Plaster miodu dwudziestościennego - Icosahedral honeycomb

Plaster miodu dwudziestościennego
Model dysku Poincare
Rodzaj	Hiperboliczny regularny plaster miodu Jednolity hiperboliczny plaster miodu
Symbol Schläfli	{3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	{3,5}
Twarze	trójkąt {3}
Postać krawędzi	trójkąt {3}
Figura wierzchołka	dwunastościan
Podwójny	Samodzielność
Grupa Coxetera	${\displaystyle {\overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Nieruchomości	Regularny

Dwudziestościan strukturze plastra miodu, jest jednym z czterech stałych zwartych wypełniającymi przestrzeń teselacji (lub plastra miodu ) w hiperbolicznej przestrzeni 3-wymiarowej . W przypadku symbolu Schläfliego {3,5,3} istnieją trzy dwudziestościany wokół każdej krawędzi i 12 dwudziestościanów wokół każdego wierzchołka w postaci regularnego wierzchołka dwunastościanu .

Geometryczne o strukturze plastra miodu jest miejsca napełniania z wieloboczne lub wyższe wymiary komórek , tak że nie ma żadnych przerw. Jest to przykład bardziej ogólnego kafelkowania matematycznego lub teselacji w dowolnej liczbie wymiarów.

Plastry miodu są zwykle konstruowane w zwykłej przestrzeni euklidesowej („płaskiej”), podobnie jak wypukłe, jednolite plastry miodu . Mogą być również konstruowane w przestrzeniach nieeuklidesowych , takich jak hiperboliczne jednolite plastry miodu . Dowolny skończony jednorodny politop może być rzutowany na jego okolicę, tworząc jednolity plaster miodu w przestrzeni sferycznej.

Opis

Kąt dwuścienny o regularnym dwudziestościanu wynosi około 138,2 °, dzięki czemu jest możliwe dopasowywanie icosahedra wokół krawędzi euklidesowa w przestrzeni 3-wymiarowej. Jednak w przestrzeni hiperbolicznej odpowiednio wyskalowane ikosaedry mogą mieć kąty dwuścienne równe dokładnie 120 stopni, więc trzy z nich mogą zmieścić się wokół krawędzi.

Powiązane zwykłe plastry miodu

W hiperbolicznej przestrzeni 3D występują cztery regularne, kompaktowe plastry miodu:

Cztery regularne kompaktowe plastry miodu w H ³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

Powiązane regularne polytopy i plastry miodu

Jest członkiem sekwencji regularnych wielochor i plastrów miodu {3, p ,3} z komórkami deltraedrycznymi :

{3, p ,3} polytopes
Przestrzeń	S 3		H 3
Formularz	Skończone		Kompaktowy	Parakompaktowy	Niekompaktowy
{3, s. 3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
Obraz
Komórki	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Figura wierzchołka	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Jest również członkiem ciągu regularnych wielochor i plastrów miodu { p ,5, p }, których figury wierzchołkowe składają się z pięciokątów:

{ p ,5, p } zwykłe plastry
Przestrzeń	H 3
Formularz	Parakompaktowy	Niekompaktowy
Nazwa	{3,5,3}	{4,5,4}	{5,5,5}	{6,5,6}	{7,5,7}	{8,5,8}	... {∞,5,∞}
Obraz
komórki { p ,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	{∞,5}
Figura wierzchołkowa {5, p }	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,∞}

Jednolite plastry miodu

W rodzinie [3,5,3] grupy Coxeter występuje dziewięć jednorodnych plastrów miodu , w tym forma regularna oraz forma bitruncated , t _1,2 {3,5,3},, zwany także skróconym dwunastościanem o strukturze plastra miodu , którego każda z komórek jest dwunastościanem skróconym .

[3,5,3] rodzinne plastry miodu

{3,5,3}	t 1 {3,5,3}	t 0,1 {3,5,3}	t 0,2 {3,5,3}	t 0,3 {3,5,3}
	t 1,2 {3,5,3}	t 0,1,2 {3,5,3}	t 0,1,3 {3,5,3}	t 0,1,2,3 {3,5,3}

Rektyfikacja dwudziestościennego plastra miodu

Rektyfikacja dwudziestościennego plastra miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	R {3,5,3} lub t 1 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	r{3,5} {5,3}
Twarze	trójkąt {3} pięciokąt {5}
Figura wierzchołka	trójkątny pryzmat
Grupa Coxetera	${\displaystyle {\overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Nieruchomości	Wierzchołki przechodnie, krawędzie przechodnie

Usunięte dwudziestościan plastra miodu , t ₁ {eter 3,5,3},, ma naprzemienne komórki dwunastościanu i dwunastościanu ikozydonaścianu , z trójkątnym wierzchołkiem pryzmatu :

Rzuty perspektywiczne ze środka modelu dysku Poincare

Powiązany plaster miodu

Istnieją cztery rektyfikowane kompaktowe regularne plastry miodu:

Cztery rektyfikowane regularne kompaktowe plastry miodu w H ³

Obraz
Symbolika	r{5,3,4}	r{4,3,5}	r{3,5,3}	r{5,3,5}
Figura wierzchołka

Obcięty dwudziestościenny plaster miodu

Obcięty dwudziestościenny plaster miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	t{3,5,3} lub t 0,1 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	t{3,5} {5,3}
Twarze	pięciokąt {5} sześciokąt {6}
Figura wierzchołka	trójkątna piramida
Grupa Coxetera	${\displaystyle {\overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Nieruchomości	Wierzchołek przechodni

Obcięty dwudziestościan plastra miodu , t _0,1 {3,5,3},, ma naprzemienne komórki dwunastościanu i ściętego dwudziestościanu , z trójkątną figurą wierzchołka piramidy .

