Tesseraktyczny plaster miodu - Tesseractic honeycomb

Tesseraktyczny plaster miodu
Rzut perspektywiczny czerwono-niebieskiej szachownicy 3x3x3x3.
Rodzaj	Zwykły 4-komorowy plaster miodu Jednolity 4-plaster miodu
Rodzina	Hipersześcienny plaster miodu
Symbole Schläfli	{4,3,3,4} t _0,4 {4,3,3,4} {4,3,3 ^1,1 } {4,4} ² {4,3,4}x{∞} { 4,4}x{∞} ² {∞} ⁴
Diagramy Coxetera-Dynkina
Typ 4-twarzowy	{4,3,3}
Typ komórki	{4,3}
Typ twarzy	{4}
Postać krawędzi	{3,4} ( ośmiościan )
Figura wierzchołka	{3,3,4} ( 16 komórek )
Grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} {4}}$ , [4,3,3,4] , [4,3,3 ^1,1 ] ${\ Displaystyle {\ tylda {B}} {4}}$
Podwójny	samodzielność
Nieruchomości	vertex-transitive , edge-transitive , face-transitive , cell-transitive , 4-face-transitive

W czterowymiarowy euklidesowej geometrii The tesseractic strukturze plastra miodu, jest jednym z trzech stałych , wypełniającymi przestrzeń teselacji (lub plastry miodu ), reprezentowanej przez symbol schläfliego {4,3,3,4} i skonstruowane przez 4-wymiarową opakowania tesseract aspektów .

Jego figura wierzchołkowa to 16 komórek . Dwa tesserakty spotykają się w każdej sześciennej komórce , cztery spotykają się na każdej kwadratowej powierzchni , osiem spotyka się na każdej krawędzi , a szesnaście spotyka się na każdym wierzchołku .

Jest to odpowiednik kwadratowej płytki {4,4} płaszczyzny i sześciennego plastra miodu {4,3,4} o 3 przestrzeniach. Wszystkie one są częścią hipersześciennej rodziny teselacji o kształcie plastra miodu {4,3,...,3,4}. Teselacje w tej rodzinie są Samodzielne .

Współrzędne

Wierzchołki tego plastra miodu mogą być umieszczone w przestrzeni 4 we wszystkich współrzędnych całkowitych (i,j,k,l).

Pakowanie kuli

Jak wszystkie zwykłe hipersześcienne plastry miodu , tesseraktyczny plaster miodu odpowiada upakowaniu sfer sfer o długości krawędzi i średnicy wyśrodkowanych na każdym wierzchołku lub (podwójnie) wpisanych w każdą komórkę. W czterowymiarowym hipersześciennym plastrze miodu, 3 sfery skoncentrowane na wierzchołkach i 3 sfery wpisane w komórki będą pasować jednocześnie, tworząc unikalną regularną, skoncentrowaną na ciele sześcienną sieć sfer o jednakowej wielkości (w dowolnej liczbie wymiarów). Ponieważ tesserakt jest promieniowo równoboczny , w otworze między 16 3-sferami wyśrodkowanymi na wierzchołku jest wystarczająco dużo miejsca na kolejną 3-sferę o długości krawędzi i średnicy. (Ta 4-wymiarowa, wyśrodkowana na ciele sześcienna siatka jest w rzeczywistości połączeniem dwóch tesseraktycznych plastrów miodu w dwóch pozycjach.)

Jest to to samo najgęstsze znane regularne upakowanie 3-kulowe, z całowaniem numer 24, które jest również widoczne w pozostałych dwóch regularnych teselacjach 4-przestrzeni, 16-komórkowym plastrze miodu i 24-komórkowym plastrze miodu . Każda wpisana w tesserakt 3-sfera całuje otaczającą powłokę 24 3-sfer, 16 w wierzchołkach tesseractu i 8 wpisanych w sąsiednich tesseracts. Te 24 punkty całowania to wierzchołki 24 komórek o promieniu (i długości krawędzi) 1/2.

Konstrukcje

Istnieje wiele różnych konstrukcji tego plastra miodu firmy Wythoff . Najbardziej symetryczną formą jest forma regularna z symbolem Schläfliego {4,3,3,4}. Inna forma ma dwie naprzemienne fasety teseraktowe (jak szachownica) z symbolem Schläfli {4,3,3 ^1,1 }. Najniższa symetria Konstrukcja Wythoffa ma 16 rodzajów faset wokół każdego wierzchołka i pryzmatyczny iloczyn symbol Schläfliego {∞} ⁴ . Jeden może być wykonany przez steryfikację drugiego.

Powiązane politopy i teselacje

[4,3,3,4], , grupa Coxeter generuje 31 permutacji jednorodnych teselacji, 21 z wyraźną symetrią i 20 z odrębną geometrią. Rozszerzony tesseractic plastra miodu (także znany jako stericated tesseractic wafla) jest geometrycznie identyczny tesseractic plastra miodu. Trzy z symetrycznych plastrów miodu są wspólne w rodzinie [3,4,3,3]. Dwie alternatywy (13) i (17) oraz ćwierć teseractic (2) powtarzają się w innych rodzinach.

