Stelacja - Stellation

Budowa gwiezdny dwunastokąta : regularny wielokąt symbol schläfliego {12/5}.

W geometrii , stellacja jest procesem rozszerzania wielokąta w dwóch wymiarach , wielościan w trzech wymiarach, lub w ogóle, Polytope w n wymiary, aby utworzyć nową postać. Zaczynając od oryginalnej figury, proces rozciąga określone elementy, takie jak jej krawędzie lub płaszczyzny czołowe, zwykle w sposób symetryczny, aż do ponownego spotkania się, tworząc zamkniętą granicę nowej figury. Nowa figura jest konstelacją oryginału. Słowo stellation pochodzi od łacińskiego stellātus , „z ​​gwiazdą”, co z kolei pochodzi od łacińskiego stella , „gwiazda”.

Definicja Keplera

W 1619 Kepler zdefiniował stellation dla wielokątów i wielościanów jako proces wydłużania krawędzi lub ścian, aż do ich spotkania, aby utworzyć nowy wielokąt lub wielościan.

On gwiazdował dwunastościan foremny, aby uzyskać dwa wielościany foremne, mały dwunastościan gwiaździsty i wielki dwunastościan gwiaździsty . On również stelated regularnego ośmiościanu, aby uzyskać Stella octagula , regularny związek dwóch czworościanów.

Wielokąty gwiezdne

Symetryczne stellatowanie regularnego wielokąta tworzy regularny wielokąt gwiaździsty lub wielokąt złożony . Wielokąty te charakteryzują się, ile razy m , że wielokątne wiatry brzegowych wokół środka figury. Jak wszystkie regularne wielokąty, ich wierzchołki leżą na okręgu. m odpowiada również liczbie wierzchołków wokół okręgu, aby przejść od jednego końca danej krawędzi do drugiego, zaczynając od 1.

Wielokąt foremnej gwiazdy jest reprezentowany przez symbol Schläfliego { n / m }, gdzie n to liczba wierzchołków, m to krok używany do sekwencjonowania krawędzi wokół niego, a m i n są względnie pierwszymi (nie mają wspólnego współczynnika ). Przypadek m = 1 daje wielokąt wypukły { n }. m również musi być mniejsze niż połowa n ; w przeciwnym razie linie będą albo równoległe, albo rozbieżne, co zapobiegnie zamknięciu się postaci.

Jeśli n i m mają wspólny dzielnik, to liczba jest regularnym związkiem. Na przykład {6/2} jest regularnym związkiem dwóch trójkątów {3} lub heksagramu , podczas gdy {10/4} jest związkiem dwóch pentagramów {5/2}.

Niektórzy autorzy używają symbolu Schläfli dla takich regularnych związków. Inni uważają ten symbol za wskazujący na pojedynczą ścieżkę, która jest owinięta m razy dookołanie/mpunkty wierzchołkowe, takie, że jedna krawędź nakłada się na drugą, a każdy punkt wierzchołkowy jest odwiedzany m razy. W tym przypadku dla związku można zastosować zmodyfikowany symbol, na przykład 2{3} dla heksagramu i 2{5/2} dla regularnego związku dwóch pentagramów.

Regularny n -gon man – 4/2gwiazdozbiory, jeśli n jest parzyste (zakładając, że nie są brane pod uwagę związki o wielu zdegenerowanych dwukątach ), orazn – 3/2gwiazdozbiory jeśli n jest nieparzyste .

Pentagram zielony.svg
Pentagram {5/2} jest tylko stellacja z pięciokąta 		Zwykła figura gwiazdy 2(3,1).svg
Hexagram {6/2} powoduje stellacja z sześciokątnym i związek z dwóch trójkątów. 		Enneagon stellations.svg
Enneagon (nonagon) {9} ma 3 enneagrammic formy:
{9/2}, {} 9/3 {9/4} z {9/3} jest związkiem 3 trójkątów.
Rozwarty heptagram.svgOstry heptagram.svg


Heptagon dwa heptagrammic formy:
{7/2} {7/3}

Podobnie jak siedmiokąt , ośmiokąt ma również dwie ośmiokątne gwiazdozbiory , z których jedna {8/3} jest wielokątem gwiazdy , a druga {8/2} jest złożona z dwóch kwadratów .


