Dwudziestodwunastościan Ikozydowy - Icosidodecahedron
Ikozyd-dwunastościan | |
---|---|
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy) |
|
Rodzaj |
Bryła Archimedesa Jednolity wielościan |
Elementy | F = 32, E = 60, V = 30 (χ = 2) |
Twarze po bokach | 20{3}+12{5} |
notacja Conway | ogłoszenie |
Symbole Schläfli | r{5,3} |
t 1 {5,3} | |
Symbol Wythoffa | 2 | 3 5 |
Schemat Coxetera | |
Grupa symetrii | I h , H 3 , [5,3], (*532), rząd 120 |
Grupa rotacyjna | I , [5,3] + , (532), rząd 60 |
Kąt dwuścienny | 142,62° |
Bibliografia | U 24 , C 28 , W 12 |
Nieruchomości | Semiregular wypukły quasiregular |
Kolorowe twarze |
3.5.3.5 ( rysunek wierzchołka ) |
Trójścian rombowy ( podwójny wielościan ) |
Internet |
W geometrii , icosidodecahedron jest wielościan z dwudziestu (icosi) trójkątnych twarzach i dwunastu (dodeka) pentagonal twarze. Dwudziestodwunastościan dwudziestościanowy ma 30 identycznych wierzchołków, z których każdy styka się z dwoma trójkątami i dwoma pięciokątami, oraz 60 identycznych krawędzi, z których każdy oddziela trójkąt od pięciokąta. Jako taka jest to jedna z brył Archimedesa, a dokładniej wielościan quasiregularny .
Geometria
Dwudziestościan ma symetrię dwudziestościan, a jego pierwsza gwiazda jest złożona z dwunastościanu i jego podwójnego dwudziestościanu , przy czym wierzchołki dwudziestościanu znajdują się w środkach krawędzi każdego z nich.
Jego podwójny wielościan to rombowy triacontaedron . Dwudziestodwunastościan dwudziestościanowy można podzielić wzdłuż dowolnej z sześciu płaszczyzn, tworząc parę pięciokątnych rotund , które należą do brył Johnsona .
Dwunastościan dwudziestościanowy można uznać za pięciokątną gyrobirotundę , jako połączenie dwóch rotund (porównaj pięciokątną ortobirotundę , jedną z brył Johnsona ). W tej postaci jego symetria to D 5d , [10,2 + ], (2*5), rząd 20.
Postać drutu ramy z icosidodecahedron składa się z sześciu płaskich regularnych decagons zebranych parami w każdej z 30 wierzchołków.
Dwudziestodwunastościan dwuboczny ma 6 centralnych dziesięciokątów . Projektowane w sferę definiują 6 wielkich kręgów . Buckminster Fuller użył tych 6 wielkich okręgów wraz z 15 i 10 innymi w dwóch innych wielościanach, aby zdefiniować swoje 31 wielkich okręgów sferycznego dwudziestościanu .
współrzędne kartezjańskie
Dogodne współrzędne kartezjańskie dla wierzchołków dwudziestościanu dwudziestościanu z krawędziami jednostkowymi są podane przez parzyste permutacje :
- (0, 0, ± cp )
- (± 1/2, ±φ/2, ±φ 2/2)
gdzie φ jest złotym podziałem ,1 + √ 5/2.
Długi promień (od środka do wierzchołka) dwudziestościanu dwudziestościanu jest w złotym stosunku do jego długości krawędzi; stąd jego promień wynosi φ jeśli długość krawędzi wynosi 1, a długość krawędzi wynosi1/φjeśli jego promień wynosi 1. Tylko kilka jednorodnych politopów ma tę właściwość, w tym czterowymiarowy 600-komorowy , trójwymiarowy dwudziestodwunastościan i dwuwymiarowy dziesięciokąt . (The icosidodecahedron jest równikowej przekroju 600 komórek, a dziesięciobok jest równikowej przekrój icosidodecahedron). Te promieniowo złote polytopes może być wykonana z ich promieni, z złote trójkątów , które spotykają się w środku, każdy się dwa promienie i krawędź.
