Jednolite 5-Polytope - Uniform 5-polytope

Nierozwiązany problem w matematyce :

Znajdź kompletny zestaw jednolitych 5-polytopes

(więcej nierozwiązanych problemów matematycznych)

Wykresy regularnych i jednolitych polytopes .

5-simplex	Rektyfikowany 5-simplex		Obcięta 5-simplex
Cantellated 5-simplex	Runcinated 5-simplex		Stericated 5-simplex
5-orthoplex	Obcięta 5-orthoplex		Rektyfikowany 5-orthoplex
Cantellated 5-orthoplex		Runcinated 5-orthoplex
Cantellated 5-cube	Runcinated 5-cube		Stericated 5-cube
5-cube	Obcięta 5-cube		Rektyfikowany 5-cube
5-demicube		Obcięta 5-demicube
Cantellated 5-demicube		Runcinated 5-demicube

W geometrii , A jednolity 5 Polytope jest pięć wymiarowe jednolity Polytope . Z definicji, jednolitej 5 Polytope jest wierzchołek-przechodni , a wykonane z jednorodnych 4-Polytope ścianek .

Komplet wypukły jednolitych 5-polytopes nie została ustalona, ale większość z nich może być wykonany w konstrukcji Wythoff z małego zestawu grup symetrii . Te operacje konstrukcyjne są reprezentowane przez permutacje pierścieniach schematów Coxeter .

Historia odkrycia

Regularne polytopes : (wypukłe powierzchnie)
- 1852 : Ludwig Schläfli udowodnił w swoim rękopisie Theorie der vielfachen Kontinuität , że nie są dokładnie 3 regularne polytopes w 5 lub większej liczbie wymiarów .
Wypukłe semiregular polytopes : (Różne definicje przed Coxeter za jednolitej kategorii)
- 1900 : Thorold Gosset wymienił listę nonprismatic semiregular wypukłych polytopes ze stałymi ściankami ( wypukłe regularne 4-polytopes ) w swojej publikacji na regularnym i Semi-Regular figur w przestrzeni n Wymiary .
Wypukłe jednolite polytopes :
- 1940-1988 : Wyszukiwanie została rozszerzona systematycznie przez HSM Coxeter'a w swojej publikacji Regularne i Semi-Regular Polytopes I, II i III .
- 1966 : Norman W. Johnson ukończył doktorat Rozprawa pod Coxeter'a, The Theory of Uniform Polytopes i Honeycombs , University of Toronto

Regularne 5-polytopes

Regularne 5-polytopes może być reprezentowany przez symbol Schläfli {p, q, r, s}, a s, {p, q, r} 4-Polytope ścianek wokół każdej powierzchni . Istnieją dokładnie trzy takie regularne polytopes, wszystkie wypukłe:

{3,3,3,3} - 5-simplex
{4,3,3,3} - 5-Cube
{3,3,3,4} - 5-orthoplex

Brak nonconvex regularne polytopes w 5 lub większej liczbie wymiarów.

Wypukłe jednolity 5 polytopes

104 znane są wypukłe jednolite 5-polytopes oraz szereg nieskończonych rodzin pryzmatów duoprism i duoprisms wielokąta wielościanu. Wszystkie z wyjątkiem wielkiego antygraniastosłup pryzmat oparte są na konstrukcji Wythoff , symetria osiowa generowanego z grup Coxeter .

Symetria jednolitych 5-polytopes cztery wymiary

Coxeter odpowiedniki schemat pomiędzy rodzinami i wyższą symetrię w schematach. Węzłów o tym samym kolorze, w każdym rzędzie oznaczają identyczne lustra. Czarne węzły nie są aktywne w korespondencji.

5-simplex jest regularna forma w ₅ rodziną. 5-cube i 5-orthoplex są regularne formy w B ₅ rodziną. Wykres rozwidlający kwasu D ₅ rodzina zawiera 5-orthoplex , a także 5-demicube który jest naprzemiennie 5-cube .

Każdy odblaskowy jednolity 5 Polytope może być zbudowana z jednej lub większej odblaskowe grupy punktowej w 5 Wymiary przez konstrukcji Wythoff reprezentowanym przez pierścienie wokół permutacji węzłów w schemacie Coxeter . Lustro hiperpłaszczyzny mogą być zgrupowane, jak widać kolorowymi węzłów, oddzielonych nawet odgałęzieniami. Grupy symetrii postaci [a, B, B, A] mają wydłużony symetrii [[A, B, B, A]], takie jak [3,3,3,3] podwojenie kolejność symetrii. Jednolite polytopes w te grupy z symetrycznych pierścieni zawierają tego poszerzonego symetrii.

Jeśli wszystkie zwierciadła o danym kolorze jest unringed (nieaktywne) w danej jednolitej Polytope, to mają mniejszą konstrukcję symetrii, usuwając wszystkie z pozostałych zwierciadeł. Jeśli wszystkie węzły o danym kolorze jest pierścieniowa (aktywny), przyjmuje się naprzemienne działanie może wygenerować nowe 5-Polytope chiralnych symetrii, pokazanego jako „pusta” krążył węzłów”, ale geometria jest ogólnie regulowane, aby tworzyć jednakowe rozwiązania.

podstawowe rodzin

Grupa symbol	Zamówienie	wspornik notacja	komutator podgrupa	Coxeter ilość (H)	Odbicia m = 5/2 godziny
₅	720	[3,3,3,3]	[3,3,3,3] ⁺	6		15
D ₅	1920	[3,3,3 ^1,1 ]	[3,3,3 ^1,1 ] ⁺	8		20
B ₅	3840	[4,3,3,3]	[3,3,3 ^1,1 ] ⁺	10	5	20

jednolite pryzmaty

Istnieje 5 skończone kategoryczne jednolite pryzmatyczne rodziny polytopes oparciu o nonprismatic jednolitych 4-polytopes . Istnieje jeden nieskończony rodziny 5-polytopes podstawie pryzmatów jednolitych duoprisms {s} P {x} {x}.