Wielościany gwiezdne

Pierwsza gwiazda ośmiościanu.png Pierwsza gwiazda dwunastościanu.png Druga gwiazda dwunastościanu.png Trzecia gwiazda dwunastościanu.png Szesnasta gwiazda dwudziestościanu.png Pierwsza gwiazda dwudziestościanu.png Siedemnasta gwiazda dwudziestościanu.png

Wielościan jest stelatowany poprzez wydłużenie krawędzi lub płaszczyzn czołowych wielościanu, aż ponownie się spotkają, tworząc nowy wielościan lub związek. Wnętrze nowego wielościanu podzielone jest ścianami na kilka komórek. Płaszczyzny czołowe wielościanu mogą dzielić przestrzeń na wiele takich komórek, a wraz z postępem procesu stellacji więcej z tych komórek zostanie zamkniętych. W przypadku wielościanu symetrycznego komórki te podzielą się na grupy lub zestawy przystających komórek – mówimy, że komórki w takim przystającym zestawie są tego samego typu. Powszechna metoda znajdowania stelacji polega na wybraniu jednego lub więcej typów komórek.

Może to prowadzić do ogromnej liczby możliwych form, więc często nakładane są dalsze kryteria, aby zredukować zbiór do tych stelacji, które są w jakiś sposób znaczące i unikalne.

Zbiór komórek tworzących zamkniętą warstwę wokół rdzenia nazywany jest powłoką. W przypadku wielościanu symetrycznego powłoka może składać się z jednego lub więcej typów komórek.

W oparciu o takie pomysły zidentyfikowano kilka restrykcyjnych kategorii zainteresowań.

  • Setelacje linii głównej. Dodawanie kolejnych powłok do wielościanu rdzenia prowadzi do zestawu stelacji linii głównej.
  • W pełni obsługiwane stelacje. Dolne powierzchnie komórki mogą wyglądać na zewnątrz jako „nawis”. W całkowicie podpartej stelacji nie ma takich nawisów, a wszystkie widoczne części twarzy są widziane z tej samej strony.
  • Stelacje monoakralne. Dosłownie „pojedynczy szczyt”. Tam, gdzie w gwiaździe występuje tylko jeden rodzaj piku lub wierzchołka (tzn. wszystkie wierzchołki są przystające na pojedynczej orbicie symetrii), gwiazda jest monoakralna. Wszystkie takie stelacje są w pełni obsługiwane.
  • stelacje pierwotne. Tam, gdzie wielościan ma płaszczyzny symetrii lustrzanej, mówi się, że krawędzie opadające w tych płaszczyznach leżą w liniach podstawowych. Jeśli wszystkie krawędzie leżą w liniach podstawowych, stelacja jest pierwotna. Wszystkie główne stellacje są w pełni obsługiwane.
  • Gwiazdki Millera. W "The Fifty-Nine Icosahedra" Coxeter , Du Val, Flather i Petrie zapisują pięć zasad sugerowanych przez Millera . Chociaż zasady te odnoszą się konkretnie do geometrii dwudziestościanu, zostały przystosowane do pracy dla dowolnych wielościanów. Zapewniają one m.in. zachowanie symetrii obrotowej pierwotnego wielościanu, a każda gwiazda różni się wyglądem zewnętrznym. Zdefiniowane właśnie cztery rodzaje gwiezdnych są podzbiorami gwiazdozbiorów Millera.

Możemy również zidentyfikować kilka innych kategorii:

  • Częściowy stellacja jest jednym gdzie nie wszystkie elementy danego wymiarowości są rozszerzone.
  • Sub-symetryczny stellacja jest taki, w którym nie wszystkie elementy rozciągają się symetrycznie.