Rzuty prostopadłe
Dwudziestodwunastościan dwudziestościanowy ma cztery specjalne rzuty prostopadłe , wyśrodkowane na wierzchołku, krawędzi, trójkątnej i pięciokątnej ścianie. Ostatnie dwa odpowiadają samolotom A 2 i H 2 Coxeter .
Wyśrodkowany przez | Wierzchołek | Krawędź | Trójkąt twarzy |
Twarz Pentagonu |
---|---|---|---|---|
Solidny | ||||
Szkielet | ||||
Symetria projekcyjna |
[2] | [2] | [6] | [10] |
Podwójny |
Powierzchnia i objętość
Pole powierzchni A i objętość V dwudziestościanu dwudziestościanu o długości krawędzi a wynoszą:
Dachówka sferyczna
Dwudziestodwunastościan dwudziestościanowy może być również przedstawiony jako kafelek sferyczny i rzutowany na płaszczyznę za pomocą rzutu stereograficznego . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.
Pentagon -centrowany |
Trójkąt -centrowany |
|
Rzut prostokątny | Projekcje stereograficzne |
---|
Rzuty ortogonalne | ||||
---|---|---|---|---|
2-krotne, 3-krotne i 5-krotne osie symetrii |
Powiązane politopy
Dwudziestościan dwudziestościan jest rektyfikowanym dwunastościanem, a także dwudziestościanem rektyfikowanym , istniejącym jako pełne obcięcie między tymi regularnymi bryłami.
Dwudziestościan składa się z 12 pięciokątów dwunastościanu i 20 trójkątów dwudziestościanu :
Rodzina jednolitych wielościanów dwudziestościennych | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
Duals do jednolitych wielościanów | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Dwudziestodwunastościan występuje w sekwencji symetrii wielościanów quasiregularnych i kafli o konfiguracjach wierzchołków (3. n ) 2 , przechodzących od kafelków sfery do płaszczyzny euklidesowej i do płaszczyzny hiperbolicznej. Przy orbifold notacji symetrii * n 32 wszystkie te tilingi są konstrukcją wythoff w podstawowej domenie symetrii, z punktami generatora w prawym rogu domeny.
* n 32 orbifold symetrie płytek quasi-regularnych : (3. n ) 2 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Budowa |
Kulisty | Euklidesa | Hiperboliczny | ||||
*332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 | |
Figury quasi-regularne |
|||||||
Wierzchołek | (3.3) 2 | (3.4) 2 | (3.5) 2 | (3.6) 2 | (3.7) 2 | (3.8) 2 | (3.∞) 2 |
*5 mutacje symetrii n 2 płytek quasiregularnych : (5.n) 2 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria *5 n 2 [n,5] |
Kulisty | Hiperboliczny | Parakompaktowy | Niekompaktowy | ||||
*352 [3,5] |
*452 [4,5] |
*552 [5,5] |
*652 [6,5] |
*752 [7,5] |
*852 [8,5]... |
*∞52 [∞,5] |
[ n i,5] |
|
Figury | ||||||||
Konfig. | (5.3) 2 | (5.4) 2 | (5.5) 2 | (5.6) 2 | (5.7) 2 | (5.8) 2 | (5.∞) 2 | (5. n i) 2 |
Figury rombowe |
||||||||
Konfig. | V(5.3) 2 | V(5.4) 2 | V(5.5) 2 | V(5,6) 2 | V(5.7) 2 | V(5.8) 2 | V(5.∞) 2 | V(5.∞) 2 |
Sekcja
Dwudziestodwunastościan jest spokrewniony z bryłą Johnsona zwaną pięciokątną ortobirotundą utworzoną przez dwie pięciokątne rotundy połączone jako lustrzane odbicia. Icosidodecahedron można zatem nazwać pięciokątny gyrobirotunda z ruchu obrotowego pomiędzy górną i dolna połowa.
