Dwunastościan przycięty - Snub dodecahedron

Dwunastościan przytłumiony
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy)
Rodzaj	Bryła Archimedesa Jednolity wielościan
Elementy	F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2)
Twarze po bokach	(20+60){3}+12{5}
notacja Conway	sD
Symbole Schläfli	sr{5,3} lub ${\ Displaystyle s {\ zacząć {Bmatrix} 5 \ \ 3 \ koniec {Bmatrix}}}$
	ht 0,1,2 {5,3}
Symbol Wythoffa	| 2 3 5
Schemat Coxetera
Grupa symetrii	ja , 1/2H 3 , [5,3] + , (532), rząd 60
Grupa rotacyjna	I , [5,3] + , (532), rząd 60
Kąt dwuścienny	3-3: 164°10′31″ (164,18°) 3-5: 152°55′53″ (152.93°)
Bibliografia	U 29 , C 32 , W 18
Nieruchomości	Półregularny wypukły chiralny
Kolorowe twarze	3.3.3.3.5 ( rysunek wierzchołkowy )
Sześciokąt pięciokątny ( podwójny wielościan )	Internet

Model 3D dwunastościanu zadartego

W geometrii , w dwunastościanu zadartym lub zadartym icosidodecahedron , jest Archimedesa stałe , jeden z trzynastu wypukły isogonal nonprismatic stałych zbudowane z dwóch lub większej liczby typów foremnego powierzchni .

Dwunastościan zadarty ma 92 powierzchnie (większość z 13 brył Archimedesa): 12 to pięciokąty, a pozostałe 80 to trójkąty równoboczne . Ma również 150 krawędzi i 60 wierzchołków.

Ma dwie odrębne formy, które są lustrzanymi odbiciami (lub „ enancjomorfami ”) siebie nawzajem. Połączenie obu form jest połączeniem dwóch dwunastościanów zadartych , a wypukła powłoka obu form jest dwudziestodwunastościanem ściętym .

Kepler pierwszy nazwał ją w języku łacińskim jako dwunastościanów simum w 1619 roku w jego Harmonices Mundi . HSM Coxeter , zauważając, że może on wywodzić się zarówno z dwunastościanu, jak i dwudziestościanu, nazwał go dwudwunastościan snub , z pionowo wydłużonym symbolem Schläfli i płaskim symbolem Schläfli sr{5,3}. ${\ Displaystyle s \ scriptstyle {\ zacząć {Bmatrix} 5 \ \ 3 \ koniec {Bmatrix}}}$

współrzędne kartezjańskie

Niech ξ ≈0,943 151 259 24 będzie rzeczywistym zerem wielomianu sześciennego x ³ + 2 x ² − φ ² , gdzie φ jest złotym podziałem . Niech punkt p będzie dany przez

${\ Displaystyle p = {\ zacząć {pmatrix} \ phi ^ {2} - \ phi ^ {2} \ xi \ \ - \ phi ^ {3} + \ phi \ xi +2 \ phi \ xi ^ {2} \\\xi \end{pmatrix}}}$.

Niech macierze rotacji M ₁ i M ₂ będą dane wzorem

${\ Displaystyle M_ {1} = {\ zacząć {pmatrix} {\ Frac {1} {2 \ phi}} i - {\ Frac {\ phi} {2}} i {\ Frac {1} {2}} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}} &{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{pmatrix}}}$

oraz

${\ Displaystyle M_ {2} = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 0 i 1 \ \ 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}.}$

M ₁ reprezentuje obrót wokół osi (0,1, φ ) o kąt2 π/5przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, podczas gdy M ₂ będące przesunięciem cyklicznym ( x , y , z ) reprezentuje obrót wokół osi (1,1,1) o kąt2 π/3. Następnie 60 wierzchołków zadarty dwunastościan to 60 obrazów punktu P podczas wielokrotnego mnożenie przez M ₁ i / lub M ₂ , iterowane konwergencji. (Matryce M ₁ i M ₂ generuje się 60 matryc obrotowych odpowiadających 60 symetrii obrotowej o regularnym dwudziestościanu ). Współrzędne wierzchołkach są integralnymi Kombinacje liniowe 1, cp , Ę , φξ , Ę, ² i φξ ² . Długość krawędzi wynosi

${\ Displaystyle 2 \ xi {\ sqrt {1-\ xi}} \ około 0,449 \ 750 \ 618 \ 41.}$

Negacja wszystkich współrzędnych daje lustrzane odbicie tego dwunastościanu zadartego.