W Archimedesa substancji stałych i ich Podwójne można również gwiazdowaty. Tutaj zwykle dodajemy zasadę, że wszystkie pierwotne płaszczyzny ścian muszą być obecne w gwiazdozbiorze, tzn. nie bierzemy pod uwagę częściowych gwiazd. Na przykład kostka nie jest zwykle uważany za stellacja z sześcio-ośmiościan .

Uogólniając zasady Millera są to:

Siedemnaście niewypukłych jednostajnych wielościanów to gwiazdozbiory brył Archimedesa.

Zasady Millera

W książce The Fifty-Nine Icosahedra JCP Miller zaproponował zestaw reguł określających, które formy gwiezdne należy uznać za „odpowiednio znaczące i odrębne”.

Zasady te zostały przystosowane do stosowania z gwiazdami wielu innych wielościanów. Zgodnie z zasadami Millera znajdujemy:

Wiele „stelacji Millera” nie można uzyskać bezpośrednio metodą Keplera. Na przykład wiele z nich ma puste centra, w których całkowicie brakuje oryginalnych ścian i krawędzi wielościanu rdzenia: nie ma już nic do stellacji. Z drugiej strony metoda Keplera daje również stelacje, które są zabronione przez reguły Millera, ponieważ ich komórki są połączone krawędziami lub wierzchołkami, mimo że ich ściany są pojedynczymi wielokątami. Ta rozbieżność nie zyskała szczególnej uwagi do czasu Inchbalda (2002).

Inne zasady dotyczące stelacji

Reguły Millera bynajmniej nie reprezentują „poprawnego” sposobu wyliczania stelacji. Opierają się one na łączeniu części w diagramie stelacji w określony sposób i nie uwzględniają topologii powstałych ścian. W związku z tym istnieje kilka całkiem rozsądnych gwiazd dwudziestościanu, które nie znajdują się na ich liście – jedna została zidentyfikowana przez Jamesa Bridge’a w 1974 r., podczas gdy niektóre „gwiazdy Millera” są wątpliwe, czy w ogóle należy je uważać za gwiezdne – jedna z zestaw dwudziestościenny składa się z kilku całkiem rozłącznych komórek unoszących się symetrycznie w przestrzeni.

Jak dotąd nie opracowano w pełni alternatywnego zestawu reguł uwzględniających to zjawisko. Większość postępów poczyniono w oparciu o założenie, że stelacja jest procesem odwrotnym lub podwójnym do fasetowania , w którym części są usuwane z wielościanu bez tworzenia nowych wierzchołków. Dla każdej stelacji jakiegoś wielościanu istnieje podwójna fasetowanie wielościanu podwójnego i na odwrót. Studiując fasetki duala, uzyskujemy wgląd w stelacje oryginału. Bridge znalazł swoją nową gwiazdę dwudziestościanu, studiując fasetki jego podwójnego, dwunastościanu.

Niektórzy wielościany uważają, że stelacja jest procesem dwukierunkowym, tak że dowolne dwie wielościany dzielące te same płaszczyzny są stelacjami siebie nawzajem. Jest to zrozumiałe, jeśli opracowuje się ogólny algorytm odpowiedni do użycia w programie komputerowym, ale poza tym nie jest szczególnie pomocny.

Wiele przykładów gwiazdozbiorów można znaleźć w wykazie modeli gwiazdozbiorów Wenningera .

Politopy gwiezdne

Proces stelacji można również zastosować do wielowymiarowych politopów. Schemat stellacja o n (-polytope w istnieje n  - 1) wymiarowej hiperpłaszczyznę danego aspektu .

Na przykład, w 4-przestrzeni, wielki gwiaździsty 120-ogniwowy jest ostatnią stelacją zwykłego 4-politopowego 120-ogniwowego .

