Cross-politop - Cross-polytope
2 wymiary kwadratowe |
3 wymiary ośmiościan |
4 wymiary 16-ogniwowe |
5 wymiarów 5-ortoplex |
W geometrii , o przekroju Polytope , hyperoctahedron , orthoplex lub cocube jest regularny , wypukła Polytope że istnieje n - wymiarach . Dwuwymiarowy cross-politop to kwadrat, trójwymiarowy cross-politop to regularny ośmiościan , a 4-wymiarowy cross-politop to 16 komórek . Jego fasety są simpleksami z poprzedniego wymiaru, podczas gdy figura wierzchołka krzyża jest kolejnym krzyżem politopu z poprzedniego wymiaru.
Wierzchołki cross-politopu można wybrać jako wektory jednostkowe skierowane wzdłuż każdej osi współrzędnych – tj. wszystkie permutacje (±1, 0, 0, …, 0) . Wielotop krzyżowy to wypukła powłoka jego wierzchołków. N wymiarową przekroju Polytope może być również określona jako zamkniętą jednostkę kuli (albo, według niektórych autorów, jego brzegu) w ℓ 1 -norm na R n :
W 1 wymiarze cross-politop to po prostu odcinek [−1, +1], w 2 wymiarach jest to kwadrat (lub romb) z wierzchołkami {(±1, 0), (0, ±1)}. W 3 wymiarach jest to ośmiościan — jeden z pięciu wypukłych wielościanów foremnych zwanych bryłami platońskimi . Można to uogólnić na wyższe wymiary z n- ortopleksem skonstruowanym jako bipiramida z ( n- 1)-ortopleksową zasadą.
Przekrój Polytope jest podwójny Polytope z hipersześcianu . 1- szkielet z n -wymiarowej przekroju Polytope jest turan wykres T (2 N , N ).
4 wymiary
Czterowymiarowy cross-politop nosi również nazwę hexadecachoron lub 16-cell . Jest to jeden z sześciu wypukłych regularnych 4-politopów . Te 4-politopy zostały po raz pierwszy opisane przez szwajcarskiego matematyka Ludwiga Schläfliego w połowie XIX wieku.
Wyższe wymiary
Rodzina politopów krzyżowych jest jedną z trzech rodzin politopów regularnych , oznaczonych przez Coxetera jako β n , pozostałe dwie to rodzina hipersześcianów , oznaczona jako γ n , oraz simplex , oznaczona jako α n . Czwartą rodzinę, nieskończoną teselację hipersześcianów , oznaczył jako δ n .
N wymiarową przekroju Polytope się 2 n wierzchołków i 2 n aspektów (( n - 1) elementy -wymiarowych), z których wszystkie są ( n - 1) - simplices . Wszystkie figury wierzchołkowe są ( n − 1) krzyżem politopów. Symbol schläfliego krzyżowych Polytope jest {3,3, ..., 3,4}.
Kąt dwuścienny z n -wymiarowej przekroju Polytope jest . Daje to: δ 2 = arccos(0/2) = 90°, δ 3 = arccos(−1/3) = 109.47°, δ 4 = arccos(−2/4) = 120°, δ 5 = arccos(− 3/5) = 126,87 °, ... δ ∞ = arccos(-1) = 180 °.
Hiperobjętość n- wymiarowego cross-politopu to
Dla każdej pary nieprzeciwnych wierzchołków łączy je krawędź. Bardziej ogólnie, każdy zestaw k + 1 ortogonalnych wierzchołków odpowiada odrębnemu k- wymiarowemu składnikowi, który je zawiera. Liczba k- wymiarowych składników (wierzchołki, krawędzie, ściany, ..., ścianki) w n- wymiarowym wielowymiarowym wielowymiarowym jest zatem dana przez (patrz współczynnik dwumianowy ):
Istnieje wiele możliwych rzutów ortogonalnych, które mogą przedstawiać politopy jako dwuwymiarowe wykresy. Projekcje wielokątów Petriego mapują punkty na regularne 2 n- kąty lub wielokąty regularne niższego rzędu. Druga projekcja bierze dwukątny wielokąt Petriego o wymiarach 2 ( n - 1) , widziany jako bipiramida , rzutowany w dół osi, z 2 wierzchołkami odwzorowanymi w środku.