Coxeter grupa	Zamówienie	Coxeter notacja	komutator podgrupa	odbicia
₄₁	120	[3,3,3,2] = [3,3,3] x []	[3,3,3] ⁺			10		1
D ₄₁	384	[3 ^1,1,1 2] = [3 ^1,1,1 ] x []	[3 ^1,1,1 ] ⁺			12		1
B ₄₁	768	[4,3,3,2] = [4,3,3] x []	[3 ^1,1,1 ] ⁺		4	12		1
F. ₄₁	2304	[3,4,3,2] = [3,4,3] x []	[3 ⁺ , 4,3 ⁺ ]		12	12		1
H ₄₁	28800	[5,3,3,2] = [3,4,3] x []	[5,3,3] ⁺			60		1
Duoprismatic (wykorzystanie 2p i 2q dla Evens)
I ₂ ( s ) I ₂ ( Q ) ± ₁	8 pq	[P 2, q, 2] = [s] × [Q] x []	[P ⁺ , 2, q ⁺ ]		p	q		1
I ₂ (2 s ), I ₂ ( Q ) ± ₁	16 pq	[2p, 2, q, 2] = [2P] × [Q] x []		p	p	q		1
I ₂ (2 s ), I ₂ (2 q ) ± ₁	32 pq	[2P, 2,2q 2] = [2P] × [2Q] x []		p	p	q	q	1

jednolite duoprisms

Istnieją 3 kategoryczne jednolite duoprismatic rodziny polytopes oparciu o kartezjańskich produktów na jednolitym wielościanów i wielokątów foremnych : { q , r } × { s }.

Coxeter grupa	Zamówienie	Coxeter notacja	komutator podgrupa	odbicia
grupy pryzmatyczne (2p za stosowanie nawet)
₃I ₂ ( P )	48 str	[3,3,2, t ] = [3,3] x [ s ]	[(3,3) ⁺ , 2 p ⁺ ]		6	p
₃I ₂ ( 2p )	96 str	[3,3,2,2 s ] = [3,3] x [2 P ]			6	p	p
B ₃I ₂ ( P )	96 str	[4,3,2, t ] = [4,3] x [ s ]		3	6	p
B ₃I ₂ ( 2p )	192 p	[4,3,2,2 s ] = [4,3] x [2 P ]		3	6	p	p
H ₃I ₂ ( P )	240 str	[5,3,2, t ] = [5,3] x [ s ]	[(5,3) ⁺ , 2 p ⁺ ]		15	p
H ₃I ₂ ( 2p )	480 p	[5,3,2,2 s ] = [5,3] x [2 P ]	[(5,3) ⁺ , 2 p ⁺ ]		15	p	p

Wyliczanie wypukłej ujednolicenie 5-polytopes

Simplex Rodzina: ₅ [3 ⁴ ]
- 19 jednolity 5-polytopes
Hipersześcian / Orthoplex rodziny BC ₅ [4,3 ³ ]
- 31 jednolity 5-polytopes
Demihypercube D ₅ / E ₅ rodzina [3 ^2,1,1 ]
- 23 jednolite 5-polytopes (8) unikalne
Pryzmaty i duoprisms:
- 56 jednolity 5 Polytope (45) unikalnych konstrukcji opiera się na pryzmatycznych rodzin [3,3,3] x [], [4,3,3] x [], [5,3,3] x [], [3 ^1,1,1 ] x [].
- Jednym z nie Wythoffian - The wielki antygraniastosłup pryzmatu jest jedynym nie Wythoffian wypukły jednolity 5 Polytope, zbudowany z dwóch wielkich antygraniastosłup połączonych wieloboczne graniastosłupów.

To przynosi zgadzają się z: 19 + 31 + 8 + 45 + 1 = 104

Ponadto istnieją:

Nieskończenie wiele jednolitych konstrukcji 5 Polytope podstawie duoprism pryzmatycznych rodzin: [P] × [Q] x [].
Nieskończenie wiele jednolitych konstrukcji 5 Polytope podstawie duoprismatic rodzin: [3,3] x [P], [4,3] x [P], [5,3] x [s].

A ₅ rodzina

Istnieje 19 formy oparte na wszystkich permutacji diagramów Coxeter z jednym lub większą liczbą pierścieni. (16 + 1/4 przypadków)

Są one nazwane przez Normana Johnson z działalności budowlanej Wythoff upon regularnej 5-simplex (hexateron).

₅ rodzina ma symetrii obrotowej o uporządkowaniu 720 (6 silnia ). 7 z figury 19, z symetrycznie pierścieniowych schematów Coxeter podwoiła symetrii kolejności 1440.

Współrzędne jednolitych 5-polytopes z 5-simplex symetrii może być generowany permutacji prostych liczb w przestrzeni 6, a wszystko to w hiperplaszczyzn z wektora normalnego (1,1,1,1,1,1).

#	Punkt bazowy	Johnson nazewnictwa systemu imię i Bowers (skrót) Coxeter schemat	Liczy elementów k-face					Vertex figura	Facet liczy według lokalizacji: [3,3,3,3]
#	Punkt bazowy		4	3	2	1	0	Vertex figura	[3,3,3], (6)	[3,3,2], (15)	[3,2,3], (20)	[2,3,3], (15)	[3,3,3], (6)
1	(0,0,0,0,0,1) lub (0,1,1,1,1,1)	5-simplex hexateron (Hiksa)	6	15	20	15	6	{3,3,3}	(5) {3,3,3}	-	-	-	-
2	(0,0,0,0,1,1) lub (0,0,1,1,1,1)	Wyprostowany 5-simplex usunięte hexateron (RIX)	12	45	80	60	15	T {3,3} {x}	(4) R {3,3,3}	-	-	-	(2) {3,3,3}
3	(0,0,0,0,1,2) lub (0,1,2,2,2,2)	Ściętego 5-simplex ściętego hexateron (tix)	12	45	80	75	30	Tetrah.pyr	(4) T {3,3,3}	-	-	-	(1) {3,3,3}
4	(0,0,0,1,1,2) lub (0,1,1,2,2,2)	Cantellated 5-simplex małe rhombated hexateron (sarx)	27	135	290	240	60	Pryzmat klin	(3) rr {3,3,3}	-	-	(1) x {x} {3,3}	(1) R {3,3,3}
5	(0,0,0,1,2,2) lub (0,0,1,2,2,2)	Bitruncated 5-simplex bitruncated hexateron (bittix)	12	60	140	150	60		(3) 2t {3,3,3}	-	-	-	(2) t {3,3,3}
6	(0,0,0,1,2,3) lub (0,1,2,3,3,3)	Cantitruncated 5-simplex wielki rhombated hexateron (garx)	27	135	290	300	120		tr {3,3,3}	-	-	X {x} {3,3}	T {3,3,3}
7	(0,0,1,1,1,2) lub (0,1,1,1,2,2)	Runcinated 5-simplex małe prismated hexateron (Spix)	47	255	420	270	60		(2) t _0,3 {3,3,3}	-	(3) {3}, {3} x	(3) x {} x R {3,3}	(1) R {3,3,3}
8	(0,0,1,1,2,3) lub (0,1,2,2,3,3)	Runcitruncated 5-simplex prismatotruncated hexateron (pattix)	47	315	720	630	180		t _0,1,3 {3,3,3}	-	X {6} x {3}	X {} x R {3,3}	rr {3,3,3}
9	(0,0,1,2,2,3) lub (0,1,1,2,3,3)	Runcicantellated 5-simplex prismatorhombated hexateron (Pirx)	47	255	570	540	180		t _0,1,3 {3,3,3}	-	{3}, {3} x	X {} x T {3,3}	2t {3,3,3}
10	(0,0,1,2,3,4) lub (0,1,2,3,4,4)	Runcicantitruncated 5-simplex wielki prismated hexateron (gippix)	47	315	810	900	360	IRR. 5-komórka	t _0,1,2,3 {3,3,3}	-	X {3} x {6}	X {} x T {3,3}	rr {3,3,3}
11	(0,1,1,1,2,3) lub (0,1,2,2,2,3)	Steritruncated 5-simplex celliprismated hexateron (cappix)	62	330	570	420	120		T {3,3,3}	X {} x T {3,3}	X {3} x {6}	X {x} {3,3}	T _0,3 {3,3,3}
12	(0,1,1,2,3,4) lub (0,1,2,3,3,4)	Stericantitruncated 5-simplex celligreatorhombated hexateron (cograx)	62	480	1140	1080	360		tr {3,3,3}	X {} tr x {3,3}	X {3} x {6}	X {rr} x {3,3}	t _0,1,3 {3,3,3}