Jako tom dwunastościan zadarty składa się z 80 trójkątnych i 12 pięciokątnych piramid. Objętość V ₃ jednej trójkątnej piramidy dana jest wzorem:

${\ Displaystyle V_ {3} = {\ Frac {1} {3}} \ phi \ lewo (3 \ xi ^ {2} - \ phi ^ {2} \ po prawej) \ około 0,027 \ 274 \ 068 \ ,85,}$

a objętość V ₅ jednego ostrosłupa pięciokątnego przez:

${\ Displaystyle V_ {5} = {\ Frac {1} {3}} (3 \ phi + 1) \ lewo (\ phi + 3-2 \ xi -3 \ xi ^ {2} \ po prawej) \ xi ^ {3}\ok 0,103\,349\,665\,04.}$

Całkowita objętość wynosi

${\ Displaystyle 80 V_ {3} + 12 V_ {5} \ około 3,422 \ 121 \ 488 \ 76.}$

Promień okręgu jest równy

${\ Displaystyle {\ sqrt {4 \ xi ^ {2} - \ phi ^ {2}}} \ około 0,969 \ 589 \ 192 \ 65.}$

Midradius równy ξ . Daje to interesującą interpretację geometryczną liczby ξ . Opisane powyżej 20 trójkątów dwudziestościanu załamanego dwunastościanu znajduje się w jednej płaszczyźnie z powierzchniami dwudziestościanu foremnego. Promień środkowy tego „opisanego” dwudziestościanu wynosi 1. Oznacza to, że ξ jest stosunkiem promieni środkowych dwunastościanu załamanego do dwudziestościanu, w który jest wpisany.

Kąt dwuścienny trójkąt-trójkąt jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ theta _ {33} = 180 ^ {\ circ} - \ arccos \ lewo ({\ Frac {2} {3}} \ xi + {\ Frac {1} {3}} \ po prawej) \ około 164,175\,366\,056\,03^{\circ }.}$

Dwuścienny kąt trójkąt-pięciokąt jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ theta _ {35} = 180 ^ {\ Circ} - \ arccos {\ sqrt {\ Frac {- (4 \ phi + 8) \ xi ^ {2} - (4 \ phi + 8) \ xi +12\phi +19}{15}}}\ok 152,929\,920\,275\,84^{\circ }.}$

Właściwości metryczne

W przypadku dwunastościanu załamanego, którego długość krawędzi wynosi 1, pole powierzchni wynosi

${\ Displaystyle A = 20 {\ sqrt {3}} + 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} \ około 55,286 \ 744 \ 958 \ 445 \ 15.}$

Jego objętość to

${\ Displaystyle V = {\ Frac {(3 \ phi + 1) \ xi ^ {2} + (3 \ phi + 1) \ xi - {\ Frac {\ phi {6}} -2} {\ sqrt {3\xi ^{2}-\phi ^{2}}}}\ok 37,616\,649\,962\,733\,36.}$

Jego obwód wynosi

${\ Displaystyle R = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {\ Frac {2-\ xi} {1-\ xi}}} \ około 2,155 \ 837 \ 375.}$

Jego promień środkowy to

${\ Displaystyle r = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {\ Frac {1} {1-\ xi}}} \ około 2,097 \ 053 \ 835 \ 25.}$

Są dwie wpisane kule, jedna dotyka trójkątnych ścian, a druga, nieco mniejsza, dotyka ścian pięciokątnych. Ich promienie to odpowiednio:

${\displaystyle r_{3}={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi}}}\ok 2,077\, 089\,659\,74}$

oraz

${\ Displaystyle R_ {5} = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {\ phi ^ {2} \ xi ^ {2} + 3 \ phi ^ {2} \ xi + {\ Frac {11 }{5}}\phi +{\frac {12}{5}}}\ok 1.980\,915\,947\,28.}$

Cztery dodatnie pierwiastki rzeczywiste równania sekstycznego w R ²

${\ Displaystyle 4096R ^ {12}-27648R ^ {10} + 47104R ^ {8}-35776R ^ {6} + 13872R ^ {4}-2696R ^ {2} + 209 = 0}$

są circumradii dwunastościanu zadartym ( U ₂₉ ), wielki zadarty icosidodecahedron ( U ₅₇ ), wielki odwrócony zadarty icosidodecahedron ( U ₆₉ ) i wielki retrosnub icosidodecahedron ( U ₇₄ ).

Dwunastościan zadarty ma najwyższą kulistość ze wszystkich brył Archimedesa. Jeśli sferyczność jest zdefiniowana jako stosunek objętości do kwadratu do kwadratu powierzchni pomnożony przez stałą 36 π (gdzie ta stała sprawia, że ​​sferyczność sfery jest równa 1), sferyczność dwunastościanu załamanego wynosi około 0,947.

Rzuty prostopadłe

Dwunastościan załamany nie ma symetrii punktowej , więc wierzchołek z przodu nie odpowiada przeciwległemu wierzchołkowi z tyłu.

Zadarty dwunastościan ma dwa symetryczne zwłaszcza prostopadłych występów , jak pokazano poniżej, na podstawie dwóch rodzajach powierzchni: trójkątów i pięciokątów, odpowiadającemu ₂ i H ₂ Coxeter płaszczyznach .