n | β n k 11 |
Imię (imiona) Wykres |
Wykres 2 n -gon |
Schläfli |
Diagramy Coxetera-Dynkina |
Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4 twarze | 5 twarzy | 6 twarzy | 7 twarzy | 8 twarzy | 9 twarzy | 10 twarzy |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | β 0 |
Punkt 0-ortopleks |
. | ( ) |
|
1 | ||||||||||
1 | β 1 |
Odcinek linii 1-ortoplex |
{} |
|
2 | 1 | ||||||||||
2 | β 2 -1 11 |
kwadratowy 2-ortoplex Bicross |
{4} 2{ } = { } + { } |
|
4 | 4 | 1 | |||||||||
3 | β 3 0 11 |
ośmiościan 3-ortoplex Tricross |
{3,4} {3 1,1 } 3{} |
|
6 | 12 | 8 | 1 | ||||||||
4 | β 4 1 11 |
16-komorowy 4-ortoplex Tetracross |
{3,3,4} {3,3 1,1 } 4{} |
|
8 | 24 | 32 | 16 | 1 | |||||||
5 | β 5 2 11 |
5- ortopleksowy Pentacross |
{3 3 , 4} {3,3,3 1,1 } 5 {} |
|
10 | 40 | 80 | 80 | 32 | 1 | ||||||
6 | β 6 3 11 |
Sześciokąt 6- ortopleksowy |
{3 4 , 4}, {3 3 , 3 1,1 } 6 {} |
|
12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 1 | |||||
7 | β 7 4 11 |
7- ortopleksowy heptacross |
{3 5 4} {3 4 3 1,1 } 7 {} |
|
14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 1 | ||||
8 | β 8 5 11 |
8- ortopleksowy Octacross |
{3 6 , 4}, {3 5 3 1,1 } 8 {} |
|
16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 1 | |||
9 | β 9 6 11 |
9- ortopleksowy Enneacross |
{3 : 7 , 4}, {3 6 , 3 1,1 } 9 {} |
|
18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 1 | ||
10 | β 10 7 11 |
10- ortopleksowy Dekacross |
{3 8 , 4}, {3 7 3 1,1 } 10 {} |
|
20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 1 | |
... | ||||||||||||||||
n | β n k 11 |
n -orthoplex n -cross |
{3 n − 2 ,4} {3 n − 3 ,3 1,1 } n {} |
... ... ... |
2 n 0-ścian , ... k -twarzy ..., 2 n ( n −1)-ścian |
Wszystkie wierzchołki wyrównanego do osi politopu krzyżowego znajdują się w równej odległości od siebie w odległości Manhattanu ( norma L 1 ). Przypuszczenie Kusnera mówi, że ten zbiór punktów 2 d jest największym możliwym zbiorem równoodległym dla tej odległości.
Uogólniony ortopleks
Regularne złożone politopy można zdefiniować w złożonej przestrzeni Hilberta zwanej uogólnionymi ortopleksami (lub politopami krzyżowymi), βp
n= 2 {3} 2 {3}... 2 {4} p , lub.... Rzeczywiste rozwiązania istnieją przy p = 2, tj. β2
n= β n = 2 {3} 2 {3}... 2 {4} 2 = {3,3,...,4}. Dla p > 2 istnieją w . P -generalized n -orthoplex ma pn wierzchołków. Uogólnione ortopleksy mają regularne simpleksy (rzeczywiste) jako fasetki . Ortopleksy uogólnione tworzą kompletne grafy wielocząstkowe , βp
2uczyń K p , p dla pełnego dwudzielnego grafu , βp
3utwórz K p , p , p dla pełnych grafów trójdzielnych. βp
ntworzy K p n . Rzut prostopadły można określić, która mapuje wszystkie wierzchołki równomiernie rozmieszczone na okręgu, z wszystkimi parami wierzchołki związanych z wyjątkiem wielokrotności n . Obwód wielokąta foremnego w tych rzutach ortogonalnych nazywany jest wielokątem Petriego .
p = 2 | p = 3 | p = 4 | p = 5 | p = 6 | p = 7 | p = 8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 {4} 2 = {4} = K 2,2 |
2 {4} 3 = K 3,3 |
2 {4} 4 = K 4,4 |
2 {4} 5 = tys. 5,5 |
2 {4} 6 = K 6,6 |
2 {4} 7 = K 7,7 |
2 {4} 8 = K 8,8 |
||
2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = K 2,2,2 |
2 {3} 2 {4} 3 = K 3,3,3 |
2 {3} 2 {4} 4 = K 4,4,4 |
2 {3} 2 {4} 5 = K 5,5,5 |
2 {3} 2 {4} 6 = K 6,6,6 |
2 {3} 2 {4} 7 = K 7,7,7 |
2 {3} 2 {4} 8 = K 8,8,8 |
||
2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = K 2,2,2,2 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7 |
2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8 |
||
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8 |
||
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2,2,2 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3,3 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4,4 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5,5 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6,6 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7,7 |
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8,8 |
Powiązane rodziny politopów
Cross-politopy można łączyć z ich podwójnymi sześcianami, tworząc złożone polytopy:
- W dwóch wymiarach otrzymujemy oktagrammiczną figurę gwiazdy { 8 ⁄ 2 },
- W trzech wymiarach otrzymujemy złożenie sześcianu i ośmiościanu ,
- W czterech wymiarach otrzymujemy związek tesseract i 16-cell .
Zobacz też
- Lista regularnych polytopes
- Grupa hiperoktaedryczna , grupa symetrii politopu krzyżowego
Cytaty
Bibliografia
-
Coxeter, HSM (1973). Regularne Polytopes (3rd ed.). Nowy Jork: Dover.
- s. 121-122, §7.21. patrz rysunek Rys 7.2 B
- P. 296, Tabela I (iii): Regularne Polytopes, trzy regularne polytopes w n-wymiarach (n≥5)