#	Punkt bazowy	Johnson nazewnictwa systemu imię i Bowers (skrót) Coxeter schemat	Liczy elementów k-face					Vertex figura	Facet liczy według lokalizacji: [3,3,3,3]
#	Punkt bazowy		4	3	2	1	0	Vertex figura	[3,3,3], (6)	[3,3,2], (15)	[3,2,3], (20)	[2,3,3], (15)	[3,3,3], (6)
13	(0,0,0,1,1,1)	Birectified 5-simplex dodecateron (kropka)	12	60	120	90	20	{3}, {3} x	(3) R {3,3,3}	-	-	-	(3) R {3,3,3}
14	(0,0,1,1,2,2)	Bicantellated 5-simplex małe birhombated dodecateron (sibrid)	32	180	420	360	90		(2) rr {3,3,3}	-	(8) {3}, {3} x	-	(2) rr {3,3,3}
15	(0,0,1,2,3,3)	Bicantitruncated 5-simplex wielki birhombated dodecateron (gibrid)	32	180	420	450	180		tr {3,3,3}	-	{3}, {3} x	-	tr {3,3,3}
16	(0,1,1,1,1,2)	Stericated 5-simplex małe cellated dodecateron (scad)	62	180	210	120	30	IRR. 16 komórek	(1) {3,3,3}	(4) x {x} {3,3}	(6) {3}, {3} x	(4) x {x} {3,3}	(1) {3,3,3}
17	(0,1,1,2,2,3)	Stericantellated 5-simplex mały cellirhombated dodecateron (karta)	62	420	900	720	180		rr {3,3,3}	X {rr} x {3,3}	{3}, {3} x	X {rr} x {3,3}	rr {3,3,3}
18	(0,1,2,2,3,4)	Steriruncitruncated 5-simplex celliprismatotruncated dodecateron (captid)	62	450	1110	1080	360		t _0,1,3 {3,3,3}	X {} x T {3,3}	{6} x {6}	X {} x T {3,3}	t _0,1,3 {3,3,3}
19	(0,1,2,3,4,5)	Omnitruncated 5-simplex wielki cellated dodecateron (gocad)	62	540	1.560	1800	720	IRR. {3,3,3}	(1) T _0,1,2,3 {3,3,3}	(1) x {} x tr {3,3}	(1) {6} x {6}	(1) x {} x tr {3,3}	(1) T _0,1,2,3 {3,3,3}

B ₅ rodzina

B ₅ rodzina ma symetrię rzędu 3840 (5! X 2 ⁵ ).

Ta rodzina 2 ⁵ -1 = 31 Wythoffian jednolite polytopes generowane poprzez oznaczenie jednej lub większej liczby węzłów w schemacie Coxeter .

Dla uproszczenia jest ona podzielona na dwie podgrupy, z których każda 12 formy, oraz 7 „średnich” formy, który równie należą zarówno.

Rodzina 5-cube 5-polytopes podane przez kadłubów wypukłych punktów bazowych wymienionych w poniższej tabeli, z wszystkich permutacji współrzędnych i podpisać podjęte. Każdy punkt podstawy tworzy odrębną jednolite 5-Polytope. Wszystkie wielkości odpowiadają jednolitych 5-polytopes długości krawędzi 2.

