6-orthoplex - 6-orthoplex

6-orthoplex Hexacross
Rzut prostopadły środka Wielokąt Petriego
Rodzaj	Regularne 6-Polytope
Rodzina	orthoplex
symbol schläfliego	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1 }
Schematy Coxeter-Dynkin	=
5-twarze	64 {3 ⁴ }
4-twarze	192 {3 ³ }
Komórki	240 {3,3}
twarze	160 {3}
Obrzeża	60
wierzchołki	12
Vertex figura	5-orthoplex
wielokąt Petriego	dwunastokąt
grupy Coxeter	B ₆ , [4,3 ⁴ ] D ₆ [3 ^3,1,1 ]
Podwójny	6-cube
Nieruchomości	wypukły

W geometrii , A 6-orthoplex lub 6- przekrój Polytope jest regularny 6 Polytope z 12 wierzchołków , 60 krawędzi , 160 trójkątnymi powierzchniami , 240 czworościanu komórek , 192 5 komórek 4-powierzchniach , i 64 5-powierzchniach .

Posiada dwie zbudowane formy, przy czym pierwszy jest regularny symbol schläfliego {3 ⁴ , 4}, a drugą z kolejno oznaczonych (checkerboarded) ścianek, przy symbol schläfliego {3,3,3,3 ^1,1 } lub Coxeter symbolu 3 ₁₁ .

Jest częścią nieskończonej rodziny polytopes, zwany cross-polytopes lub orthoplexes . Podwójny Polytope jest 6- hipersześcian lub hexeract .

nazwy alternatywne

Hexacross , pochodzące z połączenia NAZWISKO przekrój Polytope z heks na sześć (wymiary) w greckiego .
Hexacontitetrapeton jako 64- szlifowanych 6-Polytope .

W konfiguracji

Elementy regularnych polytopes może być wyrażona w matrycy konfiguracji . Rzędy i kolumny odniesienia wierzchołki krawędzi, twarzy i komórki, z ukośną elementu ich liczby ( f-wektory ). Elementy nondiagonal oznaczają liczbę elementów rzędu pada na elemencie kolumny. Konfiguracje dla podwójnego polytopes widać poprzez obracanie elementów matrycy od 180 ° C.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} {\ rozpocząć {matrycy} 12 i 10 40 80 80 32 \\ 2 i 60, 8 i 24 i 32 i 16 \\ 3 i 3 i 160 i 6 i 12 i 8 \\ 4 i 6 i 4 '240 4-4 \\ 5 i 10 i 10 5 i 192 i 2 \\ 6 i 15 i 20 i 15 i 6 i 64 \ Koniec {matrycy}} \ koniec {bmatrix}}}$

Budowa

Istnieją trzy grupy Coxeter związane z 6-orthoplex, jeden regularne , podwójne z hexeract z C ₆ [4,3,3,3,3], lub grupa Coxeter i pół symetrii dwóch egzemplarzach 5-simplex aspektów przemian z D ₆ lub [3 ^3,1,1 ] grupa Coxetera. Najniższy konstrukcja symetrii jest oparty na podwójnej z 6- orthotope , zwany 6-Fusil .

Imię	Schläfli	Symetria	Zamówienie
Regularne 6-orthoplex	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
Quasiregular 6 orthoplex	{3,3,3,3 ^1,1 }	[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
6-fusil	{3,3,3,4} + {}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4} + {4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2 {3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4} + 2 {}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4} + {4} + {}	[4,3,2,4,2]	768
	3 {4}	[4,2,4,2,4]	512
	{3,4} + 3 {}	[4,3,2,2,2]	384
	2 {4} + 2 {}	[4,2,4,2,2]	256
	{4} + 4 {}	[4,2,2,2,2]	128
	6 {}	[2,2,2,2,2]	64

współrzędne kartezjańskie

Współrzędne kartezjańskie na wierzchołkach 6-orthoplex koncentrujące się na początku

(± 1,0,0,0,0,0), (0, ± 1,0,0,0,0), (0,0 ± 1,0,0,0), (0,0, 0 ± 1,0,0), (0,0,0,0, ± 1,0), (0,0,0,0,0, ± 1)

Każdy wierzchołek pary jest połączony z krawędzią , z wyjątkiem przeciwieństw.

Obrazy

ortograficznych prognozy
Coxeter samolot	B ₆	B ₅	B ₄
Wykres
dwuścienny symetria	[12]	[10]	[8]
Coxeter samolot	B ₃	B ₂
Wykres
dwuścienny symetria	[6]	[4]
Coxeter samolot	₅	₃
Wykres
dwuścienny symetria	[6]	[4]

Powiązane polytopes

6-orthoplex może być rzutowany do 3 wymiarach w wierzchołkach regularnych dwudziestościanu .

2D		3D
Icosahedron {3,5} = H ₃ Coxeter płaszczyzny	6-orthoplex {3,3,3,3 ^1,1 } = D ₆ Coxeter płaszczyzny	icosahedron	6-orthoplex
Konstrukcja ta może być postrzegane jako geometrycznie 12 wierzchołków 6-orthoplex przewidywanego 3 wymiary, wierzchołkach regularnych dwudziestościanu . Stanowi to geometryczne składane z D ₆ do H ₃grup Coxeter : : z . Po lewej stronie, patrząc w tych 2D Coxeter płaszczyzną występów ortogonalnych, dwa zachodzące na siebie środkowe wierzchołki określają trzecią oś, na odwzorowaniem. Każda para wierzchołków 6-orthoplex są połączone, z wyjątkiem tych, przeciwnych: 30 krawędzie są dzielone z icosahedron, natomiast 30 więcej krawędzi z 6-orthoplex projektu do wnętrza icosahedron.

