24 komórek plastra miodu, - 24-cell honeycomb

24 o strukturze plastra miodu z komórkami
24 komórek i pierwsza warstwa 4-przyległych powierzchni.
Rodzaj	Zwykły plaster miodu 4- Uniform 4-plaster miodu
symbol schläfliego	{3,4,3,3} R {3,3,4,3} 2R {4,3,3,4} 2R {4,3,3 ^1,1 } {3 ^1,1,1,1 }
Schematy Coxeter-Dynkin
Type 4 twarz	{3,4,3}
Typ komórki	{3,4}
typ twarzy	{3}
figura krawędź	{3,3}
Vertex figura	{4,3,3}
Podwójny	{3,3,4,3}
grupy Coxeter	${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {4}}$ [3,4,3,3] , [4,3,3,4] , [4,3,3 ^1,1 ] [3 ^1,1,1,1 ] ${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {4}}$
Nieruchomości	regularny

W czterowymiarowym euklidesowej geometrii The plastra miodu 24 komórek lub icositetrachoric plastra miodu jest regularny , wypełniającymi przestrzeń tesselacji (lub o strukturze plastra miodu ), z 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej regularne 24 komórek . Może on być reprezentowany przez symbol schläfliego {3,4,3,3}.

Podwójny teselacji przez regularne plastra miodu 16-komórkowy ma symbol schläfliego {3,3,4,3}. Wraz z tesseractic plastra miodu (lub 4-sześcienny plastra miodu) są to jedyne regularne TESELACJE z 4-euklidesowej przestrzeni.

Numer kissing

Jeśli 3-kula jest wpisany w każdej hypercell z Teselację uzyskany układ jest najgęstsze możliwość regularnego upakowania kuli w czterech rozmiarach, o liczbie kissing 24. Gęstość upakowania tego rozwiązania jest to,

{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {2}} {16}} \ Cong 0.61685.}

współrzędne

24 o budowie plastra miodu z komórek może być wykonana jako teselacji Woronoja kwasu D ₄ lub C ₄ korzenia siatki . Każda z komórek 24 jest następnie wyśrodkowany D ₄ punktu kraty, to znaczy jednego z

{\ Displaystyle \ left \ {(x_ {i}) \ in \ mathbb {Z}, ^ {4}: {\ textstyle \ suma _ {i}} x_ {i} \ równoważnika 0 \; ({\ mbox {mod }} 2) \ right \}.}

Punkty te mogą być również opisane jako kwaterniony Hurwitz z normą nawet kwadratowy.

Wierzchołki leżą plastra miodu w głębokich otworów D ₄ kraty. Są kwaterniony Hurwitz z nieparzystej kwadratowy normy.

Może być wykonana jako birectified tesseractic plastra miodu , w drodze tesseractic plastra miodu i wprowadzania wierzchołków w centrach wszystkich kwadratowych powierzchni. W 24 komórek aspekty istnieje pomiędzy tymi wierzchołkami jak rektyfikacji 16 komórek . Jeżeli współrzędne tesseractic strukturze plastra miodu, są liczbami całkowitymi (I, J, K, L), przy czym birectified tesseractic strukturze plastra miodu wierzchołki mogą być umieszczone na wszystkich permutacji zmiany pół jednostki w dwóch z czterech wymiarów, w następujący sposób: (i + ½ j + pół, K, L), (I + pół i, j, k + pół, l) (l + pół, J, K, L i pół), (i, j + i pół, k + pół, l); (i, j + i pół, K, L i pół), (i, j, k + pół, L i pół).

Konfiguracja

Każdy 24-komórka w strukturze plastra miodu, 24-komórkowy ma 24 24 sąsiednie komórki. Z każdego sąsiada dzieli dokładnie jeden oktahedralnej komórkę.

Ma 24 więcej sąsiadów, tak że z każdym z nich dzieli jeden wierzchołek.