#	Punkt bazowy	Imię Coxeter schemat	Element liczy					Vertex figura	Facet liczy według lokalizacji: [4,3,3,3]
#	Punkt bazowy	Imię Coxeter schemat	4	3	2	1	0	Vertex figura	[4,3,3], (10)	[4,3,2], (40)	[4,2,3], (80)	[2,3,3], (80)	[3,3,3], (32)
20	(0,0,0,0,1) √2	5-orthoplex (TAC)	32	80	80	40	10	{3,3,4}	{3,3,3}	-	-	-	-
21	(0,0,0,1,1) √2	Wyprostowany 5 orthoplex (szczur)	42	240	400	240	40	{X} {3,4}	{3,3,4}	-	-	-	R {3,3,3}
22	(0,0,0,1,2) √2	Ściętego 5 orthoplex (tot)	42	240	400	280	80	(Octah.pyr)	T {3,3,3}	{3,3,3}	-	-	-
23	(0,0,1,1,1) √2	Birectified 5-cube (NIT) (Birectified 5-orthoplex)	42	280	640	480	80	{4} x {3}	R {3,3,4}	-	-	-	R {3,3,3}
24	(0,0,1,1,2) √2	Cantellated 5 orthoplex (SART)	82	640	1520	1200	240	Pryzmat klin	R {3,3,4}	{X} {3,4}	-	-	rr {3,3,3}
25	(0,0,1,2,2) √2	Bitruncated 5 orthoplex (bittit)	42	280	720	720	240		T {3,3,4}	-	-	-	2t {3,3,3}
26	(0,0,1,2,3) √2	Cantitruncated 5 orthoplex (gart)	82	640	1520	1440	480		rr {3,3,4}	{R} x {3,4}	{6} x {4}	-	t _0,1,3 {3,3,3}
27	(0,1,1,1,1) √2	Rektyfikowany 5-cube (Rin)	42	200	400	320	80	{3,3} {x}	R {4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
28	(0,1,1,1,2) √2	Runcinated 5 orthoplex (kamasz)	162	1200	2160	1440	320		R {4,3,3}	-	{3} x {4}		T _0,3 {3,3,3}
29	(0,1,1,2,2) √2	Bicantellated 5-cube (sibrant) (Bicantellated 5-orthoplex)	122	840	2160	1920	480		rr {4,3,3}	-	{4} x {3}	-	rr {3,3,3}
30	(0,1,1,2,3) √2	Runcitruncated 5 orthoplex (pattit)	162	1440	3680	3360	960		rr {3,3,4}	{R} x {3,4}	{6} x {4}	-	t _0,1,3 {3,3,3}
31	(0,1,2,2,2) √2	Bitruncated 5-cube (TAN)	42	280	720	800	320		2t {4,3,3}	-	-	-	T {3,3,3}
32	(0,1,2,2,3) √2	Runcicantellated 5 orthoplex (Pirt)	162	1200	2960	2880	960		{T} x {3,4}	2t {3,3,4}	{3} x {4}	-	t _0,1,3 {3,3,3}
33	(0,1,2,3,3) √2	Bicantitruncated 5-cube (gibrant) (Bicantitruncated 5-orthoplex)	122	840	2160	2400	960		rr {4,3,3}	-	{4} x {3}	-	rr {3,3,3}
34	(0,1,2,3,4) √2	Runcicantitruncated 5 orthoplex (gippit)	162	1440	4160	4800	1920		tr {3,3,4}	{T} x {3,4}	{6} x {4}	-	t _0,1,2,3 {3,3,3}
35	(1,1,1,1,1)	5-cube (pent)	10	40	80	80	32	{3,3,3}	{4,3,3}	-	-	-	-
36	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1) √2	Stericated 5-cube (skąpe) (Stericated 5-orthoplex)	242	800	1040	640	160	Tetr.antiprm	{4,3,3}	{4,3} {x}	{4} x {3}	{X} {3,3}	{3,3,3}
37	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1) √2	Runcinated 5-cube (zakres)	202	1240	2160	1440	320		T _0,3 {4,3,3}	-	{4} x {3}	{R} x {3,3}	{3,3,3}
38	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2) √2	Steritruncated 5 orthoplex (cappin)	242	1520	2880	2240	640		T _0,3 {3,3,4}	{X} {4,3}	-	-	T {3,3,3}
39	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1) √2	Cantellated 5-cube (sirn)	122	680	1520	1280	320	Pryzmat klin	rr {4,3,3}	-	-	{X} {3,3}	R {3,3,3}
40	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2) √2	Stericantellated 5-cube (carnit) (Stericantellated 5-orthoplex)	242	2080	4720	3840	960		rr {4,3,3}	rr {4,3} {x}	{4} x {3}	Rr} {x {3,3}	rr {3,3,3}
41	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2) √2	Runcicantellated 5-cube (wliczony)	202	1240	2960	2880	960		t _0,1,3 {4,3,3}	-	{4} x {3}	{T} x {3,3}	2t {3,3,3}
42	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3) √2	Stericantitruncated 5 orthoplex (cogart)	242	2320	5920	5760	1920		Rr} {x {3,4}	t _0,1,3 {3,3,4}	{6} x {4}	{T} x {3,3}	tr {3,3,3}
43	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1) √2	Ściętego 5-cube (TAN)	42	200	400	400	160	Tetrah.pyr	T {4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
44	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2) √2	Steritruncated 5-cube (kpt)	242	1.600	2960	2240	640		T {4,3,3}	T {4,3} {x}	{8} x {3}	{X} {3,3}	T _0,3 {3,3,3}
45	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2) √2	Runcitruncated 5-cube (pattin)	202	1.560	3760	3360	960		t _0,1,3 {4,3,3}	{T} x {4,3}	{6} x {8}	{T} x {3,3}	t _0,1,3 {3,3,3}]]
46	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3) √2	Steriruncitruncated 5-cube (captint) (Steriruncitruncated 5-orthoplex)	242	2160	5760	5760	1920		t _0,1,3 {4,3,3}	T {4,3} {x}	{8} x {6}	{T} x {3,3}	t _0,1,3 {3,3,3}
47	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2) √2	Cantitruncated 5-cube (girn)	122	680	1520	1.600	640		tr {4,3,3}	-	-	{X} {3,3}	T {3,3,3}
48	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3) √2	Stericantitruncated 5-cube (cogrin)	242	2400	6000	5760	1920		tr {4,3,3}	tr {4,3} {x}	{8} x {3}	{T} x _0,2 {3,3}	t _0,1,3 {3,3,3}
49	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3) √2	Runcicantitruncated 5-cube (gippin)	202	1.560	4240	4800	1920		t _0,1,2,3 {4,3,3}	-	{8} x {3}	{T} x {3,3}	tr {3,3,3}
50	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4) √2	Omnitruncated 5-cube (gacnet) (omnitruncated 5-orthoplex)	242	2640	8160	9600	3840	IRR. {3,3,3}	tr {4,3} {x}	tr {4,3} {x}	{8} x {6}	{} Tr x {3,3}	t _0,1,2,3 {3,3,3}

D ₅ rodzina

D ₅ rodzina ma symetrię rzędu 1920 (5! 2 x ⁴ ).

Ta rodzina 23 Wythoffian jednolitego wielościany, z 3x8-1 permutacji D ₅Coxeter wykresie z jednym lub większą liczbą pierścieni. 15 (2x8-1) powtarza się z B ₅ rodziny i 8 są unikalne dla tej rodziny.

#	Coxeter schemat symbol schläfliego symbole nazwy Johnson Bowers	Element liczy					Vertex figura	Aspektów od położenia: [3 ^1,2,1 ]
#		4	3	2	1	0	Vertex figura	[3,3,3], (16)	[3 ^1,1,1 ], (10)	[3,3] x [], (40)	[X] [3] x [], (80)	[3,3,3], (16)
51	= H {4,3,3,3} 5 demicube Hemipenteract (hin)	26	120	160	80	16	t ₁ {3,3,3}	{3,3,3}	t ₀ (1 ₁₁ )	-	-	-
52	= H ₂ {4,3,3,3} cantic 5-Cube ścięty hemipenteract (cienka)	42	280	640	560	160
53	= H ₃ {4,3,3,3} runcic 5-Cube Małe rhombated hemipenteract (sirhin)	42	360	880	720	160
54	= H ₄ {4,3,3,3} stearynowy 5-Cube Małe prismated hemipenteract (siphin)	82	480	720	400	80
55	= H _2,3 {4,3,3,3} runcicantic 5-Cube Bardzo rhombated hemipenteract (girhin)	42	360	1040	1200	480
56	= H _2,4 {4,3,3,3} stericantic 5-Cube Prismatotruncated hemipenteract (pithin)	82	720	1840	1.680	480
57	= H _3,4 {4,3,3,3} steriruncic 5-Cube Prismatorhombated hemipenteract (pirhin)	82	560	1280	1120	320
58	= H _2,3,4 {4,3,3,3} steriruncicantic 5-Cube Bardzo prismated hemipenteract (giphin)	82	720	2080	2400	960

Jednolite formy pryzmatyczne

Istnieje 5 skończone kategoryczne jednolite pryzmatyczne rodziny polytopes oparciu o nonprismatic jednolitych 4-polytopes :

₄ x ₁

Ta rodzina pryzmatyczny 9 stanowi :

₁ x A ₄ rodziny ma symetrię rzędu 240 (2 * 5!).