Jest w szeregu wymiarowego jednolitych polytopes i plastrów, wyrażona Coxeter'a jak 3 _k1 szeregowo. (Przypadek zdegenerowany 4-wymiarowych występuje w postaci płytek 3-sferycznego czworościenną hosohedron ).

3 _K1 dane wymiarowe
Przestrzeń	Skończone				euklidesowa	Hiperboliczny
n	4	5	6	7	8	9
Coxeter grupa	₃₁	₅	D ₆	E ₇	${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {7}}$ E = ₇⁺	${\ Displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$ = E ₇⁺⁺
Coxeter schemat
Symetria	[3^-1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
Zamówienie	48	720	46080	2903040	∞
Wykres					-	-
Imię	3 _{1 -1}	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁

Ten Polytope jest jednym z 63 jednolitych 6-polytopes generowanych z B ₆Coxeter samolotu , w tym regularne 6-cube lub 6-orthoplex.

B6 polytopes
β ₆	t ₁ β ₆	T ₂ β ₆	T ₂ γ ₆	t ₁ γ ₆	γ ₆	T _0,1 β ₆	T _0,2 β ₆
T _1,2 β ₆	T _0,3 β ₆	T _1,3 β ₆	T _2,3 γ ₆	T _0,4 β ₆	T _1,4 γ ₆	T _1,3 γ ₆	T _1,2 γ ₆
T _0,5 γ ₆	T _0,4 γ ₆	T _0,3 γ ₆	T _0,2 γ ₆	T _0,1 γ ₆	t _0,1,2 β ₆	t _0,1,3 β ₆	t _0,2,3 β ₆
t _1,2,3 β ₆	t _0,1,4 β ₆	t _0,2,4 β ₆	t _1,2,4 β ₆	t _0,3,4 β ₆	t _1,2,4 γ ₆	t _1,2,3 γ ₆	t _0,1,5 β ₆
t _0,2,5 β ₆	t _0,3,4 γ ₆	t _0,2,5 γ ₆	t _0,2,4 γ ₆	t _0,2,3 γ ₆	t _0,1,5 γ ₆	t _0,1,4 γ ₆	t _0,1,3 γ ₆
t _0,1,2 γ ₆	t _0,1,2,3 β ₆	t _0,1,2,4 β ₆	t _0,1,3,4 β ₆	t _0,2,3,4 β ₆	t _1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 β ₆	t _0,1,3,5 β ₆
t _0,2,3,5 γ ₆	t _0,2,3,4 γ ₆	t _0,1,4,5 γ ₆	t _0,1,3,5 γ ₆	t _0,1,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 γ ₆	t _0,1,2,4 γ ₆	t _0,1,2,3 γ ₆
t _0,1,2,3,4 β ₆	t _0,1,2,3,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 γ ₆	t _0,1,2,3,5 γ ₆	t _0,1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,3,4,5 γ ₆

Referencje

HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, regularne Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973
- Kalejdoskop: Pisma wybrane HSM Coxeter'a pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Azji IVIC Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Papier 22) HSM Coxeter, regularne i naczep Zwykły Polytopes I [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407 MR 2,10]
  - (Papier 23) HSM Coxeter, regularne i semi-Regular Polytopes II [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Papier 24) HSM Coxeter, regularne i semi-Regular Polytopes III [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Norman Johnson Uniform Polytopes , rękopis (1991)
- NW Johnson: The Theory of Uniform Polytopes i Honeycombs , Ph.D. 1966
Klitzing Richard. "6D jednolite polytopes (polypeta) x3o3o3o3o4o - rany" .

Konkretny

^ Coxeter, regularne Polytopes, sec 1,8 konfiguracje
^ Coxeter, kompleks regularne Polytopes, str.117
^ Quasi-kryształów i geometria , Marjorie Senechal, 1996, Cambridge University Press, P64. 2.7.1 I ₆ kryształu

Linki zewnętrzne

Olshevsky, George. "Krzyż Polytope" . Słowniczek dla Hyperspace . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 4 lutego 2007 r.
Polytopes o różnych wymiarach
Słowniczek wielowymiarowe

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite polytopes o wymiarach 2-10
Rodzina	_n	B _n	Jestem ₂ (P) / D _n	E ₆ / e ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
wielokąt foremny	Trójkąt	Plac	P-gon	Sześciokąt	Pięciokąt
uniform wielościan	Czworościan	Ośmiościan • Cube	Demicube		Dwunastościan • Icosahedron
Jednorodna 4-Polytope	5-komórka	16 komórek • Tesserakt	Demitesseract	24 komórek	120 komórek • 600 komórek
Jednolite 5-Polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Jednolite 6 Polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Uniform 7-Polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7 demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Uniform 8-Polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8 demicube	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Jednolite 9 Polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9 demicube
Jednolita 10-Polytope	10 simplex	10-orthoplex • 10-cube	10 demicube
Jednolite n - Polytope	N - simplex	N - orthoplex • n - kostka	N - demicube	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	N - pięciokątny Polytope
Tematy: rodziny Polytope • Regularne Polytope • Lista regularnych polytopes i związków

[1] Coxeter, regularne Polytopes, sec 1,8 konfiguracje

[2] Coxeter, kompleks regularne Polytopes, str.117

[3] Quasi-kryształów i geometria , Marjorie Senechal, 1996, Cambridge University Press, P64. 2.7.1 I ₆ kryształu

Languages

In other projects