To nie ma sąsiadów, z którymi akcje tylko krawędź lub tylko twarz.

Postać wierzchołek o strukturze plastra miodu 24, komórka jest tesseract (kostka 4-wymiarowej). Tak więc istnieją krawędzie 16, 32, 24 trójkątów ośmiościennych i 8 24 komórek spotkań na każdym wierzchołku. Postać krawędzi jest Tetrahedron , więc istnieją 4 trójkąty ośmiościennych, 6 i 4 24 komórek otaczających każdą krawędzią. Wreszcie, figura twarz jest trójkąt, więc istnieją 3 ośmiościennych i 3 24 komórek zebranych na każdej twarzy.

Przekroje

Jednym ze sposobów, aby wyobrazić sobie 4-wymiarową postać jest rozważenie różnych 3-wymiarowe przekroje . Oznacza to, że skrzyżowanie różnych hiperplaszczyzn z postacią w pytaniu. Stosując tę technikę do plastra miodu 24 komórek powoduje różne plastrach 3-wymiarowych z różnym stopniem regularności.

Vertex-pierwsze odcinki

Rombowy dodecahedral plastra miodu	sko plastra miodu
Sekcje komórek pierwszego

Rektyfikowany sześcienny plastra miodu	Bitruncated sześcienny plastra miodu

Wierzchołek pierwszego przekroju wykorzystuje pewną hiperpłaszczyznę prostopadły do linii łączącej przeciwległe wierzchołki jednego z 24 komórek. Na przykład, można by mieć dowolną hiperplaszczyzn współrzędne w układzie współrzędnych podanym powyżej (tj płaszczyzn określonych przez X _i = 0). Przekrój poprzeczny {3,4,3,3} według jednego z tych hiperplaszczyzn daje rombowy dodecahedral plastra miodu . Każdy z dodekaedrach rombowym odpowiada maksymalnym przekroju jednego z 24 komórek przecinających hiperpłaszczyzna (środek każdego z tych 4-wymiarowej (24) leży w komórkach hiperpłaszczyznę). Zgodnie z tym, rombowy dodecahedral plastra miodu jest tesselacji Woronoja o D ₃ głównego kraty (A sześcienny płaskocentryczną siatka). Przesunięcie to hiperpłaszczyznę połowy jednego z wierzchołków (np x _I = pół) otrzymuje się regularnie plastra miodu sześcienny . W tym przypadku środek każdego 24-komórka leży poza hiperpłaszczyzna. Przeniesienie ponownie tak hiperpłaszczyzna przecina wierzchołek daje inną rombowy dodecahedral o strukturze plastra miodu, lecz z nowym 24 komórki (te pierwsze które skurczyły się w punktach). Na ogół dla każdej liczby całkowitej N , przekrój przez X _i = n ma rombowy dodecahedral o strukturze plastra miodu, a przekrój poprzeczny X _i = n + i pół jest sześcienny miodu. Jako hiperpłaszczyzna przechodzi przez przestrzeń 4, przekrój dokona przejścia między dwoma okresowo.

Komórek pierwszego przekroju wykorzystuje pewną hiperpłaszczyznę równolegle do jednej z komórek oktaedrycznych o 24 komórki. Rozważmy, na przykład, niektóre hiperpłaszczyzna prostopadły do wektora (1,1,0,0). Przekrój poprzeczny {3,4,3,3} od tego hiperpłaszczyznę jest usunięte sześcienny o strukturze plastra miodu . Każdy sześcio-ośmiościan w tej strukturze plastra miodu jest maksymalny przekrój 24-ogniwa, którego środek leży w płaszczyźnie. W międzyczasie każdy ośmiościan jest granica komórka (4-wymiarowej) 24 komórek, którego środek znajduje się w płaszczyźnie. Przesunięcie to hiperpłaszczyznę aż leży w połowie drogi między centrum 24-komórki i granicy, jedna uzyskuje bitruncated sześcienny plastra miodu . Cuboctahedra skurczyła, a ośmiościanów wzrosła aż obie są ośmiościan ścięty . Przeniesienie ponownie tak hiperpłaszczyzna przecina granicę centralnego 24 komórek daje wyprostowanego sześciennej strukturze plastra miodu, znowu, cuboctahedra i ośmiościanów o zamienione pozycji. Jako hiperpłaszczyzna wrzucając do 4 miejsca, przekrój dokona przejścia pomiędzy tymi dwoma plastrów okresowo.