#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	Element liczy
#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	fasety	Komórki	twarze	Obrzeża	wierzchołki
59	= {3,3,3} {x} pryzmat 5-komórka	7	20	30	25	10
60	R = {3,3,3} {x} rektyfikacyjny 5 komórek pryzmat	12	50	90	70	20
61	T = {3,3,3} {x} ścięty 5 komórek pryzmat	12	50	100	100	40
62	RR = {3,3,3} {x} Cantellated 5 komórek pryzmat	22	120	250	210	60
63	T = _0,3 {3,3,3} {x} Runcinated 5 komórek pryzmat	32	130	200	140	40
64	2T = {3,3,3} {x} Bitruncated 5 komórek pryzmat	12	60	140	150	60
65	Tr = {3,3,3} {x} Cantitruncated 5 komórek pryzmat	22	120	280	300	120
66	T = _0,1,3 {3,3,3} {x} Runcitruncated 5 komórek pryzmat	32	180	390	360	120
67	T = _0,1,2,3 {3,3,3} {x} Omnitruncated 5 komórek pryzmat	32	210	540	600	240

B ₄ x ₁

Ta rodzina ma pryzmatyczny 16 formy . (Trzy są udostępniane [3,4,3] x [] Rodzina)

₁ x B ₄ rodziny ma symetrię rzędu 768 (2 ⁵ 4!).

#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	Element liczy
#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	fasety	Komórki	twarze	Obrzeża	wierzchołki
[16]	= {4,3,3} {x} Tesseractic pryzmatu (taki sam jak 5-cube )	10	40	80	80	32
68	R = {4,3,3} {x} rektyfikacyjny tesseractic pryzmat	26	136	272	224	64
69	T = {4,3,3} {x} przycinany tesseractic pryzmat	26	136	304	320	128
70	RR = {4,3,3} {x} Cantellated tesseractic pryzmat	58	360	784	672	192
71	T = _0,3 {4,3,3} {x} Runcinated tesseractic pryzmat	82	368	608	448	128
72	2T = {4,3,3} {x} Bitruncated tesseractic pryzmat	26	168	432	480	192
73	Tr = {4,3,3} {x} Cantitruncated tesseractic pryzmat	58	360	880	960	384
74	T = _0,1,3 {4,3,3} {x} Runcitruncated tesseractic pryzmat	82	528	1216	1152	384
75	T = _0,1,2,3 {4,3,3} {x} Omnitruncated tesseractic pryzmat	82	624	1696	1920	768
76	= {3,3,4} {x} pryzmat 16 komórek	18	64	88	56	16
77	R = {3,3,4} {x} rektyfikacyjny 16 komórek pryzmatu (tak samo jak pryzmat 24 komórek )	26	144	288	216	48
78	T = {3,3,4} {x} ścięty 16 komórek pryzmat	26	144	312	288	96
79	RR = {3,3,4} {x} Cantellated pryzmat 16 komórek (tak samo jak wyprostowanego pryzmat 24 komórek )	50	336	768	672	192
80	Tr = {3,3,4} {x} Cantitruncated 16 komórek pryzmatu (tak samo jak ściętego pryzmat 24 komórek )	50	336	864	960	384
81	T = _0,1,3 {3,3,4} {x} Runcitruncated 16 komórek pryzmat	82	528	1216	1152	384
82	SR = {3,3,4} {x} zakotwiczenia pryzmat 24 komórek	146	768	1392	960	192

F. ₄ x ₁

Ta rodzina ma pryzmatyczny 10 formy .

₁ x F ₄ rodziny ma symetrię rzędu 2304 (2 x 1152). Trzy polytopes 85, 86 i 89 (zielone tło) ma podwójną symetrię [[3,4,3] 2], a porządek 4608. Ten ostatni, zakotwiczenia pryzmat 24 komórek, (tło) w [3 ⁺ , 4, 3,2] symetrii, kolejność 1152.

#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	Element liczy
#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	fasety	Komórki	twarze	Obrzeża	wierzchołki
[77]	= {3,4,3} {x} pryzmat 24 komórek	26	144	288	216	48
[79]	R = {3,4,3} {x} usunięte 24-komórkowej pryzmatu	50	336	768	672	192
[80]	T = {3,4,3} {x} obcięty 24-komórkowej pryzmatu	50	336	864	960	384
83	RR = {3,4,3} {x} cantellated 24-komórkowej pryzmatu	146	1008	2304	2016	576
84	T = _0,3 {3,4,3} {x} runcinated 24-komórkowej pryzmatu	242	1152	1920	1296	288
85	2T = {3,4,3} {x} bitruncated 24-komórkowej pryzmatu	50	432	1248	1440	576
86	Tr = {3,4,3} {x} cantitruncated 24-komórkowej pryzmatu	146	1008	2592	2880	1152
87	T = _0,1,3 {3,4,3} {x} runcitruncated 24-komórkowej pryzmatu	242	1584	3648	3456	1152
88	T = _0,1,2,3 {3,4,3} {x} omnitruncated 24-komórkowej pryzmatu	242	1872	5088	5760	2304
[82]	= S {3,4,3} {x} zakotwiczenia pryzmat 24 komórek	146	768	1392	960	192

H ₄ x ₁

Ta rodzina ma pryzmatyczny 15 formularzy :

₁ x H ₄ rodziny ma symetrię rzędu 28800 (2 x 14400).