Plastry miodu C4
Rozszerzona symetria	Rozszerzony schemat	Zamówienie	Plastry miodu
[4,3,3,4]:		×1	₁ , ₂ , ₃ , ₄ , ₅ , ₆ , ₇ , ₈ , ₉ , ₁₀ , ₁₁ , ₁₂ , ₁₃
[[4,3,3,4]]		×2	₍₁₎ , ₍₂₎ , ₍₁₃₎ , ₁₈ ₍₆₎ , ₁₉ , ₂₀
[(3,3)[1 ⁺ ,4,3,3,4,1 ⁺ ]] ↔ [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×6	₁₄ , ₁₅ , ₁₆ , ₁₇

[4,3,3 ^1,1 ],, grupa Coxetera generuje 31 permutacji jednorodnych teselacji, 23 z wyraźną symetrią i 4 z odrębną geometrią. Istnieją dwie naprzemienne formy: naprzemienne (19) i (24) mają taką samą geometrię, jak odpowiednio 16-komorowy plaster miodu i 24-komorowy plaster miodu .

Plastry miodu B4
Rozszerzona symetria	Rozszerzony schemat	Zamówienie	Plastry miodu
[4,3,3 ^1,1 ]:		×1	₅ , ₆ , ₇ , ₈
<[4,3,3 ^1,1 ]>: ↔[4,3,3,4]	↔	×2	₉ , ₁₀ , ₁₁ , ₁₂ , ₁₃ , ₁₄ , ₍₁₀₎ , ₁₅ , ₁₆ , ₍₁₃₎ , ₁₇ , ₁₈ , ₁₉
[3[1 ⁺ ,4,3,3 ^1,1 ]] ↔ [3[3,3 ^1,1,1 ]] ↔ [3,3,4,3]	↔ ↔	×3	₁ , ₂ , ₃ , ₄
[(3,3)[1 ⁺ ,4,3,3 ^1,1 ]] ↔ [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×12	₂₀ , ₂₁ , ₂₂ , ₂₃

Plastra miodu 24 komórek jest podobna, ale dodatkowo do wierzchołków na całkowite (I, J, K, L), ma wierzchołki o połowę całkowitych (i + 1/2, j + 1/2, k + 1/2 ,l+1/2) tylko nieparzystych liczb całkowitych. Jest to do połowy wypełniony sześcian o środku ciała (szachownica, w której czerwone 4-kostki mają centralny wierzchołek, a czarne 4-kostki nie).

Tesseract może mieć regularny teselacji z 4-kuli , z trzema tesseracts na twarzy, z symbol schläfliego {4,3,3,3}, zwany ład-3 tesseractic plastra miodu . Jest on topologicznie równoważny z regularnym penteraktem politopowym w przestrzeni 5-przestrzennej.

Tesserakt może tworzyć regularną teselację 4-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej , z 5 teseraktami wokół każdej ściany, z symbolem Schläfliego {4,3,3,5}, zwanym teseratycznym plastrem miodu rzędu 5 .

Birektyfikowany tesseraktyczny plaster miodu

Birectified tesseractic plastra miodu ,Zawiera wszystkie usunięte 16 drzwiowe ( 24 komórek ) ścianki i jest tesselacji Woronoja tego D ₄^* siatki . Fasety mogą być identycznie barwione z podwojonej symetrii ×2, [[4,3,3,4]], naprzemiennie barwione z symetrii , [4,3,3,4], trzy kolory z , [4,3,3 ^{1 ,1} ] symetrii i 4 kolory z , [3 ^1,1,1,1 ] symetrii. ${\ Displaystyle {\ tylda {C}} {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {C}} {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {B}} {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {D}} {4}}$

Zobacz też

Regularne i jednolite plastry miodu w 4 przestrzeniach:

Bibliografia

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3 wydanie, 1973), wydanie Dover, ISBN 0-486-61480-8 s. 296, Tabela II: Regularne plastry miodu
Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- ( Praca 24) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes III , [ Mat . Zeit. 200 (1988) 3-45]
George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Pełna lista 11 wypukłych jednolitych płytek, 28 wypukłych jednolitych plastrów miodu i 143 wypukłych jednolitych tetracombs) - Model 1
Klitzing, Richard. „Teselacje euklidesowe 4D” . x∞ox∞ox∞ox∞o, x∞xx∞ox∞ox∞o, x∞xx∞xx∞ox∞o, x∞xx∞xx∞xx∞o,x∞xx∞xx∞xx∞x, x∞ox∞o x4o4o, x∞ox∞o o4x4o, x∞xx∞o x4o4o, x∞xx∞o o4x4o, x∞ox∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4o, x∞xx∞x o4x4o, x ∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o4x3o∞ * x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastry miodu o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$ / / ${\ Displaystyle {\ tylda {F}} {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E ²	Jednolite kafelki	{3 ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Sześciokątny
E ³	Jednolity wypukły plaster miodu	{3 ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Jednolity 4-plaster miodu	{3 ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-komórkowy plaster miodu
E ⁵	Jednolity 5-plaster miodu	{3 ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Jednolity 6-plaster miodu	{3 ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Jednolite 7-plaster miodu	{3 ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Jednolite 8-plaster miodu	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Jednolite 9-plaster miodu	{3 ^[10] }	δ ₁₀	godz. ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Jednolite 10-plaster miodu	{3 ^[11] }	δ ₁₁	godz. ₁₁	qδ ₁₁
P ^{n -1}	Jednolity ( n -1)- plaster miodu	{3 ^[n] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁

Languages

In other projects