających się parach. Kolce są obcinane, aż osiągną płaszczyznę pentagramu pod nimi. 24 twarze to 12 pięciokątów ze ściętych wierzchołków i 12 dziesięciokątów przybierających formę pięciokątów podwójnie nawiniętych zachodzących na pierwsze 12 pięciokątów. Te ostatnie twarze są tworzone przez obcięcie oryginalnych pentagramów. Kiedy { n ⁄ d }-gon jest obcięty, staje się { 2 n ⁄ d }-gon. Na przykład obcięty pięciokąt { 5 ⁄ 1 } staje się dziesięciokątem { 10 ⁄ 1 }, więc obcięcie pentagramu { 5 ⁄ 2 } staje się pięciokątem podwójnie zranionym { 10 ⁄ 2 } (współczynnik wspólny między 10 a 2 oznacza, że odwiedź każdy wierzchołek dwukrotnie, aby uzupełnić wielokąt).