#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	Element liczy
#	Coxeter schemat i Schläfli symbole Nazwa	fasety	Komórki	twarze	Obrzeża	wierzchołki
89	= {5,3,3} {x} pryzmat 120 komórek	122	960	2640	3000	1200
90	R = {5,3,3} {x} rektyfikacyjny 120 komórek pryzmat	722	4560	9840	8400	2400
91	T = {5,3,3} {x} ścięty 120 komórek pryzmat	722	4560	11040	12000	4800
92	RR = {5,3,3} {x} Cantellated 120 komórek pryzmat	1922	12960	29040	25200	7200
93	T = _0,3 {5,3,3} {x} Runcinated 120 komórek pryzmat	2642	12720	22080	16800	4800
94	2T = {5,3,3} {x} Bitruncated 120 komórek pryzmat	722	5760	15840	18000	7200
95	Tr = {5,3,3} {x} Cantitruncated 120 komórek pryzmat	1922	12960	32640	36000	14400
96	T = _0,1,3 {5,3,3} {x} Runcitruncated 120 komórek pryzmat	2642	18720	44880	43200	14400
97	T = _0,1,2,3 {5,3,3} {x} Omnitruncated 120 komórek pryzmat	2642	22320	62880	72000	28800
98	= {3,3,5} {x} pryzmat 600 komórek	602	2400	3120	1.560	240
99	R = {3,3,5} {x} rektyfikacyjny 600 komórek pryzmat	722	5040	10800	7920	1440
100	T = {3,3,5} {x} ścięty 600 komórek pryzmat	722	5040	11520	10080	2880
101	RR = {3,3,5} {x} Cantellated 600 komórek pryzmat	1442	11520	28080	25200	7200
102	Tr = {3,3,5} {x} Cantitruncated 600 komórek pryzmat	1442	11520	31680	36000	14400
103	T = _0,1,3 {3,3,5} {x} Runcitruncated 600 komórek pryzmat	2642	18720	44880	43200	14400

Wielki antygraniastosłup pryzmat

Wielki antygraniastosłup pryzmatu jest jedynym wypukły nie Wythoffian jednolity 5 Polytope. Ma 200 wierzchołki 1100 krawędzie 1940 powierzchnie (40 pięciokątów, 500 kwadraty 1400 trójkąty) 1360 komórek (600 tetraedrów , 40 pięciokątnych antygraniastosłup , 700 trójkątne pryzmatów , 20 pięciokątne pryzmatów ) i 322 hypercells (2 wielkie antygraniastosłup , 20 pięciokątnych antygraniastosłup pryzmaty i 300 tetraedryczne pryzmatów ).

#	Imię	Element liczy
#	Imię	fasety	Komórki	twarze	Obrzeża	wierzchołki
104	Wielki antygraniastosłup pryzmat Gappip	322	1.360	1940	1100	200

Uwagi dotyczące budowy Wythoff dla jednolitych 5-polytopes

Konstrukcja odblaskowe 5-wymiarowych jednolitych polytopes są wykonywane za pomocą konstrukcji Wythoff procesu i reprezentowane przez schemat Coxeter , gdzie każdy węzeł reprezentuje lustro. Węzły są obrączkowane sugerować który lusterka są aktywne. Pełny zestaw jednolitych polytopes generowane są na podstawie unikalnych permutacji zaobrączkowanych węzłów. Jednolite 5-polytopes są nazwane w stosunku do regularnych polytopes w każdej rodzinie. Niektóre rodziny mają dwa regularne konstruktorów, a tym samym może mieć dwa sposoby ich nazywania.

Oto podstawowe operatory dostępne dla budowy i nazewnictwa jednolitych 5-polytopes.

Ostatnia operacja The afront, a bardziej ogólnie naprzemienne, to operacja, która może tworzyć formularze nonreflective. Te pochodzą z „zamkniętych pierścieni” w węzłach.

Pryzmatyczne formy i wykresy rozwidlających można użyć tej samej notacji obcięcie indeksowania, ale wymaga wyraźnej system numeracji na węzłach dla jasności.

Operacja	Rozszerzony symbol Schläfli		Opis
Rodzic	t ₀ {p, q, r, s}	{P, q, r, s}	Wszelkie regularne 5-Polytope
rektyfikowany	t ₁ {p, q, r, s}	R {p, q, r, s}	Krawędzie są całkowicie obcięte do pojedynczych punktów. 5-Polytope ma teraz połączone twarze rodziców i podwójny.
Birectified	T ₂ {p, q, r, s}	2r {p, q, r, s}	Birectification zmniejsza twarze punktów komórki do swoich felg bliźniaczych .
Trirectified	T ₃ {p, q, r, s}	3r {p, q, r, s}	Trirectification redukuje komórki do punktów. (Podwójny rektyfikacji)
Quadrirectified	t ₄ {p, q, r, s}	4r {p, q, r, s}	Quadrirectification zmniejsza 4-twarze punktów. (Podwójny)
Kadłubowy	T _0,1 {p, q, r, s}	T {p, q, r, s}	Każda oryginalna wierzchołek jest odcięta, z nową twarzą wypełnienie luki. Obcięcie ma stopień swobody, który ma jedno rozwiązanie, które tworzy jednolitą obcięty 5-Polytope. 5-Polytope ma swoje oryginalne twarze podwoiła się stron i zawiera twarze podwójny.
Cantellated	T _0,2 {p, q, r, s}	rr {p, q, r, s}	Oprócz obcięcia wierzchołków, z których każda jest oryginalna krawędź fazowane z nowych twarzy prostokątnych pojawiających się na ich miejscu.
Runcinated	T _0,3 {p, q, r, s}		Runcination redukuje komórki i tworzy nowe komórki w wierzchołkach i krawędziach.
Stericated	T _0,4 {p, q, r, s}	2r2r {p, q, r, s}	Sterication zmniejsza aspekty i tworzy nowe aspekty (hypercells) przy wierzchołkach i krawędziach luki. (Taki sam jak rozszerzenie działanie na 5-polytopes).
Omnitruncated	t _0,1,2,3,4 {p, q, r, s}		Wszystkich czterech operatorów, obcięcie, cantellation, runcination i sterication są stosowane.
Pół	H {2p, 3, q, r}		Przemienności , tak samo jak
Cantic	H ₂ {2p, 3, q, r}		Taki sam jak
Runcic	H ₃ {2p, 3, q, r}		Taki sam jak
Runcicantic	H _2,3 {2p, 3, q, r}		Taki sam jak
zawada	H ₄ {2p, 3, q, r}		Taki sam jak
Runcisteric	H _3,4 {2p, 3, q, r}		Taki sam jak
Stericantic	H _2,4 {2p, 3, q, r}		Taki sam jak
Steriruncicantic	H _2,3,4 {2p, 3, q, r}		Taki sam jak
Odkosz	s {s, 2q, R, S}		przemian obcięcie
zadartym naprawione	SR {p, q, 2R, S}		Przemian obcięty sprostowanie
	HT _0,1,2,3 {p, q, r, s}		przemian runcicantitruncation
Pełna zadartym	HT _0,1,2,3,4 {p, q, r, s}		przemian omnitruncation

Regularne i jednolite plastrach

Coxeter odpowiedniki schemat pomiędzy rodzinami i wyższą symetrię w schematach. Węzłów o tym samym kolorze, w każdym rzędzie oznaczają identyczne lustra. Czarne węzły nie są aktywne w korespondencji.

