2 ₂₂ plaster miodu -2₂₂ honeycomb

2 22 plaster miodu
(brak obrazka)
Rodzaj	Teselacja jednolita
Symbol Coxetera	2 22
Symbol Schläfli	{3,3,3 2,2 }
Schemat Coxetera
Typ 6-twarzowy	2 21
Typy 5-twarzowe	2 11 {3 4 }
Typ 4-twarzowy	{3 3 }
Typ komórki	{3,3}
Typ twarzy	{3}
Figura twarzy	{3}×{3} duopryzm
Postać krawędzi	{3 2,2 }
Figura wierzchołka	1 22
Grupa Coxetera	${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$, [[3,3,3 2,2 ]]
Nieruchomości	wierzchołek przechodni , aspekt przechodni

W geometrii The 2 _{: 22} o strukturze plastra miodu jest jednolity tesselacji sześcioczłonowego wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Może być reprezentowany przez symbol Schläfliego {3,3,3 ^2,2 }. Jest zbudowany z 2 ₂₁ faset i ma figurę 1 ₂₂ wierzchołka , z 54 2 ₂₁ polytopes wokół każdego wierzchołka.

Jego układ wierzchołek jest E ₆ kraty , a system korzeniowy z E ₆ grup Lie więc może być również nazywany E ₆ plastra miodu .

Budowa

Tworzy go konstrukcja Wythoffa na zestawie 7 hiperpłaszczyznowych luster w 6-wymiarowej przestrzeni.

Informacje o aspekcie można wydobyć z jego diagramu Coxetera-Dynkina ,.

Usunięcie węzła na końcu jednej z dwuwęzłowych gałęzi pozostawia 2 ₂₁ , jedyny typ aspektu ,

Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł. To sprawia, że 1 ₂₂ ,.

Postać krawędź ma postać wierzchołka figury wierzchołków tu odpowiednio birectified 5-simplex , T ₂ {3 ⁴ }.

Rysunku powierzchnia ma postać wierzchołka figury krawędzi tutaj jest trójkątny duoprism {3} x {3},.

Pocałunek numer

Każdy wierzchołek tej teselacji jest środkiem 5-sfery w najgęstszym znanym upakowaniu w 6 wymiarach, z liczbą całującą 72, reprezentowaną przez wierzchołki jego wierzchołka na figurze 1 ₂₂ .

E ₆ krata

Układ wierzchołków plastra miodu 2 ₂₂ nazywa się kratą E ₆ .

E ₆ ² kratownica z [[3,3,3 ^2,2 ]] symetria może być zbudowany przez połączenie dwóch E ₆ ogrodzenia:

∪

E ₆ ^* kraty (lub E ₆ ³ ) o [3 [3 ^2,2,2 ]] symetrii. Komórką Woronoja tego E ₆ ^* kratownica jest prostowane 1 ₂₂ Polytope i tesselacji Woronoja jest bitruncated 2 ₂₂ o strukturze plastra miodu . Jest zbudowany z 3 kopii wierzchołków sieci E ₆ , po jednej z każdej z trzech gałęzi diagramu Coxetera.

∪ ∪ = podwójna do .

Składanie geometryczne

Grupy jest związane z przez geometryczne fałdowania , tak więc plaster miodu może być rzutowany na 4-wymiarowej o strukturze plastra miodu 16 komórek . ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$${\ Displaystyle {\ tylda {F}} {4}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {F}} {4}}$
{3,3,3 2,2 }	{3,3,4,3}

Powiązane plastry miodu

_Plaster miodu 2 ₂₂ jest jednym z 127 jednolitych plastrów miodu (39 unikalnych) z symetrią. 24 z nich ma podwojoną symetrię [[3,3,3 ^2,2 ]] z 2 równo obrączkowanymi gałęziami, a 7 ma sześciokrotną (3 ! ) symetrię [3[3 ^2,2,2 ]] z identycznymi pierścieniami na wszystkich 3 gałęzie. W rodzinie nie ma regularnych plastrów miodu, ponieważ wykres Coxetera jest wykresem nieliniowym, ale 2 ₂₂ i birektyfikowane 2 ₂₂ są izotopowe , z tylko jednym rodzajem fasetki : odpowiednio 2 ₂₁ i wyprostowanym 1 ₂₂ polytopes. ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$

Symetria	Zamówienie	Plastry miodu
[3 2,2,2 ]	Pełny	8: , , , , , , , .
[[3,3,3 2,2 ]]	×2	24: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .
[3[3 2,2,2 ]]	×6	7: , , , , , , .