(Sekcja) |
|
Powiązane wielościany
Sześcian ścięty może być przekształcony w icosidodecahedron ośmioboku przez podzielenie na dwie pięciokątów i dwóch trójkątów. Ma symetrię pirytoedryczną .
Osiem jednorodnych wielościanów gwiaździstych ma ten sam układ wierzchołków . Spośród nich dwa mają również ten sam układ krawędzi : mały ikosi- dwunastościan (mający wspólne trójkątne powierzchnie) i mały dwunasto-dwunastościan (mający wspólne ściany pięciokątne). Układ wierzchołek jest również przekazać związków o pięciu ośmiościennych i pięć tetrahemihexahedra .
Powiązane polichora
W geometrii czterowymiarowej dwudziestodwunastościan dwudziestościanu pojawia się w regularnej 600-komórce jako wycinek równikowy, który należy do pierwszego wierzchołka przejścia 600-komórki w przestrzeni 3D. Innymi słowy: 30 wierzchołków komórki 600, które leżą w odległości łuku 90 stopni na jej opisanej hipersferze od pary przeciwległych wierzchołków, są wierzchołkami dwudziestodwunastościanu. Figura z drutu szkieletowego 600-ogniwowego składa się z 72 płaskich regularnych dziesięciokątów. Sześć z nich to dziesięciokąty równikowe z parą przeciwległych wierzchołków. Jest to dokładnie sześć dziesięciokątów, które tworzą drucianą ramę dwudziestościanu dwudziestościanu.
Wykres ikozydodekaedryczny
Wykres ikozydodekaedryczny | |
---|---|
Wierzchołki | 30 |
Krawędzie | 60 |
Automorfizmy | 120 |
Nieruchomości | Wykres kwarcowy , hamiltonian , regularny |
Tabela wykresów i parametrów |
W matematycznej dziedzinie teorii grafów , graf dwudziestododnaścienny jest grafem wierzchołków i krawędzi dwudziesto-dwunastościanu, jednej z brył Archimedesa . Ma 30 wierzchołków i 60 krawędzi i jest grafem kwarcowym grafem Archimedesa .
Drobnostki
W Star Trek Universe wolkańska gra logiczna Kal-Toh ma na celu stworzenie holograficznego dwudziestodwunastościanu.
W The Wrong Stars , tomie jednej z serii Aksjomat, autorstwa Tima Pratta, Elena ma po obu stronach machinę ikozydnastościanu. [Miękka oprawa str. 336]
Hoberman sfera jest icosidodecahedron.
Icosidodecahedra można znaleźć we wszystkich komórkach eukariotycznych, w tym komórkach ludzkich, jako formacje białkowe płaszcza Sec13/31 COPII .
Zobacz też
- sześcian sześcienny
- Wielki ścięty dwudziestościan dwunastościanowy
- dwudziestościan
- Dwudziesto-dwunastościan rombowy
- Dwudziestodwunastościan ścięty
Uwagi
Bibliografia
- Williams, Robert (1979). Geometryczne podstawy struktury naturalnej: źródłowa księga projektowania . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Rozdział 3-9)
- Cromwell, P. (1997). Wielościany . Wielka Brytania: Cambridge. s. 79–86 Bryły Archimedesa . Numer ISBN 0-521-55432-2.
Zewnętrzne linki
- Eric W. Weisstein , Dwudziestościan Dwunastościan ( bryła Archimedesa ) w MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Wypukły jednolity wielościan 3D o3x5o - id" .
- Edytowalna, drukowana siatka dwudziestościanu dwudziestościanu z interaktywnym widokiem 3D
- Jednolite wielościany
- Wielościany wirtualnej rzeczywistości Encyklopedia wielościanów