Nazywanie stelacji

Pierwszym systematycznym nazewnictwem wielościanów gwiaździstych było nazwanie przez Cayleya wielościanów regularnych (obecnie znanych jako wielościany Keplera-Poinsota ). System ten był szeroko, choć nie zawsze systematycznie, przyjmowany dla innych wielościanów i wyższych wielościanów.

John Conway opracował terminologię dla wielokątów gwiaździstych , wielościanów i wielochorów (Coxeter 1974). W tym systemie proces wydłużania krawędzi w celu stworzenia nowej figury nazywamy stelacją , wydłużanie ścian nazywamy powiększaniem, a wydłużanie komórek powiększaniem (to ostatnie nie dotyczy wielościanów). Pozwala to na systematyczne używanie słów takich jak „stellated”, „great” i „grand” przy opracowywaniu nazw dla otrzymanych liczb. Na przykład Conway zaproponował pewne drobne zmiany w nazwach wielościanów Keplera-Poinsota .

Stelacja do nieskończoności

Wenninger zauważył, że niektóre wielościany, takie jak sześcian, nie mają żadnych skończonych gwiazdozbiorów. Jednak komórki stelacyjne mogą być skonstruowane jako pryzmaty rozciągające się w nieskończoność. Figurę zawierającą te pryzmaty można nazwać gwiazdą do nieskończoności . Jednak przez większość definicji wielościanu te stelacje nie są ściśle wielościanami.

Figury Wenningera pojawiły się jako bliźniaki jednolitej hemipoliedry , w której twarze przechodzące przez środek są wysyłane do wierzchołków „w nieskończoności”.

Od matematyki do sztuki

Magnus Wenninger z niektórymi modelami wielościanów gwiaździstych w 2009 r.
Dalsze informacje: Matematyka i sztuka

Oprócz jego wkładu w matematykę, Magnus Wenninger jest opisany w kontekście relacji matematyki i sztuki jako tworzący „szczególnie piękne” modele złożonych wielościanów gwiaździstych.

Marmurowa mozaika podłogowa autorstwa Paolo Uccello , bazylika św . 1430

Włoski renesansowy artysta Paolo Uccello stworzył mozaikę podłogową pokazując małą gwiezdny dwunastościanu w bazylice św Marka, Wenecja , c. 1430. Wizerunek Uccello został użyty jako symbol Biennale w Wenecji w 1986 roku na temat „Sztuka i nauka”. To samo stellacja ma zasadnicze znaczenie dla dwóch litografii przez MC Escher : Kontrast (porządkiem a chaosem) , 1950 i grawitacji , 1952.

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Malkiewicz, Józef. „Matematyka i sztuka. 5. Wielościany, kafelkowanie i sekcje” . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Źródło 1 września 2015 .
  2. ^ Emmer, Michele (2 grudnia 2003). Matematyka i Kultura I . Springer Nauka i Media Biznesowe. str. 269. Numer ISBN 978-3-540-01770-7.
  3. ^ Locher, JL (2000). Magia MC Eschera . Harry N. Abrams, Inc. ISBN 0-810-96720-0.
  • Most, New Jersey; Fasetowanie dwunastościanu, Acta Crystallographica A30 (1974), s. 548–552.
  • Coxeter , HSM; Regularne złożone politopy (1974).
  • Coxeter , HSM; Du Val, P.; Flather, HT; i Petrie, JF The Fifty-Nine Icosahedra , wydanie trzecie. Stradbroke, Anglia: Tarquin Publications (1999).
  • Inchbald, G.; W poszukiwaniu zaginionego ikosahedry, The Mathematical Gazette 86 (2002), s. 208-215.
  • Messer, P.; Stellations triacontaedronu rombowego i nie tylko, Symetria: kultura i nauka , 11 (2000), s. 201-230.
  • Wenninger, Magnus (1974). Modele wielościanów . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-09859-9.
  • Wenninger, Magnus (1983). Modele podwójne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-24524-9.

Linki zewnętrzne