Istnieje pięć podstawowych afiniczne grupy Coxeter i 13 grupy pryzmatyczne, które generują regularne i jednolite TESELACJE w euklidesowej 4 miejsca.

grupy podstawowe
#	grupa Coxetera			Coxeter schemat	formularze
1	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {4}}$	[3 ^[5] ]	[(3,3,3,3,3)]		7
2	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {4}}$	[4,3,3,4]			19
3	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {4}}$	[4,3,3 ^1,1 ]	[4,3,3,4,1 ⁺ ]	=	23 (8 nowy)
4	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {4}}$	[3 ^1,1,1,1 ]	[1 ⁺ , 4,3,3,4,1 ⁺ ]	=	9 (0 nowy)
5	${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {4}}$	[3,4,3,3]			31 (21 nowy)

Istnieją trzy regularne plastry miodu z euklidesowej 4-space:

tesseractic o strukturze plastra miodu , z symboli {4,3,3,4} = . Istnieje 19 jednolite plastrach w tej rodzinie.
24 o strukturze plastra miodu z komórkami , symbole {3,4,3,3} . Istnieje 31 odblaskowe jednolite plastrach w tej rodzinie, a jedna forma naprzemiennie.
- Ściętego o strukturze plastra miodu 24 komórek z symboli t {3,4,3,3}
- Zakotwiczenia plastra miodu 24 komórek z symboli S {3,4,3,3} i skonstruowano cztery zadartym 24 komórek , jeden 16 komórek i pięć 5 komórek na każdym wierzchołku.
16 o strukturze plastra miodu z komórkami , symbole {3,3,4,3}

Inne rodziny, które generują jednolitych plastrach:

Istnieje 23 unikalnie obrączkowane formy, 8 nowych w strukturze plastra miodu, 16-komórkowej rodziny. Z symbolami h {4,3 ² 4} jest geometrycznie identyczne z plastra miodu 16 komórek , =
Istnieje 7 jednoznacznie obrączkowane od formy , rodzina, nowy, w tym: ${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {4}}$ ${{\ Tylda {A}}} _ {4}$
Istnieje 9 wyjątkowo ringed formy w [3 ^1,1,1,1 ] rodziny, dwa nowe, w tym ćwierć tesseractic plastra miodu , = , a bitruncated tesseractic plastra miodu , = . ${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {4}}$

Dla Wythoffian jednolite TESELACJE w 4 miejsca występują również wydłużenie (warstwy) wstawiania i bezwładności (obracanie warstwy) odbijających z tych form.

grupy pryzmatyczne
#	grupa Coxetera
1	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {3}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$	[4,3,4,2, ∞]
2	${\ Displaystyle {\ tylda {B}, {3} _}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$	[4,3- ^1,1 , 2, ∞]
3	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {3}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$	[3 ^[4] , 2, ∞]
4	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {2}}$ × x ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$	[4,4,2, ∞, 2, ∞]
5	${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {2}}$ × x ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$	[6,3,2, ∞, 2, ∞]
6	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$ × x ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$	[3 ^[3] , 2, ∞, 2, ∞]
7	${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$ × x x ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {i}} _ {1}}$	[∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
8	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$ x ${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$	[3 ^[3] 2,3 ^[3] ]
9	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {B}, {2} _}}$	[3 ^[3] , 2,4,4]
10	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {2}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$	[3 ^[3] , 2,6,3]
11	${\ Displaystyle {\ tylda {B}, {2} _}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {B}, {2} _}}$	[4,4,2,4,4]
12	${\ Displaystyle {\ tylda {B}, {2} _}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$	[4,4,2,6,3]
13	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$ × ${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$	[6,3,2,6,3]

Kompaktowe regularne TESELACJE z 4-przestrzeni hiperbolicznej

Istnieje pięć rodzajów wypukłych zwykłych plastrów i cztery rodzaje gwiezdnych plastrach w H ⁴ miejsca:

Nazwa Honeycomb	Schläfli Symbol {p, q, r, s}	Ścianka typu {p, q, r}	Komórka typu {P, Q}	Twarzy typu {s}	Twarz postać {s}	Krawędź postać {R, S}	Wierzchołek postać {q, r, s}	Podwójny
Order-5 5-cell	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Kolejność-3 120 komórek	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Order-5 tesseractic	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Kolejność-4 120 komórka	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Kolejność-5 120 komórek	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Self-Dual

Istnieją cztery regularne star-H w plastrach ⁴ miejsca:

Nazwa Honeycomb	Schläfli Symbol {p, q, r, s}	Ścianka typu {p, q, r}	Komórka typu {P, Q}	Twarzy typu {s}	Twarz postać {s}	Krawędź postać {R, S}	Wierzchołek postać {q, r, s}	Podwójny
Kolejność-3 małe gwiazdowaty 120 komórek	{5 / 2,5,3,3}	{5 / 2,5,3}	{5 / 2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5 / 2}
Kolejność-5/2 600 komórek	{3,3,5,5 / 2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5 / 2}	{3,5,5 / 2}	{5 / 2,5,3,3}
Kolejność-5 120 komórek dwudziestościan	{3,5,5 / 2,5}	{3,5,5 / 2}	{3,5}	{3}	{5}	{5 / 2,5}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2,5,3}
Order-3 wielki 120-cell	{5,5 / 2,5,3}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2}	{5}	{3}	{5,3}	{5 / 2,5,3}	{3,5,5 / 2,5}

Regularne i jednolite hiperboliczne plastrach

Istnieje 5 compact hiperboliczne grupy Coxeter o randze 5, każdy generuje jednolite plastrach w hiperbolicznej 4-przestrzeni jako permutacji pierścieniami schematach Coxeter. Istnieje również 9 parazwartą hiperboliczne grupy Coxeter o randze 5 , każdy generuje jednolite plastrach w 4-przestrzeni jako permutacji pierścieniami schematach Coxeter. Grupy parazwartej wytworzenia plastrów z nieskończoną aspektów lub figur wierzchołków .