konstrukcje symetrii

Istnieje pięć różnych konstrukcje Wythoff tego teselacji jako jednolity Polytope . Są geometrycznie identyczne regularnej formie, ale różnice symetria może być reprezentowany przez kolorowe aspektów 24-komórkowych. W każdym przypadku, 24 osiem komórek zbiera się w każdym wierzchołku, ale liczby wierzchołków mają różne generatory symetrii.

grupa Coxetera	symbol schläfliego		Fasetki ( 24 komórek )	Wierzchołek postać symetrii kolejność
${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {4}}$ = [3,4,3,3]	${\ Displaystyle {\ {zaczynać Bmatrix} 3,4,3,3 \ koniec {Bmatrix}}}$	{3,4,3,3}	8:	384
${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {4}}$ = [3,4,3,3]	${\ Displaystyle \ left \ {{\ {zaczynać Tablica} {l \\ 3,4,3} 3 \ koniec {Tablica}} \ prawo \}}$	R {3,3,4,3}	6: 2:	96
${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {4}}$ = [4,3,3,4]	${\ Displaystyle \ left \ {{\ {zaczynać Tablica} {l \\} 3,4 3,4 \ koniec {Tablica}} \ prawo \}}$	2r {4,3,3,4}	4,4:	64
${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {4}}$ = [4,3,3 ^1,1 ]	${\ Displaystyle \ left \ {{\ {zaczynać Tablica} {l} 3 \\ \\ 3 3,4 \ koniec {Tablica}} \ prawo \}}$	2r {4,3,3 ^1,1 }	2,2: 4:	32
${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {4}}$ = [3 ^1,1,1,1 ]	${\ Displaystyle \ left \ {{\ {zaczynać Tablica} {l} 3 \\ \\ 3 3 3 \\ \ koniec {Tablica}} \ prawo \}}$	3 { ^1,1,1,1 }	2,2,2,2:	16

Zobacz też

Inne jednolite plastrach w 4-space:

Referencje

Coxeter, HSM Regularne Polytopes , (3rd edition, 1973), wydanie Dover, ISBN 0-486-61480-8 , str. 296 Tablica II: Zwykły plastrach
Kalejdoskop: Pisma wybrane HSM Coxeter'a pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Azji IVIC Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papier 24) HSM Coxeter, regularne i semi-Regular Polytopes III [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , rękopis (2006) (pełna lista 11 wypukłych jednolitych tilings, 28 wypukłych jednolitych plastrach i 143 wypukłych jednolitych tetracombs) - wzór 88
Klitzing Richard. "Tesselations 4D euklidesowe" . o4o3x3o4o, o3x3o * b3o4o, o3x3o * b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x - ICOT - O88

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastrach o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$ / / ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E ²	Dachówka jednolity	{3- ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Sześciokątny
E ³	Jednolity wypukły plastra miodu	{3- ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Jednorodna 4 o strukturze plastra miodu	{3- ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24 o strukturze plastra miodu z komórkami
E ⁵	Jednolite 5-plaster miodu	{3- ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	6 plastra miodu, jednolity	{3- ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Uniform 7-plaster miodu	{3- ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Uniform 8-plaster miodu	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Jednolite 9 o strukturze plastra miodu	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ^{n -1}	Jednolita ( N -1) - plastra miodu	{3- ^[N] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁

Languages

In other projects