5 ₂₁ strukturze plastra miodu, -5₂₁ honeycomb

5 21 o strukturze plastra miodu
Rodzaj	uniform plastra miodu
Rodzina	k 21 Polytope
symbol schläfliego	{3,3,3,3,3,3 2,1 }
Coxeter symbol	5 21
Coxeter-Dynkin wykres
8-twarze	5 11 {3 7 }
7-twarze	{3 6 }
6-twarze	{3 5 }
5-twarze	{3 4 }
4-twarze	{3 3 }
Komórki	{3 2 }
twarze	{3}
figura komórka	1 21
rysunek twarzy	2 21
figura krawędź	3 21
Vertex figura	4 21
grupa symetrii	${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$[3 5,2,1 ]

W geometrii The 5 ₂₁ o strukturze plastra miodu jest jednolity tesselacji 8-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Symbol 5 ₂₁ wynosi Coxeter'a , nazwana długości 3 gałęzi jego schemacie Coxeter-Dynkin.

Ten plaster miodu najpierw badano przez Gosset które nazywane to 9-ic postać pół-regularny (Gosset traktować plastrów w n wymiarach zdegenerowanej n +1 polytopes).

Każdy wierzchołek 5 ₂₁ plastra miodu jest otoczony przez 2160 8-orthoplexes i 17280 8-simplices.

Figura wierzchołek plastra miodu Gosset jest to semiregular 4 ₂₁ Polytope . Jest ostateczna postać w k ₂₁ rodziny.

Ten plaster miodu jest bardzo regularny w tym sensie, że jego grupa symetrii (the affine grupa Weyl) działa przechodni na k -faces dla k ≤ 6. Każdy z k -faces dla k ≤ 7 są simplices. ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$

Budowa

Jest ona tworzona przez budowę Wythoff momencie zbioru 9 hiperpłaszczyzna luster w przestrzeni 8-wymiarowej.

Informacje aspekt może być pozyskane ze schematem Coxeter-Dynkin .

Usuwanie węzeł na końcu gałęzi 2 długości opuszcza 8-orthoplex , 6 ₁₁ .

Usuwanie węzła na końcu gałęzi 1 długości opuszcza 8-simplex .

Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł. To sprawia, że 4 ₂₁ Polytope .

Postać krawędzi są określane na podstawie rysunku wierzchołka usuwając ringed węzeł i dzwonienia sąsiedniego węzła. To sprawia, że 3 ₂₁ Polytope .

Rysunku powierzchnia jest określona na podstawie rysunku krawędzi usuwając ringed węzeł i dzwonienia sąsiedniego węzła. To sprawia, że 2 ₂₁ Polytope .

Postać komórek określa się na podstawie rysunku twarzy usuwając ringed węzeł i dzwonienia sąsiedniego węzła. To sprawia, że 1 ₂₁ Polytope .

Numer kissing

Każdy wierzchołek Teselację jest ośrodkiem 7-kuli w najgęstszy znanym opakowaniu , w 8 wymiarach; jego liczba całowanie 240, reprezentowany przez wierzchołki jego wierzchołek figurze 4 ₂₁ .

E8 kraty

${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$Zawiera jako podgrupa indeksu 5760. Zarówno i mogą być postrzegane jako przedłużenie od afinicznych z różnymi węzłami:${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {8}}$${\ A_ displaystyle {8}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$Zawiera jako podgrupa wskaźnika 270. Zarówno i mogą być postrzegane jako przedłużenie od afinicznych z różnymi węzłami:${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {8}}$${\ Displaystyle D_ {8}}$

Układ wierzchołek 5 ₂₁ nazywana jest kratownica E8 .

E8 kratownica może również zostać wykonana jako związek wierzchołkami dwóch plastrów 8 demicube (zwany D ₈ ² lub D ₈ ⁺ kratowe), a także związek z wierzchołków trzy 8-simplex plastrów (nazywany ₈ ³ kratownica):

= ∪ = ∪ ∪

Zwykły plaster miodu kompleks

Za pomocą zespolonej układ współrzędnych może być również wykonany w postaci zwykłej złożonej Polytope , określany symbolem 3 {3} 3 {3} 3 {3}, {3}, 3 3 i Coxeter schemat . Jego elementy są we względnym stosunku jak 1 wierzchołek, 80 3-krawędziami 270 ₃ {3} ₃ powierzchniami 80 ₃ {3} ₃ {3}, ₃ komórki i 1, _3, {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ Witting Polytope komórki.${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$

Powiązane polytopes i plastrach

The 5 ₂₁ jest siódmą wymiarową serii semiregular polytopes , zidentyfikowane w 1900 roku Thorold Gosset . Każdy członek tej sekwencji ma poprzedniego elementu w postaci jego wierzchołek rysunku . Wszystkie aspekty tych polytopes są regularne polytopes , mianowicie sympleksów i orthoplexes .

k 21 dane w N wymiarowej
Przestrzeń	Skończone						euklidesowa	Hiperboliczny
e n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter grupa	E 3 = a 2 1	E 4 = A 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {8}}$	PL 10 = = E 8 ++${\ Displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Coxeter schemat
Symetria	[3 -1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Zamówienie	12	120	192	51840	2903040	696729600	∞
Wykres							-	-
Imię	-1 21	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21

Zobacz też

• E8 kraty
• 1 ₅₂ o strukturze plastra miodu
• 2 ₅₁ o strukturze plastra miodu

Uwagi

Referencje

• Coxeter The Beauty of Geometry: Dwanaście Eseje , Dover Publications, 1999, ISBN  978-0-486-40919-1 (Rozdział 3: Wythoff za Budownictwo Uniform Polytopes)
• Coxeter HSM (1973). Regularne Polytopes ((3rd ed.), Red.). Nowy Jork: Dover Publications. ISBN  0-486-61480-8 .
• Kalejdoskop: Pisma wybrane HSM Coxeter'a pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Azji IVIC Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papier 24) HSM Coxeter, regularne i semi-Regular Polytopes III [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : geometrie i Przemiany (2015)

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastrach o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$/ /${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {4}}$${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E 2	Dachówka jednolity	{3- [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Sześciokątny
E 3	Jednolity wypukły plastra miodu	{3- [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Jednorodna 4 o strukturze plastra miodu	{3- [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24 o strukturze plastra miodu z komórkami
E 5	Jednolite 5-plaster miodu	{3- [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	6 plastra miodu, jednolity	{3- [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniform 7-plaster miodu	{3- [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniform 8-plaster miodu	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Jednolite 9 o strukturze plastra miodu	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Jednolita ( N -1) - plastra miodu	{3- [N] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21