Birektyfikowany 2 ₂₂ plaster miodu

Birektyfikowany 2 22 plaster miodu
(brak obrazka)
Rodzaj	Teselacja jednolita
Symbol Coxetera	0 222
Symbol Schläfli	{3 2,2,2 }
Schemat Coxetera
Typ 6-twarzowy	0 221
Typy 5-twarzowe	0 22 0 211
Typ 4-twarzowy	0 21 24-ogniwowy 0 111
Typ komórki	Czworościan 0 20 Ośmiościan 0 11
Typ twarzy	Trójkąt 0 10
Figura wierzchołka	Propryzmat {3}×{3}×{3}
Grupa Coxetera	6× , [3[3 2,2,2 ]] ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$
Nieruchomości	wierzchołek przechodni , aspekt przechodni

Birectified 2 ₂₂ o strukturze plastra miodu , ma rektyfikowane 1 22 fasetki polytope ,, a propryzmem {3}×{3}×{3} figura wierzchołka .

Jego aspekty są na środku układu wierzchołków o E ₆ ^* kraty , jak:

∪ ∪

Budowa

Informacje o aspekcie można wydobyć z jego diagramu Coxetera-Dynkina ,.

Figura wierzchołek jest określana poprzez usunięcie otoczonej pierścieniami węzeł i dzwonienie sąsiedni węzeł. To sprawia, że ​​propryzm {3}×{3}×{3},.

Usunięcie węzła na końcu jednej z trzech gałęzi pozostawia 1 ₂₂ , jedyny typ aspektu ,.

Usunięcie drugiego węzła końcowego definiuje 2 typy 5-ścian: birektyfikowany 5-simplex , 0 ₂₂ i birektyfikowany 5-ortoplex , 0 ₂₁₁ .

Usunięcie trzeciego węzła końcowego definiuje 2 typy 4-ścian: wyprostowane 5-komorowe , 0 ₂₁ , i 24-komorowe , 0 ₁₁₁ .

Usunięcie czwartego węzła końcowego definiuje 2 typy komórek: ośmiościan , 0 ₁₁ , i czworościan , 0 ₂₀ .

k ₂₂ politopy

_Plaster miodu 2 ₂₂ jest czwartym w serii wymiarowej jednorodnych politopów, wyrażonych przez Coxetera jako seria k ₂₂ . Finał to parakompaktowy hiperboliczny plaster miodu, 3 ₂₂ . Każdy progresywny jednolity polytope jest konstruowany z poprzedniego jako jego figura wierzchołkowa .

k ₂₂ cyfry w n wymiarach

Przestrzeń	Skończone			Euklidesa	Hiperboliczny
n	4	5	6	7	8
Grupa Coxetera	A 2 A 2	E 6	${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$= E 6 +	${\ Displaystyle {\ bar {T}} _ {7}}$=E 6 ++
Schemat Coxetera
Symetria	[[3 2,2,-1 ]]	[[3 2,2,0 ]]	[[3 2,2,1 ]]	[[3 2,2,2 ]]	[[3 2,2,3 ]]
Zamówienie	72	1440	103,680	∞
Wykres				∞	∞
Nazwa	-1 22	0 22	1 22	2 22	3 22

_Plaster miodu 2 ₂₂ jest trzecim w innej serii wymiarowej 2 _2k .

2 _2k figur o wymiarach n

Przestrzeń	Skończone			Euklidesa	Hiperboliczny
n	4	5	6	7	8
Grupa Coxetera	A 2 A 2	5	E 6	${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {6}}$= E 6 +	E 6 ++
Schemat Coxetera
Wykres				∞	∞
Nazwa	2 2,-1	2 20	2 21	2 22	2 23

Uwagi

Bibliografia

• Coxeter Piękno geometrii: dwanaście esejów , Dover Publications, 1999, ISBN  978-0-486-40919-1 (Rozdział 3: Konstrukcja Wythoffa dla jednolitych wielotopów)
• Coxeter Regular Polytopes (1963), Macmillan Company
  • Regularne Polytopes , wydanie trzecie, (1973), wydanie Dover, ISBN  0-486-61480-8 (rozdział 5: Kalejdoskop)
• Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook
  • ( Praca 24) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes III , [ Mat . Zeit. 200 (1988) 3-45]
• RT Worley , region Voronoi E6* . J.Austral. Matematyka. Soc. Ser. A, 43 (1987), 268-278.
• Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Uszczelki sferyczne, kraty i grupy ((3rd ed.) ed.). Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-98585-9. p125-126, 8.3 Siatki 6-wymiarowe: E6 i E6*
• Klitzing, Richard. "sześciokąty 6D x3o3o3o3o *c3o3o - jakoh" .
• Klitzing, Richard. "sześciokąty 6D o3o3x3o3o *c3o3o - ramoh" .

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastry miodu o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$/ /${\ Displaystyle {\ tylda {F}} {4}}$${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E 2	Jednolite kafelki	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Sześciokątny
E 3	Jednolity wypukły plaster miodu	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Jednolity 4-plaster miodu	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-komórkowy plaster miodu
E 5	Jednolity 5-plaster miodu	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Jednolity 6-plaster miodu	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Jednolite 7-plaster miodu	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Jednolite 8-plaster miodu	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Jednolite 9-plaster miodu	{3 [10] }	δ 10	godz. 10	qδ 10
E 10	Jednolite 10-plaster miodu	{3 [11] }	δ 11	godz. 11	qδ 11
P n -1	Jednolity ( n -1)- plaster miodu	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21