Rzuty prostopadłe

Wyśrodkowany przez	Trójkąt twarzy	Twarz Pentagonu	Krawędź
Solidny
Szkielet
Symetria projekcyjna	[3]	[5] +	[2]
Podwójny

Relacje geometryczne

Dwunastościan, dwunastościan rombowy i dwunastościan załamany (animowane rozszerzanie i skręcanie )

Dwudziesto-dwunastościan przycięty mogą być generowane poprzez dwanaście pięciokątnych twarze dwunastościanu i wyciągając je na zewnątrz , więc nie ma już dotykowego. W odpowiedniej odległości może to stworzyć dwunastościan rombowy , wypełniając kwadratowe ściany między podzielonymi krawędziami i trójkątne ściany między podzielonymi wierzchołkami. Ale w przypadku formy zadartej wyciągnij pięciokątne twarze nieco mniej, dodaj tylko trójkątne twarze i pozostaw inne luki puste (inne luki są w tym momencie prostokątami). Następnie zastosuj równy obrót do środków pięciokątów i trójkątów, kontynuując obrót, aż luki będą mogły zostać wypełnione przez dwa trójkąty równoboczne. (Fakt, że w przypadku dwunastościanu załamanego prawidłowa ilość do wyciągnięcia ścianek jest mniejsza, można zaobserwować na dwa sposoby: promień okręgu dwunastościanu załamanego jest mniejszy niż w przypadku dwunastościanu dwudziestościanu ; lub długość krawędzi trójkąty równoboczne utworzone przez podzielone wierzchołki zwiększają się, gdy ściany pięciokątne są obracane.)

Jednolita przemiana ściętego dwudziestodwunastościanu ściętego

Dwunastościan typu snub może również pochodzić od dwudziestościanu skróconego w procesie naprzemiennym . Sześćdziesiąt wierzchołków ściętego dwudziestościanu dwudziestościanu tworzy wielościan topologicznie równoważny jednemu dwunastościanowi załamania; pozostałe sześćdziesiąt tworzą jego lustrzane odbicie. Powstały wielościan jest wierzchołkowo przechodni, ale niejednorodny.

Powiązane wielościany i płytki

Rodzina jednolitych wielościanów dwudziestościennych
Symetria : [5,3] , (*532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals do jednolitych wielościanów
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Ten semiregular wielościan jest członkiem sekwencji Odrzucony wielościanów a tilings z rysunku wierzchołka (3.3.3.3. N ) i Coxeter-Dynkin wykres . Te figury i ich pary mają ( n 32) symetrię obrotową , będąc w płaszczyźnie euklidesowej dla n  = 6 i płaszczyzny hiperbolicznej dla każdego wyższego n . Szereg można uznać za rozpoczynający się od n  = 2, z jednym zestawem ścian zdegenerowanych w dwukąty .

n 32 mutacje symetrii płytek odrzucanych: 3.3.3.3.n v T mi
Symetria n 32	Kulisty				Euklidesa	Kompaktowy hiperboliczny		Parakomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Postacie z awanturą
Konfig.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Figurki żyroskopowe
Konfig.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Wykres dwunastościenny przycinany

Wykres dwunastościenny przycinany
5-krotna symetria diagram Schlegla
Wierzchołki	60
Krawędzie	150
Automorfizmy	60
Nieruchomości	Hamiltonian , regularny
Tabela wykresów i parametrów

W matematycznej dziedzinie teorii grafów , dwunastościan typu załamanego jest wykresem wierzchołków i krawędzi dwunastościanu załamanego , jednej z brył Archimedesa . Ma 60 wierzchołków i 150 krawędzi i jest grafem Archimedesa .

Zobacz też

• Planarna animacja transformacji wielokąta w wielościan
• ccw i cw wirujący dwunastościan snub

Bibliografia

• Jayatilake, Udaya (marzec 2005). „Obliczenia na twarzy i wierzchołku wielościanów regularnych”. Gazeta matematyczna . 89 (514): 76-81. doi : 10.1017/S0025557200176818 . S2CID  125675814 .
• Williams, Robert (1979). Geometryczne podstawy struktury naturalnej: źródłowa księga projektowania . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Rozdział 3-9)
• Cromwell, P. (1997). Wielościany . Wielka Brytania: Cambridge. s. 79–86 Bryły Archimedesa . Numer ISBN 0-521-55432-2.

Zewnętrzne linki

• Eric W. Weisstein , dwunastościan Snub ( bryła Archimedesa ) w MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. „Snub wykres dwunastościenny” . MatematykaŚwiat .
• Klitzing, Richard. "Wypukły jednolity wielościan 3D s3s5s - snid" .
• Edytowalna, drukowana siatka dwunastościanu Snub z interaktywnym widokiem 3D
• Jednolite wielościany
• Wielościany wirtualnej rzeczywistości Encyklopedia wielościanów
• Mark S. Adams i Menno T. Kosters. Rozwiązania objętościowe do dwunastościanu załamanego