Kompaktowe grupy hiperboliczne
${\ Displaystyle {\ widehat {AF}} _ {4}}$ = [(3,3,3,3,4)]:	${\ Displaystyle {\ bar {DH}} _ {4}}$ = [5,3,3 ^1,1 ]:	${\ Displaystyle {\ bar {H}} _ {4}}$ = [3,3,3,5] ${\ Displaystyle {\ bar {BH}} _ {4}}$ = [4,3,3,5] = [5,3,3,5] ${\ Displaystyle {\ bar {k}} _ {4}}$

Parazwartą grupy hiperboliczne
${\ Displaystyle {\ bar {P}} _ {4}}$ = [3,3 ^[4] ] ${\ Displaystyle {\ bar {BP}} _ {4}}$ = [4,3 ^[4] ] = [(3,3,4,3,4)] = [3 ^{[3] × []} ] ${\ Displaystyle {\ bar {FR}} _ {4}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {DP}} _ {4}}$	${\ Displaystyle {\ bar {N}} _ {4}}$ = [4/3 \, 3,4] = [3,4,3 ^1,1 ] = [4,3 ^2,1 ] = [4,3 ^1,1,1 ] ${\ Displaystyle {\ bar {o}} _ {4}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {S}} _ {4}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {M}} _ {4}}$	${\ Displaystyle {\ bar {R}} _ {4}}$ = [3,4,3,4]

Uwagi

Referencje

T. Gosset : na regularnym i semi-regularnych figur przestrzeni n Wymiary , Messenger matematyki , Macmillan, 1900 (3 regularnym i jeden semiregular 4-Polytope)
A. Boole Stott : Geometryczne odliczenie semiregular od zwykłych polytopes i nadzienia kosmicznych , Verhandelingen z Koninklijke akademii van Wetenschappen jednostkę szerokości Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter , regularne Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973 (str. 297 Podstawowe obszary dla grup niesprowadzalnych generowanych przez odbicia, sferyczne i euklidesowa)
- HSM Coxeter , The Beauty of Geometry: Dwunastu Eseje (rozdział 10: Zwykły plastrach w przestrzeni hiperbolicznej, stoły P213 Podsumowanie IV)
Kalejdoskop: Pisma wybrane HSM Coxeter'a pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Azji IVIC Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Papier 22) HSM Coxeter, regularne i naczep Zwykły Polytopes I [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407 MR 2,10]
- (Papier 23) HSM Coxeter, regularne i semi-Regular Polytopes II [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (str. 287 5D grupy euklidesowa, str. 298 Cztery dimensionsal plastra miodu)
- (Papier 24) HSM Coxeter, regularne i semi-Regular Polytopes III [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
NW Johnson : The Theory of Uniform Polytopes i Honeycombs , Ph.D. Rozprawa, University of Toronto, 1966
James E. Humphreys, Reflection grupy i Grupa Coxetera , studia w Cambridge w zaawansowanej matematyki, 29 (1990) (strona 141, 6.9 Lista hiperbolicznych grup Coxeter, rysunek 2) [2]

Linki zewnętrzne

Klitzing Richard. "5d jednolite polytopes (polytera)" .

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite polytopes o wymiarach 2-10
Rodzina	_n	B _n	Jestem ₂ (P) / D _n	E ₆ / e ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
wielokąt foremny	Trójkąt	Plac	P-gon	Sześciokąt	Pięciokąt
uniform wielościan	Czworościan	Ośmiościan • Cube	Demicube		Dwunastościan • Icosahedron
Jednorodna 4-Polytope	5-komórka	16 komórek • Tesserakt	Demitesseract	24 komórek	120 komórek • 600 komórek
Jednolite 5-Polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Jednolite 6 Polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Uniform 7-Polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7 demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Uniform 8-Polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8 demicube	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Jednolite 9 Polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9 demicube
Jednolita 10-Polytope	10 simplex	10-orthoplex • 10-cube	10 demicube
Jednolite n - Polytope	N - simplex	N - orthoplex • n - kostka	N - demicube	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	N - pięciokątny Polytope
Tematy: rodziny Polytope • Regularne Polytope • Lista regularnych polytopes i związków

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastrach o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$ / / ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} _ {4}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E ²	Dachówka jednolity	{3- ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Sześciokątny
E ³	Jednolity wypukły plastra miodu	{3- ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Jednorodna 4 o strukturze plastra miodu	{3- ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24 o strukturze plastra miodu z komórkami
E ⁵	Jednolite 5-plaster miodu	{3- ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	6 plastra miodu, jednolity	{3- ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Uniform 7-plaster miodu	{3- ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Uniform 8-plaster miodu	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Jednolite 9 o strukturze plastra miodu	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ^{n -1}	Jednolita ( N -1) - plastra miodu	{3- ^[N] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁

Languages

In other projects

Jednolite 5-Polytope - Uniform 5-polytope

Zawartość

Historia odkrycia

Regularne 5-polytopes

Wypukłe jednolity 5 polytopes

Symetria jednolitych 5-polytopes cztery wymiary

Wyliczanie wypukłej ujednolicenie 5-polytopes

A ₅ rodzina

B ₅ rodzina

D ₅ rodzina

Jednolite formy pryzmatyczne

₄ x ₁

B ₄ x ₁

F. ₄ x ₁

H ₄ x ₁

Wielki antygraniastosłup pryzmat

Uwagi dotyczące budowy Wythoff dla jednolitych 5-polytopes

Regularne i jednolite plastrach

Kompaktowe regularne TESELACJE z 4-przestrzeni hiperbolicznej

Regularne i jednolite hiperboliczne plastrach

Uwagi

Referencje

Linki zewnętrzne

Languages

In other projects

Jednolite 5-Polytope - Uniform 5-polytope

Zawartość

Historia odkrycia

Regularne 5-polytopes

Wypukłe jednolity 5 polytopes

Symetria jednolitych 5-polytopes cztery wymiary

Wyliczanie wypukłej ujednolicenie 5-polytopes

A 5 rodzina

B 5 rodzina

D 5 rodzina

Jednolite formy pryzmatyczne

4 x 1

B 4 x 1

F. 4 x 1

H 4 x 1

Wielki antygraniastosłup pryzmat

Uwagi dotyczące budowy Wythoff dla jednolitych 5-polytopes

Regularne i jednolite plastrach

Kompaktowe regularne TESELACJE z 4-przestrzeni hiperbolicznej

Regularne i jednolite hiperboliczne plastrach

Uwagi

Referencje

Linki zewnętrzne

A ₅ rodzina

B ₅ rodzina

D ₅ rodzina

₄ x ₁

B ₄ x ₁

F. ₄ x ₁

H ₄ x ₁