Powiązane plastry miodu

Cztery ścięte regularne, kompaktowe plastry miodu w H ³

Obraz
Symbolika	t{5,3,4}	t{4,3,5}	t{3,5,3}	t{5,3,5}
Figura wierzchołka

Bitruncated icosahedral plaster miodu

Bitruncated icosahedral plaster miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	2t{3,5,3} lub t 1,2 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	t{5,3}
Twarze	trójkąt {3} dziesięciokąt {10}
Figura wierzchołka	czworokątny disfenoid
Grupa Coxetera	${\displaystyle 2\razy {\overline {J}}_{3}}$, [[3,5,3]]
Nieruchomości	Vertex-transitive, edge-transitive, cell-transitive

Bitruncated dwudziestościan plastra miodu , t _1,2 {3,5,3},, ma skrócone komórki dwunastościanu z czworokątną postacią dwuklinowego wierzchołka.

Powiązane plastry miodu

Trzy zwarte plastry miodu z bitruncated w H ³

Obraz
Symbolika	2t{4,3,5}	2t{3,5,3}	2t{5,3,5}
Figura wierzchołka

Icosahedral cantelated plastra miodu

Icosahedral cantelated plastra miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	rr{3,5,3} lub t 0,2 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	rr{3,5} r{5,3} {}x{3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} pięciokąt {5}
Figura wierzchołka	klin
Grupa Coxetera	${\displaystyle {\overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Nieruchomości	Wierzchołek przechodni

Cantellated dwudziestościan plastra miodu , t _0,2 {eter 3,5,3},Ma dwudziesto-dwunastościan rombowy mały , icosidodecahedron i graniastosłupa o podstawie trójkątnej komórki, z klina postać wierzchołka.

Powiązane plastry miodu

Cztery kantelowane regularne kompaktowe plastry miodu w H 3
Obraz Symbolika rr{5,3,4} rr{4,3,5} rr{3,5,3} rr{5,3,5} Figura wierzchołka

Cantitruncated dwudziestościenny plaster miodu

Cantitruncated dwudziestościenny plaster miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	tr{3,5,3} lub t 0,1,2 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	tr{3,5} t{5,3} {}x{3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} sześciokąt {6} dziesięciokąt {10}
Figura wierzchołka	lustrzany klinowy
Grupa Coxetera	${\displaystyle {\overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Nieruchomości	Wierzchołek przechodni

Cantitruncated dwudziestościan plastra miodu , t _0,1,2 {eter 3,5,3},, ma ścięty dwunastościan dwudziestościanu , dwunastościan ścięty , oraz trójkątne komórki pryzmatu z lustrzanym wierzchołkiem klinowym .

Powiązane plastry miodu

Cztery spłaszczone regularne zwarte plastry miodu w H ³

Obraz
Symbolika	tr{5,3,4}	tr{4,3,5}	tr{3,5,3}	tr{5,3,5}
Figura wierzchołka

Runcinated icosahedral plastra miodu

Runcinated icosahedral plastra miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	t 0,3 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	{3,5} {}×{3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4}
Figura wierzchołka	pięciokątny antypryzmat
Grupa Coxetera	${\displaystyle 2\razy {\overline {J}}_{3}}$, [[3,5,3]]
Nieruchomości	Wierzchołki przechodnie, krawędzie przechodnie

Runcinated dwudziestościan plastra miodu , t _0,3 {eter 3,5,3},, ma dwudziestościan i trójkątne komórki graniastosłupowe , z pięciokątnym wierzchołkiem antypryzmatycznym .

Oglądane ze środka trójkątnego pryzmatu

Powiązane plastry miodu

Trzy runcinated regularne kompaktowe plastry miodu w H ³

Obraz
Symbolika	t 0,3 {4,3,5}	t 0,3 {3,5,3}	t 0,3 {5,3,5}
Figura wierzchołka

Dwudziestościenny plaster miodu z runciut

Dwudziestościenny plaster miodu z runciut
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	t 0,1,3 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	t{3,5} rr{3,5} {}×{3} {}×{6}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} pięciokąt {5} sześciokąt {6}
Figura wierzchołka	piramida równoramienna-trapezowa
Grupa Coxetera	${\displaystyle {\overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Nieruchomości	Wierzchołek przechodni

Strukturę miodową dwudziestościenną , t _0,1,3 {3,5,3},, Jest obcinana icosahedron , dwudziesto-dwunastościan rombowy mały , heksagonalny , a graniastosłupa o podstawie trójkątnej komórki z równoramiennego trapezowym piramidy wierzchołka rysunku .

Runcicantellated dwudziestościan plastra miodu jest równoważna runcitruncated dwudzieściennym plastra miodu.

Oglądane ze środka trójkątnego pryzmatu

Powiązane plastry miodu

Cztery runcitruncated regularne kompaktowe plastry miodu w H 3
Obraz Symbolika t 0,1,3 {5,3,4} t 0,1,3 {4,3,5} t 0,1,3 {3,5,3} t 0,1,3 {5,3,5} Figura wierzchołka

Wielościenny plaster miodu icosahedral

Wielościenny plaster miodu dwudziestościennego
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	t 0,1,2,3 {3,5,3}
Schemat Coxetera
Komórki	p{3,5} {}×{6}
Twarze	kwadrat {4} sześciokąt {6} dwunastokąt {10}
Figura wierzchołka	filcowa dysfenoida
Grupa Coxetera	${\displaystyle 2\razy {\overline {J}}_{3}}$, [[3,5,3]]
Nieruchomości	Wierzchołek przechodni

Omnitruncated dwudziestościan plastra miodu , t _0,1,2,3 {eter 3,5,3},, ma ścięte ikozydnastościan i heksagonalne komórki pryzmatyczne , z filcowym wierzchołkiem dwuklinowym .

Wyśrodkowany na sześciokątnym pryzmacie

Powiązane plastry miodu

Trzy wszechstronnie ścięte regularne, zwarte plastry miodu w H 3
Obraz Symbolika t 0,1,2,3 {4,3,5} t 0,1,2,3 {3,5,3} t 0,1,2,3 {5,3,5} Figura wierzchołka

Omnisnub icosahedral plaster miodu

Omnisnub icosahedral plaster miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
Symbol Schläfli	h(t 0,1,2,3 {3,5,3})
Schemat Coxetera
Komórki	sr{3,5} s{2,3} irr. {3,3}
Twarze	trójkąt {3} pięciokąt {5}
Figura wierzchołka
Grupa Coxetera	[[3,5,3]] +
Nieruchomości	Wierzchołek przechodni

Omnisnub dwudziestościan plastra miodu , h (t _0,1,2,3 {3,5,3}),, ma komórki dwunastościanu , ośmiościanu i czworościanu , z nieregularną figurą wierzchołka . Jest przechodni wierzchołkowy , ale nie można go utworzyć z jednolitymi komórkami.

Częściowo zmniejszony dwudziestościenny plaster miodu

Częściowo zmniejszony dwudziestościenny plaster miodu Parabidiminowany dwudziestościenny plaster miodu
Rodzaj	Jednolite plastry miodu
Symbol Schläfli	pd{3,5,3}
Schemat Coxetera	-
Komórki	{5,3} s{2,5}
Twarze	trójkąt {3} pięciokąt {5}
Figura wierzchołka	czworościannie zmniejszony dwunastościan
Grupa Coxetera	1 / 5 [3,5,3] +
Nieruchomości	Wierzchołek przechodni

Częściowo zmniejszone dwudziestościan plastra miodu lub parabidiminished dwudziestościan plastra miodu , Pd {3,5,3}, jest nie-Wythoffian jednolity o budowie plastra miodu dwunastościanu i pięciokątny antygraniastosłup komórek z tetraedrycznie zmniejszone dwunastościan wierzchołka rysunku. Komórki dwudziestościanu {3,5,3} są zmniejszane w przeciwległych wierzchołkach (parabidiminowane), pozostawiając pięciokątny rdzeń antypryzmatyczny ( parabidiminized dwudziestościan ) i tworząc nowe komórki dwunastościanu powyżej i poniżej.

Zobacz też

• Wypukłe, jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
• Regularne teselacje hiperbolicznej 3-przestrzeni
• Przestrzeń Seiferta-Webera
• 11-komorowa — Abstrakcyjna polichoron foremny, która ma wspólny symbol {3,5,3} Schläfli .

Bibliografia

• Coxeter , Regular Polytopes , 3. miejsce. red., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Tabele I i II: Regularne polytopes i plastry miodu, s. 294-296)
• Coxeter , Piękno geometrii: dwanaście esejów , Dover Publications, 1999 ISBN  0-486-40919-8 (Rozdział 10: Regularne plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej, Tabele podsumowujące II,III,IV,V, s.212-213)
• Norman Johnson Uniform Polytopes , rękopis
  • NW Johnson : Teoria jednolitych politopów i plastrów miodu , Ph.D. Rozprawa, Uniwersytet w Toronto, 1966
  • NW Johnson: Geometries and Transformations , (2018) Rozdział 13: Hiperboliczne grupy Coxetera
• Klitzing, Richard. „Hiperboliczne plastry miodu H3 hiperboliczne rzędu 3 teselacja dwudziestościenna” .